第6章實(shí)數(shù)（培優(yōu)篇）

一、單選題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）

1.V64的立方根是（）

A.2B.±2C.8D.-8

2.一個自然數(shù)的一個平方根是。，則與它相鄰的下一個自然數(shù)的平方根是（）

A.土Ja+1B.a+1

C.a~+\D.±J/+1

3.下列計(jì)算正確的是（）

A.VZ16=-4B.V16=±4C.J（一4）2=-4D.^/（-4）3=-4

4.用計(jì)算器探索：已知按一定規(guī)律排列的2。個數(shù)：工，美，t，…，7蔣’63r.如

果從中選出若干個數(shù)，使它們的和〈工，那么選取的數(shù)的個數(shù)最多是（）

A.4個B.5■個C.6個D.7個

5.已知min{a,6,c}表示取三個數(shù)中最小的那個數(shù).例如：當(dāng)工=一2時，

min）|-2|,（-2）2,（-2）3）=-8,當(dāng)min{?,x2,x}=5時，則x的值為（）

1111

A.—B.-C.—D.-

16842

6.實(shí)數(shù)x/，z在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，若|z+y|<|x+",則/,B,C,。四個

點(diǎn)中可能是原點(diǎn)的為（）

ABC

--?-----????D??-------?

XyZ

A.4點(diǎn)B.B點(diǎn)、C.C點(diǎn)、D.D點(diǎn)、

7.如圖是一個無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面說法：

①當(dāng)輸出值了為百時，輸入值x為3或9；

②當(dāng)輸入值x為16時，輸出值y為血；

③對于任意的正無理數(shù)修都存在正整數(shù)x,使得輸入x后能夠輸出y；

④存在這樣的正整數(shù)x,輸入x之后，該生成器能夠一直運(yùn)行，但始終不能輸出?值.

其中錯誤的是（）

A.①②B.②④C.①④D.①③

8.滿足、F>0.99的最小整數(shù)〃的值是（）

V?+1

A.48B.49C.50D.51

9.設(shè)a=Jj而I++a,b,c之間的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

10.無理數(shù)J2+J3+、儕在兩個相鄰的整數(shù)之間的是（）

A.5和6B.4和5C.3和4D.2和3

11.設(shè)國表示最接近*的整數(shù)&加+0.5,11為整數(shù)），則［*］+［拒］+［6］+...+［而］=（）

A.132B.146C.161D.666

12.觀察下列算式：ax=71x2x3x4+1=5,a2=72x3x4x5+1=11,

%=J3X4X5X6+1=19,它有一定的規(guī)律性，把第"個算式的結(jié)果記為％,則

1111一

1?i?,111的值是（）

ax-\a2-I%—1Q7T

A1n121C卷D.費(fèi)

A.-B.------

2360

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）

13.若（a-1）2與國！互為相反數(shù)，則a2<H8+b2019=.

14.已知5+近的小數(shù)部分是。，5-療的小數(shù)部分是6,則（0+6）加9=

15.已知》2無+1-2x-1=0,貝Ux

16.如圖，將面積為3的正方形放在數(shù)軸上，以表示實(shí)數(shù)1的點(diǎn)為圓心，正方形的邊長為半

徑，作圓交數(shù)軸于點(diǎn)A、B,則點(diǎn)A表示的數(shù)為.

17.對于任何實(shí)數(shù)a,可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[4]=4,[g]=l.現(xiàn)對72進(jìn)行如

下操作：72號二4[月]=8苣三4[&]=2第三0、31=1,類似地，只需進(jìn)行3次操作后

變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是.

18.將1,也,g,痛按下列方式排列，若規(guī)定（九〃）表示第加排從左向右第”個數(shù)，則（20,

9）表示的數(shù)的相反數(shù)是一

1第1排

J2J3第2排

.J61-J2第3排

43J61.42第4排

乖乖1壺店第5排

三、解答題（本大題共6小題，共60分）

19.（8分）

（1）計(jì)算：必7-我+卜-友|；（2）求式中的無：（x+4）2=81.

20.（8分）計(jì)算下列各題:

（1）計(jì)算:（2）計(jì)算：3x-（2+百）（2-也）+1y/~5-y/3

1+「一行「2；

21.（10分）小麗想用一塊面積為444cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為

288cm2的長方形紙片，使它的長寬之比為3:2.她的想法能實(shí)現(xiàn)嗎？為什么？

22.（10分）解決問題：已知。是的整數(shù)部分，6是而'-3的小數(shù)部分.

（1）求。，6的值；

（2）求（-。丫+伍+4『的平方根，提示：（舊了=17.

23.（12分）（1）表示實(shí)數(shù)。，6的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡代數(shù)式

+1_2|+網(wǎng)的值.

_______II_______I4I_________II_______|________

^34-1b01a23

（2）如果V7的小數(shù)部分為。，JR的整數(shù)部分為b,求a+6-e的值.

24.（12分）如圖1,把兩個邊長為1的小正方形沿對角線剪開，所得的4個直角三角形拼

成一個面積為2的大正方形.由此得到了一種能在數(shù)軸上畫出無理數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的方法.

（1）圖2中/、2兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為，；

（2）請你參照上面的方法：

①把圖3中5x1的長方形進(jìn)行剪裁，并拼成一個大正方形.在圖3中畫出裁剪線，并在圖4

的正方形網(wǎng)格中畫出拼成的大正方形，該正方形的邊長。=.（注：小正方形邊

長都為1，拼接不重疊也無空隙）

②在①的基礎(chǔ)上，參照圖2的畫法，在數(shù)軸上分別用點(diǎn)M、N表示數(shù)。以及。-3.（圖中

標(biāo)出必要線段的長）

~~-3-2-1~0~1~23~4~*

參考答案

1.A

【詳解】

先根據(jù)算術(shù)平方根的意義，求得鬧=8,然后根據(jù)立方根的意義，求得其立方根為2.

故選A.

2.D

【分析】

根據(jù)平方根定義得原數(shù)為a?,故相鄰的下一個自然數(shù)是a2+l,再求得平方根即可.

【詳解】

根據(jù)題意，平方根為a是數(shù)a?,則與它相鄰的下一個自然數(shù)是a2+l,所以它的平方根是

±7a2+1>故此題選擇D.

【點(diǎn)撥】此題考察平方根定義，這里準(zhǔn)確確定被開方數(shù)是解題關(guān)鍵.

3.D

【詳解】

試題分析：根據(jù)二次根式的意義，可知被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，因此A不正確；根據(jù)算術(shù)平方

a（。>0）

根是平方根中帶正號的，故B不正確；根據(jù)二次根式的性質(zhì)77=同={0（。=0）可知

-a（?<0）

農(nóng)彳=4,故C不正確；根據(jù)立方根的意義可知而印=-4,故D正確.

故選D

4.A

【詳解】

用計(jì)算器對上述各數(shù)進(jìn)行計(jì)算，部分計(jì)算結(jié)果列于下表中.（計(jì)算值精確到0.001）

11111

原數(shù)1

正耳V18V19V20

計(jì)算值1.0000.7070.5770.2360.2290.224

由計(jì)算結(jié)果可知，這20個數(shù)按題目中給出的順序依次減小.由于選出的數(shù)的和應(yīng)小于1,

所以應(yīng)該從最小的數(shù)開始依次選取若干個數(shù)才能滿足選取的數(shù)的個數(shù)最多的要求.

因?yàn)樽?小+&+/7"°931<1,

而志+卡卡京+京+卡”⑻>1，

所以選取的數(shù)最多是4個.

故本題應(yīng)選A.

點(diǎn)睛：

本題綜合考查了計(jì)算器的使用和規(guī)律的分析與探索.本題解題的關(guān)鍵在于結(jié)合各個數(shù)的計(jì)

算值總結(jié)出這一系列數(shù)的變化規(guī)律.在解決這一類型題目的時候，要注意先分析規(guī)律再利用

所得的規(guī)律和題意尋找突破口.盲目嘗試不僅費(fèi)時費(fèi)力而且容易出錯.

5.C

【分析】

本題分別計(jì)算?=4，X2=^,X=上的X值，找至U滿足條件的X值即可.

161616

【詳解】

解：當(dāng)正=4時，x=二，,不合題意；

16256

當(dāng)時，x=±1,當(dāng)x=時，X<x2,不合題意；

1644

當(dāng)x時，《=X2<x<4x,符合題意；

當(dāng)工='時，X2=—^-,X2<x,不合題意，

16256

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較，算術(shù)平方根及其最值問題，解決此題時，注意分類

思想的運(yùn)用.

6.D

【分析】

分①若原點(diǎn)的位置為A點(diǎn)時，②若原點(diǎn)的位置為B點(diǎn)或C點(diǎn)時，③若原點(diǎn)的位置為D點(diǎn)

時，結(jié)合有理數(shù)的加法法則和點(diǎn)在數(shù)軸上的位置分析即可得出正確選項(xiàng).

【詳解】

解：根據(jù)數(shù)軸可知

①若原點(diǎn)的位置為A點(diǎn)時，x>0,貝”z+H=z+y,\x+y\=x+y,x+y<z+y,

Tz+H>|x+y],舍去；

②若原點(diǎn)的位置為B點(diǎn)或C點(diǎn)時，x<0/

則|x+y|<|y|或|管+y|<|x|,|z+R=|z|+|了|,

.-.\z+y\>\x+y\,舍去；

③若原點(diǎn)的位置為D點(diǎn)時，x<0,y<0,z>0,|j|>|z|

則|x+y|<|y|+|x||Z+H<R,

.-.\z+y\<\x+y[,符合條件,

最有可能是原點(diǎn)的是D點(diǎn)，

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的加法法則，化簡絕對值.熟記有理數(shù)的加法法則是

解題關(guān)鍵.

7.D

【分析】

根據(jù)運(yùn)算規(guī)則即可求解.

【詳解】

解：①x的值不唯一.x=3或x=9或81等，故①說法錯誤；

②輸入值x為16時，V16=4,,V?=2,即>=血，故②說法正確；

③對于任意的正無理數(shù)y,都存在正整數(shù)x,使得輸入x后能夠輸出y,如輸入壯，故③說

法錯誤；

④當(dāng)x=l時，始終輸不出y值.因?yàn)?的算術(shù)平方根是1,一定是有理數(shù)，故④原說法正

確.

其中錯誤的是①③.

故選：D.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：兀，2兀等；開方

開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù).

8.【答案】C

【解析】由題意可知被開方數(shù)無限接近1,根據(jù)算術(shù)平方根的意義,可知上7>0.992=09801,

5049

當(dāng)n=50時，0.9804,—=0.98,因此可知最小整數(shù)n為50.

50+150

故選C.

9.A

解：?.-a^=2000+2V1003xV997,

〃=2000+2V1001xV999，

*=4000=2000+2x1000,

1003x997=1000000-9=999991,

1001x999=1000000-1=999999,

10002=1000000.

故選A.

【點(diǎn)撥】本題考查了估算無理數(shù)的大小及實(shí)數(shù)大小比較的知識，這里注意比較數(shù)的大小可以

用平方法，兩個正數(shù)，平方大的就大.此題也要求學(xué)生熟練運(yùn)用完全平方公式和平方差公

式.

10.D

【詳解】

試題分析：由題意分析可知，本題中主要考查而與相鄰數(shù)字的知識，由題知，

A/49=7>V37>V36=6,所以3>〔2++gT>,2+?>2,故該無理數(shù)在2和3之間,

所以選D

考點(diǎn)：無理數(shù)大小的比較

點(diǎn)評：本題屬于對無理數(shù)和整數(shù)的基本大小以及變換的基本知識的考查

11.B

【詳解】

分析：先計(jì)算出IS,2S,3.52,4.52,5.52,即可得出[&]+[a]+[6]+…+[回]中有2

個1,4個2,6個3,8個4,10個5,6個6,從而可得出答案.

詳解：1.52=2.25,可得出有2個1；

2.52=6.25,可得出有4個2；

3.52=12.25,可得出有6個3；

4.52=20.25,可得出有8個4；

5.5M0.25,可得出有10個5；

則剩余6個數(shù)全為6.

故]+[6]+[6]+...+//7=1x2+2x4+3x6+4x8+5x10+6x6=146.

故選B.

點(diǎn)睛本題考查了估算無理數(shù)的大小.

12.C

【分析】

先通過觀察找出第n個算式的規(guī)律為n(n+3),寫出所得代數(shù)式；再找出所求代數(shù)式的規(guī)律,

按照裂項(xiàng)法展開計(jì)算即可.

【詳解】

解：:=Jlx2x3x4+1=5=1x4+l,

a2=12x3x4x5+l=11=2x5+1,

a3=73x4x5x6+1=19=3x6+1,

觀察以上各式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，由規(guī)律可知：a4=4x7+l,a5=5><8+l,a6=6><9+La7=7><10+l

an=n(n+3)+l

驗(yàn)證：a4=74x5x6x7+1=29=4x7+1

故依次為：a5=5><8+l,a6=6><9+l,a7=7><10+l

.??an=n-(n+3)+l

1111111

----+----+----+----+----+----+-----

1x42x53x64x75x86x97x10

1-

342536475869710

1+；+1111]

3-8-9-ioJ

3

539

1080

故選：C

【點(diǎn)撥】本題考查了規(guī)律型的數(shù)字在二次根式中的應(yīng)用，觀察出數(shù)字規(guī)律或正確計(jì)算出相關(guān)

項(xiàng)并采用裂項(xiàng)法是進(jìn)行快速計(jì)算的關(guān)鍵.

13.0

【分析】

根據(jù)相反數(shù)的概念和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程，求出a、b的值，最后代入所求代數(shù)式計(jì)算即

可.

【詳解】

解：由題意得，(a-1)2+“+1=0,

貝!]a-1=0,b+l=0,

解得，a=l,b=-1,

則a2018+b2019=12018+(-1)2019=]+(-1)=0,

故答案為：0.

【點(diǎn)撥】本題考查了相反數(shù)的性質(zhì)和算術(shù)平方根非負(fù)性的性質(zhì)，正確運(yùn)用算術(shù)平方根非負(fù)性

的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

14.1

【分析】

根據(jù)4<7<9可得，2<行<3,從而有7<5+近<8,由此可得出5+近的整數(shù)部分是7,

小數(shù)部分a用5+正減去其整數(shù)部分即可，同理可得b的值，再將a,b的值代入所求式子

即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：???4<7<9,

??-2<V7<3,.--3<->/7<-2,

???7<5+V7<8,2<5-V7<3,

.??5+占的整數(shù)部分是7,5-療的整數(shù)部分為2,

??.a=5+V7-7=V7-2,b=5-V7-2=3-77>

??.(a+6嚴(yán)9=12019=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確得出各數(shù)的小數(shù)部分是解題關(guān)鍵.

15.0或-1或-g

【分析】

將原方程變形得到花工1=2x+l,根據(jù)一個數(shù)的立方根等于它本身得到這個數(shù)是0或1或

-1,由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案.

【詳解】

?.,42x+l-2x-1=0,

■■-y/2x+\=2x+l,

?■-2x+l=1或2x+l=-1或2x+l=0,

解得x=0或x=-1或x=-3.

故答案為：0或-1或-，

【點(diǎn)撥】此題考查立方根的性質(zhì)，解一元一次方程，由立方根的性質(zhì)得到方程是解題的關(guān)鍵.

16.1-73.

【分析】

利用正方形的面積公式求出正方形的邊長，再求出原點(diǎn)到點(diǎn)A的距離（即點(diǎn)A的絕對值）,

然后根據(jù)數(shù)軸上原點(diǎn)左邊的數(shù)為負(fù)數(shù)即可求出點(diǎn)A表示的數(shù).

【詳解】

???正方形的面積為3,

正方形的邊長為君，

??.A點(diǎn)距離0的距離為

???點(diǎn)A表示的數(shù)為1-道.

【點(diǎn)撥】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解決本題時需注意圓的半徑即是點(diǎn)A到1的距離，而求A

點(diǎn)表示的數(shù)時，需求出A點(diǎn)到原點(diǎn)的距離即A點(diǎn)的絕對值，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)和數(shù)軸上

點(diǎn)的特征求解.

17.255

【詳解】

解：「［GFI，［乖］=3，［血石］=15,所以只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，

最大的是255.故答案為255.

點(diǎn)睛：本題考查了估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的閱讀能力和逆推思維能力.

18.Y

【分析】

根據(jù)數(shù)的排列方法可知，第一排：1個數(shù)，第二排2個數(shù).第三排3個數(shù)，第四排4個

數(shù)，…第m-1排有(m-1)個數(shù)，從第一排到(m-1)排共有：1+2+3+4+...+(m-1)個數(shù),

根據(jù)數(shù)的排列方法，每四個數(shù)一個輪回，根據(jù)題目意思找出第m排第n個數(shù)到底是哪個數(shù)

后再計(jì)算.

【詳解】

(20,9)表示第20排從左向右第9個數(shù)是從頭開始的第1+2+3+4+...+19+9=199個數(shù)，

???199+4=49..…3,即1,6，百，卡中第三個數(shù)：有，

???V3的相反數(shù)為-石

故答案為-VL

【點(diǎn)撥】此題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對于找規(guī)律的題目

找準(zhǔn)變化是關(guān)鍵.

19.(1)V2;(2)x=5或x=-13

【分析】

(1)分別計(jì)算算術(shù)平方根、立方根、絕對值，再進(jìn)行加減即可；

(2)根據(jù)平方根的意義，計(jì)算出x的值.

【詳解】

解：(1)原式=3-2+收-1

=A/2;

(2)由平方根的意義得：

x+4=9或x+4=-9

?,?%=5或%=-13.

【點(diǎn)撥】本題考查了平方根意義和實(shí)數(shù)的運(yùn)算.題目難度不大，掌握平方根、立方根、絕對

值的意義是解決本題的關(guān)鍵.

20.(1)2；(2)V5-1

【分析】

(1)根據(jù)負(fù)指數(shù)幕，絕對值的性質(zhì)和二次根式化簡計(jì)算即可;

(2)根據(jù)平方差公式和二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可;

【詳解】

(1)原式=3+a-1一a=2;

(2)原式=3x也一4+3+右-石=石-1：

3

【點(diǎn)撥】本題主要考查了實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，結(jié)合負(fù)指數(shù)塞，平方差公式，絕對值性質(zhì)計(jì)算是解

題的關(guān)鍵.

21.能

【分析】

設(shè)裁出長方形紙片的長為3x,則它的寬為2x,根據(jù)面積公式列出方程解答即可求出x的值,

再代入長寬的表達(dá)式，看是否符合條件即可.

【詳解】

解：能實(shí)現(xiàn).

設(shè)裁出長方形紙片的長為3xa〃，寬為2xcm,

貝l]3xa=288,

6x2=288,x2=48,

x=V48

長方形的長為3灰c"z.

,??面積為444cm2的正方形邊長為血石cm,

???(3A/48)2=432<444

...3748<V444，

這一想法能實(shí)現(xiàn).

【點(diǎn)撥】解答本題的關(guān)鍵是列出方程，根據(jù)算術(shù)平方根定義求出解后，對照題意比較裁出長

方形紙