線性代數(shù)考試題庫及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的行列式\(\vertA\vert\)的值為（）-A.-2-B.2-C.10-D.-10答案：A2.若向量組\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)，則該向量組（）-A.線性相關(guān)-B.線性無關(guān)-C.秩為2-D.無法確定答案：B3.對于\(n\)階方陣\(A\)，如果存在\(n\)階方陣\(B\)，使得\(AB=BA=I\)，則稱\(A\)（）-A.相似于\(B\)-B.合同于\(B\)-C.可逆，且\(B=A^{-1}\)-D.以上都不對答案：C4.設\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(r(A)=r\)，則齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎解系所含向量個數(shù)為（）-A.\(n-r\)-B.\(r\)-C.\(m-r\)-D.\(n\)答案：A5.矩陣\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)的特征值為（）-A.1，2，3-B.-1，-2，-3-C.0，1，2-D.0，2，3答案：A6.設\(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，則\(A^n\)（\(n\)為正整數(shù)）等于（）-A.\(\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}\)-B.\(\begin{pmatrix}n&1\\1&n\end{pmatrix}\)-C.\(\begin{pmatrix}1&1\\0&n\end{pmatrix}\)-D.\(\begin{pmatrix}n&0\\0&n\end{pmatrix}\)答案：A7.若\(A\)是對稱矩陣，則\(A^T\)（）-A.等于\(A\)-B.等于\(-A\)-C.與\(A\)合同-D.與\(A\)相似答案：A8.設\(\lambda=2\)是可逆矩陣\(A\)的一個特征值，則矩陣\((\frac{1}{2}A)^{-1}\)有一個特征值等于（）-A.\(\frac{1}{4}\)-B.\(\frac{1}{2}\)-C.1-D.4答案：C9.設\(A,B\)均為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則（）-A.\(A=0\)或\(B=0\)-B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)-C.\(A+B=0\)-D.\(A\)與\(B\)可逆答案：B10.設\(A\)是\(3\times3\)矩陣，\(r(A)=2\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)的秩為（）-A.0-B.1-C.2-D.3答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列矩陣中，是對稱矩陣的有（）-A.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}\)-B.\(\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\)-C.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)-D.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)答案：ACD2.設\(A,B\)為\(n\)階方陣，則下列等式正確的是（）-A.\((A+B)^T=A^T+B^T\)-B.\((AB)^T=A^TB^T\)-C.\((kA)^T=kA^T\)（\(k\)為常數(shù)）-D.\((A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\)答案：ACD3.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)的充分必要條件是（）-A.其中至少有一個向量可由其余向量線性表示-B.秩\(r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)<3\)-C.齊次線性方程組\(x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=0\)有非零解-D.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,k_3\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3\neq0\)答案：ABC4.設\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)為\(A\)的特征值，則（）-A.\(\lambda^2\)是\(A^2\)的特征值-B.\(\lambda+1\)是\(A+I\)的特征值-C.\(\frac{1}{\lambda}\)是\(A^{-1}\)的特征值（\(A\)可逆時）-D.\(-\lambda\)是\(-A\)的特征值答案：ABCD5.設\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(B\)是\(n\timesm\)矩陣，則（）-A.當\(m>n\)時，必有\(zhòng)(\vertAB\vert=0\)-B.當\(m=n\)時，\(AB\)與\(BA\)相似-C.當\(n>m\)時，\(AB\)與\(BA\)的特征值相同-D.當\(m=n\)時，\(AB\)與\(BA\)的秩相同答案：AD6.設\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}\)，則（）-A.\(A+B=\begin{pmatrix}5&5\\5&5\end{pmatrix}\)-B.\(A-B=\begin{pmatrix}-3&-1\\1&3\end{pmatrix}\)-C.\(AB=\begin{pmatrix}8&5\\20&13\end{pmatrix}\)-D.\(BA=\begin{pmatrix}10&14\\4&6\end{pmatrix}\)答案：ABCD7.設\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A^2=A\)，則（）-A.\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)-B.\(A\)可對角化-C.\(A+I\)可逆-D.\(A\)是對稱矩陣答案：ABC8.設\(\alpha=(1,2,3)\)，\(\beta=(1,-1,1)\)，則（）-A.\(\alpha+\beta=(2,1,4)\)-B.\(\alpha-\beta=(0,3,2)\)-C.\(3\alpha=(3,6,9)\)-D.\(\alpha\cdot\beta=2\)答案：AC9.對于齊次線性方程組\(Ax=0\)（\(A\)為\(n\)階方陣），下列說法正確的是（）-A.若\(r(A)=n\)，則方程組只有零解-B.若\(r(A)<n\)，則方程組有非零解-C.方程組的解向量都是\(A\)的屬于特征值\(0\)的特征向量-D.若\(\xi_1,\xi_2\)是方程組的解，則\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)（\(k_1,k_2\)為常數(shù)）也是方程組的解答案：ABD10.設\(A\)是\(n\)階正交矩陣，則（）-A.\(\vertA\vert=\pm1\)-B.\(A^T=A^{-1}\)-C.\(A\)的行向量組是正交單位向量組-D.\(A\)的列向量組是正交單位向量組答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(n\)階方陣\(A\)的秩\(r(A)=n-1\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)的秩為1。（）答案：錯誤2.設\(A,B\)為\(n\)階方陣，若\(AB=AC\)且\(A\neq0\)，則\(B=C\)。（）答案：錯誤3.向量組\(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(2,3,4)\)線性相關(guān)。（）答案：錯誤4.若\(\lambda\)是矩陣\(A\)的特征值，\(\xi\)是對應的特征向量，則\(k\xi\)（\(k\neq0\)）也是\(A\)的對應于\(\lambda\)的特征向量。（）答案：正確5.設\(A\)是\(n\)階方陣，若\(A\)可逆，則\(A\)的行向量組線性無關(guān)。（）答案：正確6.對于任意兩個\(n\)階方陣\(A\)和\(B\)，都有\(zhòng)((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)。（）答案：錯誤7.設\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(B\)是\(n\timesm\)矩陣，當\(m=n\)時，\(\vertAB\vert=\vertBA\vert\)。（）答案：正確8.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)有相同的特征值。（）答案：正確9.設\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的列向量組線性相關(guān)。（）答案：正確10.設\(\alpha=(1,0,0)\)，\(\beta=(0,1,0)\)，則\(\alpha\)與\(\beta\)正交。（）答案：正確四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的定義及其判別方法。-答案：對于\(n\)階方陣\(A\)，如果存在\(n\)階方陣\(B\)，使得\(AB=BA=I\)，則稱\(A\)可逆。判別方法：（1）\(A\)可逆當且僅當\(\vertA\vert\neq0\)；（2）\(A\)可逆當且僅當\(r(A)=n\)；（3）\(A\)可逆當且僅當\(A\)的行（列）向量組線性無關(guān)。2.什么是齊次線性方程組的基礎解系？-答案：設\(Ax=0\)是\(n\)元齊次線性方程組，它的解集\(S\)的一個極大線性無關(guān)組\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_t\)稱為該齊次線性方程組的基礎解系，其中\(zhòng)(t=n-r(A)\)。3.簡述特征值與特征向量的定義。-答案：設\(A\)是\(n\)階方陣，如果存在數(shù)\(\lambda\)和非零向量\(\xi\)，使得\(A\xi=\lambda\xi\)，則稱\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是\(A\)的對應于特征值\(\lambda\)的特征向量。4.解釋向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念。-答案：設向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)，如果存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0\)，則稱向量組線性相關(guān)；如果只有當\(k_1=k_2=\cdots=k_m=0\)時，\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0\)才成立，則稱向量組線性無關(guān)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論當\(k\)取何值時，向量組\(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(1,3,k)\)線性相關(guān)。-答案：設\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&k\end{pmatrix}\)，計算\(\vertA\vert=k-5\)。當\(\vertA\vert=0\)，即\(k=5\)時，向量組線性相關(guān)。2.討論矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&a&a\\a&1&a\\a&a&1\end{pmatrix}\)的可逆性。-答案：計算\(\vertA\vert=(1+2a)(1-a)^2\)。當\(a\neq-\frac{1}{2}\)且\(a\neq1\)時，\(\vertA\vert\neq0\)，矩陣\(A\)可逆