專題05復數(shù)+統(tǒng)計+概率（期末壓軸專項訓練22題）

一、復數(shù)模的最值范圍問題

1.設復數(shù)4Z?滿足㈤=閭=2，馬WJ|Z|-Z2|=（）

A.2GB.6C.2D.1

【答案】A

【知識點】余弦定理解三角形、求復數(shù)的模、復數(shù)的坐標表示

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義得到對應向量的表示，再結合向量的平行四邊形法則以及余弦定理求解出

匕-4|的值.

【詳解】設4*2在復平面中對應的向量為。Z1,OZ2,Z|+z?對應的向量為OZ3,如下圖所示：

因為Z）+馬=石+i,所以|馬+Z2I=/3+1=2,所以COS/O4Z3=2；j—"=；，

又因為NOZZ+NZ0Z2=18（）。，所以cos/Z0Z2=-cosZOZ,Z3

2

J9f以卜22j=OZ,+07\-2OZ,.OZ??cos/%OZ2=4+4+4=12,

所以區(qū)乙|=20.又憶—z」=|Z2Z,|=2X/3,

故選:A.

2.如果復數(shù)z滿足|z+2i|+|z-卻=4,那么|z+i+l|的最小值是（）

A.1B.V2C.2D.75

【答案】A

【知識點】求復數(shù)的模、與復數(shù)模相關的軌跡（圖形）問題

【分析】直接利用復數(shù)模的幾何意義求出z的軌跡.然后畫圖求解即可.

【詳解】設復數(shù)-2i,2i,Tl+i）在復平面內對應的點分別為Z-Z2,Z3,

因為|z+2i|+|z—2i|=4,|ZZ2|=4,

所以復數(shù)z對應的點Z的集合線段Z|Z”如圖所示，

所以求|z+i+l|的最小值的問題轉化為：動點Z在線段Z|Z?上移動，求|ZZJ的最小值.

因此作Z，ZO_LZZ2于Z°,則4與Z。的距離即為所求的最小值，|Z°Z3|=1,

故|z+i+l|的最小值是1.

故選：A.

如

2Z

—21Z\

3.設復數(shù)z滿足=則|z+l|的范圍是

【答案】U，3］

【知識點】與復數(shù)模相關的軌跡（圖形）問題

【分析】根據(jù)復數(shù)模的幾何意義，結合圓的幾何性質進行求解即可.

【詳解】設z=x+yiCD，wR）,因為|zT|=l,

所以有（x-l）2+y2=i,該方程表示圓心為（1,0）,半徑為1的圓，

而|z+l|=J（x+l）2+y2,它表示圓（％-1）2+，=1上的點到（-1,0）的距離,

因為兩點（1.0）、（-1,0）的距離為2,圓的半徑為1,

所以2—1引z+l|?2+lnl?|z+l|<3,

因此|z+l|的范圍是［1,3］,

故答案為：［1,3］

4.復數(shù)z滿足|z-2-2i|=&,則復數(shù)z的模的范圍是

【答案】［3,30］

【知識點】與復數(shù)模相關的軌跡（圖形）問題

【分析】利用復數(shù)的幾何意義得z對應的點的軌跡為以（2,2）為圓心半徑為拉的圓，將題意忖轉化為圓上

的點到原點的距離，進而可得結果.

【詳解】|2-2-2"=也表示2對應的點的軌跡為以（2,2）為圓心半徑為血的圓，

故復數(shù)z的模即圓上的點到原點的距離，則|九、=2&+夜=3&,國的=2叵-也=也,

故z的模的范圍是

故答案為：［a,3垃］

5.已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z滿足|z-4i|=2,則|z-l|的取值范圍是.

【答案】［如一2,如+2］

【知識點】定點到圓上點的最值（范圍）、與復數(shù)模相關的軌跡（圖形）問題

【分析】根據(jù)給定條件，求出復數(shù)z在復平面內對應點的軌跡，再利用幾何意義求出范圍.

【詳解】由|z-4i|=2,得復數(shù)z在復平面內對應點Z的軌跡是以點。(0,4)為圓心，2為半徑的圓，

|z-l|是點Z到定點41,0)的距離，而|C4|=5/萬，因此|Z41n萬一2,|Z411mx=>/萬+2,

所以|z-l|的取值范圍是[&7-2,舊+2].

故答案為：[J萬-2,J萬+2]

6.若xeR,則|2-cosx-sin,vi-i|的最小值為

【答案】75-1/-I+75

【知識點】求復數(shù)的模、三角函數(shù)的化簡、求值一一同角三角函數(shù)基本關系、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最

值、輔助角公式

【分析】根據(jù)復數(shù)的模的公式求|2-cosx-sinxi-i|,再結合三角函數(shù)知識求其最小值.

【詳解】因為|2—cosx-sin.ri-i|=^(2-cosx)2+(-1-sinx)2

所以|2-85工一§1"-”=”-4(：05；工+8§2x+l+2sinx+sin2x,

化簡得.|2—cosr—sinn—i|=j6+2sinx—4cc*x

所以|2-(：05工一$皿3一"=(6+2>/^sinxx。一cosxx,

設cos"且,sin"，

55

貝lj|2-cosx-sinxi-i|=(6+2布sin(x-6)>56-=石一I,

當且僅當sin(x〃)=1時等號成立，止匕時sinx=-且,cosx=邁，

55

所以|2-cosx—sinxi-i|的最小值為,

故答案為：百-1.

7.已知復數(shù)4修滿足馬+21=3-ijz2-z.|=l,則|z「2i|的最大值為.

【答案】0+1/1+應

【知識點】與復數(shù)模相關的軌跡(圖形)問題、根據(jù)相等條件求參數(shù)

【分析】設出4的代數(shù)形式，利用更數(shù)相等求出4,再借助夏數(shù)的幾何意義求解即得.

【詳解】設復數(shù)4="+阮a,)eR,由Z]+2[=3-i,得。+加+2伍一加)=3-i,

整理得3a-歷=3-i,于是3a=3,f=-l,即。=11=1,z,=l+i,

由心一4|=1,得復平面內表示復數(shù)z2的對應點在以表示復數(shù)4的對應點(1,1)為圓心，1為半徑的圓上,

區(qū)-可表示這個圓上的點到表示復數(shù)2i的對應點(()⑵的距離，

距離的最大值是J(l-0)2+(I-2。+1=72+1.

泅，x,s：；“，＞,只記總的樣本平均數(shù)為石，樣本方差為一,則

S2=6同—方卜小泊R⑹》

m+n

【答案】⑴4=0.025,第80百分位數(shù)為86

（2”=63,總方差23.

【知識點】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算、由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容

量、總體容量、估計總體的方差、標準差、總體百分位數(shù)的估計

【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)定義利用頻率分布直方圖計算可得結果；

（2）代入由樣本方差計算總體方差的公式計算可得結果.

【詳解】（1）由題意知0.05+0.1+0.2+0.3+104+0.1=1,解得4=0.025：

成績在［40,80）的頻率為0.65,成績在［40,90）的頻率為0.9,

故第80百分位數(shù)在(80,90)之間，則0.65+(〃?-80)x0.025=0.8,

解得〃?=86,

故第80百分位數(shù)為86；

（2）由頻率分布直方圖知，這100份答卷分數(shù)在［50,60）的份數(shù)為l（X）x（）.1=10,

分數(shù)在［60.70）的份數(shù)為100x0.2=20,

57x10+66x20

所以W二=63

30

總方差一淅IOx7+(57-63)[+20[4+(66-63)[卜23.

2.坐位體前屈是中小學體質健康測試項目，主要測試學生軀干、腰、髓等部位關節(jié)韌帶和肌肉的伸展

性、彈性及身體柔韌性，在對某高中2000名高二年級學生的坐位體前屈成績的調查中，采用按學生性別

比例分配的分層隨機抽樣抽取100人，已知這2000名高二年級學生中男生有1200人，旦抽取的樣本中男

生的平均數(shù)和方差分別為13.2cm和13.36,女生的平均數(shù)和方差分別為15.2cm和17.56.

⑴求樣本中男生和女生應分別抽取多少人；

⑵求抽取的總樣本的平均數(shù)，并估計高二年級全體學生的坐位體前屈成績的方差.

（參考公式：總體分為2層，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：入冗s；,〃”叉記總

樣本的平均數(shù)為了，樣本方差為S2,則/=」一元-制尸］+〃2居+，-⑹［｝）

【答案】（1）60；40

（2）平均數(shù)為14cm,16.

【知識點】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算、計算幾個數(shù)的平均數(shù)、估計總體的方差、標

準差

【分析】（1）根據(jù)樣本與總體可確定抽樣比，根據(jù)抽樣比可確定抽取男生60人，女生40人；

(2)利用公式求抽取的總樣本的平均數(shù)和方差，從而估計總體的方差.

【詳解】⑴設在男生、女生中分別抽取“，名和"名，則^^房面二蒜.

解得〃?=60,〃=40.

(2)記抽取的總樣本的平均數(shù)為石，可得而=Mxl3.2+^x[5.2=14(cm),

1001()0

所以抽取的總樣本的平均數(shù)為14cm.

男生樣本的平均數(shù)為元=13.2,樣本方差為s；=13.36；

女生樣本的平均數(shù)為》=15.2,樣本方差為學=17.56；

記總樣本的樣本方差為J，則/=擊色0乂口3.36+(13.2—14)[+40乂[17.56+(15.2-14)2]}=16

所以估計高三年級全體學生的坐位體前屈成績的方差為16.

3.錦繡瀟湘?大美永州，據(jù)統(tǒng)計，零陵古城在今年“五一”當天吸引游客達12萬人次，同比大幅增長.當?shù)?/p>

旅游主管部門為了更好的為游客服務，在景區(qū)隨機發(fā)放評分調查問卷100份，并將問卷評分數(shù)據(jù)分成6

組：[70,75),[75,,80),[80,85),[85.90),[90,95),[95,100],繪制如圖所示頻率分布直方圖.

⑴已知樣本中分數(shù)在[80,85)的游客為15人，求樣本中分數(shù)小于80的人數(shù)，并估計第75百分位數(shù)；

⑵已知樣本中男游客與女游客比例為3:2,男游客樣本的平均值為90,方差為10,女游客樣本平均值為

85,方差為12,由樣本估計總體，求總體的方差.

參考公式：分層抽樣中兩組數(shù)據(jù)X,)，的抽樣比例是巴，則總樣本方差

m

52=」一卜：+「一丁]+』一|'￡+「一?1,其中I為總樣本平均數(shù).

n\m\,'7Jn\m\,''J

【答案】⑴樣本中分數(shù)小于80的人數(shù)為10人，第75百分位數(shù)約為94

唁

【知識點】由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量、估計總體的方差、標準差、總體百

分位數(shù)的估計

【分析】(1)由頻率分布直方圖求得分數(shù)在[85,100]內的頻率為0.75,進而求得分數(shù)小于80分的人數(shù)，設

x-900.2

第75百分位數(shù)為工，得到—=蕊，即可求解.；

(2)根據(jù)分層抽樣的平均數(shù)和方差的計算公式，即可求解.

【詳解】(1)解：由頻率分布直方圖，可得分數(shù)在［85,100］內的頻率為(0.06+0.05+().04>5=0.75,

所以分數(shù)在［85J00］內的人數(shù)為100x0.75=75,

所以分數(shù)小于80分的人數(shù)為100-75-15=10,

由題意可設第75百分位數(shù)為1，其中xw［90,95),則三次=殍，解得x=94,

故樣本中分數(shù)小于80的人數(shù)為10人，第75百分位數(shù)約為94.

(2)解：由已知可得總樣本平均值為W=」-7+'Lm=2x90+義x85=88,

m+nm+n2+32+3

m

又由S?=+----

n+m

=+[1()+(88-90)2]+合[12+(88-85)2]=424284

所以用樣本估“總體，總體的方差約為多.

4.某大型企業(yè)為員工謀福利，與某手機通訊商合作，為員工辦理流量套餐.為了解該企業(yè)員工手機流量使

用恃況，通過抽樣，得到100名員工近一周每人手機日平均使用流量七(單位：M)的數(shù)據(jù)，其頻率分布

直方圖如圖：

■頻率/組距

0.035..................................

0.025.............................

0.022....................

0.00^—?-------------------------------

0.002v--------------------------------------1

u1002003004(X)5006007(X)M

若將每位員工的手機日平均使用流量分別視為其手機口使用流量，回答以下問題.

⑴求這100名員工近一周每人手機日使用流量的眾數(shù)、中位數(shù)；

⑵在辦理流量套餐后，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男員工

20名，其手機日使用流量的平均數(shù)為800M,方差為10000：抽取了女員工40名，其手機日使用流量的平

均數(shù)為1100M,方差為40000.

(i)已知總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：加，

x,y,記總的樣本平均數(shù)為石，樣本方差為$2.證明:

s2=----s；+(x-rw)+ns；+（y-69）

m+〃(L'7

(ii)用樣本估計總體，試估計該大型企業(yè)全體員工手機日使用流量的平均數(shù)和方差.

【答案】⑴眾數(shù)450,中位數(shù)為380

(2)(i)證明見解析；(ii)平均數(shù)1000M,方差50000

【知識點】由頻率分布直方圖估計中位數(shù)、計算幾個數(shù)的平均數(shù)、估計總體的方差、標準差、根據(jù)頻率分

布直方圖計算眾數(shù)

【分析】(1)由頻率分布直方圖中眾數(shù)為最高矩形橫坐標的中點，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積相等

可解;

(2)(i)根據(jù)方差的定義，證明總樣本方差公式；

(ii)利用總樣本平均數(shù)和方差公式可解.

【詳解】(1)估計這100名員工近一周每人手機日使用流量的眾數(shù)450

由頻率分布直方圖可知流最少于300M的所占比例為30%,流量少于400M的所占比例為55%,所以抽取

的100名員工近一周每人手機日使用流量的中位數(shù)在［300,400)內，且中位數(shù)為

300+(400-300)x°5-°3=380.

0.55-0.3

(2)(i)證明：根據(jù)方差的定義，總樣本的方差為

S'W力■-可+6（力-司

m十〃1-1/-I

-x+x-co+X（y,；_y+y_3）

7=>

1mm/_n___n__

E（苦―+Z2（X.-X）（A-⑼+z（x—0）2+Z（另一）'>+Z2（F—y）（y-⑼+Z（）‘_69y

m+nr=li=lJ=Ij=lJ=lj=1

m_切_

由Z七一"次=。，可得

i=l/=1

同理可得汽2()，「)，心-同=0

J=i

￡(匕-刁+支(>可

因此一+

>=>；=1

(ii)估計該大型企業(yè)全體員工手機日使用流量的平均數(shù)為

-20x800+40x1100

co=---------------=1000M

20+40

由（i）知，估計該大型企業(yè)全體員工手機日使用流量的方差為

.阿10000+(800-1000)[+叫40000+(1100-1000『]}=500Go

5.4月23日是世界讀書日，樹人中學為了解本校學生課外閱讀情況，按性別進行分層，用分層隨機抽樣

的方法從全校學生中抽出一個容量為100的樣本，其中男生40名，女生60名經調查統(tǒng)計，分別得到40

名男生一周課外閱讀時間（單位，小時）的頻數(shù)分布表和60名女生一周課外閱讀時間（單位：小時）的

頻率分布直方圖：（以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值）女生一周自讀時間頻率分布直方圖

⑴從?周課外閱讀時間為［4,6）的學生中按比例分配抽取6人，則男生，女生各抽出多少人?

⑵分別估計男生和女生一周課外閱讀時間的平均數(shù)元

⑶估計總樣本的平均數(shù)乞和方差S?.

參考數(shù)據(jù)和公式;男生和女生一周課外閱讀時間方差的估計值分別為扁=2.4和4=3.

=X-X+X-Z+VZ

77J；［E（/）X（）+Z（^--y）E（--），芭（。工注40）和y（OWiW6O）分別表示男生和

女生一周閱讀時間的樣本，其中ieZ.

【答案】（1）男生1人，女生5人

（2）X=3，丁=4

⑶z=3.6,$2=3

【知識點】抽樣比、樣本總晟、各層總數(shù)、總體容量的計算、由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容

量、總體容量、由頻率分布直方圖估計平均數(shù)、估計總體的方差、標準差

【分析】（1）首先求出［4,6）中女生的人數(shù)，再利用分層抽樣計算規(guī)則計算可得；

（2）根據(jù)平均數(shù)公式計算可得；

（3）首先求出總體的平均數(shù)，再根據(jù)所給公式及數(shù)據(jù)求出總體的方差.

【詳解】（1）一周課外閱讀時間為［4,6）的學生中男生有3人，女生有Jx2x60=15人,

O

315

若從中按比例分配抽取6人，則男生有6x^7T=1人，女生有6xL7T=5人

（2）估計男生一周課外閱讀時間平均數(shù)1=1X9-3X25：5X3+5X3=3：

40

1|11

估計女生一周課外閱讀時間的平均數(shù)戶占X2xl+；x2x3+：x2x5+=x2x7=4.

244812

_3x40+4x6（）

（3）估計總樣本的平均數(shù)z=，°口=36,

10（）

,60=3x60=180,

z)2=40x(33.6f=14.4,-z)2=60x(4-3.6)2=9.6,

了.?=-1-[96+14.4+9.6+180]=3,

所以估計總樣本的平均數(shù)三=3.6,方差f=3.

三、獨立事件

1.先后兩次拋擲一枚質地均勻且六個面分別標有數(shù)字12,3,4,5,6的正六面體骰子，觀察并記錄骰子朝上面

的點數(shù).若甲表示事件”第一次的點數(shù)大于4〃，乙表示事件“兩次點數(shù)之和為T,丙表示事件“至少有一次的

點數(shù)為4〃，則（）

A.甲與乙互斥B.乙與丙互斥

C.甲與乙獨立D.乙與丙獨立

【答案】C

【知識點】判斷所給事件是否是互斥關系、寫出基本事件、計算古典概型問題的概率、獨立事件的判斷

【分析】根據(jù)事件互斥、古典概型和事件獨立性判斷各個選項；

【詳解】先后兩次拋擲一枚質地均勻且六個面分別標有數(shù)字1,234,5,6的正六面體骰子的樣本點共有

6x6=36個，

甲表示事件”第一次的點數(shù)大于4〃的樣本點有

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）,12個，

乙表示事件"兩次點數(shù)之和為7〃的樣本點有（L6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）,6個，

丙表示事件“至少有一次的點數(shù)為4〃的樣本點有

（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,（1,4）,（2,4）,（3,4）,（5,4）,（6,4）,114-；

對于A,事件甲與事件乙都包含（5,2）,（6,1）,所以甲乙不互斥，A錯誤；

對于B,事件乙與事件丙都包含（3,4）,（4,3）,所以乙丙不互斥，B錯誤；

對于C,事件甲的概率為P（甲）事件乙的概率為P（乙）二24,事件甲與事件乙同時發(fā)生的概率為

363366

21

P（甲乙）=三二《，

3618

因為尸（甲）尸（乙）二＞4二=p（甲乙），所以甲與乙獨立，c正確：

3618

一

對于D,事件丙的概率P（丙I1事件丙與事件乙同時發(fā)生的概率為P（丙乙尸三2二工1;，

3636I8

因為P（丙）P（乙）HP（丙乙），所以乙與丙不獨立，D錯誤；

故選：C.

2.從甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中隨機選兩個人參加某個比賽，A表示事件“甲被選中參加比賽〃，

8表示事件“乙沒被選中參加比賽"，C表示事件“被選中的兩個人性別相同〃，則（）

A.A與區(qū)互斤B.A與〃獨立C.4與。互斥D.A與。獨立

【答案】D

【知識點】判斷所給事件是否是互斥關系、計算古典概型問題的概率、獨立事件的判斷

【分析】利用古典概型求P（A）,P（5）,P（C）,P（AB）,P（AC）,再根據(jù)互斥事件和獨立事件的定義逐項分析

判斷.

【詳解】由題意可知：隨機選兩個人參加某個比賽，可知：

樣本空間C：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，?。?，（丙，T）,

則〃（Q）=6,

事件A：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），則〃（4）=3,。（4）=^=3；

事件8：（甲，丙），（甲，丁），（丙，?。?，則〃（用=3,P（B）=喘=：：

事件C：（甲，乙），（丙，?。?，則〃（C）=2,*。）=嘿=；；

/\/、n(AB)1

事件A&(甲，丙)，(甲，丁)，則〃(A8)=2,P(4B)=點^=鏟

/、/八、n(ACyI

事件AC(甲，乙)，則〃(AC)=1,P(AC)=-^=-.

對于選項A：因為〃(A8)=2H0,可知A與8不互斥，故A錯誤；

對于選項B：因為*4?)工P(A)P(8),所以A與8不獨立，故B錯誤：

對于選項C：因為/2(AC)X。，可知A與。不互斥，故C錯誤；

對于選項D：因為P(4C)=P(A)P(C),可知人與C獨立，故口正確；

故選:D.

3.(多選)先后兩次擲一枚質地均勻的骰子，A表示事件“兩次擲出的點數(shù)之和是3〃，8表示事件“第二

次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”，。表示事件〃兩次擲出的點數(shù)相同〃，D表示事件“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”，則()

A.A與C互斥B.3與。對立

C.A與A獨立D.8與C獨立

【答案】ACD

【知識點】判斷所給事件是否是互斥關系、確定所給事件的對立關系、計算古典概型問題的概率、獨立事

件的判斷

【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件、對立事件、相互獨立事件的定義逐項判斷即可.

【詳解】試驗的樣本空間門={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),。,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(Z5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6\

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6.2),(6,3),(6,4),(6,5),(6.6)),

事件A={(1,2),(2,1)},B={(1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),

(4,2),(4,4),(4,6),(5,2),(5,4),(5,6),(6,2),(6,4),(6,6)},C={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},

對于A,事件A與C沒有公共的基本事件，A與C互斥，A正確；

對于B,晶然(1,2)是3中元素，也滿足事件。，即8與D可以同時發(fā)生，B錯誤：

O11Q11

對于C,P(A)=—=—,P(B)=—=-,A3={(1,2)},P(AB)=—=P(A)P(B),A與8獨立，C正確：

361836236

對于D,={(2,2),(4,4),(6,6)),P(C)=—=-,P(BC)=A=±=p(B)P(C),A與C獨立，D正確.

3663612

故選:ACD

4.(多選)拋擲一紅一綠兩枚質地均勻的骰子，記骰子向上的點數(shù).用X表示紅色骰子的點數(shù)，用y表示

綠色骰子的點數(shù)，用(.")表示一次試驗的結果.記“x+y=7”為事件A,“個是奇數(shù)〃為事件4,“x>3〃為事

件C,則()

A.A與B互斥B.A與8對立C.A與。相互獨立D.B與C相互獨立

【答案】AC

【知識點】互斥事件與對立事件美系的辨析、獨立事件的判斷

【分析】利用對立事件、互斥事件、相互獨立事件的定義直接求解.

【詳解】對于A,事件4="x+y=7〃包含的基本事件有：（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）,

事件3="孫為奇數(shù)”，包含的基本事件有：（口）,（1,3）,（1,5）,（3,1）,（3,3）,（3,5）,（5,1）,（5,3）,

（5,5）,

A與3不能同時發(fā)牛.，是互斥事件，故A正確；

對于B,A與6不能同時發(fā)生，且能同時不發(fā)生，不是對立事件，故B錯誤；

對「C、D,=-^-=7?P（B）=Z^Z=J，=P（AC）=Z^Z=3，

6x666x646x626x612

P（A）-P（C）=-xl=—,P（AC）=P（A）?P（C）,P（BC）=—=—^P（B）P（C）,

62126x612

3與C不相互獨立，A與C獨立，故C正確，D錯誤.

故選：AC.

5.（多選）連續(xù)擲一枚質地均勻的骰子兩次，記事件甲為“第一次擲出的點數(shù)為1〃，事件乙為“第二次擲

出的點數(shù)為6〃，事件丙為“兩次擲出的點數(shù)之和為6",事件丁為“兩次擲出的點數(shù)之和為7",則（）

A.甲與乙相互獨立B.甲與丙相互獨立C.甲與丁相互獨立D.乙與丁相互獨立

【答案】ACD

【知識點】獨立事件的判斷

【分析】由題意，求出P（甲）,P（乙）1（丙）,P（丁）,P（甲乙）,P（甲丙），P（甲丁）,P（乙?。?/p>

再由相互獨立事件的概念,即如果P（A8）=P（A）P（8）,則事件A與事件〃相互獨立，對選項進行判斷即可.

【詳解】由題意，

p（甲）=]p（乙）=]a丙）=1,P（?。?1P（甲乙）=幺P（甲丙）=±,p（甲?。?幺p（乙?。?1,

6636636363636

因為P（甲）尸（乙）=P（甲乙）,P（甲）P（?。┒（甲丁）,P（乙）P（?。?P（乙丁），

P（甲）P（丙）wP（甲丙），所以甲與乙相互獨立，甲與丁相互獨立，乙與丁相互獨立，甲與丙不相互獨立.

故選：ACD.

6.（多選）一只不透明的口袋內裝有9張卡片，上面分別標有數(shù)字1,2,3,9.從袋中任意抽取1張

卡片,記“抽出的卡片號為1,4,7”為事件A,“抽出的卡片號小于7”為事件〃，“抽出的卡片號大于7”記

為事件。.下列說法正確的是（）

A.事件A與事件。是互斥事件B.事件A與事件B是互斥事件

C.事件A與事件3相互獨立D.事件8與事件C是對立事件

【答案】AC

【知識點】判斷所給事件是否是互斥關系、確定所給事件的對立關系、計算古典概型問題的概率、獨立事

件的判斷

【分析】根據(jù)題意利用列舉法求QARC和P（A）,P（B）,結合互斥事件、獨立.事件和對立事件的定義逐

項分析判斷.

【詳解】由題意可知：樣本空間Q={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,4,7},A={1,2,3,4,5,6},C={8,9},

則〃（。）=9,〃（4=3,〃（6）=6,可得P（A）=^=§，P（B）=扁=§，

對于選項A：因為AC=0,所以事件人與事件C是互斥事件，故A正確；

對于選項B：因為A6={l,4}x0,所以事件人與事件〃不是互斥事件，故8錯誤；

對于選項C：由選項B可知〃（A3,|=2,則。缶4）=點寸=§,

可知尸（A8）=尸（4）P（3）,所以事件人與事件3相互獨立，故C正確；

對于選項D：因為8=C={1,2,3,4,5,6,8,9}HC.

所以事件3與事件C不是對立事件，故D錯誤；

故選:AC.

7.（多選）連續(xù)地擲一枚質地均勻的股子兩次，記錄每次的點數(shù)，記事件A為“第一次出現(xiàn)2點〃，事件8

為“第二次的點數(shù)小于等于4點〃，事件C為“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)〃，事件。為“兩次點數(shù)之和為9”，則下列

說法正確的是（）

A.A與8不是互斥事件B.8與。相互獨立

C.A與A相互獨立D.A與C相互獨立

【答案】ACD

【知識點】判斷所給事件是否是互斥關系、獨立事件的判斷

【分析】根據(jù)互斥事件及相互獨立事件的定義一一判斷即可.

【詳解】如第一次出現(xiàn)2點，第二次出現(xiàn)1點，此時事件A、8均發(fā)生，所以A與4不是互斥事件，故A正

確；

依題意.（A）=，，P（/^）=-=-,P（C）=-xl+lxl=l,P（D）=—=1,

V76-63',22222V76x69

41

又P（A3）=E=§=P（A）P（8）,即A與笈相互獨立，故c正確；

31

P（AC）=—=—=P（A）P（C）,即A與C相互獨立，故D正確;

3612

?1

P（BD）=2=《WP（8）P（。），即A與。不相互獨立，故B錯誤.

3618

故選：ACD

8.某公司擬通過摸球抽獎的方式對員工發(fā)放生日紅包.先在一個不透明的袋子中裝入7個標有一定金額的

球（除標注的金額不同外，其余均相同），其中