第21章二次根式章節(jié)復(fù)習(xí)（難點練）一、單選題1．（2021·四川省遂寧市第二中學(xué)校九年級月考）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）.A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)最簡二次根式的意義，可知是最簡二次根式，=，，=x，不是最簡二次根式.故選A.2．（2021·上海九年級專題練習(xí)）當(dāng)時，的值為（）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)分式的運算法則以及二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：原式=將代入得，原式.故選：A.【點睛】本題考查分式的運算以及二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的運算法則以及觀察出分母可以開根號，本題屬于較難題型．3．（2021·浙江九年級期末）如圖1，矩形方框內(nèi)是一副現(xiàn)代智力七巧板，它由兩個半圓①和⑦、⑥、等腰直角三角形②和都含角的角不規(guī)圖形③、直角梯形④、圓不規(guī)圖形⑤組成，已知．如圖2，在矩形內(nèi)，這個智力七巧板恰好能拼成一個滑滑梯，若的直徑是2，則矩形的周長為（）A．32 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理得出AI，BG，進(jìn)而利用四邊形的周長解答．【詳解】解：如圖，，，，，，，，四邊形的周長，故選：C．【點睛】此題考查矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)利用勾股定理解答．4．（2021·山東淄博市·九年級期中）如圖，正方形ABCD邊長為2，從各邊往外作等邊三角形ABE、BCF、CDG、DAH，則四邊形AFGD的周長為（）A．4＋2＋2 B．2＋2＋2 C．4＋2＋4 D．2＋2＋4【答案】A【分析】分別求出∠ABF和∠FCG的度數(shù)，再利用正方形與等邊三角形的性質(zhì)，證明△ABF≌△FCG，可得AF=FG，同理AF=AG，設(shè)AB中點為K，連接AG，GK，交于可得△AKG為直角三角形，再利用由勾股定理求得AG，然后即可求得四邊形AFGD的周長．【詳解】解：正方形ABCD邊長為2，等邊三角形BCF、CDG、同理可得：所以△ABF≌△FCG，∴AF=FG．設(shè)AB中點為K，連接AG，GK，交于同理AF=AG則△AKG為直角三角形，由三角形為等邊三角形，則∴，由勾股定理得：四邊形AFGD的周長為：AF+FG+GD+DA=故選：A．【點睛】本題主要考查勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，二次根式的化簡，二次根式的運算等知識點，此題有一定難度，屬于難題．二、填空題5．（2021·湖北武漢市·九年級專題練習(xí)）化簡并計算：________．（結(jié)果中分母不含根式）【答案】【分析】根據(jù)=，將原式進(jìn)行拆分，然后合并可得出答案．【詳解】解：原式==．故答案為．【點睛】此題考查了二次根式的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是將原式進(jìn)行拆分，有一定的技巧性，注意仔細(xì)觀察．6．（2021·山東淄博市·九年級期中）如圖，在△ABC中，D是AC邊的中點，連接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BD，聯(lián)結(jié)．若AD＝＝2，BD＝3，則點D到的距離為__________．【答案】【分析】連接，交BD于點M，過點D作于點H，由翻折知，△BDC≌△，BD垂直平分，證△為等邊三角形，利用解直角三角形求出DM=1，，BM=2，在Rt△中，利用勾股定理求出的長，在△中利用面積法求出DH的長，則可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，交BD于點M，過點D作于點H，∵=2，D是AC邊上的中點，∴DC=AD=2，由翻折知，△BDC≌△，BD垂直平分，∴∴，∴△為等邊三角形，∴∵，∴在Rt△中，∴∴BM=BD-DM=3-1=2，在Rt△中，∵∴∴∴點D到BC'的距離為．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的乘除運算等，解題關(guān)鍵是會通過面積法求線段的長度．7．（2021·江蘇南通市·九年級二模）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點M在邊AB上，點N在對角線AC上，連接DM，DN．若AM＝CN，則(DM＋DN)2的最小值為____．【答案】【分析】過點C作CH⊥AC，使得CH=AD，連接NH，由題意易得∠NCH=∠MAD=90°，進(jìn)而可得△NCH≌△MAD，然后可得DM=NH，要使的值為最小，只需DM+DN的值為最小，即NH+DN的值為最小，所以可得D、N、H三點共線時最小，則過點H作HE⊥DC于點E，然后根據(jù)勾股定理可求解．【詳解】解：過點C作CH⊥AC，使得CH=AD，連接NH，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，AB=2，∴∠MAD=∠DCB=90°，∠DCA=45°，AD=CH=AB=CD=2，∴∠NCH=∠MAD=90°，∵AM=CN，∴△NCH≌△MAD（SAS），∴DM=NH，若使的值為最小，只需DM+DN的值為最小，即NH+DN的值為最小，所以可得D、N、H三點共線時最小，則過點H作HE⊥DC于點E，如圖所示：∴∠DCA=∠ECH=45°，∴△CEH為等腰直角三角形，∴，∴，∴在Rt△DEH中，；∴的最小值為；故答案為．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及二次根式的運算，熟練掌握正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及二次根式的運算是解題的關(guān)鍵．三、解答題8．（2021·全國九年級專題練習(xí)）閱讀下面的解答過程，然后作答：有這樣一類題目：將化簡，若你能找到兩個數(shù)m和n，使m2+n2=a且mn=，則a+2可變?yōu)閙2+n2+2mn，即變成（m+n）2，從而使得化簡．例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2∴==+請你仿照上例將下列各式化簡（1），（2）．【答案】（1）1+；（2）.【分析】參照范例中的方法進(jìn)行解答即可.【詳解】解：（1）∵，∴；（2）∵，∴.9．（2021·廣東九年級專題練習(xí)）先化簡，再求值：，其中.【答案】.【分析】根據(jù)分式的運算法則進(jìn)行化簡，再代入求解.【詳解】原式=.將代入原式得【點睛】此題主要考查分式的運算，解題的關(guān)鍵是熟知分式的運算法則.10．（2021·全國九年級專題練習(xí)）閱讀材料，請回答下列問題材料一：我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三邊長，求它的面積．用現(xiàn)代式子表示即為：S＝…①（其中a，b，c為三角形的三邊長，S為面積）而另一個文明古國古希臘也有求三角形面積的“海倫公式”；S＝……②（其中p＝）材料二：對于平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）公式逆用可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，例：a2﹣（b+c）2＝（a+b+c）（a﹣b﹣c）（1）若已知三角形的三邊長分別為3、4、5，請試分別運用公式①和公式②，計算該三角形的面積；（2）你能否由公式①推導(dǎo)出公式②？請試試．【答案】（1）三角形的面積為6；（2）見解析.【分析】（1）根據(jù)材料，代入公式即可求解；（2）根據(jù)平方差公式和完全平方公式即可推導(dǎo)．【詳解】解：（1）設(shè)a＝3，b＝4，c＝5，∵32+42＝25，52＝25，∴a2+b2＝c2，a2b2＝144，∴S＝＝＝6；∵p＝＝＝6，p﹣a＝6﹣3＝3，p﹣b＝6﹣4＝2，p﹣c＝6﹣5＝1，S＝＝＝6．∴三角形的面積為6．（2）∵[a2b2﹣（）2]＝[﹣]＝[（a+b）2﹣c2][c2﹣（a﹣b）2]＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a+c﹣b）（b+c﹣a）＝×2p?（2p﹣2c）（2p﹣2b）（2p﹣2a）＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）∴＝.【點睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用、平方差公式和完全平方公式，解決本題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用公式．11．（2021·上海九年級專題練習(xí)）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．古希臘幾何學(xué)家海倫，在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測量問題而聞名．在他的著作《度量》一書中，給出了三角形面積的計算公式(海倫公式)：如果一個三角形的三邊長分別為，記，那么三角形的面積是．印度算術(shù)家波羅摩笈多和婆什迦羅還給出了四邊形面積的計算公式：如果一個四邊形的四邊長分別為，記，那么四邊形的面積是(其中，和表示四邊形的一組對角的度數(shù))根據(jù)上述信息解決下列問題：（1）已知三角形的三邊是4，6，8，則這個三角形的面積是（2）小明的父親是工程師，設(shè)計的某個零件的平面圖是如圖的四邊形，已知，，，，，．求出這個零件平面圖的面積．【答案】（1）；（2）【分析】(1)根據(jù)三角形的面積公式直接代入數(shù)據(jù)計算即可；【詳解】(1)p=，∴三角形的面積是：；(2)，∴，，∴，∴，又，∴，∴這個零件平面圖的面積是．【點睛】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，平方差公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)并根據(jù)題目給出的公式代入計算．還考查了計算能力．12．（2021·廣東九年級專題練習(xí)）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【詳解】解:原式，把代入，原式13．（2021·黃山市黃山第二中學(xué)九年級月考）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，連接CD，CE．（1）求證：AB=CD；（2）若BC=10，∠ABC=45°，連接BE，求△BCE的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）50-50【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AB，AC=AE．∠CAE=60°，∠AED=∠ACB=30°，從而得到△ACE是等邊三角形、∠AED=∠CED=30°；再通過證明△AED≌△CED，得AD=CD，結(jié)合AD=AB，即可完成證明；（2）過點A作AF⊥BC于點F，設(shè)BF=x，根據(jù)∠ABC=45°，AF⊥BC，得BF=AF=x；根據(jù)∠ACB=30°，∠ACE=60°，AF⊥BC得CF；根據(jù)BF+CF=BC=10，列方程并求解，即可得到CE，經(jīng)計算從而得到答案．【詳解】（1）∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，∴AD=AB，AC=AE．∠CAE=60°，∠AED=∠ACB=30°，∴△ACE是等邊三角形，∴AC=AE=CE，∠ACE=∠AEC=60°，∴∠AED=∠CED=30°又∵DE=DE，AE=CE，∴△AED≌△CED（SAS），∴AD=CD又∵AD=AB，∴AB=CD（2）如圖，過點A作AF⊥BC于點F設(shè)BF=x∵∠ABC=45°，AF⊥BC，∴∠ABC=∠BAF=45°，∴BF=AF=x∵∠ACB=30°，∠ACE=60°，AF⊥BC，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，AC=2x，∴CF=x∴CE=AC=2x．∵BF+CF=BC=10，∴x+x=10，∴x=5-5，∴CE=2x=10-10，∴△BCE的面積=BC×CE=10（10-10）=50-50．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)、等邊三角形、全等三角形、勾股定理、直角三角形、一元一次方程、二次根式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)、等邊三角形、全等三角形、勾股定理、直角三角形、一元一次方程、二次根式的性質(zhì)，從而完成求解．14．（2021·山西臨汾市·九年級期末）閱讀下列解題過程：請回答下列問題：（1）觀察上面的解答過程，請寫出______；（2）利用上面的解法，請化簡：（3）和的值哪個較大，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3），見解析【分析】（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式計算；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）由（1）的方法可得，，，根據(jù)可得，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：（1）；（2）（3）由（1）的方法可得，∵∴即，．【點睛】本題考查了分母有理化和二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運算，再合并即可．15．（2021·全國九年級專題練習(xí)）若三個實數(shù)x，y，z滿足xyz≠0，且x+y+z＝0，則有：＝|++|．例如：＝＝|++|＝請解決下列問題：（1）求的值．（2）設(shè)S＝++…+，求S的整數(shù)部分．（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，當(dāng)+|﹣﹣|取得最小值時，求x的取值范圍．【答案】（1）；（2）2019；（3）0＜x≤【分析】（1）根據(jù)范例中提供的計算方法進(jìn)行計算即可；（2）將原式進(jìn)行化簡，再確定整數(shù)部分；（3）將原式化簡為||+||，再根據(jù)||+||取最小值時，確定x的取值范圍．【詳解】解：（1）＝＝|++|＝；（2）S＝++…+，＝++…+，＝|1+1﹣|+|1+﹣|+…+|1+﹣|，＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣，＝2019+，故整數(shù)部分為2019；（3）由題意得，+|﹣﹣|，＝|++|+|﹣﹣|，＝||+||，又y+z＝3yz，原式＝||+||，因為||+||取最小值，所以﹣3≤≤3，而x＞0，因此，0＜x≤，答：x的取值范圍為0＜x≤．【點睛】本題考查了分式的加減法、實數(shù)的運算、二次根式的運算，解題關(guān)鍵是掌握數(shù)字間的變化規(guī)律，準(zhǔn)確計算．16．（2021·北京九年級專題練習(xí)）已知，，求的值．【答案】970【分析】首先把x和y進(jìn)行分母有理化，然后將其化簡后的結(jié)果代入計算即可．【詳解】解：∵，，∴原式．【點睛】本題主要考查二次根式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是對x和y進(jìn)行分母有理化及掌握二次根式的運算法則．17．（2021·全國九年級專題練習(xí)）閱讀下列解題過程：＝＝-1；＝＝-；＝＝-＝2-；…解答下列各題：（1）＝；（2）觀察下面的解題過程，請直接寫出式子＝．（3）利用這一規(guī)律計算：（+…+）×（+1）．【答案】（1）；（2）；（3）2020【分析】（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和二次根式的性質(zhì)計算，即可得到答案；（2）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和二次根式的性質(zhì)計算，即可得到答案；（3）根據(jù)（1）和（2）的結(jié)論，先分母有理