第八單元數(shù)學(xué)廣角一一數(shù)與形

【思維導(dǎo)圖+知識點講解+鞏固練習(xí)】

守思維導(dǎo)圖

知識點一：從圖形中抽象出數(shù)的規(guī)G

,（知識點二：從數(shù)的規(guī)律聯(lián)想到圖形的變化

^（知識點三：利用圖形直觀解釋數(shù)的運(yùn)算或變化趨涼

知識點四：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問迤

一，〔■知識點講解

知識點一：從圖形中抽象出數(shù)的規(guī)律

1.意義/方法：通過觀察由小正方形拼成的大正方形或其他圖形的個數(shù)變化，發(fā)現(xiàn)其中隱藏的

數(shù)的規(guī)律。

例1（連續(xù)奇數(shù)的和）：

1個小正方形：1=I2

1+3個小正方形：1+3=4=22（組成2x2的大正方形）

1+3+5個小正方形：1+3+5=9=32（組成3x3的大正方形）

1+3+5+7個小正方形：1+3+5+7=16=4?（組成4x4的大正方形）

規(guī)律：從1開始的n個連續(xù)奇數(shù)相加的和等于n的平方,即l+3+5+...+（2n-l）=n2o

例2（從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和與三角形數(shù)）：

10

1個小圓圈：1

1+2個小圓圈：3

1+2+3個小圓圈：6

1+2+3+4個小圓圈：10

規(guī)律：從1開始的前n個連續(xù)自然數(shù)的和是n（n+l）/2,這些數(shù)也被稱為“三角形數(shù)工

易錯點提示：

「?規(guī)律找錯：容易將連續(xù)奇數(shù)的和與連續(xù)偶數(shù)的和，或者與連續(xù)自然數(shù)的和混淆。關(guān)鍵在于

??

|仔細(xì)觀察圖形是如何構(gòu)成的，是每次增加幾個，增加的數(shù)有什么特點。

卜.11的確定錯誤：在“1+3+5+...+（241）=112"中，［］代表的是奇數(shù)的個數(shù)，而不是最后一個

;奇數(shù)。例如1+3+5,有3個奇數(shù)，n=3,和是32=9。不要誤認(rèn)為最后一個奇數(shù)是幾，n就是幾。

13.計算錯誤：在根據(jù)規(guī)律計算較大數(shù)的和時，容易出現(xiàn)計算錯誤，尤其是當(dāng)n較大時。I

L________________________________________________________________________________________I

知識點二：從數(shù)的規(guī)律聯(lián)想到圖形的變化

1.意義/方法：根據(jù)給出的數(shù)列或算式，分析其內(nèi)在規(guī)律，并嘗試用圖形（如線段、小棒、圓

圈等）來直觀地表示這個規(guī)律或算式的意義。

例：

△A7AA

擺1個三角形需要3根小棒。

擺2個獨立的三角形需要6根小棒（3x2）。但如果是擺2個連著的三角形（共用一條邊），則

需要3+2=5根小棒。

擺3個連著的三角形，則需要3+2x2=7根小棒。

規(guī)律：擺n個連著的三角形需要小棒根數(shù)：3+2（n-l）=2n+l0這里的數(shù)的規(guī)律（357,9...）

可以用圖形中“每次增加2根小棒”來解釋。

易錯點提示：

“.圖形構(gòu)建錯誤：不能正確理解數(shù)的規(guī)律所對應(yīng)的圖形是什么樣子，導(dǎo)致畫出的圖形與數(shù)的；

規(guī)律不符。例如，是獨立的圖形還是連續(xù)的、有公共邊的圖形。

2.規(guī)律歸納不全面：只觀察了前兒個簡單的情況，就輕易下結(jié)論，沒有考慮到后續(xù)圖形的變

|化是否符合該規(guī)律。；

b混淆不同情境下的規(guī)律：例如，同樣是三角形，獨立擺放和連續(xù)擺放的規(guī)律是不同的，要!

I注意區(qū)分具體情境。!

知識點三：利用圖形直觀解釋數(shù)的運(yùn)算或變化趨勢

1.意義/方法：對于一些復(fù)雜的或抽象的數(shù)的運(yùn)算，可以借助圖形（如圓形、正方形、線段圖

等）的面積或長度來直觀表示，幫助理解運(yùn)算過程和結(jié)果，特別是對于無限數(shù)列求和的初步

認(rèn)識。

例（分?jǐn)?shù)求和）：計算：+：+J+白+…可以用一個正方形表示T”。

24816

1

4

1

21

116

8

!表示將正方形平均分成2份，取其中1份。

7表示將剩下的;再平均分成2份，取其中1份（即原正方形的

424

;表示將剩下的;再平均分成2份，取其中1份（即原正方形的J）。

848

以此類推，這些分?jǐn)?shù)的和越來越接近整個正方形的面積“1”。

規(guī)律：當(dāng)這個加法算式無限進(jìn)行下去時，其和無限接近于1。

易錯點提示：

卜.對“無限接近”理解困難：小學(xué)階段對于“極限''思想只是初步感知，學(xué)生可能難以理解為什

|么“和”永遠(yuǎn)達(dá)不到1,或者錯誤地認(rèn)為最終會等于2。

卜.圖形分割錯誤：在畫圖表示分?jǐn)?shù)時，不能準(zhǔn)確地進(jìn)行平均分，導(dǎo)致對分?jǐn)?shù)大小的理解出現(xiàn)

|偏差。

,混淆分?jǐn)?shù)單位：在連續(xù)相加時，不清楚每個后續(xù)分?jǐn)?shù)是前一個分?jǐn)?shù)的幾分之幾，導(dǎo)致規(guī)律

|判斷錯誤。

知識點四：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題

1.意義/方法："數(shù)''和"形''是數(shù)學(xué)的兩個基本概念，它們既有區(qū)別又有聯(lián)系。數(shù)形結(jié)合就是把

抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)

解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而優(yōu)化解題途徑。

（1）以形助數(shù)：如利用線段圖解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題、利用正方形圖理解完全平方公式（本單元側(cè)

重基礎(chǔ)）、利用圖形理解分?jǐn)?shù)求和等。

6.如圖，每個小正方形的邊長是2厘米，按照這樣的規(guī)律擺下去，第10個圖形的周長是一

厘米，面積是平方厘米。

7.如下圖，畫2個正方形能得到4個直角三角形，畫3個正方形能得到8個直角三角形，畫

4個正方形能得到個直角三角形，畫n個正方形能得到個直角三角

形。

8.下圖中圖①是一個三角形，分別連接這個三角形三邊的中點得到圖②，再分別連接圖②中

間的小三角形三邊的中點得圖③，按這樣的方法繼續(xù)下去，第⑥個圖形有個三角形。

?個

⑥

9.某工廠接到面粉加工任務(wù)，加工面粉質(zhì)量⑴與工作時間(h)之間的關(guān)系如圖所示。按這樣的

速度，工作8h結(jié)束:時，加工了面粉to

10.觀察前四個算式的規(guī)律，利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律巧算最后一題。

1=12

1+3=22

1+3+5=32

1+3+5+7=42

1+3+5+7+…+45+47+49=,

21+23+25+...+45+47+49

二、判斷題

12.有5個點（任意3點不在同一直線上），過其中任意兩點畫直線，最多可練出10條直

線。（）

照這樣畫下去，第10個圖形中黑色方塊有10個，白色

方塊有53個。（

14.已知表示65,1）表示86,那么表示58。（）

三、選擇題

15.用火柴按照如圖的方法擺正方形（每條邊擺1根火柴），照這樣擺下去，擺15個正方形

共需要（）根火柴。

口O□田好

C.60D.64

16.如圖是由大小相同的棋子按照一定規(guī)律排列組成的圖形，擺第1個圖需要6枚棋子，擺

笫2個圖需要9枚棋子，擺第3個圖需要12枚棋子，……按此規(guī)律，擺第32個圖需要（）

枚棋子。

第1個圖第2個圖第3個圖

A.93B.96C.99D.102

17.下面各圖是由棱長1dm的小正方體拼成的，根據(jù)前4個圖形表面積的排列規(guī)律，第6個

圖形的表面積是（）dm”。

g

A.26C.32D.36

18.張靈家的熱水器中有60L水，晚上，爸爸先洗了10分澡，用了一半的水。5分后，張靈

也去洗澡，她洗了15分，把熱水器中的水剛好用完了，下面能描述熱水器中水的體積隨時間

19.按如圖規(guī)律擺放三角形則第⑥個圖三角形的個數(shù)為（）o

△

△

△

△

△△△△

△△△△△△△△③

①

A.15B.17C.20D.24

四、解決問題

2（）.觀察下面圖形的變化，如果按照下面3幅圖的規(guī)律繼續(xù)畫圖，第12幅圖長多少厘米？第

n幅圖長多少厘米？將你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用喜歡的方式表達(dá)出來。

①②③

21.如圖，這是一輛汽車的速度隨時間變化而變化的關(guān)系圖。

速度“T米/時)

100

80

60

40

20

04812162024時何/分

(1)汽車出發(fā)后2分鐘到8分鐘之間，可能發(fā)生了什么情況？把你的想法寫下來。

(2)這輛汽車在出發(fā)后8分鐘到20分鐘這段時間里，行駛了多少千米？

22.如圖，堆三角形積木。

卜層放2個，共需4個卜層放4個，共需16個

(1)如果下層放6個，一共需要多少個三角形？

(2)如果有169個三角形積木塊，下層應(yīng)放幾個？

23.先觀察下面的算式，再回答問題。

我們知道:(34-2)X(3-2)=32-22;

(5+4)X(5-4)=52-42;

(12+7)X(12-7)=122-72;

(100+98)x(l00-98)=1002-982O

(1)請你根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)并填空：

(x+y)x(x-y)=()

(2)請應(yīng)用上面的發(fā)現(xiàn)簡算2001xl999o(寫出計算過程)

(3)計算:-lxi)x(l-Jx(寫出計算過程)

參考答案

1.72

2.13根;31根

3.17；3n+2

4.10；2n+2

5?卷6

6.88；264

7.12；(4n-4)

8.21

9.540

10.252；25；10；525

11.正確

12.正確

13.正確

14.錯誤

15.B

16.C

17.A

18.C

19.C

20.解：4x(12+1)=52(厘米)

4(n+l)厘米

答：第12幅圖長52厘米，第n幅圖長4(n+1)厘米。

21.(1)解：汽車出發(fā)后2分鐘到8分鐘之間，車速剛提到60km/h,可能發(fā)現(xiàn)忘記帶東西了，

又降速回家去拿，經(jīng)過2分鐘后汽車到家，靜止2分鐘，下