教學設(shè)計

課程基本信息學科數(shù)學年級九年級學期秋季課題2.3用頻率估計概率教學目標教學目標：（1）知道通過大量重復試驗，可以用頻率估計概率.（2）經(jīng)歷隨機試驗，對數(shù)據(jù)進行收集、整理、描述與分析活動，體會在大量重復試驗中頻率的隨機性和規(guī)律性，建立數(shù)據(jù)觀念.（3）經(jīng)歷應(yīng)用頻率估計概率方法解決一些簡單實際問題的活動，總結(jié)各種列舉法優(yōu)缺點及“用列舉法求概率”和“用頻率估計概率”兩種方法的不同，發(fā)展模型觀念、數(shù)據(jù)觀念.目標解析：達成目標（1）的標志是：學生明確地知道除了用列舉法求概率外，還有另一種獲得隨機事件概率的方法——用頻率估計概率，這種方法求出的概率與用列舉法求出的概率不矛盾，是可信的，而且這種方法相對列舉法適用范圍更廣.達成目標（2）的標志是：學生在本節(jié)課中能運用之前學習的統(tǒng)計知識解決問題，用劃記法記錄事件發(fā)生的頻數(shù)，求頻率，用折線圖描述頻率的變化趨勢；在分析數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上感受到，盡管頻率具有隨機性，但在大量重復試驗時頻率顯示出穩(wěn)定性；能夠結(jié)合生活實例感受頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系，從自身的試驗經(jīng)歷和生活經(jīng)驗中達成對用頻率估計概率方法合理性和必要性的認可.達成目標（3）的標志是：達成目標3的標志：經(jīng)歷試驗操作和問題解決過程，總結(jié)用概率解決實際問題的一般過程（實際背景——隨機事件——數(shù)據(jù)處理及——計算或估計概率————解釋實際中的隨機現(xiàn)象），體會隨機的思想：在一次試驗中，隨機事件是否會發(fā)生是不知道的，但其發(fā)生的可能性大小的規(guī)律是確定的；相同的事情，每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，但只要有足夠的數(shù)據(jù)就可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，也就是說，多次隨機抽樣得到的樣本數(shù)據(jù)可能不同，但只要隨機抽樣的次數(shù)足夠多，其樣本特征數(shù)有會穩(wěn)定于一個固定值（偏離這一固定值的概率會足夠?。?，這就是樣本估計總體的思想的由來.經(jīng)歷計算不同隨機事件的概率，總結(jié)各種列舉法優(yōu)缺點及“用列舉法求概率”和“用頻率估計概率”兩種方法的不同.教學內(nèi)容1.內(nèi)容解析用頻率估計概率是繼用列舉法求概率后又一種求隨機事件概率的方法.在本章的前兩節(jié)中給出了概率的意義和概率的古典定義，并利用列舉法求一些簡單隨機事件的概率.本節(jié)將從統(tǒng)計試驗結(jié)果的角度研究概率，即通過頻率研究概率.用頻率估計概率不受試驗結(jié)果種數(shù)有限和各種結(jié)果等可能條件的限制，因此適用的范圍比用列舉法更廣.頻率是在相同條件下進行重復試驗時事件發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值，是隨機的，在試驗前不能夠確定.而一個隨機事件發(fā)生的概率是確定的數(shù)，是客觀存在的，與試驗無關(guān).頻率與概率是有區(qū)別的.但在做大量重復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率會呈現(xiàn)出規(guī)律性，即隨著試驗次數(shù)的增加，一個事件出現(xiàn)的頻率，總是在一個固定數(shù)的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性.因此，我們可以通過大量的重復試驗，用一個隨機事件發(fā)生的頻率去估計它的概率.用頻率估計概率讓學生再次經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、描述與分析的過程，進一步發(fā)展學生的統(tǒng)計意識和隨機觀念，探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中隱藏的規(guī)律.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點是：用頻率估計概率.2.教學問題診斷分析在學生以往的數(shù)學學習經(jīng)驗中，數(shù)學的結(jié)論往往給人嚴謹、確定、明確等印象.在這種思維定勢的影響下，研究隨機事件發(fā)生的可能性大小(概率)，學生感到有些不適應(yīng).在學習了古典概率之后，學生能夠經(jīng)過計算得出一些隨機事件發(fā)生可能性大小的精確值，感覺比較容易接受.但是如何去研究不能用列舉法計算的隨機事件的概率，學生以往沒有這種學習經(jīng)歷，需要教師引導.用頻率估計概率的基礎(chǔ)是頻率的穩(wěn)定性規(guī)律，這種穩(wěn)定性中也蘊含著一定的隨機性，不是絕對的、確定的.在初學時，學生常常把概率和頻率相混淆，往往糾纏于“用哪個數(shù)字估計概率才正確”“用頻率的平均數(shù)估計概率是否更準確”等問題.教師要引導學生體會到用頻率估計概率在本質(zhì)上是一種估計，其結(jié)果不一定十分準確，但很多情況下足以解釋現(xiàn)象，解釋生活.在本節(jié)課中，學生將經(jīng)歷拋擲硬幣試驗.對于拋擲一枚硬幣朝上一面點數(shù)為偶數(shù)的概率，學生心中已有明確的答案，這里要在各小組重復試驗和全班整理數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上感受頻率與概率的關(guān)系，體會用頻率估計概率的合理性.C組的題目：拋擲一枚圖釘，針尖著地的概率是多少？投一枚圖釘，事先無法確定“釘尖朝上”與“釘尖朝下”的可能性是否相等，無法用列舉法求得“釘尖朝上”的概率，要應(yīng)用所學的新方法——用頻率估計概率解決問題，并體會用頻率估計概率的方法比列舉法求概率適用范圍更廣.3.教學重難點：基于以上分析，本節(jié)課的教學難點：理解頻率與概率的關(guān)系.教學過程引言統(tǒng)計學家C．R．Rao(19202023)曾說過：在終極的分析中，一切知識都是歷史；在抽象的意義下，一切科學都是數(shù)學；在理性的世界里，所有的判斷都是統(tǒng)計學。一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題統(tǒng)計和概率是研究現(xiàn)實世界中隨機現(xiàn)象的重要數(shù)學工具，今天我們繼續(xù)用統(tǒng)計和概率的方法解決實際問題.問題1在一次投籃中，你最關(guān)心的是什么，能提出什么問題？師生活動：教師引導學生關(guān)注問題：投中或投不中？投中的可能性有多大？怎樣求投中的可能性大??？追問1：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，用什么來定量刻畫投中的可能性大小呢？師生活動：教師引導學生用概率刻畫投中可能性大小.追問2：能否用學過的列舉法求概率？師生活動：學生回答不能，因為投中或投不中可能性大小不一定相同.教師引導學生從已有經(jīng)驗出發(fā)尋找新方法解決問題.學生想到投籃10次投中幾次.教師引導學生回顧頻數(shù)、頻率概念，想到用試驗的方法借助頻率估計概率求概率.設(shè)計意圖：回顧簡單隨機事件可以用列舉法求概率，分析兩種結(jié)果的可能性大小不相等，學生發(fā)現(xiàn)不能用列舉法求投籃問題的概率，結(jié)合生活經(jīng)驗提出解決問題的方向：多投幾次，統(tǒng)計投中的命中率。這種創(chuàng)新的方案是否可行呢？教師引導學生從已有的經(jīng)驗出發(fā)，回到熟悉的問題背景研究方案的可行性，能否用計算頻率來估計概率。二、溫故知新，尋找方法問題2擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，朝上一面點數(shù)為偶數(shù)的概率是多少？師生活動：學生結(jié)合已有學習經(jīng)驗，可以用列舉法可求得概率為0.5；教師引導學生用試驗的方法探究頻率與概率的關(guān)系。問題3我們用重復試驗來分析擲骰子朝上一面點數(shù)為偶數(shù)的頻率與概率有什么關(guān)系？請設(shè)計試驗進行檢驗，看看能有什么發(fā)現(xiàn)。師生活動：教師布置試驗任務(wù)：全班兩人一組：一人投擲（投擲高度在2030cm之間），一人監(jiān)督并用劃記法記錄實驗結(jié)果，填寫表格。試驗結(jié)束后，教師用電子表格收集數(shù)據(jù)，計算“朝上一面點數(shù)為偶數(shù)”的頻率，并繪制折線統(tǒng)計圖描述數(shù)據(jù)?；顒右螅旱?名同學負責拋擲，約達一臂高度，報告試驗結(jié)果；第2名同學記錄試驗結(jié)果并監(jiān)督，盡可能保證每次試驗條件相同.設(shè)計意圖：讓學生親身經(jīng)歷投擲骰子的隨機試驗，收集和描述數(shù)據(jù)，培養(yǎng)隨機觀念，為揭示頻率的隨機性和穩(wěn)定性作準備。追問1：頻率有什么特點？師生活動：教師引導學生發(fā)現(xiàn)頻率具有隨機性.追問2：觀察表格的累計和統(tǒng)計圖，隨著重復試驗次數(shù)的增加，“朝上一面點數(shù)為偶數(shù)”的頻率的變化是否會呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性？師生活動：教師引導學生發(fā)現(xiàn)隨著重復試驗次數(shù)的增加，“朝上一面點數(shù)為偶數(shù)”的頻率表現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性，在0.5上下擺動，隨著試驗次數(shù)的增加，在0.5附近擺動的幅度越來越小。我們稱“朝上一面點數(shù)為偶數(shù)”的頻率穩(wěn)定于概率0.5。問題4再分析拋硬幣試驗，你有什么發(fā)現(xiàn)？師生活動：教師出示歷史上一些拋擲硬幣試驗的結(jié)果（如表3），學生通過觀察思考發(fā)現(xiàn)：“正面向上”的頻率在0.5左右波動，隨著試驗次數(shù)的增加，在0.5附近上下擺動的幅度總體上趨向于有波動地減少.這時我們稱“正面向上”的頻率穩(wěn)定于0.5，與前面用列舉法得出的“正面向上”的概率是同一個值.在此基礎(chǔ)上，教師利用信息技術(shù)，直接模擬大量重復試驗。引導學生再次感受。（表3）設(shè)計意圖：引導學生進一步認識頻率的隨機性和穩(wěn)定性，理解頻率的穩(wěn)定性規(guī)律.問題5從上述兩個試驗中你能發(fā)現(xiàn)什么共同的規(guī)律嗎？師生活動：教師引導學生歸納得到：（1）試驗過程中，隨機事件出現(xiàn)的頻率在概率附近擺動；（2）隨著試驗次數(shù)的增加，隨機事件出現(xiàn)的頻率在概率附近擺動的幅度越來越小。在大量重復試驗中，隨機事件出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定于概率。最后，師生共同歸納在大量重復試驗中，用頻率估計概率。教師給出：對一般的隨機事件，在做大量重復試驗時，隨著試驗次數(shù)的增加，一個事件出現(xiàn)的頻率，總是在一個固定數(shù)的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性.頻率穩(wěn)定性的規(guī)律不但由人們大量的生活實踐所驗證，還由數(shù)學家雅各布.百努利給出了嚴格的證明.三、分析問題，設(shè)計方案問題6在一次投籃中，怎樣確定投中的概率是多少？假設(shè)小李在罰球線上投籃的結(jié)果如下表：請估計小李投籃一次投中的概率.師生活動：教師引導學生共同評價開始學生提到的方法，并指出其不足，需要大量重復試驗，才能用頻率估計概率。在此基礎(chǔ)上，教師給出上述表格，學生計算頻率并估算概率。最后，師生共同歸納用頻率估計概率方法求隨機事件概率的步驟：1.試驗；2.統(tǒng)計；3.估計.例題：在同樣條件下對某種小麥種子進行發(fā)芽試驗，統(tǒng)計發(fā)芽種子數(shù)，獲得如下頻數(shù)表.（1）計算表中的各個頻率.（2）估計該麥種的發(fā)芽概率.（3）如果播種該種小麥每公頃所需麥苗數(shù)為4181818棵，種子發(fā)芽后的成秧率為87%，該麥種的千粒質(zhì)量為35g，那么播種3公頃該種小麥，估計約需麥種多少千克（精確到1kg）？分析：種子“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”兩種結(jié)果可能性是否相等未知，所以用頻率估計概率方法求成活率.在表中，可以計算出不同移植總數(shù)下幼樹成活的頻率，并觀察隨著試驗種子數(shù)量的增加，頻率變化的情況.利用頻率估計概率.分析第三題，分析問題中的數(shù)量關(guān)系，用頻率估計概率解決實際問題。師生活動：學生計算頻率并估算概率：各個頻率為0.90,0.92,0.94,0.952,0.951,0.95,0.95.由第（1）題可知，發(fā)芽頻率在0.95附近擺動，由此可以估計該麥種的發(fā)芽概率約為0.95.師生活動：師生共同分析第三小題。請看第三題。理解題意，可以發(fā)現(xiàn)一顆種子要經(jīng)歷發(fā)芽和成秧兩個過程才成長為一顆麥苗，由第（2）可得該麥種的發(fā)芽概率約為0.95.種子發(fā)芽后的成秧率為87%，所以種子的數(shù)量要乘以0.95再乘以87%才是麥苗的數(shù)量。從問題出發(fā)：播種3公頃該種小麥，而每公頃所需麥苗數(shù)為4181818棵，最終需要3×4181818棵麥苗。估計約需麥種多少千克？我們需要進行種子的重量和數(shù)量之間的轉(zhuǎn)換，而該麥種的千粒質(zhì)量為35g，設(shè)需麥種x（kg），則粒數(shù)為請看答案：師：如何利用頻率來估計概率呢？生：練習：在不透明的箱子中，有白色和黃色兩種除顏色外無其他差別的6個小球．在不打開箱子的前提下，小明每次隨機摸出一個小球后放回搖勻.小明進行了多次試驗，得到下表中的部分數(shù)據(jù).（1）將數(shù)據(jù)表補充完整.（2）觀察表中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，隨著試驗次數(shù)的增加，摸到黃球的頻率有何特點？（3）此時小紅摸了1次小球，請你估計小紅從該盒中摸到黃球的概率是多少（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）.解答：（1）0.69,685，0.6601（2）估計小紅從該盒中摸到黃球的頻率在0.67附近擺動.（3）答：估計小紅從該盒中摸到黃球的概率是0.67.師生活動：學生獨立完成。設(shè)計意圖：學以致用.利用今天所學的知識師生合作完成例題，學生獨立思考完成練習。通過兩個題目讓學生體會如何利用頻率估計概率解決實際問題。四、反思總結(jié)，形成方法1.本課我們學習了哪種求隨機事件概率的方法？2.用頻率估計概率的過程有哪些步驟？為什么可以這樣做？3.如何利用頻率估計概率解決實際問題？4.這種求隨機事件概率的方法與前面學習的列舉法有什么不同？師生活動：教師引導學生比較分析，頻率估計概率和列舉法求概率都是確定隨機事件發(fā)生概率的方法，這是它們的相同點；頻率估計出的概率是概率的近似值，列舉法求出的概率是精確值，頻率估計概率適用于