練案20導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點

6A組基礎(chǔ)鞏固9

一、單選題

1.（2024?四川涼山二模）若?r）=_rsinx+cosx-l,%弓錯誤!，則函數(shù)兀x）的

零點個數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.3

C

［解析］/（x）=sinx+xcos%—sinx=xcosx,

當錯誤!時，/（x）<0,於）單調(diào)遞減，

當錯誤!時，/（x）>0,外）單調(diào)遞增，

當錯誤!時，f（x）<0,/）單調(diào)遞減，

又通誤!=錯誤!一1>0,1Ao）=0,楠誤！=錯誤!T>0,曲）=—2<0,

則y（x）=xsinx+cosx—l的草圖如下：

由圖象可得函數(shù)火幻的零點個數(shù)為2.故選C.

二、多選題

2.（2024.遼寧模擬預(yù)測）已知函數(shù)人勸=—去，則下列說法正確的是（）

A.人勸的極值點為錯誤！

B.人助的極值點為1

14-

C.直線丁=浮一二是曲線y=?x）的一條切線

D.人為有兩個零點

BC

JQJQ---］

［解析］因為五X）=一1，所以/（x）=丁，令/（x）<0,得X<1;令/（x）>0,

得X>1,所以Hx）在（一8,1）上單調(diào)遞減；在（1,+8）上單調(diào)遞增.可知人X）在X

1處取得唯一極小值，也是五x)的最小值，所以五x)的極值點為x=l,故A錯

217

誤，B正確；因為五2)=一9,/(2)=二，所以兀V)在x=2處的切線方程為丁十二=

1141

/(X—2),gpy=~2X—^,故C正確.因為#0)=0,火1)=一公<0,結(jié)合兀v)在(一

00,1)上的單調(diào)性，可知x=0是Hx)在(一00,1)上的唯一零點；當x>l時，e￥>0

X

恒成立，故?￥)=—￡<0恒成立，所以兀0在(1,+co)上沒有零點；綜上：兀0只

有一個零點，故D錯誤.故選BC.

三、填空題

3.(2025?重慶質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)八x)=xlnx—〃/有兩個極值點，則實數(shù)機的取值

范圍是..

錯誤！

［解析］函數(shù)y=xlnx—mx2有兩個極值點，

寸(x)=lnx—2/nr+l有兩個零點，

“f,,,Inx+1

解法一：/(x)=lnx—2/m;+l=0<=Sm=;,

.Inx+1?.-Inx，口

令g(x)=，則g'(x)=-—=0，佝x=l，

由g'(x)>0得0<x<1,由g，(x)<0得x>1,

???g(x)在區(qū)間(0,1)上遞增，在區(qū)間(1,+s)上遞減，

y=g(x)圖象如圖所示：

0<2m<1,

即0<m<1.

解法二：/(x)=lnx—2mx+l有兩個零點u函數(shù)y=lnx與y=2mx—1的圖象

有兩個交點，

又直線y=2mx—l的圖象過定點(0,—1),

當直線丁=2加:一4與y=lnx的圖象相切時，設(shè)切點為(xo,Inxo),

y=p則切線的斜率為J，

所以切線方程為y—lnxo=J(x—xo),

將點(0,—1)代入得一1—lnxo=-1,解得xo=l,

即切線的斜率為1,即2機=1,所以機=斗

由圖可知，當0＜機時，y=lnx與丁=2膽一1的圖象有兩個交點，則實數(shù)

機的取值范圍是錯誤!.

4.(2025?山東名?？荚嚶?lián)盟期中聯(lián)考)已知函數(shù)人沙=機^+。，曲線y=/(x)

在不同的三點處的切線斜率均為3,則實數(shù)m的取值范圍是.

錯誤！

［解析］由題意知/(x)=mex+/=3有三個不同的根，

x—3%+1

令夕(元)=0,解得％=3或一1,

3—x2

當xG(—oo,-4］時，g，(x)>0,函數(shù)g(x)='.單調(diào)遞增;

當尤W(—1,3)時,g'(x)<0,

函數(shù)g(X)=F^單調(diào)遞減；

當x￡［3,+00)時，g，(x)>0,

3—

函數(shù)g(x)=一7一單調(diào)遞增；

6

-

g極小(x)=g(3)=73,

當x一+8時，g(x)—0,且g(x)<0；

當無一一00時，g(x)一一00.

3—R

函數(shù)g(x)=FT-圖象如圖所示，

結(jié)合圖象可知，機的取值范圍是錯誤!.

四、解答題

5.已知函數(shù)人幻=祀工+^,討論函數(shù)8(》)=/0)—。((2611)的零點個數(shù).

［解析］函數(shù)五x)的定義域為R,且/(x)=(x+2)ex,

所以當xG(—00,—2)時，/(x)<0,人為在(一oo,—2)上單調(diào)遞減，

當中一2,+oo)時，/(x)>0,5九)在(-2,+oo)上單調(diào)遞增,

故於)在尸一2時取得極小值，也是最小值，即2)=—3，

令人x)=0,得x=-1,當x<—1時，人的<0；

當x>—1時，H工)>0,且4c)的圖象經(jīng)過點錯誤!，(-1,0),(0,1)；

x+1

當XT—00時，與一次函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)丁=「，增長更快，從而人功=—

e

->0.

【卡殼點】極限思想的應(yīng)用

當XT+CO時，y(x)—>+co,/(%)—>4-00,根據(jù)以上信息，畫出火X)大致圖象如

圖所示.

【易錯點】忽視圖象過點(0,1)

函數(shù)g(x)=/(x)—a(q￡R)的零點個數(shù)即為y=/(x)的圖象與直線y=a的交點

個數(shù).

???關(guān)于函數(shù)g(x)=AX)—?R)的零點個數(shù)有如下結(jié)論：

當a<—5時，函數(shù)零點個數(shù)為0；

當。=—5或位0時，函數(shù)零點個數(shù)為1;

當一宗。<0時，函數(shù)零點個數(shù)為2.

6.(2024?湖南長沙三模)已知函數(shù)於)=xe」1,g(x)=lnx—mx,mGR.

(1)求加)的最小值;

(2)設(shè)函數(shù)h(x)=j{x)—g(x),討論/z(x)零點的個數(shù).

［解析］⑴段)的定義域為R，/(%)=(%+l)e\

貝I］當x<—1時，/(x)<0；當x>一1時，f(x)>0,

所以Hx)在區(qū)間(一00,—1)上單調(diào)遞減，

在區(qū)間(一1,十◎上單調(diào)遞增，

因此五%)的最小值為八-1)=一1.

x

(2)/z(x)=xe-Inx+mx—1?且％￡(0,+oo),

./Dlnx+1,

令/z(x)=0,得e］----x---+m=0,

令人(%)Me%一」?1+丁,則%⑴與左(無)有相同的零點,

1—lnx+1A2e^+lnx

且％'(%)=e%

x2x2

令r(x)=%2ex+lnx,則r'(x)=(x2+2%)ex+p

因為當x>0時，則/(x)>0,所以4x)在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞增，

又嘴誤！=e?—1<0,r(l)=e>0,

所以mxoG錯誤!，使"xo)=O,

且當xG(O,xo)時，r(尤)<0,即左'(x)<0；

當xW(xo,+co)時，r(x)>0,BPk'(x)>0,

所以網(wǎng)x)在區(qū)間(0,xo)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(xo,+oo)上單調(diào)遞增,

lnxo+1

因此依o的最小值為k(xo)=e

由r(xo)=O,得％3e"°+lnM)=0,即M)e*°=ln—eln^,

令夕(x)=/(x)+l,則0(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

因為』<X0<1,所以In；>0,

則9(xo)=夕錯誤!，

所以X0=-'Inxo,從而lnxo=—xo,即e，。=’，

xo

?，，,,?...Inxo+1,

所以左(x)的取小值k(xo)=e,°--+m=m+l,

所以當機>—1時，左(X)沒有零點；

當機=—1時，網(wǎng)X)有一個零點；

當m<—1時，因為左(xo)<O,

當x趨近于0時，左(x)趨近于+oo；當x趨近于+oo時,

左(x)趨近于+℃,

所以網(wǎng)x)有兩個零點.

綜上，當機>—1時，力。)的零點個數(shù)為0；

當機=—1時，〃(x)的零點個數(shù)為1；

當機<—1時，力。)的零點個數(shù)為2.

7.(2025?河北邯鄲部分學(xué)校月考)已知函數(shù)?x)=lnx+mx+f(m<0).

(1)若曲線y=/(x)在(xo,>o)(O<xo<2e)處的切線過點(0,2),求實數(shù)xo的值;

(2)若“X)在(0,4e)內(nèi)有兩個不同極值點xi、X2,求實數(shù)機取值范圍.

1A

［解析］(1)由題意得，f(x)=~+m—且定義域為(0,+oo).

則於)在(%o,>o)處的切線方程為

y=錯誤!(%—xo)+lnxo+g：o+錯誤！.

則一xo錯誤！+ln%o+g：o+錯誤！=2,

即lnxo+——3=0.

X0

設(shè)g(x)=lnx+——3(x>0),

x

e12ex~2e

則g，(%)=--^2=—

當x@(0,2e)時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當尤W(2e,+00)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

所以g(x)min=g(2e)=ln2-KO,

又g(e)=O,且g(x)在(0,2e)上單調(diào)遞減，

所以xo=e.

(2)由(1)知，/(%)=-p—

e—x

令e=O,得加(0<x<4e)有兩個不同的解.

令所以機=e?一滯誤！，

即函數(shù)y=m的圖象與函數(shù)y=eF—f錯誤!的圖象有兩個不同的交點.

因為看好時，y=e尸-7最小，

113

且為一口，且片口時，y=e戶一片一底，

13

所以一品<機<一4?

6B組能力提升9

1.(2023?全國乙卷)函數(shù)五均二必十以+？存在3個零點，則a的取值范圍是

)

A.(—oo,—2)B.(—oo,-3)

C.(-4,-1)D.(-3,0)

B

［解析］f(x)=x1*3+*Bax+2,則力》=3必+。，

若Hx)要存在3個零點，則人勸要存在極大值和極小值，則a<0,

令/COuSr+auO,解得尤=一錯誤!或錯誤!，

且當x?錯誤！U錯誤!時，f(x)>0,

當X?錯誤！，f(x)<0,

故人x)的極大值為逆誤!，極小值為通誤!，

若五x)要存在3個零點，則錯誤！

即錯誤!解得。<—3,故選B.

2.(2024?貴州貴陽一模)已知函數(shù)危尸錯誤!若方程於)+ex=O存在三個不

相等的實根，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(—oo,e)B.(一oo,—e)

C.(—00,-2e)D.(—oo,2e)

C

［解析］因為方程次光)+ex=0存在三個不相等的實根，

所以函數(shù)g(x)=?+ex有三個零點,

當工￡(—oo,0)時，

<?(%)=火%)+ex=e-x+ex,

所以g'(x)=—e-%+e,所以當工￡(—8,一1)時,/(1)〈0；

當九￡(—1,0)時,g\x)>0,所以g(x)在(一8,—1)上單調(diào)遞減,在(—1,0)單

調(diào)遞增，g(x)>g(-l)=0,

又當X一0時，g(x)一1；當工——00時，g(x)一+oo,

所以g(x)圖象如圖；

a+2e

當x￡(o,+oo)時,

g(x)=fix)+ex=a+-+ex,

-e,ex+1%—1

所以g，(x)=一齊+e=丁

所以當XG(O,1)時，g'a)<0;當xG(l,+8)時,g'(x)>0,所以g(x)在(0,1)上

單調(diào)遞減，在(1,+◎單調(diào)遞增，g(x)*l)=a+2e,

又當x—0時，g(x)—>+oo；當x—?+<?時，g(x)T+co,

所以g(x)圖象如圖，所以當a+2e<0即a<~2e時函數(shù)g(x)=/(x)+ex有三個

零點，

即方程Hx)+ex=0存在三個不相等的實根，故選C.

3.(2025?湖南郴州模擬)已知=Inx(mNO),若火防有兩個零點，則

實數(shù)機的取值范圍為()

A.錯誤！B.錯誤！

C.錯誤！D.錯誤！

A

［解析］由題意可知，若五x)有兩個零點，

則八%)=相心比-111尤=0有兩個解，

等價于"儂"優(yōu)一知1%=0(%>0)有兩個解，

令g⑺=Hnt,原式等價于g(mx)=g(lnx)有兩個解，

即mx=lnx(x>0),6如=工有兩個大于零的解.

解加x=lnx,可得機=更“，令/2(x)=?*(x>0),

XX

1—Inx

則"(x)=一］，當0<%<e時，"(x)>0,

當x>e時，h'(x)<0,

所以九(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+oo)上單調(diào)遞減，

且7z(e)=；,—圖象如圖：

所以當0<根<；時，

加=乎有兩個交點，

即五X)有兩個零點.故選A.

4.(多選題)(2024?新課標H卷)設(shè)函數(shù)五x)=2%3—3af+i,則()

A.當a>l時，/(x)有三個零點

B.當a<0時，x=0是五x)的極大值點

C.存在a,b,使得x=6為曲線y=/(x)的對稱軸

D.存在a,使得點(1,#1)為曲線y=/(x)的對稱中心

AD

［解析］/(x)=6x2—6ax=6x(x—tz),由于a>\,故(—co,0)U(a,+co)

時了(x)>0,故於)在(—00,0),(a,+oo)上單調(diào)遞增,

XG(O,a)時，/(x)<0,五x)單調(diào)遞減，

則加0在x=0處取到極大值，在x=a處取到極小值，

由汽0)=1>0,?=l-a3<0,則購/⑷<0,

根據(jù)零點存在定理處0在(0,a)上有一個零點，

又火—D=—1—3a<0,汽20=4/+1>0,

則——1/0)<0,加次2a)<0,

則八%)在(一1,0),(a,2a)上各有一個零點，于是時，人勸有三個零點，A

正確；

f(x)=6x(x-a),a<0時，x^(a,0),f(x)<0,火為單調(diào)遞減，

x￡(0,+oo)時/(x)>0,汽x)單調(diào)遞增，

此時段)在x=0處取到極小值，B錯誤；

假設(shè)存在這樣的a,b,使得x=5為五x)的對稱軸，即存在這樣的a,。使得

j{x}=fi2b-x),

即2X3—3a%2+1=2(261%)3—3a(26—x)2+1,

根據(jù)二項式定理，等式右邊(26—x)3展開式含有%3的項為2c§(2勿。(一x)3=一

2x3,

于是等式左右兩邊%3的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在

這樣的a,b,使得x=6為五x)的對稱軸，C錯誤；

(利用對稱中心的表達式化簡)

內(nèi))=3—3a,若存在這樣的a,使得(1,3—3a)為火x)的對稱中心，則於)+火2

—x)=6—6a,事實上，

五x)+五2—x)=2短一3a%2+1+2(2——3a(2—x)2+1=(12—6a)%2+(12a—

24)尤+18—12a

于是6—6a=(12—6a)/+(12a—24)x+18—12a

即錯誤!解得a=2,即存在。=2使得(1,五1)是人的的對稱中心，D正確.

5.(2025?云南玉溪一中質(zhì)檢)已知函數(shù)J(x)=x2—(2a+l)x+tzlnx(awR).

(1)若函數(shù)y=/(x)在x=l處的切線平行于x軸，求。的值；

(2)討論火幻的單調(diào)性；

(3)若g(x)=/(x)—'X2—(a—l)lnx有兩個不同的零點xi,xi,求a的取值范圍.

［解析］(lW)=2x-2tz-l+p

故/⑴=2—2a—l+a=O,則a=l.

(2?a)=2x—(2a+l)+E

Zf—Za+lx+a2x—lx—a

xx'

當時，令/(x)>0,解得x>a或0<x<T，

令/(x)<0,解得;<x<a,

故此時_/(x)在錯誤!，(a,+⑹單調(diào)遞增，在錯誤!的單調(diào)遞減，

當a*時，小巨0在(0,+oo)上恒成立，故此時危)在(0,+oo)單調(diào)遞增，

當0<a<g時，令/(x)>0,解得x>|■或0<%<a，令/(x)<0,解得a<x<T，

故此時五x)在(0,a),錯誤!單調(diào)遞增，在錯誤!的單調(diào)遞減，

當a=0時，五x)：%2—x,故人x)在錯誤!的單調(diào)遞減，在錯誤!單調(diào)遞增，

當a<0時，令/(x)>0,解得x>；,令/(x)<0,解得0<x<1,

故人x)在錯誤!的單調(diào)遞減，在錯誤!單調(diào)遞增.

(3),g(x)=fix)—x2—((2—1)lnx=x*1—(2a+l)x+^ln%—x2—(<2—l)lnx=~(2a

+l)x+lnx,

InY

令gi(x)=—(2a~\~l)x+lnx=0,貝!j2a+l=x,

.Inx?,1-Inx

l己h(x)=^~,貝！jhf(x)=~福一，

…,1—Inx

當x>e時M，hf(x)=-招~<0,

一,1-Inx

當0<x<e時，//'(%)=2->0,

故貽)在(0,e)單調(diào)遞增，在(e,+oo)單調(diào)遞減,

且/z(e)=",當?shù)?gt;1時/z(x)>0恒成立,

e

Inx

要使g(x)有兩個零點，則2a+l=T有兩個交點,

111—e

故Q<2a+]<9解得—2<6Z<2e,

6.(2024?江蘇揚州模擬)已知函數(shù)fix)=ln(mx)—x(m>0).

(1)若於)SO恒成立，求機的取值范圍；

(2)若於)有兩個不同的零點%2,證明：X1+X2>2.

[解析](1)首先由m>0可知次元)的定義域是(0,+8),

從而於)=ln(mx)—%=ln%—%+lnm.

i]—尤

故/(X)=——1=一二，從而當0<%<1時/(x)>0,當X>1時/(x)<0.

XX

故Hx)在(0,1)上遞增，在(1,+W)上遞減，所以Hx)具有最大值火l)=ln機一

1.

所以命題等價于Inm~1<0,即m<e.

所以機的取值范圍是(0,e].

(2)證明:不妨設(shè)尤1<尬,由于兀C)在(0,1)上遞增,在(1,+網(wǎng)上遞減,故一定

有0<Xl<l<X2.

在一1</<1的范圍內(nèi)定義函數(shù).

“⑺=人1+。一火1—/).

則"⑺=了(1+/)+/(1)=是+亡=若>0，

所以p⑺單調(diào)遞增.

這表明/>0時p⑺>p(O)=/U)-/U)=O,

即H1+/)次1—/).

又因為火2—X1)=/(1+(1—XI)次1—(1—XI)=/%1)=0=>2),且2—XI和

%2都大于L

故由火工)在(1,+oo)上的單調(diào)性知21即X1+X2>2.

6c組拓展應(yīng)用(選作)9

(2025?湖南郴州模擬)已知函數(shù)_/(x)=2alnx+52—m+2)x,其中a為常數(shù).

(1)當a>0時，試討論兀0的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)人x)有兩個不相等的零點XI,X2,

①求a的取值范圍；

②證明：XI+X2>4.

［解析］⑴由題設(shè)/(》)=§+》一(。+2)=匕彳土羽=匚『，且

xG(0,+co),

當0<a<2時,在(0,a)上了a)>0,在(a,2)上了(x)<0,在(2,+oo)上了(%)>0,

所以，在(0,a)、(2,+◎上1x)單調(diào)遞增，在(a,2)上段)單調(diào)遞減;

當。=2時，在(0,+oo)上/(x)N0恒成立，故4x)在(0,+◎上單調(diào)遞增；

當a>2時,在(0,2)上了(尤)>0,在(2,a)±f(x)<0,在(a,+oo)±/(x)>0,

所以，在(0,2)、(a,+網(wǎng)上兀0單調(diào)遞增,在(2,a)上段)單調(diào)遞減.

(2)①由五2)=2tzln2+1x22—(a+2)x2=2(aln2~a-l)<0,

若a>0時，

f(a)=2aln。+義