培優(yōu)點2著名的不等式分值：40分一、單項選擇題(每小題5分，共25分)1.實數(shù)x，y滿足3x2+4y2=12，則z=2x+3y的最小值是()A.5B.B6 C.3 D.42.設(shè)a1，a2，a3，a4是1，2，3，4的一個排列，則a1+2a2+3a3+4a4的取值范圍是()A.(0，30] B.(20，30]C.[20，30] D.[20，30)3.權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變形，在求二元變量最值時有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)a，b，x，y>0，則a2x+b2y≥(a+b)2x+y，當且僅當ax=by時，等號成立A.16 B.25 C.36 D.494.若實數(shù)x+2y+3z=1，則x2+y2+z2的最小值為()A.14 B.114 C.29 D.5.在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是()A.32 B.3 C.32 D二、填空題(每小題5分，共15分)6.若a>1，b>1，則a2b-1+b7.半徑為R的球的內(nèi)接三棱錐的體積V的最大值為.

8.設(shè)α，β，γ分別為長方體的對角線與共頂點的三個側(cè)面所成的角，則sinα+β+答案精析1.A2.C3.B4.B[根據(jù)柯西不等式得(x2+y2+z2)(1+4+9)≥(x+2y+3z)2=1，即x2+y2+z2≥114當且僅當x=114，y=17，z=3145.D[因為y=sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，根據(jù)琴生不等式可得，sinA+sinB+sinC3≤sinA得sinA+sinB+sinC≤33當且僅當A=B=C=π3即sinA+sinB+sinC的最大值是3326.8解析a2b-1+b令a+b2=t，則(a+b)2a+b-2=當且僅當ab-1=ba-1所以a2b-1+b7.R83解析設(shè)三棱錐為PABC，△ABC的外接圓半徑為r，則S△ABC=2r2sinA·sinB·sinC≤2r2sin≤2r2sin=2r2323=33當且僅當A=B=C=60°時，等號成立，若球心O到平面ABC的距離為h，則V≤13S△ABC(R+h)≤34r2(R+=34(R2h2)(R+h=38(R+h)(R+h)(2R2h≤3=8327R當且僅當三棱錐PABC為正四面體時，等號成立.8.1解析在長方體中有sin2α+sin2β+sin2γ=1，注意到sin2α=1sin2βsin2γ=cos2βsin2γ=12(1+cos2β)12(1cos2γ)=cos(β+γ)·cos(βγ)因為β，γ均為銳角，所以cos(βγ)>0.從而cos(β+γ)>0，即0<β+γ<π2同理0<α+β<π2，0<γ+α<π又y=cosx在0，由琴生不等式有3cos(≥cos(α+β)+cos(β+γ)+cos(γ+α)≥cos(α+β)·cos(αβ)+cos(β+γ)·cos(βγ)+cos(γ+α)·cos(γα)=sin2α+sin2β+sin2γ=1，則cos2α+2β即sinα+β+另一方面，sin2α=cos(β+γ)·cos(βγ)>cos2(β+γ