第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（舉一反三綜合訓(xùn)練）

（全國通用）

（考試時間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.（5分）（2025?甘肅白銀?三模）如果質(zhì)點按規(guī)律s（t）=2/—t（距離單位：m,時間單位：s）運動，

則質(zhì)點在2s末的瞬時速度為（）

A.8m/sB.7m/sC.6m/sD.5m/s

【答案】B

【解題思路】利用瞬時變化率的定義即可求得該質(zhì)點在2s末的瞬時速度.

【解答過程】lim-=lim2（2+At）2-（2+-x4-2）=lim（7+2域）=7,

△t->0AtAt^OAtAt^O

則質(zhì)點在2s末的瞬時速度為7m/s.

故選：B.

2.（5分）（2025?江蘇鹽城?三模）若/（*）=In號，則lim（）

A.0B.2C.-2D.-4

【答案】c

【解題思路】根據(jù)復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)及極限求解導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.

【解答過程】因為/（x）=lnW，所以尸⑺=）'x￡=X三=公

所以尸（D=三=一2，

f(】+Ax)-"i)

貝Ulim=1(1)=_2.

Ax->0△%

故選：c.

3.(5分)(2025?陜西?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(%)=(%-a-l)e%-(|-a)b%是R上的增函數(shù)，則()

A.a=bB.a=-C.a=InbD.a=eb

b

【答案】C

【解題思路】由題意可得尸(%)20恒成立，進(jìn)而分bWO,b>0兩種情況討論求解即可.

【解答過程】由/'(%)=(x-a-l)ex-(：一a)bx,

得尸(久)=(x—a)ex-bx+ab=(x—a)(ex—b),

因為fO)是R上的增函數(shù)，則廣0)>0恒成立，

即(x-a)(eX-b)>0恒成立，

當(dāng)bW0時，ex-b>0,此時久一a20不恒成立，不滿足題意；

當(dāng)b>0時，等價于(久—a)(x—Inb)>0對xeR恒成立，

則a=Inb.

故選：C.

4.(5分)(2025?河北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(X)=/—尤+1,則/⑺的圖象在點(1,1)處的切線方程是()

A.4%+y-5=0B.4x—y-3=0

C.2x+y-3=0D.2x—y—1—0

【答案】D

【解題思路】根據(jù)求導(dǎo)公式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再將切點的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)中，得到切線的斜率，最后利

用點斜式方程求出切線方程.

【解答過程】對/'(%)=x3—x+1求導(dǎo)：f'(x)=(%3—x+1)'=(x3y—(x)'+(1)，=3x2—1.

將x=1代入r(x)中，可得切線的斜率k=r(1)=3x12—1=2.

已知切線過點(1,1),斜率為2,根據(jù)點斜式方程，可得切線方程為y-l=2(x-l).

將其化簡為一般式：2x-y-l=0,

/(%)的圖象在點(1,1)處的切線方程是2久一y-1=0.

故選：D.

5.(5分)(2025?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測)已知x=1是函數(shù)/(x)=(ax2+3x-3)e*的極值點,則函數(shù)f(x)

的極小值為()

A.-3B.-eC.0D.e

【答案】A

【解題思路】求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，利用給定極值點求出a,進(jìn)而求出極小值.

【解答過程】函數(shù)/'(x)=(ax2+3x—3)e”的定義域為R,求導(dǎo)得=(ax2+2ax+3x)ex,

由x=1是函數(shù)/(x)的極值點，得/''(I)=(3a+3)e=0,解得a=-l,

函數(shù)/'(x)=(―%2+3x—3)ex.f'(x)=(—x2+x)ex=—x(x—l)ex,

當(dāng)x<0或x>1時，f'(x)<0；當(dāng)0<x<1時，>0,

所以函數(shù)/(x)的極小值/(0)=-3.

故選：A.

6.(5分)(2025?山東聊城?三模)已知/(%)是定義域為R的可導(dǎo)函數(shù)，設(shè)其導(dǎo)函數(shù)為g(x).若/(尤+1)-2x

為偶函數(shù)，且g(x)=g(4—尤)，則2巴g(i)=()

A.60B.40C.20D.8

【答案】B

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合求導(dǎo)數(shù)，得出函數(shù)周期，應(yīng)用周期計算求解函數(shù)值即可.

【解答過程】因為/(久+1)-2%為偶函數(shù)，所以/+1)-2x=/(-x+1)+2%,

所以尸(x+1)-2=—f'1—x+1)+2,所以/(x+1)+f\-x+1)=4,

所以g(x+1)+g[-x+1)=4,且g(x)=g(4-%),

所以g(x)+g(—x+2)=4,g[—x+4)+g(x—2)=4,所以g(x—2)=g(2—久)，

所以g(x)=g(-x)=g(4-%),所以g(x)的周期為4,

因為g(x+1)+g(-x+1)=4,令x=O,g(l)+g(l)=4,可得g(l)=2,

令x=l,g(2)+g(0)=4,

所以9⑴+g(2)+g⑶+g(4)=g(l)+g(2)+g(T)+g(0)=8

所以2幽5(0=g⑴+g⑵+g⑶+???+g(20)=5x8=40.

故選：B.

7.(5分)(2025?浙江杭州?模擬預(yù)測)定義在(0,+8)上的可導(dǎo)函數(shù)/(%),滿足廣⑴+等=翳，且/(e)=搟,

若a=/(3),b=/(2),c=/(e),則a、b、c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

【答案】C

【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合條件求導(dǎo)可得八%)在(0,+8)上為減函數(shù)，由其單調(diào)性即可判斷Q、b、C的大小

關(guān)系.

【解答過程】由已知可得：x2ff(x)+2x/(x)=Inx,令g(%)=x2f(x),

則g'(%)=x2f'(x)+2%/(x)=Inx,

且/(%)=等/⑺=-2gQr)_xlnx-2^(x)

X-X

再令無(%)=xlnx—2g(%),則4(%)=1+Inx—2g'(%)=1—Inx,

???當(dāng)久€(0,e)時，h1W)>0,即函數(shù)九(x)在(0,e)上為增函數(shù),

當(dāng)％E(e,+8)時,"(%)V0,即函數(shù)以%)在(e,+8)上為減函數(shù),

???/i(x)</i(e)=e—2g(e)=e-2e2/(e)=0,

?,?/'(%)<0在(0,+8)上恒成立，???/(%)在(0,+8)上為減函數(shù)；

v2<e<3,Af(2)>/(e)>/(3),即b>c>a.

故選：C.

8.(5分)(2025?甘肅金昌?三模)若關(guān)于％的不等式eiMa%)ln(a%)42沅2%在(0,+8)上恒成立，則實數(shù)a的

取值范圍為()

A.(0,e]B.(0,2e]C.(0,粕]D.(0,e2]

【答案】B

【解題思路】利用同構(gòu)可得ln(a%)<2%BPlna<2%—In%在(0,+8)上恒成立，設(shè)“(%)=2x—Inx,x>0,利

用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最小值后可得參數(shù)的取值范圍.

【解答過程】由題設(shè)有a>0,

當(dāng)ln(ax)<0即0V%工;時，不等式e】n(a%)ln(a%)<2比2%恒成立;

當(dāng)ln(a%)>0即％>工時，設(shè)s(t)=tet,t>0,則s，⑴=(t+l)ef>0,

a

故s(t)=te*在(0,+8)上為增函數(shù),而einM)ln(a%)<2xe2xBPs[In(ax)]<s(2x)

因為Ina%>0,2久>0,故ln(a%)<2%即Ina<2x—In%在(，,+8)上恒成立,

而0<%<[時，ln(a%)<2%恒成立即Ina<2x—In%恒成立,

故Ina<2x—In%在(0,+8)上恒成立，

設(shè)〃(%)=2x—\nx,x>0,則/(%)=

當(dāng)0V%<1時，u'(x)<0；當(dāng)%時,u'(x)>0,

故u(x)在(o，m上為減函數(shù)，在G，+8)上為增函數(shù)，

故”(x)min=1+ln2,故Ina<1+ln2=ln(2e),故a<2e,

故0<aW2e,

故選：B.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

9.(6分)(2025?甘肅慶陽三模)已知函數(shù)/(久)=三，則下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)a=l時，曲線y=/(久)在點(0,/(0))處的切線方程為y=x

B.當(dāng)a=1時，曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程為y=1

C.當(dāng)a=0時，曲線y=/(x)上不存在斜率為0的切線

D.當(dāng)a=0時，曲線y=/O)在點(1)(1))處的切線斜率為0

【答案】BD

【解題思路】對于選項A,B,當(dāng)a=l時，門%)=信，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出點(0"(0))處

切線斜率，即可求出切線方程，即可判斷；對于選項C,D,當(dāng)a=0時，f(x)=p求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)

數(shù)幾何意義求出在點處的切線斜率，即可判斷.

【解答過程】對于選項A,B,當(dāng)。=1時，/(%)=￡,/(x)=有/'(0)=0,

又f(0)=1,故曲線y=/(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=1,故選項B正確，A錯誤；

對于選項C,D,當(dāng)a=0時，/(%)=￡,則尸(%)=任薩，

顯然尸(1)=0,即曲線y=/(久)在點處的切線斜率為0,故選項C錯誤，選項D正確.

故選：BD.

10.(6分)(2025?甘肅白銀?二模)已知函數(shù)/(%),g(x)的定義域均為R,其導(dǎo)函數(shù)分別是/'(x),g'(x),

且滿足f(x)=1+g'(久)=1一g'(2-久).若g(x)是奇函數(shù),當(dāng)xe[0,1]時，5r(x)=x2+x,則()

A.八久)是偶函數(shù)B.f(x)的圖象關(guān)于點(1,1)對稱

C.g(x)的周期為4D.2"=05g(i)=。

【答案】ABC

【解題思路】根據(jù)函數(shù)l+g'(x)=1-g'(2-x)得出對稱中心判斷A,求導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)f(x)是偶函數(shù)判斷B,

應(yīng)用對稱性與周期性判斷C,應(yīng)用周期性求函數(shù)值計算求解D.

【解答過程】因為函數(shù)f(x),9(久)的定義域均為R,1+g'(x)=1-g'(2-x),所以g(x)=-g'(2-x),

所以g'(x)關(guān)于(1,0)對稱，f(x)的圖象關(guān)于點(L1)對稱，

又因為g(x)是奇函數(shù)，g(-x)=-gM，所以-g'(-x)=-g'M，g'(-x)=g'(x),

所以g'(x)是偶函數(shù)，所以f(x)=l+g'(x)是偶函數(shù)，A選項正確；B選項正確；

g(x)是奇函數(shù),g'(x)關(guān)于(1,0)對稱，所以g(x)=g(2-x),

所以g(4+x)=g(-x-2)=-g(x+2)=-g(-久)=g(x),所以g(x)的周期為4,C選項正確；

2025

2g(i)=506[g⑴+g⑵4-g⑶4-g⑷]+g⑴

1=0

=506[g(l)+g(0)+g(-l)+g(0)]+g(l)=0+g(l)=2,D選項錯誤；

故選：ABC.

11.(6分)(2025?江蘇蘇州?三模)已知f(x)=口爐+2inx,則下列說法正確的是()

A.a20時，f(x)有唯一的零點B.a<0時，/(久)存在極小值

C.a<0時，f(x)存在極大值D.若f(x)<0,貝b的范圍為一:<a<0

【答案】AC

【解題思路】求導(dǎo)后結(jié)合零點存在定理判斷A；由單調(diào)性可判斷BC；有單調(diào)性舉反例當(dāng)x=J-］可判斷D.

【解答過程】對于A,f'{x)=2ax+|,x>0,

當(dāng)a=0時，/(x)=21nx,有唯一零點;

當(dāng)a>0時,/(%)>0恒成立，函數(shù)/(%)單調(diào)遞增,

當(dāng)x->0+時，/(x)-?-oo,當(dāng)x-?+8時，/(%)->+oo,由零點存在定理可得/'(x)有唯一的零點,

綜上a20時，/(%)有唯一的零點，故A正確;

對于B、C,令尸(%)--0,可得x=

易得函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

所以函數(shù)f(x)存在極大值，故B錯誤，C正確;

對于D,因為/'(x)<0,所以a<0,

由B選項可得當(dāng)x=j-i,函數(shù)取得極大值，此時f—ln(—a),

所以-1一(In-a)V0=a<-工，故D錯誤.

e

故選：AC.

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)(2025?江蘇蘇州?三模)若/(久)=x(lnx+a)在［l,e］上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】(―2,—1)

【解題思路】由題意可得存在xe使得a=-In%-1,求解即可.

【解答過程】由f(%)=x(lnx+a),可得尸(%)=Inx+a+1,

所以/'(x)=x(ln久+a)在［l,e］上不單調(diào)，所以/''(%)=0在(l,e)上有解，

即Inx+a+1=0在(l,e)有解，即存在xe(l,e),使得a=Tnx-l,

又因為y=-Inx-1在(l,e)上單調(diào)遞減，所以一2<a<-1,

所以實數(shù)a的取值范圍是(-2,-1).

故答案為：(-2,-1).

13.(5分)(2025?上海?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(X)=Inx-a久-2在區(qū)間(1,2)上存在最大值，則實數(shù)a的取

值范圍為.

【答案】e，i)

【解題思路】由于函數(shù)人%)在區(qū)間(1,2)上不單調(diào)，等價于函數(shù)/O)在區(qū)間(1,2)上存在極值點，對函數(shù)/O)求

導(dǎo),對a分類討論，求出極值點，根據(jù)極值點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，可得關(guān)于a的不等式，即可求出結(jié)果.

【解答過程】/(%)=Inx—ax-2nf'(x)=［-a=

當(dāng)aWO時，f(x)在(0,+8)上嚴(yán)格單調(diào)遞增，不符合題意；

當(dāng)a>0時，令f'(x)>0今0<“<(；f'(x)<0今%>，.

所以八%)在(O,￡)上嚴(yán)格單調(diào)遞增，在(%+8)上嚴(yán)格單調(diào)遞減，

所以“X)在x=(處取得極大值.

因為函數(shù)/(無)在區(qū)間(1,2)上存在最大值，

所以1<—

a\2J

故答案為：

14.(5分)(2025?河北秦皇島?模擬預(yù)測)設(shè)a。0,若曲線f(%)=alnQ-1)在點(2/(2))處的切線也是

曲線g(%)=e。%-2的切線，則a=.

【答案】|/0.5

【解題思路】首先根據(jù)題意求出切線方程，然后對g(x)求導(dǎo)，根據(jù)斜率值和切點的函數(shù)值求出a的值.

【解答過程】因為f(%)=*所以尸(2)=a,/(2)=alnl=0.

x—±

所以曲線/(x)在點(2,/(2))的切線方程為：y=a(x-2).

因為g'(x)=aeax~2,設(shè)曲線g(x)與該切線的切點為(而,a(x()-2)).

所以g'(%o)=aeax°~2=a,所以-2=0,即ax。=2.

ax2

又9(%0)=e°~=a(x0—2)=2—2a=e°,

所以a=

故答案為：

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.(13分)(2025?河北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)=詈眇.

(1)求曲線〃久)在點(2/(2))處的切線方程；

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(1把2刀—y+e2-0

⑵遞增區(qū)間為(―8,-百)和(百,+8),遞減區(qū)間為(一8,i)^n(i,V3)

【解題思路】(1)求出導(dǎo)函數(shù)尸(x),計算出尸(2),/(2),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點斜式方程即可求

解；

(2)令尸(x)>0即可求出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，令尸(%)<0即可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

—2Y蒐2—1%2—3Y

【解答過程】(1)由題意知尸(久)=竺芝富立e，+言e”____________「AI白人—★入

(x-1)2_______(x-1)2_______(x-1)2____'

則((2)=--^e2=e2,/1⑵=—e2=3e2,

—1Jz—1

所以曲線/(%)在點(2,/(2))處的切線方程為y-3e2=e2(%-2),即e?%-y+e2=0.

(2)/(%)的定義域為{%I%W1},

由(1)知廣(%)=尋留，

令廣(工)>0得％<一百或%>V3；令尸(%)<0得，一6<%<百且％W1,

所以/⑸的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,一百)和(但+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(一次,1)和(1,百).

16.(15分)(2025?廣東惠州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=ax+In%—1,aER.

(1)當(dāng)a=2時，求函數(shù)f(x)在點(1)(1))處的切線方程;

(2)若八久)有極大值，且極大值小于0,求a的取值范圍.

【答案】(l)3x—y—2=0

⑵(_8,_?

【解題思路】(1)利用導(dǎo)數(shù)求得r(1),/(I)可求切線方程；

(2)求導(dǎo)，分類討論求得/(%)的單調(diào)性，進(jìn)而可得極大值，再根據(jù)極大值小于0,求得a的取值范圍.

【解答過程】(1)當(dāng)a=2時/'(x)=2x+Inx-1,則/'(1)=1,尸(久)=2+5,

所以尸(1)=3,

所以函數(shù)/在點處的切線方程為y-1=3(x-1),

即3x-y—2=0；

(2)函數(shù)/(%)=a%+In%—1的定義域為(0,+8),

又:(%)=a+(=手，

當(dāng)a>。時尸(%)>0恒成立，

/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，無極值.

當(dāng)aVO時，由尸(%)>0,解得

由;(久)V0,解得久>一:，

所以八工)在(0,-￡)上單調(diào)遞增，在+8)上單調(diào)遞減，

故/(X)在x=-｝處取得極大值，極大值為/(—￡)=In(-￡)-2.

令I(lǐng)n(一￡)-2<0,

解得a<—&所以a的取值范圍為(—8,—

17.(15分)(2025?海南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=(ear+l)x,aeR.

(1)當(dāng)a=2時，求/'(X)的單調(diào)區(qū)間與極值點；

3

(2)已知/(久)有兩個極值點XI<2<久2，證明：%i+%2>-

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為R,無減區(qū)間，無極值點

(2)過程見解析.

【解題思路】(1)求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性即可判斷其單調(diào)性；

axax

(2)%i，%2為尸(%)=—xe~+e~4-1=0的兩根,化簡得出e%2Tl=至二，令t=x2—xr>Of則％1+x2=

-1

te+2e+t-2構(gòu)造函數(shù)上(6=tef—ef+t+1,t>0即可求證.

ec—1

【解答過程】(1)當(dāng)。=2時，/(%)=(e2-x+l)x,則/(%)=-沅2-％+e?T+1,

令g(%)=尸(久)=—xe2~x+e2~x+1,則g'(%)=—e2r+xe2~x—e2T=e2-x(x—2),

則g'(%)>0得%>2；g'(%)<0得％<2,

則g(%)=/'(%)在(-8,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

則廣(久)之尸(2)=0,故/(切的單調(diào)遞增區(qū)間為R,無減區(qū)間，無極值點.

axax

(2)因/(%)有兩個極值點久1<2<x2,則%1，不為/'(%)=-xe~+e~+1=0的兩根，

a-X1aX2a-X1a-X2

即(％i—l)e=1,(%2-l)e~=1,即(/一l)e=(%2-l)e,

即e%2fl=上，

%1一1

—X￡/+爐一1

令t=X21>0，則％1=e：J%2=

et-l

rn.i,et+t-l,tet+et-ltet+2et+t-2

則％i+&=ti——，

1zeJefr-~lr~=------eJ

欲證%i+泡>3,只需證te*-e，+t+1>0,

令k(t)=tef—ef+t+1,t>0,貝=tet+1>0,

故/c(t)在(0,+8)上單調(diào)遞增,則左(t)>fc(0)=0,則te。-+卜+1>0成立，

故%i+&>3得證.

18.(17分)(2025?云南玉溪?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=四2工+(a-2)e%-%.

⑴討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。>0,/(%)之31na-a+e—，一1恒成立，求a的取值范圍.

【答案】(1)當(dāng)a<0時，/(%)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，/(x)在(一8,In，)是減函數(shù)，在0n1,+8)是增函數(shù).

(2)a>e.

【解題思路】(1)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/(%)=2ae2%+(a-2)e%-l,分類討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)性，得

到答案；

(2)由(1)得出/(%)的最小值，得出一展一ln1+1>31na-d+e---1,設(shè)g(a)=21n(z—cz+e---2+

-(a>0),求導(dǎo)，即可求得實數(shù)。的取值范圍.

CL

【解答過程】(1)f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1.

ve2x>0,ex>0,工當(dāng)aWO時,/'(%)V0,在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，/'(久)=(2ex+l)(aex-1)=2a(e%+(e%—1).

令/'(%)=0，解得：x=ln|.

由尸(x)>0,解得：%>ln^；由尸(久)V0,解得：％Vin,

???%e(-8,In3)時，/(%)單調(diào)遞減，x€(ln1,+8)單調(diào)遞增；

綜上可知：當(dāng)時，/(%)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，/(%)在(一8,In，)是減函數(shù)，在0n1,+8)是增函數(shù).

(2)由(1)知，當(dāng)a>0時，/(x)在(一8,In：)是減函數(shù)，在(ln],+8)是增函數(shù)，

/Wmin=ae21n￡+("2加1吃_]口1=

—In-+1>31na—a+e---1,

aae

i-1

21na—a+e------2+-<0(*).

ea

令g(a)=21na—a+e--—2+-(a>0),貝1Jg'(a)=-—1—-7=一。字=一俗：)<0,

eaaa2a2a2

.??g(a)在a>0上單調(diào)遞減，

又?「g(e)=21ne-e+e-工一2+[=0，;?不等式(*)的解集為a之e,即。的取值范圍是aZe.

ee

19.(17分)(2025?海南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(久)=e*—7neR).

⑴若爪=1,判斷并證明/(為的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x€(0,+8)時，若函數(shù)f(x)有兩個不同的零點久1，x2-

(i)求機(jī)的取值范圍；

(ii)證明：%1+x2>4.

【答案】(1)/0)在R上單調(diào)遞增；

⑵(i)停,+8)；(ii)證明見解析.

【解題思路】(1)若m=l時，/(%)=ex-x2,對其求導(dǎo)得/'(%),設(shè)g(%)=/'(%)，求導(dǎo)得g'(%),求其單

調(diào)性再判斷了(%)的單調(diào)性；

(2)(i)當(dāng)％C(0,+8)時，/(%)=0可化為血=%,令九(%)=%,求導(dǎo)得九，(%),求其單調(diào)性，找到最小

值h(2)=。，根據(jù)題意求m的取值范圍即可；

4

(ii)要證明+%2>4,即證%2>4-％1，只需要證九(冷)>%(4一%2)，即證眇1—2(4-一>0,令

HCx)=ex-2(4-x)-x(0<x<2),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求其單調(diào)性，然后證明〃心力>伙2)=0即可.

【解答過程】(1)若租=