24.2.2直線和圓的位置關(guān)系（第三課時(shí)）分層作業(yè)

基礎(chǔ)訓(xùn)練

1.如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿以，依分別相切于點(diǎn)A,B,不倒翁的鼻尖

正好是圓心0,若NQ4B=28°,則/AP8的度數(shù)為（）

2.如圖，從。O外一點(diǎn)P引圓的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)分別是A,B,若NAPB=60。，PA=5,則弦AB

22

3.如圖，△ABC的內(nèi)切圓。O分別與AB,BC,AC相切于點(diǎn)D,E,F,且AD=2,BC=5,則△ABC的

周長(zhǎng)為（）

A.16B.14C.12D.10

4.如圖，A8C的內(nèi)切圓。O與BC,CA,AB分別相切于點(diǎn)D,E,F,已知,A8C的周長(zhǎng)為36.48=9,

BC=\4,則AF的長(zhǎng)為（）

B

A.4B.5C.9D.13

5.如圖，已知PAP8是，。的兩條切線,A,B為切點(diǎn)，線段OP交。于點(diǎn)M.給出下列四種說法:①%=必；

?OPJ.AB；③四邊形04期有外接圓；④M是；AOP外接圓的圓心，其中正確說法的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

6.如圖，Q4切（O于點(diǎn)AP8切。0于點(diǎn)8PO交\O于點(diǎn)、C,下列結(jié)論中不一定成立的是（）

A.PA=PBB.P0平分/4PB

C.ABA.OPD.ZPAB=2ZAPO

7.如圖，已知孫、心是的兩條切線，A、B為切點(diǎn),連接OP交A3于C,交：。于。，連接。4、0B,

則圖中等腰三角形、直角三角形的個(gè)數(shù)分別為（）

A.1,2B.2,2

C.2,6D.1,6

8.如圖，在RQA8C中，ZAC490。，。是二AAC的內(nèi)切圓，三個(gè)切點(diǎn)分別為D、E、F,若4F=3,AF=\O,

則“ABC的面積是（）

B,

A.60B.13C.13月D.30

9.若等腰直角三角形的外接圓半徑的長(zhǎng)為2,則其內(nèi)切圓半徑的長(zhǎng)為（）

A.梃B.2A/2-2c.2-5/2D.5/2—1

10.如圖是油路管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構(gòu)成一個(gè)直角三角形，兩直角邊分別為61n和8m.按

照輸油中心O到三條支路的距離相等來連接管道，則O到三條支路的管道總長(zhǎng)（計(jì)算時(shí)視管道為線，中心

O為點(diǎn)）是（）

3mC.6mD.9m

11.如圖，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計(jì)劃在A8C中內(nèi)部修建?個(gè)茶照燈，要求探照燈的位置到這三條公路的

距離都相等，則探照燈位置是JKC（）

B.三邊垂直平分線的交點(diǎn)

C.三條高的交點(diǎn)D.三條角平分線的交點(diǎn)

12.如圖，在△ABC中,NBOC=140。，I是內(nèi)心,O是外心，則NBIC=（）度

C.55D.125

13.如圖，PA,PB分別切。O于A,B,并與。0的切線，分別相交于C,D,已知△PCD的周長(zhǎng)等于10cm,

能力提升

1.已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5、7、8,則其內(nèi)切圓的半徑為（）

A.正B.-C.75D.273

22

2.如圖，在一A3C中，AB+AC=^13C,A。18C于。，《。為..ABC的內(nèi)切圓，設(shè)的半徑為R,AD

D

的長(zhǎng)為/?,則?的值為（）

h

3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所

示）.若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3,小正方形的面積為49,則大正方形的面積為.

4.如圖，矩形ABCO的頂點(diǎn)A,C分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,3）,OM是“0c的內(nèi)切圓,

點(diǎn)N,點(diǎn)P分別是（DM,x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則8P+PN的最小值是.

5.若三角形的三邊長(zhǎng)分別是6、8、10,則這個(gè)三角形的內(nèi)心與外心之間的距離為

拔高拓展

1.探究問題:

(1)如圖1,PM、PN、EF分別切?O于點(diǎn)A、B、C,猜想,/EF的周長(zhǎng)與切線長(zhǎng)PA的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的結(jié)論.

(2)如果圖1的條件不變，且PO=10cm,/E尸的周長(zhǎng)為16cm,求。的半徑.

(3)如圖2,點(diǎn)E是N/WQV的邊PM上的點(diǎn)，EFtPN『點(diǎn)、F,。與邊EF及射線PM、射線PN都相切.若

EF=3,PF=4,求。的半徑.

24.2.2直線和圓的位置關(guān)系（第三課時(shí)）分層作業(yè)

基礎(chǔ)訓(xùn)練

1.如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿以，PB分別相切于點(diǎn)A,B,不倒翁的鼻尖

正好是圓心。，若NQ4B=28°,則/"8的度數(shù)為（）

B.50°C.56°D.62。

【詳解】連接0B,

???CA=0B,

??.N0AB=N0BA=28°,

AZA0B=124°,

???PA、PB切。。于A、B,

ACA±PA,0P±AB,

AZ0AP+Z0BP=180o,

AZAPB+ZA0B=180°；

/.ZAPB=56°.

故選：C

2.如圖，從。。外一點(diǎn)P引圓的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)分別是A,B,若NAPB=60°,PA=5,則弦AB的

長(zhǎng)是（）

O

B

A.—B.—>73C.5D.55/3

22

【詳解】解：:PA,PB為。()的切線，

AFA=PB,

VZAPB=60°,

???△APB為等邊三角形，

AAB=PA=5.

故選：C.

3.如圖，△ABC的內(nèi)切圓。0分別與AB,BC,AC相切于點(diǎn)【)，E,F,且AD=2,BC=5,則△ABC的周長(zhǎng)為

()

A.16B.14C.12D.10

【詳解】解：???△ABC的內(nèi)切圓60分別與AB,BC,AC相切于點(diǎn)D,E,F,且AD=2,

AAF=AD=2,BD=BE,CE=CF,

VEE+CE=BC=5,

???ED+CF=BE+CE=BC=5,

:.AABC的周長(zhǎng)=2+2+5+5=14,

故選:B.

4.如圖,“3C的內(nèi)切圓。。與BC,CA,AB分別相切于點(diǎn)DEF,已知“8C的周長(zhǎng)為36.AB=9,8c=14,

則AF的長(zhǎng)為（）

B

A.4B.5C.9D.13

【詳解】解：/6C的周長(zhǎng)為36.AB=9,BC=14,

???AC=13,

由切線長(zhǎng)定理可得，

AE=AfBF=BD,CD=CE,

設(shè)4七=/\產(chǎn)=工,3/=4￡)=)，，CD=CE=z,

x+y=9[x=4

.?.T+Z=I3解得：-y=5

y+z=14z=9

:.AF=4；

故選:A.

5.如圖，已知PA是O的兩條切線,A,B為切點(diǎn)，線段OP交。于點(diǎn)M.給出下列四種說法:①以=相；

②OPJ.AB；③四邊形OAP8有外接圓；④M是.AOP外接圓的圓心，其中正確說法的個(gè)數(shù)是（）

【詳解】如圖，/%,/心是。的兩條切線,

.PA=PB,ZAPO=NBPO,故①正確，

PA=PB、Z.APO=NBPO,

?.PO1AB,故②正確，

.PAPB是。。的兩條切線，

?.NOAP=NO8P=90。，

取UP的中點(diǎn)Q，連接AQ,BQ,

則AQ=,0P=8Q,

所以：以。為圓心，QA為半徑作圓，則氏。,2,4共圓，故③正確,

.?M是一AOP外接圓的圓心，

:.MO=MA=MP=AO.

ZAOM=60。，

與題干提供的條件不符，故④錯(cuò)誤，

綜上：正確的說法是3個(gè)，

故選C.

6.如圖，P4切OO于點(diǎn)AP8切于點(diǎn)BP0交OO于點(diǎn)C,下列結(jié)論中不一定成立的是（）

A.PA=PBB.P0平分NAPB

C.AB±OPD.NPAB=2ZAP0

【詳解】解:連接OA,OB,AB,AB交P0于點(diǎn)G,

由切線長(zhǎng)定理可得：ZAP0=ZBP3,PA=PB,

又1?PG=PG,

.,.△PAG^APBG,

從而AB_LOP.

因此A.13.C都正確.

無法得出AB=PA=PB,可知:D是錯(cuò)誤的.

綜上可知：只有D是錯(cuò)誤的.

故選:D.

7.如圖，已知Q4、總是＜勿的兩條切線，A、B為切點(diǎn),連接OP交/W于C,交1。于。，連接0B,

則圖中等腰三角形、直角三角形的個(gè)數(shù)分別為（）

A

A.1,2B.2,2

C.2,6I）.1,6

【洋解】解：因?yàn)镺A、0B為圓0的半徑，所以O(shè)A=OB,所以aAOB為等腰三角形，

根據(jù)切線長(zhǎng)定理，PA=PB,故AAPB為等腰三角形，共兩個(gè)，

根據(jù)切線長(zhǎng)定理，PA=PB,ZAPC=ZBPC,PC=PC,所以△PACg^PBC,

故ABJ_PE,根據(jù)切線的性質(zhì)定理/0AP=/0BP=90°,

所以直角三角形有：△AOC,AAOP,AAPC,AOBC,AOBP,ACBP,共6個(gè).

故選C.

8.如圖，在Rt.44。中，乙4a=90。,C。是一44。的內(nèi)切圓，三個(gè)切點(diǎn)分別為D、E、F,若BF=3,AF=10,

則的面積是（）

A.60B.13C.1373D.30

【詳解】???（）0是一ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D,E,F,

AOE1AC,ODA.BC,CD=CE,BD=BF=3,AF=AE=\0,

???AB=AF+BF=\3.

ZC=90°,OD=OEf

???四邊形OEC。是正方形,

設(shè)EC=CD=x,

在RlABC中，BC2+AC2=AB2.

故(x+3)2+*+10)2=132,

解得：％=2,x2=-15（舍去）,

BC=5,AC=12,

S—2x5x12=30,

故選：D.

9.若等腰直角三角形的外接圓半徑的長(zhǎng)為2,則其內(nèi)切圓半徑的長(zhǎng)為（）

A.&B,272-2C.2-42D.1

【詳解】解：???等腰直角三角形外接圓半徑為2,

???此百角三角形的斜山長(zhǎng)為4,歐條百角功分別為2J5,

???它的內(nèi)切圓半徑為：R*（2&+20-4）=2五-2.

故選:B.

10.如圖是油路管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構(gòu)成一個(gè)直角三角形，兩直角邊分別為6nl和8nl.按照

輸油中心。到三條支路的距離相等來連接管道，則。到三條支路的管道總長(zhǎng)（計(jì)算時(shí)視管道為線，中心0

A.2mB.3mC.6mi).9m

【詳解】設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,

由勾股定理可得斜邊=正方=10,

則利用面積法可得：—■“6+8+10)=-x6x8,

22

解得r=2.

???管道為2x3=6(m),

故選：C.

11.如圖，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計(jì)劃在A8C中內(nèi)部修建?個(gè)探照燈，要求探照燈的位置到這三條公路的

距離都相等，則探照燈位置是ABC()

/

A.三條中線的交點(diǎn)B.三邊垂直平分線的交點(diǎn)

C.三條高的交點(diǎn)0.三條角平分線的交點(diǎn)

【詳解】AABC三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn),且到三邊的距離相等，所以探照燈的位置是三條角平分線的交

點(diǎn).

故選：D.

12.如圖,在AABC中，ZB0C=140°,I是內(nèi)心，0是外心，則NBIC=()

A

A.70B.135C.55D.125

【詳解】解：,在AA8C中，/BOC=140°,。是外心，

：.ZBOC=2ZA,

/.ZA=70°.

/.ZABC+ZACB=180°-ZA=l10°,

為AABC的內(nèi)心,

/.ZIBC=-^ABC,ZICB=-ZACB,

22

ZIBC+ZICB=-xllO°=55°,

2

ABIC=180。一(N/BC+N/CB)=125°,

故選：D.

13.如圖,PA,PB分別切00于A,B,并與如。的切線,分別相交于C,D,已知4PCD的周長(zhǎng)等于10cm,

則PA=cm.

【詳解】如圖，設(shè)DC與。0的切點(diǎn)為E,

「FA、PB分別是分。的切線,且切點(diǎn)為A、B,

/.FA=PB,

同理，可得:DE=DA,CE=CB,

則zXPCD的周長(zhǎng)=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10(cm),

FA=PB=5cm,

故答案為：5.

14.已知的三邊a、b、c滿足6+|￡*-3|+/-8〃=4粗口—19,則的內(nèi)切圓半徑二.

【詳解】解：b+\c-3\+a2-Sa=4y/b^\-\9

+|°-3|+(/-8〃+16)=0

(仄廠2yMe_3|+("-4)2=0

則“一1一2二0,c-3=0,a-4=0,即a=4,b=5,c=3,

V42+32=52

/.△ABC是直角三角形

3+4-5

???/8C的內(nèi)切圓半徑二=1.

22

故答案為1.

15.如圖，四邊形A8c。為。的內(nèi)接四邊形，/是△AC。的內(nèi)心，點(diǎn)。與點(diǎn)/關(guān)于直線5。對(duì)稱，則NA

的度數(shù)是__________

???點(diǎn)。與點(diǎn)/關(guān)于直線8。對(duì)稱，

r.OB=BI,OD=DL

VCB=OD,

/.CB=BI=OD=DI,

???四邊形OBID是菱形,

:.ZB0D=ZBID,Z0BD=ZBDO=ZIBD=ZIDB,

VZB0D=2ZA,ZBID=180°-(ZIBD+ZIDB),

ZIBD+ZIDB=^(180°-ZC),Z4+ZC=180°,

.??ZIBD+ZIDB=-ZA,

2

AZBID=180°--/A.

2

.*.2ZA=180°--ZA,

2

解得NA=72。，

故答案為：72°.

16.如圖，PA,PB與。。相切，切點(diǎn)為A,B,CD與。0相切于點(diǎn)E,分別交PA,PB于點(diǎn)D,C.若PA,PB

的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的兩個(gè)根.

(1)求m的值；

(2)求△求D的周長(zhǎng).

【詳解】解：IPA,PB與。0相切，

???PA=PB

VPA,PB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的兩個(gè)根

/.A=nr-4(〃[-1)=0

解得in=2

(2)m—1

/.A2-2X-I=0

%=占=1

：.PA=PB=]

VPA,PB與。0相切,CD與。。相切于點(diǎn)E,

z.ED=DA,CE=CB

?.△PCD的周長(zhǎng)=PC+CD+PD=PC+CE+ED+PD=PB+PA=2PA=2

117.已知A8C的三邊長(zhǎng)分別為===jI為ABC的內(nèi)心，且I在.4?。的邊6C、AC、AB

上的射影分別為八、E、F.

(1)若〃=5,〃=4,c=3,求乂8c內(nèi)切圓半徑r；

⑵求證：赫="=號(hào).

【詳解】解：(1)a=5,〃=4,c=3,

???△ABC是直角三角形，

設(shè)aABC內(nèi)切圓的半徑為，由△ABC的面積可得:

^x(AB+BC+AC)r=^xACxAB,

S|J-x(3+4+5)r=-x3x4,

22

解得：r=l,

???△ABC的內(nèi)切圓半徑為1；

(2)??T為AABC的內(nèi)心，且I在aABC的邊BC,AC,AB上的射影分別為D,E,F,

AE.E、F分別是。I的三邊切點(diǎn),

???AF=AE,BF=BD,CD=EC,

設(shè)AE=AF=x,則EC=b-x,BF=c-x,

故BC=a=b-x+c-x,

b+c-a

整理得出:x=-----------

2

b+c-a

即

AE=AF=~2~

能力提升

1.已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5、7、8,則其內(nèi)切圓的半徑為()

A.BB.1C.V3D.2行

22

【詳解】解：如圖，A8=7,8C=5,AC=8,內(nèi)切圓。的半徑為r,切點(diǎn)為瓦￡G,則

OE=OF=OG=r,OE_LAB,OF1AC,OG±BC

過點(diǎn)A作A。工3c于I),設(shè)B￡)=x,^\CD=BC-BD=5-x

AD2=AB2-BD2

由勾股定理得:

AD~=ACZ-CDZ

貝I」AB2-BD2=AC2-CD2,即72-X2=82-(5-X)2

解得x=l,即30=1

/.AD=yjAB2-^=V72-l2=4后

乂SMBC=SAQBC+^.\0AB+

:.-ADBC=-OGBC+-OEAB+-OFAC

2222

BP-x4x/3x5=-rx5+-rx7+-rx8

2222

解得「=百

則內(nèi)切圓的半徑為J5

故選:C.

2.如圖，在一A5C中，AB+/1C=|BC,AD上BC于D,C。為一A5C的內(nèi)切圓，設(shè)C。的半徑為R,AD

的長(zhǎng)為〃，釁的值為（）

【詳解】解：如圖所示：0為，A8C中NA8C、NACB、N8AC的角平分線交點(diǎn)，過點(diǎn)。分別作垂線交4B、

AC、BCT^E、G、F,

sABC=SAOB+SBOC+SAOC=AB-R+BCR+AC'R=R(AB+AC+BC),

AB+AC=-BC,

3

1(<A1Q

—R'8C+8C=-R-BC,

?板213J23

?.?4。的長(zhǎng)為人,

:，S.ABCu^BCh,

1Q1

：.-R-BC=-BCh,

232

:.h=-R,

3

.RR3

,,7=8T=8>

―/\

3

故選：A.

3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖

所示).若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3,小正方形的面積為49,則大正方形的面積為.

【詳解】解：設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的三邊分別為〃，4%較長(zhǎng)的直角邊為。，較短的直角邊為b,c為斜邊,

??,直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3,小正方形的面積為49,

，^Z￡=3,(j)2=49,

a+h-c=6j),a-b=1②,

13+c,c-\

a=------,b=-----,

22

a2+b2=c2@f

解得c=17或c=-5(舍去),

大正方形的面積為/=17?=289,

故答案為：289.

4.如圖，矩形ABCO的頂點(diǎn)A,C分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,3),(DM是AOC的內(nèi)切圓，點(diǎn)N,

點(diǎn)P分別是。M,x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+PN的最小值是

【詳解】解：作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)二，連接MB',交。M于點(diǎn)N,交x軸于點(diǎn)P,

過點(diǎn)M作\IQJ_x軸，交x軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)B'作B'QXMQ,

???點(diǎn)B與點(diǎn)B'關(guān)于x軸對(duì)稱，

???FB+PN=PB'+PN,

當(dāng)N、P、B'在同?直線上且經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)取最小值.

在RlZV'BC中，AC=VOA2+OC2=5,

由0M是△AOC的內(nèi)切圓，設(shè)。M的半徑為r,

.,.SAA()C=7(3r+4r+5r)X3X4,

解得r=b

.*.ME=MN=1,

.??GB'=4-1=3,QM=3+1=4,

???MB'=5,

AFBr