§5.2平面向量基本定理及坐標表示分值：90分一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.已知a=(5，2)，b=(4，3)，若a2b+3c=0，則c等于()A.133，83C.133，432.(2024·北京模擬)已知向量a=(λ+1，3)，b=(2，3)，若a與a+b共線，則實數(shù)λ等于()A.2B.B.1 C.1 D.23.平面內任一向量m都可以表示成λa+μb(λ，μ∈R)的形式，下列關于向量a，b的說法中正確的是()A.向量a，b的方向相同B.向量a，b中至少有一個是零向量C.向量a，b的方向相反D.當且僅當λ=μ=0時，λa+μb=04.已知AB=(1，1)，C(0，1)，若CD=2AB，則點D的坐標為()A.(2，3) B.(2，3)C.(2，1) D.(2，1)5.在△ABC中，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN=2NC，AM與BN交于點P，若AM=5.5，則AP的長是()A.3.8 B.4 C.4.2 D.4.46.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=1，以AC為直徑的半圓上有一點M，BM=λBC+3λBA，則實數(shù)λ等于()A.3+14 C.32 D.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.已知向量a=(2，1)，b=(1，3)，則下列向量與2a+b平行的是()A.2，23 B.(1C.(1，2) D.-18.已知△ABC中，點P滿足PA+PB=CP，點Q在△PBC內(含邊界)，其中AQ=xAB+yAC，則()A.若x=13，y=23，則B.若P，Q兩點重合，則AQ=13ABC.存在x，y，使得x+2y=5D.存在x，y，使得x+2y=3三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知向量OA=(3，4)，OB=(6，3)，OC=(5m，3m)，若點A，B，C能構成三角形，則實數(shù)m應滿足的條件是.

10.在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=2AB，若點A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點D的坐標為.

四、解答題(共27分)11.(13分)平面內給定三個向量a=(3，2)，b=(1，2)，c=(4，1).(1)若(a+kc)∥(2ba)，求實數(shù)k；(6分)(2)若d滿足(dc)∥(a+b)，且|dc|=5，求d的坐標.(7分)12.(14分)如圖所示，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，DM=13DC，BN=23BC(1)若MN=λAB+μAD，求實數(shù)λ和μ的值；(7分)(2)用向量AM，AN表示AE.(713題6分，14題5分，共11分13.(多選)如圖，在?OACB中，E是AC的中點，F(xiàn)是BC上的一點，且BC=4BF，若OC=mOE+nOF，其中m，n∈R，則()A.m+n=107 B.mn=C.2m=3n D.3m=2n14.(2025·昆明模擬)已知{e1，e2}是平面α內的一個基底，O為α內的定點.對于α內任意一點P，若OP=xe1+ye2(x，y∈R)，則稱有序實數(shù)對(x，y)為點P的廣義坐標.若點A，B的廣義坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，關于下列命題正確的()A.點M(1，2)關于點O的對稱點不一定為M'(1，2)B.A，B兩點間的距離為(C.若向量OA平行于向量OB，則x1y2x2y1的值不一定為0D.若線段AB的中點為C，則點C的廣義坐標為x答案精析1.D2.C3.D4.D[設D(x，y)，則CD=(x，y1)，2AB=(2，2)，根據(jù)CD=2AB，得(x，y1)=(2，2)即x=2，即D(2，1).]5.D[方法一設BM=e1，CN=e2則AM=AC+CM=3e2e1，BN=BC+CN=2e1+e2，因為點A，P，M和點B，P，N分別共線，所以存在實數(shù)λ，μ，使AP=λAM=λe13λe2，BP=μBN=2μe1+μe2，所以BA=BPAP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2，又BA=BC+CA=2e1+3e2，所以λ+2μ所以AP=4所以AP=45AM=4.4方法二設AP=λAM，λ∈R因為M是BC的中點，AN=2NC，則AM=12(AB=12ABAP=λAM=12λAB+34又B，P，N三點共線，所以12λ+34λ解得λ=45，所以AP=45AM=4.6.A[以B為原點，BC，BA所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.則A(0，1)，C(1，0)，AC=2則以AC為直徑的圓的圓心為AC的中點D12則以AC為直徑的圓的方程為x-122設M(x，y)，則BM=(x，y)，BC=(1，0)BA=(0，1)，BM=λBC+3λBA=(λ，3λ)所以x由點M在圓x-122+可得λ-122即4λ2(1+3)λ=0，解得λ=3+14或λ=0(舍去)7.AD[因為a=(2，1)，b=(1，3)，所以2a+b=(3，1)，故若向量(x，y)滿足3yx=0，則該向量與2a+b平行.檢驗易知A，D符合題意.]8.BCD[對于A，AQ=13AB+23AC，即3AQ=AB+2AC，故AQAB=2AC2AQ，則BQ=2對于B，由PA+PB=CP得，PA+PB+PC=0，故P為△ABC的重心，則Q為△ABC故AQ=13AB+13對于C，D，取AC的中點D，則AQ=xAB+2yAD，由點Q在△PBC內(含邊界)過點Q作MN∥BD(當點Q在線段BP上時，MN與BD重合)，與線段CD交于點M，與射線AB交于點N，如圖所示，設AM=kAD，k∈[1，2]則AN=kAB因為點M，Q，N三點共線，所以存在實數(shù)λ，使AQ=λAM+(1λ)AN=kλAD+k(1λ)AB因為AQ=xAB+2yAD，所以x=k(1-λ)，2y=kλ，則x+2y=k∈9.m≠710.(2，4)解析∵在梯形ABCD中，CD=2AB，AB∥CD，∴DC=2AB設點D的坐標為(x，y)，則DC=(4x，2y)，又AB=(1，1)，∴(4x，2y)=2(1，1)，即4-x=2∴點D的坐標為(2，4).11.解(1)a+kc=(3+4k，2+k)，2ba=(5，2)，由題意得2×(3+4k)(5)×(2+k)=0，解得k=1613(2)設d=(x，y)，則dc=(x4，y1)，又a+b=(2，4)，(dc)∥(a+b)，|dc|=5∴4(解得x=3，∴d的坐標為(3，1)或(5，3).12.解(1)如圖，以A點為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則D(0，1)，B(2，0)，M23，所以MN=43，-13，AB=(2，0)，所以MN=4=λAB+μAD=(2λ，μ)，所以2λ=(2)設AE=tAC，AC=mAM+nAN，t，m，n因為AM=23，又C(2，1)，則AC=(2，1)，所以AC=(2，1)=23即23m即AC=37AM所以AE=tAC=37tAM+67又因為M，E，N三點共線，所以37t+67t=1，則t所以AE=13AM+13.ABC[在?OACB中，OA=BC，OB=AC，因為E是AC的中點，所以AE=12AC所以OE=OA+AE=OA+1因為BC=4BF所以BF=14BC所以OF=OB+BF=OB+1因為OC=mOE+nOF，所以=m+1所以m+1所以m+n=107，mn=27，214.D[對于A，OM=e1+2e2，設M(1，2)關于點O的對稱點為M'(x，y)，則OM'=OM=e12e2=xe1+ye2，因為e1，e2不共線，所以x=-1對于B，因為AB=OBOA=x2e1+y2e2x1e1y1e2=(x2x1)e1+(y2y1)e2，所以|AB|=[((當向量e1，e2是相互