§7.10立體幾何中的動(dòng)態(tài)、軌跡問題重點(diǎn)解讀“動(dòng)態(tài)”問題是高考立體幾何問題中最具創(chuàng)新意識(shí)的題型，它滲透了一些“動(dòng)態(tài)”的點(diǎn)、線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力，題型更新穎.同時(shí)，由于“動(dòng)態(tài)”的存在，也使立體幾何題更趨多元化，將立體幾何問題與平面幾何中的解三角形問題、多邊形面積問題以及解析幾何問題之間建立橋梁，使得它們之間靈活轉(zhuǎn)化.題型一平行、垂直中的動(dòng)態(tài)軌跡問題例1已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)P是正方體表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足BP⊥A1C，則點(diǎn)P的軌跡長度為()A.2 B.22C.4 D.32思維升華動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷一般根據(jù)線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.跟蹤訓(xùn)練1在棱長為4的正方體ABCDA1B1C1D1中，棱DD1上的點(diǎn)E滿足DE=ED1，F(xiàn)是側(cè)面CDD1C1上的動(dòng)點(diǎn)，且B1F∥平面A1BE，則點(diǎn)F在側(cè)面CDD1C1上的軌跡長度為(A.22 B.32 C.23 D.4題型二距離、角度有關(guān)的動(dòng)態(tài)軌跡問題例2(多選)(2024·朔州模擬)在三棱錐A1ABC中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AA1=AB=AC=3，P為△A1BC內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(包括邊界)，AP與平面A1BC所成的角為45°，則()A.A1P的最小值為63B.A1P的最大值為6+3C.有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1P⊥BCD.所有滿足條件的線段AP形成的曲面面積為3思維升華距離、角度有關(guān)的軌跡問題(1)距離：可轉(zhuǎn)化為在一個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助于圓錐曲線定義或者球和圓的定義等知識(shí)求解軌跡.(2)角度：直線與面成定角，可能是圓錐側(cè)面；直線與定直線成等角，可能是圓錐側(cè)面.跟蹤訓(xùn)練2如圖，在棱長為6的正方體ABCDA1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)P在截面AB1D1內(nèi)(含邊界)，且滿足A1P=32.則點(diǎn)P的軌跡長度為.題型三翻折有關(guān)的動(dòng)態(tài)軌跡問題例3(多選)(2025·泰安模擬)如圖，在五邊形ABCDE中，四邊形ABCE為正方形，CD⊥DE，CD=DE=2，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABE沿BE折起到平面A1BE位置，使得A1B⊥DE，則下列結(jié)論正確的是()A.平面BCDE⊥平面A1BEB.若O為BE的中點(diǎn)，則DE∥平面FOCC.折起過程中，F(xiàn)點(diǎn)的軌跡長度為πD.三棱錐A1CDE的外接球的體積為6π思維升華翻折有關(guān)的軌跡問題(1)翻折過程中尋找不變的垂直關(guān)系求軌跡.(2)翻折過程中尋找不變的長度關(guān)系求軌跡.(3)可以利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡.跟蹤訓(xùn)練3(多選)(2024·南陽模擬)如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=33，CD=43，AD=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，CD上的點(diǎn)，且EF∥AD，AE=23.將四邊形AEFD沿EF折起，如圖2，使得平面AEFD⊥平面EBCF，點(diǎn)M是四邊形AEFD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且直線MB與平面AEFD所成的角和直線MC與平面AEFD所成的角相等，則下列結(jié)論正確的是()A.AC⊥BFB.點(diǎn)M的軌跡長度為2πC.點(diǎn)M到平面EBCF的最大距離為3D.當(dāng)點(diǎn)M到平面EBCF的距離最大時(shí)，三棱錐MBCF外接球的表面積為28π答案精析例1D[由題意可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為過點(diǎn)B與直線A1C垂直的截面與正方體的表面的交線，如圖所示.在正方體ABCDA1B1C1D1中，BD⊥AC，BD⊥AA1，又AC，AA1?平面AA1C且AC∩AA1=A，所以BD⊥平面AA1C，因?yàn)锳1C?平面AA1C，所以BD⊥A1C.又在正方體ABCDA1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥B1A1，又B1C，B1A1?平面B1CA1且B1C∩B1A1=B1，所以BC1⊥平面B1CA1，因?yàn)锳1C?平面B1CA1，所以BC1⊥A1C.由BD，BC1?平面BDC1且BD∩BC1=B，所以A1C⊥平面BDC1.于是點(diǎn)P的軌跡長度為不包含點(diǎn)B的△BDC1的周長，即△BDC1的周長等于312+12跟蹤訓(xùn)練1A[取CC1的中點(diǎn)H，C1D1的中點(diǎn)M，連接B1H，HM，MB1，在正方體中，明顯有HM∥BA1，B1H∥A1E，又HM?平面A1BE，BA1?平面A1BE，B1H?平面A1BE，A1E?平面A1BE，所以HM∥平面A1BE，B1H∥平面A1BE，又HM，B1H?平面B1HM，HM∩B1H=H，所以平面B1HM∥平面A1BE，當(dāng)F在線段MH上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有B1F∥平面A1BE，即點(diǎn)F在側(cè)面CDD1C1上的軌跡為線段MH，又MH=2C1M=22故點(diǎn)F在側(cè)面CDD1C1上的軌跡長度為22.]例2ACD[依題意，A1B=A1C=BC=32取BC的中點(diǎn)M，連接AM，A1M，則AM⊥BC，A1M⊥BC，AM，A1M?平面A1AM，AM∩A1M=M，所以BC⊥平面A1AM，過A作AH⊥A1M于H，因?yàn)锳H?平面A1AM，所以AH⊥BC，又A1M∩BC=M，A1M，BC?平面A1BC，所以AH⊥平面A1BC，易得AH=3，且H為等邊△A1BC的外心由AP與平面A1BC所成的角為45°，可知AH=HP，所以點(diǎn)P的軌跡是以H為圓心，3為半徑的圓在△A1BC內(nèi)部及邊界上的一部分，如圖所示所以A1P的最小值為A1HHP=63，A由于軌跡圓部分在△A1BC外部，所以A1P的最大值不等于A1H+HP=6+3，B因?yàn)锽C⊥平面A1AM，若A1P⊥BC，則點(diǎn)P在線段A1H上，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿足題意，C選項(xiàng)正確；動(dòng)線段AP形成的曲面為圓錐AH側(cè)面的一部分，因?yàn)閏os∠B1HM=HMHB所以∠B1HM=π因?yàn)?π-2×π4×32π圓錐AH的側(cè)面積為12×6×2π×3=3所以所有滿足條件的線段AP形成的曲面面積為32π4，跟蹤訓(xùn)練226π解析取B1D1的中點(diǎn)O1，三棱錐A1AB1D1為正三棱錐，過A1作A1G⊥平面AB1D1于點(diǎn)G，如圖，則G為正△AB1D1的中心，又AB1=62∵AO1=32AB1=32×62=36，∴GO1=13AG=23AO1=2由V三棱錐A1-AB1D1=V三棱錐∴13×34×(62)2×A1G=13×12×∵A1P=32∴GP=A1P∴點(diǎn)P的軌跡是以G為圓心，6為半徑的圓，即正△AB1D1的內(nèi)切圓∴點(diǎn)P的軌跡長度為2π×6=26π.例3ABD[對于A，由題意得∠BEC=∠CED=π4，所以∠BED=π2，即DE⊥BE，而已知DE⊥A1B，且A1B∩BE=B，A1B?平面BE?平面A1BE，所以DE⊥平面A1BE，DE?平面BCDE，所以平面BCDE⊥平面A1BE，故A正確；對于B，因?yàn)镺為BE的中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥BE，又DE⊥BE，所以O(shè)C∥DE，又DE?平面FOC，OC?平面FOC，所以DE∥平面FOC，故B正確；對于C，因?yàn)樗倪呅蜛BCE為正方形，CD⊥DE，CD=DE=2所以CE=(2)過點(diǎn)F作FG⊥BE交BE于點(diǎn)G，如圖，則FG=22BF=所以折起過程中，F(xiàn)點(diǎn)的軌跡是以G為圓心，F(xiàn)G=22為半徑，圓心角為π2所以F點(diǎn)的軌跡長為π2×22=對于D，連接A1O，如圖，則A1O⊥BE，又平面BCDE⊥平面A1BE，平面BCDE∩平面A1BE=BE，A1O?平面A1BE，所以A1O⊥平面BCDE，又四邊形OCDE為邊長為2的正方形，則三棱錐A1CDE的外接球即為四棱錐A1OCDE的外接球，又四邊形OCDE外接圓的直徑為CE=2，A1O=12BE=設(shè)四棱錐A1OCDE的外接球的半徑為R，則(2R)2=A1O2+OD2=A1O2+CE2，即(2R)2=(2)2+22=6，所以所以外接球的體積V=4π3R3=4π3×6即三棱錐A1CDE的外接球的體積為6π，故D正確.]跟蹤訓(xùn)練3BCD[如圖，連接CE，EM.因?yàn)槠矫鍭EFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，AE?平面AEFD，又AE⊥EF，所以AE⊥平面EBCF.所以CE為CA在平面EBCF內(nèi)的射影.易得△BCF為等邊三角形，顯然CE不垂直于BF，所以AC不可能垂直于BF，故A錯(cuò)誤；易知BE⊥EF，易證BE⊥平面AEFD，所以∠BME為直線MB與平面AEFD所成的角.同理∠CMF為直線MC與平面AEFD所成的角，所以∠BME=∠CMF，所以tan∠BME=tan∠CMF，所以BEEM=CFFM.因?yàn)镃F=2BE，所以FM在平面AEFD內(nèi)，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以EF的方向?yàn)閤軸正方向，EA的方向?yàn)閥軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則F(3，0)，設(shè)M(x，y)，則有(x-3)2+y2=2x2+y2，化簡得(x+1)2+y2=4，即點(diǎn)M在平面AEFD內(nèi)的軌跡方程為(x+1)2+y2=4(0≤x≤1，y≥0)，所以點(diǎn)M在四邊形AEFD內(nèi)的軌跡為以(1，0)為圓心要使三棱錐MBCF的體積最大，只要點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的絕對值最大即可.令