進階5解析幾何中的定值問題分值：34分1.(17分)已知橢圓C：x24+y2=1，A，B是橢圓C的左、右頂點，點P是橢圓上異于A，B(1)證明：直線PA與直線PB的斜率之積為定值；(7分)(2)設經(jīng)過D(1，0)且斜率不為0的直線l交橢圓于M，N兩點，直線AM與直線BN交于點Q，求證：OA·OQ為定值.(10分)2.(17分)已知雙曲線C：x2a2y2b2=1(a>0，b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且頂點到漸近線的距離為255，點P是雙曲線C右支上一動點(不與A2重合)，且滿足(1)求雙曲線C的標準方程；(7分)(2)過點Q(2，0)的直線l與雙曲線C交于x軸上方的M，N兩點，若E是線段MN的中點，F(xiàn)是線段MN上一點，且|MF||NF|=|MQ||NQ|，O為坐標原點，試判斷直線OE，OF的斜率之積是否為定值.若為定值，求出該定值；若不是，請說明理由.(10答案精析1.證明(1)由題意，設點P(x0，y0)，A(2，0)，B(2，0)，則直線PA的斜率為kPA=y直線PB的斜率為kPB=y所以kPA·kPB=y0x0+2又由點P(x0，y0)在橢圓上，可得x024+即y02=1x所以kPA·kPB=y02即直線PA與直線PB的斜率之積為定值.(2)由直線l過點D(1，0)，且斜率不為0，可設直線l的方程為x=ky+1，聯(lián)立x整理得(k2+4)y2+2ky3=0，Δ>0，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1+y2=2kk2+4，y則y1+即3y1+3y2=2ky1y2，又由直線AM：y=y1x1+2(直線BN：y=y2x2-2(聯(lián)立方程組，可得y1x1+2(x+2)=y2整理得x+2x-2==y2ky2=ky1解得x=4，即點Q(4，yQ)，又由向量OA=(2，0)，OQ=(4，yQ)所以OA·OQ=2×4+0×yQ=8，即OA·OQ為定值.2.解(1)雙曲線C：x2a2y2b2=1(a>0，b>0)的漸近線方程為y=±bax因為頂點到漸近線的距離為2所以|ab|a2+b設P(x0，y0)(x0>a)，A1(a，0)，A2(a，0)，則kPA1·kPA2所以y02=4(x02因為點P(x0，y0)在雙曲線上，所以x02a所以y02=b2a2(x0又c2=a2+b2，所以a2=1，b2=4，c2=5，所以雙曲線C的標準方程為x2y24(2)設直線MN的方程為x=my2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立x得(4m21)y216my+12=0，則Δ=(16m)24(4m21)×12=64m2+48>0，且4m21≠0，所以y1+y2=16m4m2-1，y1因為直線l與雙曲線C交于x軸上方的M，N兩點，所以y即16m4m2所以yE=y1+y22=8m4即E2所以kOE=yExE又|MF||NF|=|MQ||NQ|，所以所以yF=2y