第一章：空間向量與立體幾何章末重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)

半圖速閱N-------------------■

空間向量的相關(guān)概念

加減法運(yùn)算（平行四邊形法則與三角形法則）

空間向量及其運(yùn)算線性運(yùn)算廠

（數(shù)乘運(yùn)算共線、共面向量定理

直線的方向向量

空間向量的運(yùn)算

向量的夾角

兩個(gè)向量數(shù)量積的定義

數(shù)量積運(yùn)算

向量數(shù)量積的幾何意義

向量的數(shù)量積

向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律

向量數(shù)量積的性質(zhì)

空

間

如果三個(gè)向量。，瓦C不共面，那么對任意一個(gè)空間向勤,

基本定理內(nèi)容存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（叼二），使檢三丫葉誣+”.

向

量

與

立

體

向量坐標(biāo)二）

幾

空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

何空間向量平行與垂直

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

空間向量的長度、夾角公式

空間中的角度線面角

二面角

用向量法研究度量關(guān)系

點(diǎn)到平面的距離

空間中的距離

點(diǎn)到直線的距離

|匿］典題型精置彳--------------------------

題型一空間向量的有關(guān)概念理解

【例1】（23-24高二下?甘肅慶陽?期中）下列命題是真命題的是（）

A.空間向量就是空間中的一條有向線段

1

B.不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等

C.任一向量與它的相反向量不相等

D.向量麗與向量初的長度相等

【答案】D

【解析】對于A,有向線段是空間向量的一種表示形式，但不能把二者完全等同起來，故A錯(cuò)誤;

對于B,不相等的兩個(gè)空間向量的模也可以相等，只要它們的方向不相同即可，故B錯(cuò)誤;

對于C,零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的，故C錯(cuò)誤；

對于D,麗與行僅是方向相反，它們的長度是相等的，故D正確，故選：D

【變式1-IJ（23-24高二上?陜西西安?月考）下列關(guān)于空間向量的說法中錯(cuò)誤的是（）

A.零向量與任意向量平行

B.任意兩個(gè)空間向量一定共面

C.零向量是任意向量的方向向量

D.方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量

【答案】C

【解析】選項(xiàng)A,零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，該選項(xiàng)正確；

選項(xiàng)B,平面由兩個(gè)不平行的向量確定，任意兩個(gè)向量可通過平移形成相交，

故一定可以確定一個(gè)平面，該選項(xiàng)正確；

選項(xiàng)C,在直線/上取非零向量Z,把與向量Z平行的非零向量稱為直線/的方向向量,該選項(xiàng)錯(cuò)誤;

選項(xiàng)D,方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量，該選項(xiàng)正確.故選：C.

【變式1-2]（23-24高二上?黑龍江哈爾濱?期中）下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（）

A.方向相反的兩個(gè)向量是相反向量

B.空間中任意兩個(gè)單位向量必相等

C.若向量網(wǎng)，函滿足網(wǎng)>|可,^AAB>CD

D.相等向量其方向必相同

【答案】D

【解析】相反向量指的是長度相等，方向相反的向量，故A錯(cuò)誤；

單位向量指的是模為1的向量，方向未定，故B錯(cuò)誤；

向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；

相等向量其方向必相同，故D正確；故選：D.

2

【變式1-3]（23-24高二上?新疆?月考）下列說法正確的是（）

A.若W<W，則B.若a,5互為相反向量，則a+B=O

C.空間中兩平行向量相等D.在四邊形/BCD中，AB-AD=DB

【答案】D

【解析】對于A,向量不可以比較大小，所以A錯(cuò)誤；

對于B,若日,石互為相反向量，則2+B=故B錯(cuò)誤；

對于C,兩向量相等需要向量的方向相同，且長度相同，故C錯(cuò)誤；

對于D,四邊形ABCD中，AB-AD=DB，故D正確.故選：D

題型二空間向量的線性運(yùn)算

【例2】（23-24高二上?浙江溫州?期中）平行六面體ABCD-ABCA中，化簡通+通+西=（）

A.“B.AC】C.西D.西

【答案】B

如圖所示，AB+AD+BB[=AB+BC+CC[=AQ.i^B.

【變式2-1]（23-24高二上?廣東深圳?期中）已知正方體ABCD-A/CA，則下列各式運(yùn)算結(jié)果不是殖的

為（）

A.AB+AD+A4]B.AC+CQ+AB

C.AB+BC+CQD.麗+AR+4R

【答案】B

【解析】選項(xiàng)A中,

選項(xiàng)B中,~AB+~AC+CCl=AB+（AC+CC^）=AB+AC[^AC[；

選項(xiàng)C中，AB+BC+Cq=AC+CQ=AQ；

選項(xiàng)D中，祠+病+鬲+（隔+西）=離+刷=鬲.故選：B.

3

【變式2-2］（23-24高二上?陜西西安?月考）若AB,CD為空間不同的四點(diǎn)，則下列各式不一定為零向量的

是（）

A.AB+iBC+iCD+DCB.iAB+iBC+3CD+3DA+AC

C.AB+DA+BDD.AB-CB+OJ-AD

【答案】A

［解析］對于A,AB+2BC+2CD+DC=（AB+BC^+［BC+CD^+［CD+DC^=AC+BD;

對于B,2AB+2BC+3CD+3DA+AC=2（AB+BC）+3（CD+DA）+AC=3AC+3CA=0；

對于c,AB+7DA+BD=DA+AB+BD=DB+BD=6-,

對于D,AB-CB+CD-AD^（AB-AD^+（CD-CB^=DB+BD=O.i^.A.

【變式2-3］（23-24高二上?吉林?期中）在空間四邊形N8C。中，G為△BCD的重心，E,F,，分別為邊

CD,AD和2C的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá)式.

（1）AG+|BE+|C4；

（2）|（AB+AC-AD）.

【答案】⑴赤；（2）兩

【解析】（1）根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得而+!詼通+弱+!而+1西

3232

=AB+-BE+-BE+-CA=AB+BE+-CA=AE+-CA

33222

1—1—.1—.1—.—.

=-AC+-AD+-CA=-AD=AF.

2222

（2）分別取AB,AC的中點(diǎn)P,Q,連接PH,QH,

則四邊形APHQ為平行四邊形，S.^^AB=AP,^AC=AQ,AP+AQ=AH,^AD=AF,

根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，^^AB+AC-AD）=AH-^AD=AH-AF=FH.

4

A

題型三空間向量的線性表示

【例3】（23-24高二上?浙江杭州?月考）已知三棱錐O-ABC,點(diǎn)跖N分別為4B,0c的中點(diǎn)，且況=0,

麗=5，0C=c，用&，5,乙表示麗，則麗等于（）

1_1_1

A.-(tz+Z?—c)B.—(Z?+c—C.—(^c—u—Z?)D.=①-5+為

2

【答案】C

1uurJutmiuun_1一」

【解析】MN=MO+ON=--OA--OB+-OC=--a--b+-c.i^:C.

乙乙乙乙乙乙

【變式3-1］（23-24高二上?廣東佛山?期中）已知三棱錐。-ABC,M,N分別是A&0C的中點(diǎn)，P是MN的

中點(diǎn)，設(shè)OA=a,OB—b,OC-c,則OP=()

111

B.—a+—br+—c

442

11r11_1r1_

C.—Nd—b-\—cD.—a+—b+—c

244444

【答案】D

5

【解析】因?yàn)镸,N分別是AB,OC的中點(diǎn)，尸是的中點(diǎn),

所以府=4(次+礪)=4,+3)=工2+工5,ON^-OC^-C,

2222

—,1.-,1(11一1111-1

則。尸=一(。"+ON)=--a+-b+-^=一"+-/?+-不.故選：D.

221222j444

【變式3-2](23-24高二上?福建泉州?月考)如圖，在三棱柱ABC-AMG中，瓦尸分別是BC、cq的中點(diǎn),

G為二ABC的重心，則序=()

1一2—,1一

B.-AB+-AC+-AA

332

1—.2—1—.

D.-AB--AC+-A4,

【答案】A

【解析】由題意可得:

ULIUUULUUULU]Utt]IXUttiiuuinUULTiuurumritunimriumrumnUULT

GF=GE+EF=-AE+-BC=-x-(AB+AC)+-(BC+BB)=-AB+-AC+-(AC-AB+BB)

t3221662l

101101

1UUin21UULT1UUK21UULT

=——AB+-AC+-BB,=——AB+—AC+—.故選：A.

332332

【變式3-3](23-24高二上?四川內(nèi)江?期中)如圖，在斜四棱柱ABC。-44GA中，底面ABC。是平行四邊

形，〃■為AG與BQ的交點(diǎn).若福=萬，A^=b,^A=c,則麗=()

6

Bc.l—cl——1br+

22

D.--a+—b-c

22

【答案】A

【解析】依題意，的=西+而"=麗+；甄'

=朋+；（4用―42）=：A4故選：A

題型四空間向量基本定理及應(yīng)用

【例4】（23-24高二上?重慶九龍坡?開學(xué)考試）已知向量力在基底，五弓下的坐標(biāo)是（123）,則向量，在基

底｛Z+0-瓦2｝下的坐標(biāo)為（）

A.OB.與一別C.13HD/L

【答案】B

【解析】依題意可矢口萬=￡+21+3乙

設(shè)向量〃在基底｛。+瓦〃-瓦c｝下的坐標(biāo)為（尤,y,z）,

貝lja++c=(x+y)a+(x-y)b+zc,

由空間向量基本定理得，

3

x=—

x+y=]2

<x-y=2,解得<y=-g,故選：B.

z=3

z=3

7

【變式4-1］（23-24高二上?河南南陽?期末）如圖，在三棱柱ABC-AgG中，A萬=2而，若

4則無+y+z=()

CD=xCA+yCB+zCC1,

4

A.1B.D

§-I-1

【答案】B

【解析】由題意知:

__kk2___k)

CD=cq+q4+4D=cq+CA+-4B=cq+C4+|(^4+AC+CB

7___7717__1

=CCi+C^--CCl--CA+-CB=-CA+-CB+-CC；,

又CD=xCA+yCB+zCCl,

1

24

所以y=§，則x+y+z=].故選：B.

1

Z=31

【變式4-2］（23-24高二下?江蘇連云港?月考）已知四棱柱ABCD-ABIGA的底面是平行四邊形，點(diǎn)E在線

段。C上，滿足潼=2反，EAX=xAB+yAD+zAAx,則尤+y+z=（）

2244

A.--B.-C.——D.-

3333

【答案】A

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)E在線段。C上滿足歷=2/，

由向量的運(yùn)算法則，^EDl=ED+DA+AA；=-jAB-AD+AA；,

__k.2

因?yàn)樗?xAB+yAD+zAA1,所以％=-§,y=-l,z=l,

8

2

所以尤+y+z=-§.故選：A.

【變式4-3］（23-24高二上?浙江金華?月考）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂

直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，四棱錐為陽馬，平面A3CD,且EC=2PE,若

DE=xAB+yAC+zAP,貝尤+y+z=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】在四棱錐尸-ABC。中，由EC=2PE,得厘=；無,

所以旗=麗+而=/_而+而="_配+：前=一凝_確+；由-硒

2__2—

=AB--ACk+jAP,又瓦=無而+丫宓+2/，且不共面，

22

因此x=l,y=_§,z=§,所以工+y+z=1.故選:A

題型五空間向量的共線定理及應(yīng)用

【例5】（23-24高二上?吉林延邊?期中）已知點(diǎn)4（。,-3,5）,B（0,b,2）,C（2,7,-1）,若4B,C三點(diǎn)共線,

則“，6的值分別是（）

A.-2,3B.-1,2C.1,3D.-2,2

【答案】D

【解析】因?yàn)?（。，-3,5）,8（0,瓦2）,C（2,7-1）,

所以麗=（-a,b+3,-3）,BC=（2J-b,-3）,

因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)左，使初=/肥，

所以（-0,6+3,-3）=%（2,7-4-3）,

9

-a=2k

所以＜。+3=左(7-Z?),解得左=1,〃=一23=2.故選：D

-3=-3k

【變式5-1]（23-24高二上?甘肅武威?期中）已知點(diǎn)4（-1,1,1）,B（0,2,3）,B=（a-1,6+1,2）,若直線AB//C。,

貝!|4-人=.

【答案】2

【解析】因?yàn)?（一1,1,1）,2（0,2,3）,所以須=（1,1,2）,

又AB/ICD,所以通〃麗，

又①=（。一1,6+1,2）,所以—=牛=',解得a=2力=0,故"b=2.

【變式5-2]（23-24高二上?湖北荊州?月考）設(shè)不，是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知通=2冢+病,

肥=1+3。DC=2^-^,且4瓦。三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)左的值為.

【答案】-8

【解析】因?yàn)樘?冢+3Z，成=21-瑟，

可得BD=BC+CD=（冢+3瓦）—（2冢-最）=—e[+4晟,

又因?yàn)?民￡＞三點(diǎn)共線，可設(shè)35=2而，即24+陽=2（也+4區(qū)），

___[2=-2

因?yàn)椤渡撞还簿€，可得，解得無=-8,

[k=4Z

所以實(shí)數(shù)%的值為-8.

【變式5-3]（22-23高二上?安徽?期中）（多選）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，尸為空間一點(diǎn)，且滿足

麗=4肥+〃西，貝I]（）

A.當(dāng)2=1時(shí)，點(diǎn)尸在棱上B.當(dāng)〃=1時(shí)，點(diǎn)尸在棱BG上

10

C.當(dāng)2+4=1時(shí)，點(diǎn)尸在線段用c上D.當(dāng)彳=〃時(shí)，點(diǎn)P在線段上

【答案】BCD

【解析】當(dāng)4=1時(shí)，~BP=BC+/2BBX,所以守=〃甌，

則方//西，即P在棱CG上，故A錯(cuò)誤；

同理當(dāng)〃=1時(shí)，貝U耶//前，故P在棱上，故B正確；

當(dāng)2+〃=1時(shí)，〃=1-2,所以麗=彳阮+。一彳）西，即庭=2即，

故點(diǎn)P在線段BC上，故C正確；

當(dāng)2=〃時(shí)，BP=A（BC+BB［）=ABC；,故點(diǎn)P在線段BG上，故D正確.故選：BCD.

題型六空間向量的共面定理及應(yīng)用

［例6］（23-24高二上?湖南張家界?期末）已知向量萬=（1,3,X）,a=（2,-1,3）,6=（-1,4,-2）,若萬與入B共面，

則實(shí)數(shù)2=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】由共面定理可得存在非零實(shí)數(shù)x，＞滿足萬=xa+yb,

l=2x-y卜二1

可得3=—x+4y,解得b=1,故選：C

4=3x—2y4=1

【變式6-1］（23-24高二上?北京朝陽?期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1,O,。）,8（0,1,0）,C（0,0,1）,若

點(diǎn)P（無,％-1）在平面ABC內(nèi)，寫出一個(gè)符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】尸（LL-1）（答案不唯一）

【解析】點(diǎn)尸（x，，T）在平面ABC內(nèi)，所以ABCP四點(diǎn)共面，

貝!JAP=mAB+nAC，

所以（x-L弘-1）=m（—l,l,0）+n（—1,0,1）,

x-l=-m-n

所以＜y=相,則％+y-2=0,

-l=n

所以尸（尤,y,-l）滿足尤+y-2=0即可.

11

令x=y=l,滿足尤+y-2=0,

所以符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)可以為尸（LL-1）.

故答案為：P（LL-l）（答案不唯一）.

【變式6-2］（23-24高二上?貴州貴陽?期末）若｛%瓦可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）

A.方+0瓦5—B.五,五+瓦日一2方，

C.a+b,a+b+c,cD.a+b,a-b,c

【答案】D

【解析】因?yàn)?+小?Y）=25,所以B+共面，故A不正確；

因?yàn)?（乙+5）+（7-25）=3<7,所以苕Z+5,6-25共面，故B不正確；

因?yàn)椋?+5）+1=a+5+^,所以4+5,。+5+己亍共面，故c不正確；

若&+方,乙一5,1共面，貝V=2（4+方）+〃（萬一方）=（彳+〃）萬+（2一〃）5,

rrr

則第瓦1為共面向量，此時(shí)與｛。,瓦c｝為空間的一組基底矛盾，

故無+瓦力不共面.故D正確.故選：D

【變式6-3］（23-24高二上?陜西興平?月考）已知4B、C三點(diǎn)不共線，對平面ABC外的任一點(diǎn)。，下列

條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)Z、B、。一定共面的是（）

___,_?_,_,___.1—?1—?1―.

A.OM=OA+OB+OCB.OM=-OA+-OB+-OC

C.OM^OA+^OB+^OCD.OM=2OA-OB-OC

【答案】B

【解析】M與A、B、C共面的條件是麗=工況+用5+2兀，且x+y+z=l,

故B選項(xiàng)正確，故選：B

【變式6-4］（23-24高二上?浙江杭州?期末）設(shè)平面。內(nèi)不共線的三點(diǎn)4B,C以及平面外一點(diǎn)尸，若平面

a內(nèi)存在一點(diǎn)。滿足力=工雨+（2-%）麗+3%正，則x的值為（）

12

【答案】C

【解析】?.?空間AB、C、。四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線,

x+2—x+3x=l,解得：工二-彳.故選：C

題型七空間向量的數(shù)量積問題

【例7】（23-24高二上?湖南益陽?期末）已知空間向量1+5+不=。,同=l，M=4,cosR,5）=g,則同=

A.3B.713C.V21D.21

【答案】C

［解析］由題意c=_（a+B）,同=l，M=4,cosk，5）=g,

所以同=J司2+—+2同Mcos（萬,5）=Jl+16+2xlx4xg=故選:C.

【變式7-1］（23-24高二下?甘肅?期末）在所有棱長均為2的平行六面體ABCQ-ABG2中，

Z^AS=ZA,AD=ZBAD=60°,則的長為（）

A.26B.2V5C.276D.6

【答案】C

【解析】因?yàn)榈?而+交+工1=通+而+科，

2

所以碼『=（通+而+招）=加+方+高+2ABAD+2ABAA[+2ADA\

=4+4+4+2x2x2xcos60°+2x2x2xcos60+2x2x2xcos60=4+4+4+4+4+4=24,

從而=即AG的長為2而.故選：c.

【變式7-2］（23-24高二上?河南開封?期末）如圖，在空間四邊形/BCD中，AB=3,BC=4,AD=5

13

AABC=ABAD=120°,ADIBC.

⑴求麗?就；

⑵求CD的長.

【答案】(1)-6；⑵歷

【解析】(1)因?yàn)锳E=3,BC=4,ZABC=120°,

所以說.反=網(wǎng)甌際麗,Br=3x4xcosl2(r=-6；

(2)S^CD=CB+BA+AD,

所以加『=(CB+BA+AD)2=|C§|2+|BA|2+|AD|2+2(CB-BA+BA-AD+CB-AD)

=16+9+25+2(4x3xcos60°+3x5xcos60°+4x5xcos90°)=77,

所以CO=|加卜折.

【變式7-3］（23-24高二上?貴州銅仁?月考）已知向量2=（2,-1,2）,U（1,4,1）.

⑴求幀-目的值;

(2)求向量Z+2囚與［一B夾角的余弦值.

【答案】(1)3新；(2)

3

【解析】(1)因?yàn)?=(2,-1,2),U(1,4,1),

所以2d-分=2(2,-1,2)_(1,4,1)=(3,-6,3),

所以同4732+(-6)2+32=3娓;

(2)因?yàn)椤?(2,-1,2),Z?=(1,4,1),

則Z+2B=(2,-1,2)+2(1,4,1)=(4,7,4),Zd=(2,-1,2)-(1,4,1)=(1,-5,1),

所以卜+2%"左不=9,|5-=^12+(-5)2+12=3^/3,

(4+2萬)?(〃一5)=4x1+7x(-5)+4x1=-27,

R+2B).R-B)__27__V|

設(shè)向量Z+2后與々—各夾角為夕，所以cos6=

|a+25|-|?-5|9x3拒3

14

所以向量、方與小夾角的余弦值為-鼻

題型八空間中的點(diǎn)坐標(biāo)對稱問題

[例8](23-24高二上?廣東佛山?月考)在空間直角坐標(biāo)系。孫z中，點(diǎn)B與點(diǎn)A(-3,6,l)關(guān)于平面。町對稱，

則B的坐標(biāo)為()

A.(3,6,1)B.(-3,-6,1)C.(—3,6,—ljD.(—3,-6,-1)

【答案】C

【解析】由題意在空間直角坐標(biāo)系。移z中，點(diǎn)B與點(diǎn)A(-3,6,1)關(guān)于平面Oxy對稱，

則B的坐標(biāo)為(-3,6,-1),故選：C

【變式8-1](23-24高二上?安徽?月考)在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，點(diǎn)A(3,4,5)與點(diǎn)8(-3,4,-5)()

A.關(guān)于平面xOz對稱B.關(guān)于V軸對稱

C.關(guān)于平面yOz對稱D.關(guān)于X軸對稱

【答案】B

【解析】由點(diǎn)A和點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同，其他坐標(biāo)互為相反數(shù)，故它們關(guān)于y軸對稱.故選：B

【變式8-2](23-24高二上?河北邯鄲?月考)在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(-M,2),則下列說法埼送的是

()

A.點(diǎn)尸關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為-2)

B.點(diǎn)P關(guān)于。戶平面對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1,2)

C.點(diǎn)尸在0yz平面上的射影點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1,2)

D.點(diǎn)尸在x軸上的射影點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0,0)

【答案】D

【解析】對于選項(xiàng)A：點(diǎn)尸關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為-2),故A正確；

對于選項(xiàng)B：點(diǎn)尸關(guān)于。yz平面對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為2),故B正確；

對于選項(xiàng)C：點(diǎn)尸在。丹平面上的射影點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1,2),故C正確；

對于選項(xiàng)D：點(diǎn)尸在x軸上的射影點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0,0),故D錯(cuò)誤；故選：D.

15

【變式8-3](23-24高二上嚀夏銀川?月考)(多選)在空間直角坐標(biāo)系。-邙中，以下結(jié)論正確的是()

A.點(diǎn)4-3,1,5)關(guān)于原點(diǎn)0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,-1,-5)

B.點(diǎn)413—4)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(一1,-3,4)

C.點(diǎn)P(-l,2,3)關(guān)于尤Oy平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,2,-3)

D.兩點(diǎn)M(TL2),N(1,3,3)間的距離為3

【答案】ACD

【解析】點(diǎn)4-3,1,5)關(guān)于原點(diǎn)。的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,-1,-5),A正確；

點(diǎn)A(l,3,-4)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(LT4),B錯(cuò)誤；

點(diǎn)P(-l,2,3)關(guān)于xOy平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(T2,-3),C正確；

兩點(diǎn)M(-1,1,2),NQ,3,3)間的距離為加+以+(3一以+(3-2)=3,D正確.故選：ACD

題型九利用空間向量證明平行垂直

【例9】(23-24高二上?廣東佛山?期中)如圖，在長方體ABC。-44GA中，AB=2,8C==1,及尸分

別是。C,4用的中點(diǎn).求證：

(1)四邊形BPRE為平行四邊形；

(2)與平面AE，.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析

【解析】(1)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，況，比，西?分別為xy，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(1,0,0),E(0,1,0),.(0,0,1),旦(1,2,1),F(1,1,1),B(1,2,0),

所以甌=(0,-1』)，BF=(0-1,1),所以函=喬，

又5F,2,E四點(diǎn)不共線，所以四邊形8陽也為平行四邊形.

(2)由(1)知函=(1,1,1),￡4=(1,-1,0),

所以國.甌=lx0+lx(-l)+lxl=0,鬲?麗=lxl+lx(-l)+lxO=。，

16

所以函_L甌，函_L麗，即片用_LE2，EB|_LE4,

又因?yàn)镋QcEA=E,EQ,EAu平面AEDt.

所以gEL平面AER.

【變式9-1］如圖，在直三棱柱ABC-A#G中，NABC=90。，BC=2,CQ=4,點(diǎn)石在線段即上，且網(wǎng)=1,

2凡G分別為CG、G瓦、GA的中點(diǎn).求證:

⑴平面平面ABD；

（2）平面EGF//平面ABD.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】（1）證明：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BAICB4所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則8（0,0,0）,￡＞（0,2,2）,耳（0,0,4）,￡（0,0,3）,*0,1,4）,G（0,2,4）.

設(shè)BA=a,則A（a,0,0）,A（?，0,4）,G|,1,4

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因?yàn)辂?（a,0,0）,麗=（0,2,2）,麗=（0,2,-2）,

所以電?麗=0,麗?麗=0.

所以喀，麗，B^DIBD,即BQ工BA,B,D±BD.

又BAcBD=B,BA,BDu平面ABD,所以耳D1平面ABD.

因?yàn)閝。u平面\B}D,所以平面AtBtDL平面ABD.

（2）因?yàn)榛駿F=（0,1,1）,麗=（0,2,-2）,

UUUUUUI_____

所以Bi?EG=0,BlDEF=0.

所以用OLEG,BtD±EF.

因?yàn)镋Gc所=E,EG,E/u平面EGB,所以BQ,平面EGB.

又由（1）知用DJ■平面ABO,所以平面EG///平面ABD.

【變式9-2］（2024?山西?三模）如圖，在正方體ABCD-ABJG，，中，E,F,G分別是棱48,BC,CD的

中點(diǎn).

⑴證明：6項(xiàng)|平面人46；

（2）證明：AF1C.E

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】（1）如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4,OC,￡?2分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

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不妨設(shè)AB=2,則4(2,0,0),4(2,0,2),q(0,2,2),磯2,1,0)，廠(1,2,0),G(0,1,0),

可得當(dāng)=(-2,1,2),麗=(0,0,2),芯=(-2,1,0)

河.~2z—0

設(shè)平面A/G的法向量為為=(x,y,z),貝I]，一一，

n-AG=-2x+y=0

令x=l,則y=2,z=0,可得為=(1,2,0),

1UUU

因?yàn)?-2+2=0,且EGcz平面4AG,所以C|E|呼面44G.

(2)由(1)可得：4F=(-l,2,-2),

UUUUUU

則A歹?EG=2+2-4=0,所以4尸_LC]￡\

【變式9-3］（23-24高二上?新疆昌吉?月考）如圖，在四棱錐尸-A8CO中，尸A,底面ABC。，ADVAB,

AB//DC,AD=DC=AP=2,A8=l,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).證明：

P

⑴BE//平面PAD；

（2）平面PC￡>_1_平面PAD.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】（1）因?yàn)镻AL平面ABCD,且ABu平面ABCD,所以ABLPA,

又因?yàn)锳8_LAE）,且PAcAD=A,尸AADu平面PA。，所以A3_L平面PA。，

依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB,AD,AP分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則8(1,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),P(0,0,2),

由E為棱PC的中點(diǎn),得E（U,1）,則麗=（0,1,1）,

所以福=（1,0,0）為平面PAD的一個(gè)法向量，

又就荏=（0,1,儀1,0,0）=0,所以屁J.通，

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又5E0平面PA。，所以BE〃平面PAO.

(2)由(1)知平面PAD的一個(gè)法向量通=(1,0,0),PD=(O,2,-2),DC=(2,0,0),

nPD=2y-2z=0

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為萬=(x,y,z),則，

n-DC=2x=0

令y=i,可得z=i,所以為=(o,i,i),

Xn-AB=(0,1,1X1,0,0)=0,

所以萬，麗，所以平面尸A￡>_L平面尸CD.

題型十利用空間向量求空間角

【例10】(23-24高二上?河北石家莊?月考)已知向量拓=0,2,-1)方=(f,l,T),且碗，平面/云，平面?，

若平面。與平面月的夾角的余弦值為過1,則實(shí)數(shù)/的值為()

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A.[或TB.1或1C.T或2D.-工

2