高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省池州市貴池區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.若，則實數(shù)（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】依題意，，解得.故選：B2.如圖，已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，而，所以.故選：A.3.在三角形中，，，，則（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】由可得：，所以，又，所以，結(jié)合內(nèi)角和定理，所以.故選：B4.在中，角的對邊分別為，若，，且，則的面積為（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】因，，且，所以，化為.所以，解得.所以.故選：D.5.中，分別是內(nèi)角的對邊，若且，則的形狀是（）A.有一個角是的等腰三角形B.等邊三角形C.三邊均不相等的直角三角形D.等腰直角三角形【答案】D【解析】如圖所示，在邊、上分別取點、，使、，以、為鄰邊作平行四邊形，則，顯然，因此平行四邊形為菱形，平分，而，則有，即，于是得是等腰三角形，即，令直線交于點，則是邊的中點，，而，因此有，從而得，所以是等腰直角三角形.故選：D6.“勾3股4弦5”是勾股定理的一個特例.根據(jù)記載，西周時期的數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形ABCD中，滿足“勾3股4弦5”，且，為上一點，.若，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】由題意建立如圖所示直角坐標(biāo)系因為，則，，，設(shè)，因為，所以，解得.由，得，所以解得所以，故選：B.7.在中，點在邊上，且滿足，點為上任意一點，若實數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，可得，由三點共線可得，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.故選：C.8.若的三個內(nèi)角均小于，點滿足，則點到三角形三個頂點的距離之和最小，點被人們稱為費馬點.根據(jù)以上性質(zhì)，已知是平面內(nèi)的任意一個向量，向量滿足，且，則的最小值是（）A.9 B. C.6 D.【答案】D【解析】設(shè)，，，，，，，則，，，所以，因為為等邊三角形，由題意，等邊的費馬點為的中心，此時取最小值，所以，故選：D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z，原點為O，為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）A.若，則或B.若點Z的坐標(biāo)為，且是關(guān)于的方程的一個根，則C.若，則的虛部為D.若，則點的集合所構(gòu)成的圖形的面積為【答案】BD【解析】A中，令，則，故A錯誤；B中，若點Z的坐標(biāo)為，則，所以，整理得，所以，解得，所以，故B正確；C中，易知的虛部為，故C錯誤；D中，記，則，所以，圓的面積為，圓的面積為，所以點的集合所構(gòu)成的圖形的面積為，故D正確.故選：BD10.已知，是兩個單位向量，時，的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（）A.，的夾角是 B.，的夾角是或C.或 D.或【答案】BC【解析】設(shè)的夾角為，由題可知，，∵，是兩個單位向量，且的最小值為，∴的最小值為，則，解得，∴與的夾角為或，∴或，∴或.故選:BC11.已知三個內(nèi)角的對應(yīng)邊分別為，且.則下列結(jié)論正確（）A.面積的最大值為B.的最大值為C.D.的取值范圍為【答案】AC【解析】由余弦定理得：，解得：，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，故，故A正確；，其中由正弦定理得：，所以，因為，所以，故最大值為，，所以的最大值為，故B錯誤；，故C正確；，因為，所以，所以，故D錯誤.故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若實數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則__________.【答案】【解析】由，可得，解得，所以.故答案為：.13.如圖，在海面上有兩個觀測點B，D，點B在D的正北方向，距離為2km，在某天10:00觀察到某航船在C處，此時測得，5分鐘后該船行駛至A處，此時測得，，，，則該船行駛的距離為_______km【答案】【解析】依題意，,，在中，，，則，又，則km，在中，，，則，由正弦定理，得AB=km，在中，，由余弦定理得，所以該船行駛的距離km.故答案為：14.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了“三斜”求積公式，即的三個內(nèi)角所對的邊分別為，則的面積.已知在中，，則面積的最大值為__________.【答案】3【解析】因為，又，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.則，所以面積的最大值為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）.（1）求實數(shù)的值；（2）設(shè)復(fù)數(shù)，求；解：（1）因為，則，所以，又為純虛數(shù)，所以，解得；（2），所以.16.已知.（1）求與的夾角；（2）若向量為在上的投影向量，求.解：（1）因為，所以，即，解得，設(shè)與的夾角為，則，所以，故與的夾角為；（2）向量為在上的投影向量，則，故.17.的角的對邊分別為，已知.（1）求角A；（2）從三個條件：①；②；③的面積為中任選一個作為已知條件，求周長的取值范圍.解：（1）因為，所以，得，所以，因為，所以.（2）分三種情況求解：選擇①，因為，由正弦定理得，即的周長，因為，所以，即周長的取值范圍是.選擇②,因為，由正弦定理得即的周長，因為，所以，所以，即周長的取值范圍是.選擇③.因為，得，由余弦定理得，即的周長，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以.即周長的取值范圍是.18.已知在中，為中點，，，.（1）若，求；（2）設(shè)和的夾角為，若，求證：；（3）若線段上一動點滿足，試確定點的位置.解：（1）因為，則，可得，因為，，，由平面向量數(shù)量積的定義可得，所以，.（2）因為為的中點，則，由平面向量數(shù)量積的定義可得，所以，，又因為、均為非零向量，故，即.（3）因為點在線段上的一點，設(shè)，其中，則，所以，，又因為，且、不共線，所以，，解得，此時，點為線段的中點.19.在平面直角坐標(biāo)系中，對于非零向量，，定義這兩個向量的“相離度”為，容易知道，平行的充要條件為．（1）已知，，求；（2）①已知，的夾角為和，的夾角為，證明：的充分必要條件是；②在中，，，且，若，求．解：（1）．（2）①因為，且，，則，所以．若，等價于，即，所以的充分必要條件是；②因，則，可得，即，可得，又因為，可知點為的重心，則，可得，，則，，，可得，所以．安徽省池州市貴池區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.若，則實數(shù)（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】依題意，，解得.故選：B2.如圖，已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，而，所以.故選：A.3.在三角形中，，，，則（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】由可得：，所以，又，所以，結(jié)合內(nèi)角和定理，所以.故選：B4.在中，角的對邊分別為，若，，且，則的面積為（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】因，，且，所以，化為.所以，解得.所以.故選：D.5.中，分別是內(nèi)角的對邊，若且，則的形狀是（）A.有一個角是的等腰三角形B.等邊三角形C.三邊均不相等的直角三角形D.等腰直角三角形【答案】D【解析】如圖所示，在邊、上分別取點、，使、，以、為鄰邊作平行四邊形，則，顯然，因此平行四邊形為菱形，平分，而，則有，即，于是得是等腰三角形，即，令直線交于點，則是邊的中點，，而，因此有，從而得，所以是等腰直角三角形.故選：D6.“勾3股4弦5”是勾股定理的一個特例.根據(jù)記載，西周時期的數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形ABCD中，滿足“勾3股4弦5”，且，為上一點，.若，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】由題意建立如圖所示直角坐標(biāo)系因為，則，，，設(shè)，因為，所以，解得.由，得，所以解得所以，故選：B.7.在中，點在邊上，且滿足，點為上任意一點，若實數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，可得，由三點共線可得，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.故選：C.8.若的三個內(nèi)角均小于，點滿足，則點到三角形三個頂點的距離之和最小，點被人們稱為費馬點.根據(jù)以上性質(zhì)，已知是平面內(nèi)的任意一個向量，向量滿足，且，則的最小值是（）A.9 B. C.6 D.【答案】D【解析】設(shè)，，，，，，，則，，，所以，因為為等邊三角形，由題意，等邊的費馬點為的中心，此時取最小值，所以，故選：D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z，原點為O，為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）A.若，則或B.若點Z的坐標(biāo)為，且是關(guān)于的方程的一個根，則C.若，則的虛部為D.若，則點的集合所構(gòu)成的圖形的面積為【答案】BD【解析】A中，令，則，故A錯誤；B中，若點Z的坐標(biāo)為，則，所以，整理得，所以，解得，所以，故B正確；C中，易知的虛部為，故C錯誤；D中，記，則，所以，圓的面積為，圓的面積為，所以點的集合所構(gòu)成的圖形的面積為，故D正確.故選：BD10.已知，是兩個單位向量，時，的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（）A.，的夾角是 B.，的夾角是或C.或 D.或【答案】BC【解析】設(shè)的夾角為，由題可知，，∵，是兩個單位向量，且的最小值為，∴的最小值為，則，解得，∴與的夾角為或，∴或，∴或.故選:BC11.已知三個內(nèi)角的對應(yīng)邊分別為，且.則下列結(jié)論正確（）A.面積的最大值為B.的最大值為C.D.的取值范圍為【答案】AC【解析】由余弦定理得：，解得：，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，故，故A正確；，其中由正弦定理得：，所以，因為，所以，故最大值為，，所以的最大值為，故B錯誤；，故C正確；，因為，所以，所以，故D錯誤.故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若實數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則__________.【答案】【解析】由，可得，解得，所以.故答案為：.13.如圖，在海面上有兩個觀測點B，D，點B在D的正北方向，距離為2km，在某天10:00觀察到某航船在C處，此時測得，5分鐘后該船行駛至A處，此時測得，，，，則該船行駛的距離為_______km【答案】【解析】依題意，,，在中，，，則，又，則km，在中，，，則，由正弦定理，得AB=km，在中，，由余弦定理得，所以該船行駛的距離km.故答案為：14.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了“三斜”求積公式，即的三個內(nèi)角所對的邊分別為，則的面積.已知在中，，則面積的最大值為__________.【答案】3【解析】因為，又，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.則，所以面積的最大值為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）.（1）求實數(shù)的值；（2）設(shè)復(fù)數(shù)，求；解：（1）因為，則，所以，又為純虛數(shù)，所以，解得；（2），所以.16.已知.（1）求與的夾角；（2）若向量為在上的投影向量，求.解：（1）因為，所以，即，解得，設(shè)與的夾角為，則，所以，故與的夾角為；（2）向量為在上的投影向量，則，故.17.的角的對邊分別為，已知.（1）求角A；（2）從三個條件：①；②；③的面積為中任選一個作為已知條件，求周長的取值范圍.解：（1）因為，所以，得，所以，因為，所以.（2）分三種情況求解：選擇①，因為，由正弦定理得，即的周長，因為，所以，即周長的取值范圍是.選擇②,因為，由正弦定理得即的周長，因為，所以，所以，即周長的取值范圍是.選擇③.因為，得，由余弦定理得，即的周長，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以.即周長的取值范圍是.18.已知在中，為中點，，，.（1）若，求；（2）設(shè)和的夾角為，若，求證：；（3）若線段上一動點滿足，試確定點的位置.解：（1）因為，則，可得，因為，，，由平面向量數(shù)量積的定義可得，所以，