2/30重難點04利用導數(shù)研究不等式恒（能）成立問題（舉一反三專項訓練）【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用導數(shù)研究不等式恒成立問題】 3【題型2利用導數(shù)研究能成立問題】 5【題型3分離參數(shù)法解決不等式恒（能）成立問題】 8【題型4分類討論法解決不等式恒（能）成立問題】 11【題型5構(gòu)造函數(shù)法解決不等式恒（能）成立問題】 15【題型6與不等式恒（能）成立有關(guān)的證明問題】 18【題型7洛必達法則】 23【題型8導數(shù)中雙變量恒（能）成立問題】 23【題型9導數(shù)中雙函數(shù)恒（能）成立問題】 311、利用導數(shù)研究不等式恒（能）成立問題導數(shù)中的不等式恒(能)成立問題是高考的?？伎键c，是高考的熱點問題，從近幾年的高考情況來看，不等式的恒(能)成立問題經(jīng)常與導數(shù)及其幾何意義、函數(shù)、方程等相交匯，綜合考查分析問題、解決問題的能力，一般作為壓軸題出現(xiàn)，試題難度較大，解題時要學會靈活求解.知識點1不等式恒（能）成立問題的解題策略1．不等式恒（能）成立問題的求解方法解決不等式恒（能）成立問題主要有兩種方法：(1)分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題①分離變量：根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，進而解決問題．②恒成立；恒成立；能成立；能成立.(2)分類討論法解決恒（能）成立問題分類討論法解決恒（能）成立問題，首先要將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)進行分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可.知識點2雙變量的恒（能）成立問題的解題策略1．雙變量的恒（能）成立問題的求解方法“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實質(zhì)，深刻挖掘內(nèi)含條件，進行等價變換，常見的等價變換有：對于某一區(qū)間I，(1).(2).(3).知識點3洛必達法則“洛必達法則”是高等數(shù)學中的一個重要定理，用分離參數(shù)法(避免分類討論)解決成立或恒成立命題時，經(jīng)常需要求在區(qū)間端點處的函數(shù)(最)值，若出現(xiàn)型或型可以考慮使用洛必達法則.1．洛必達法則法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導且g'(x)≠0；(3)，那么.法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導且g'(x)≠0；(3)，那么.2．用洛必達法則處理型函數(shù)的步驟：(1)分離變量；(2)出現(xiàn)型式子；(3)運用洛必達法則求值.3．用洛必達法則處理型函數(shù)的步驟：(1)分離變量；(2)出現(xiàn)型式子；(3)運用洛必達法則求值.【注意】：1．將上面公式中的換成，洛必達法則也成立.2．洛必達法則可處理型求極限問題.3．在著手求極限前，首先要檢查是否滿足型定式，否則濫用洛必達法則會出錯，當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限.4．若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則.【題型1利用導數(shù)研究不等式恒成立問題】【例1】（2025·海南·模擬預測）已知當x>0時，exlnx?2xlnA．?∞,1 B．?∞,2?2ln2C．?∞,2ln2 D．?∞,2+2ln2【答案】B【解題思路】令gx=xlnx,x>0，求g′x=lnx+1，判斷gx單調(diào)性,得到gx【解答過程】令gx=x所以當x∈0,1當x∈1e,+∞時，又x→+∞,gx→+∞，所以令ft=e所以當t∈?1e,ln2當t∈ln2,+∞時，f′所以f(所以ex又當x>0時，e所以ex故實數(shù)a的取值范圍為?∞,2?2ln2．故選：B.【變式1-1】（2025·甘肅金昌·三模）若關(guān)于x的不等式elnaxlnax≤2xeA．0,e B．0,2e C．0,e D．【答案】B【解題思路】利用同構(gòu)可得lnax≤2x即lna≤2【解答過程】由題設(shè)有a>0當lnax≤0即0<x當lnax>0即x>1a故st=tet在因為lnax>0,2x>0，故lnax而0<x≤1a時，故lna≤2x設(shè)ux=2x當0<x<12時，u′故ux在0,12故uxmin=1+ln2，故ln故0<a故選：B.【變式1-2】（2025·廣東廣州·三模）若不等式ex≥kx（e=2.71828...為自然對數(shù)的底數(shù)）對任意實數(shù)xA．0 B．1 C．e D．e【答案】C【解題思路】k≥0，不等式恒成立，故只需考慮x>0，分類參數(shù)構(gòu)造函數(shù)【解答過程】依題，k≥0，則x≤0時，不等式恒成立，故只需考慮x>0令f(x)=易知fx在0,1單調(diào)遞減，在1,+∞所以f(x)min=故選：C.【變式1-3】（2025·江西新余·模擬預測）若關(guān)于x的不等式aex+lnx2≥x2A．e,+∞ B．0,e C．1e,+∞ 【答案】C【解題思路】利用通過將原不等式轉(zhuǎn)化為ex+lna?x+lna【解答過程】依題意，aex?令gx=e則?′x=ex故當x∈0,ln2時，?′x<0當x∈ln2,+∞時，?′x>0故?x故gx在0,+∞上單調(diào)遞增，故只需x+lna令mx=lnx故當x∈0,1時，m′x>0當x∈1,+∞時，m′x<0故mx≤m1=?1故選：C.【題型2利用導數(shù)研究能成立問題】【例2】（2025高三·全國·專題練習）函數(shù)fx=lnx?mx+1，若存在x∈A．?∞,1 B．?∞,2 C．1,+∞ D．2,+∞【答案】A【解題思路】構(gòu)造函數(shù)gx=1+ln【解答過程】若存在x∈0,+∞，使得fx設(shè)gx=1+lnxx令g′x=0當x∈0,1時，g′當x∈1,+∞時，g′x<0故m的取值范圍為?∞,1．故選：A.【變式2-1】（2025·遼寧大連·三模）已知fx=xeax?lnx?axA．?∞,1e B．?1e,+∞ 【答案】B【解題思路】通過同構(gòu)，令lnx0+ax0=t得到et【解答過程】由題意可得：x0ea令lnx0+ax構(gòu)造gt=e由g′t=et?1<0，可得所以gt=et?又g0所以lnx0+ax參變分離得到a=?令?(x)=?易得當x∈0,e時，?′(x所以?(x)=?lnxx最小值為?(e)=?1e，當x→所以?(x)=?ln所以實數(shù)a的取值范圍是?1故選：B.【變式2-2】（2025·河北張家口·一模）已知f(x)=ln(1)若a=2，求曲線f(x(2)若?x0∈(0,2]，使f【答案】(1)x+(2)a<【解題思路】（1）由題意結(jié)合導數(shù)依次求出f(1),（2）先由fx0>0得到a<ln【解答過程】（1）a=2時，f所以f(1)=?4,f′所以曲線f(x)在x=1處的切線方程為（2）因為?x0∈(0,2]，使得f所以a<lnx0x所以?′x=?1x2?所以?x≥?2=3所以函數(shù)gx在(0,2]上單調(diào)遞增，所以g所以a<【變式2-3】（2025·甘肅白銀·模擬預測）已知函數(shù)fx=mx?2e(1)求m的值及fx(2)若存在x∈R，使得fx≤2e【答案】(1)答案見解析；(2)a≤2e【解題思路】（1）對函數(shù)求導，由f′（2）問題化為a≤2(xe+ex【解答過程】（1）由題設(shè)f′x=mx?2+所以f′x=2xex，當x<0所以fx的遞減區(qū)間為(?∞,0)，遞增區(qū)間為(0,+∞)，即x綜上，m=2，fx的遞減區(qū)間為(?∞,0)，遞增區(qū)間為（2）由題設(shè)2x?2ex?1≤2e令g(x)=令?(x)=g當x<?1時，?′(x)>0當x>?1時，?′(x)<0由x→?∞時g′(當x<1時，g′(x)>0當x>1時，g′(x)<0所以g(x)≤【題型3分離參數(shù)法解決不等式恒（能）成立問題】【例3】（2025·陜西·二模）?x∈1,2，有l(wèi)nx+A．e,+∞ B．1,+∞ C．e2,+∞ 【答案】C【解題思路】參變分離可得a≥?x2lnx+x【解答過程】因為?x∈1,2所以a≥?x2令μx=?x則μ′令μ′x=0，得x=e，當x∈1,當x∈e,2時，μ′x則μx所以a≥e2，即實數(shù)a故選：C．【變式3-1】（2025·四川成都·三模）若x∈0,+∞，x2+axA．e B．2 C．e?1 D．【答案】D【解題思路】先確定x=0時的情況，在x>0時，參變分離可得a≤ex【解答過程】當x=0，1≤當x>0時，a≤e令f(x)=令g(x)=ex?x所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以g所以當0<x<1時，f′(x)<0，f(所以f(x)所以實數(shù)a的最大值為e?2.故選：D.【變式3-2】（2025·遼寧盤錦·三模）已知函數(shù)f((1)當0<λ<9(2)若?x∈2,4，f【答案】(1)答案見解析(2)?∞,?【解題思路】（1）求出導數(shù)f′(x)，解不等式f′x>0（2）分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究其最值即可求解恒成立問題.【解答過程】（1）依題意，x∈0,+∞，由2x2?3當0<λ<9令f′(x)=0，得故當0<λ<9故當x∈0,x1時，f′x>0，當x所以f(x)在0,3?9?8（2）令x2?3x+λlnx令g(x)=令?x=3?2易知?′(x故?(x則?(x故g′(x故λ≤故實數(shù)λ的取值范圍為?∞,?2【變式3-3】（2025·江西·三模）已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)若fx≥1?【答案】(1)答案見解析(2)a【解題思路】（1）通過導數(shù)的正負來判斷原函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合導函數(shù)的零點個數(shù)，從而可求極值點個數(shù)；（2）利用同構(gòu)函數(shù)思想，把指對函數(shù)同構(gòu)為gt=e【解答過程】（1）由fx=eax?ln當a≤0時，f′x<0恒成立，所以fx當a>0時，gx=所以f′x在當ax=1，即x=1當ax=12，即x所以存在唯一的實數(shù)x0∈1當x∈0,x0時，當x∈x0,+∞時，所以x=x0綜上所述，當a≤0時，fx的極值點個數(shù)為0；當a>0（2）由fx≥1?ax設(shè)函數(shù)gt=et+t，由由于①式可化為gax≥g所以a≥lnx設(shè)函數(shù)?x=lnxx，則?當x∈0,e時，?′當x∈e,+∞時，?′所以當x=e時，?即?x最大值為?e=【題型4分類討論法解決不等式恒（能）成立問題】【例4】（2025·海南·模擬預測）若不等式e2x+2t2x≥A．e2 B．e C．e22【答案】C【解題思路】由已知不等式變形得出t?ex2t?exx≥0，分【解答過程】由e2x+2即ex?2tex令fx=exx，其中x即函數(shù)fx在1,+∞考慮當ex2=ex要使得t?ex當x=2時，則有t當1≤x<2時，ex2<ex此時t≤e2當x>2時，ex2>exx由于當x→+∞時，ex2→+∞，則t≥綜上所述，t≤e2或t=e故選：C.【變式4-1】（2025·遼寧·一模）已知函數(shù)fx=e2x?e?2xA．?∞,2 B．?∞,4 C．2,+∞ D．4,+∞【答案】B【解題思路】求導f′x=2e2x+2【解答過程】由fx=e令gx則g′因為函數(shù)y=4e2所以函數(shù)g′x=4所以g′所以函數(shù)gx=2e所以f′當a≤4時，f所以函數(shù)fx在0,+∞所以fx當a>4時，則存在x0∈且當x∈0,x0，所以fx0<綜上所述，a的取值范圍是?∞,4.故選：B.【變式4-2】（2025·新疆喀什·二模）已知函數(shù)f(1)當m=?1時，求f(2)若存在x∈?2,0，使得fx【答案】(1)極大值為5，極小值為?(2)?∞,0【解題思路】（1）結(jié)合導數(shù)分析函數(shù)fx（2）求導，分m≥2，0<m<2【解答過程】（1）當m=?1時，f則f′令f′x<0，得?2<x<1；令f所以函數(shù)fx在?∞,?2和1,+∞上單調(diào)遞增，在?2,1則x=?2時，函數(shù)fx取得極大值x=1時，函數(shù)fx取得極小值（2）由fx=e則f′當m≥2時，?m≤?2，此時f′x則fxmin=當0<m<2時，則x∈?2,?m時，f′x則函數(shù)fx在?2,?m上單調(diào)遞減，在則fxmin=f?當m≤0時，?m≥0，此時f′x則fxmin=綜上所述，m的取值范圍為?∞,0∪【變式4-3】（2025·吉林延邊·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)當a=2時，求f(2)若a≥0，f(x)≥?e【答案】(1)0,1和2+∞；(2)0,e【解題思路】（1）先求出函數(shù)fx的定義域，再求導，令f′(（2）分0≤a<1，a=1，a>1三種情況討論fx在1,+∞上的單調(diào)性，借助導數(shù)及單調(diào)性分別求出fx在【解答過程】（1）函數(shù)fx的定義域為0,+∞當a=2時，ff′令f′(x)>0，解得所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為0,1和2+∞（2）f′x=令f′(x)=0，解得當0≤a當x≥1時，f′(x)≥0因為f(x)≥?e2即?a?1因為0≤a≤1，所以當a>1當x≥a時，f′(x當1≤x<a時，f'(所以當x=a時，f(因為f(x)≥?e2即f(令?(a)=a令g(a)=因為a>1，所以1?a<0所以g(a)在1,+∞即?′(a)<0，所以又因為?(e)=elne?e22?e=?e綜上，實數(shù)a的取值范圍為0,e．【題型5構(gòu)造函數(shù)法解決不等式恒（能）成立問題】【例5】（2025·黑龍江佳木斯·三模）已知不等式xex?x≥lnx+A．m≤?12 B．m≥?12【答案】D【解題思路】將問題轉(zhuǎn)化為xex?x?ln【解答過程】不等式xex?即xex?令fx則f′因為函數(shù)y=ex所以函數(shù)gx=e又g12=所以存在唯一x0∈12,1，使得g則x∈0,x0時，gx所以函數(shù)fx在0,x0所以fx則m+3≤1，即m故選：D.【變式5-1】（2025·陜西商洛·模擬預測）已知函數(shù)fx=2xlnx?ax2，若對任意的xA．12e,+∞ B．1,+∞ C．1e【答案】C【解題思路】構(gòu)造函數(shù)Fx【解答過程】不等式2x1+令Fx=f當x1>x2時，F(xiàn)x所以F′x=即lnxx≤令gx=ln所以當x∈0,e時，g′當x∈e,+∞時，g′x<0,故選：C.【變式5-2】（2025·吉林長春·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)當a=1時，求f(2)若fx≤x2在【答案】(1)fx在?∞,0上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，極小值0(2)a【解題思路】（1）利用導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由極值的定義求解即可；（2）當x>0時，不等式變形為a≥exx?(x+1【解答過程】（1）當a=1時，fx當x<0時f′x<0；當所以fx在?∞,0上單調(diào)遞減，在0,+∞所以當x=0時函數(shù)fx有極小值（2）當x>0，fx≤x2在0,+∞即a≥ex令gx=由（1）知x>0時fx>當0<x<1時g′x<0所以gx在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞所以當x=1時，gxmin綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是a≥e?2【變式5-3】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知函數(shù)f(1)討論fx(2)若對于?x>0，不等式fx【答案】(1)答案見解析(2)?∞,e+1【解題思路】（1）求導，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性；（2）分類參數(shù)，得a≤ex【解答過程】（1）由已知fx=12x2+當a≥?2時，由x+1x≥2恒成立，即f當a<?2時，令f′x=x2+當x∈0,?a?當x∈?a?a當x∈?a+a綜上所述，當a≥?2時，函數(shù)fx在當a<?2時，函數(shù)fx在0,?a?（2）由已知fx=12x所以a≤ex+x則g′設(shè)?x=exx即函數(shù)?x在0,+∞上單調(diào)遞增，且?當x∈0,1時，?x<0，即g′當x∈1,+∞時，?x>0，即g′所以gx所以a≤e+1，即a【題型6與不等式恒（能）成立有關(guān)的證明問題】【例6】（2025·安徽合肥·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)若函數(shù)fx在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞增，求實數(shù)m(2)當m=13【答案】(1)m(2)證明見解析【解題思路】（1）由f′x≥0?3（2）由fx>lnx+1?【解答過程】（1）由題知f′設(shè)?x令gx=x?2ex+3所以gx>g1=?e+3>0，故?所以?x（2）設(shè)?x所以函數(shù)?x在區(qū)間0,+∞∴?x所以fx設(shè)Tx令M∴M令NN′當x∈0,ln2，N′x<0所以M′x在區(qū)間0,ln2上單調(diào)遞減，在區(qū)間∴M′xT′x>Tx【變式6-1】（2025·安徽·三模）已知函數(shù)fx(1)若m=2，求曲線y=f(2)當m∈0,1時，求證：關(guān)于x的不等式mx?【答案】(1)y(2)證明見解析【解題思路】（1）求導，即可根據(jù)點斜式求解切線方程，（2）構(gòu)造函數(shù)gx=mx【解答過程】（1）由題意得，fx=3lnx故f′1=2，而f即y=2（2）要證mx?fx令gx則g′當0<m<1時，由g′x=0當1m≥e，即0<m≤1e時，g′當1m<e，即x1,11g?0+g單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)gx在區(qū)間1,e上的最大值為g1或因為ge=m所以ge又因為g1=m?1<1，所以綜上，當0<m<1時，關(guān)于x的不等式【變式6-2】（2025·河南南陽·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)當a=2時，求f(2)當a=0時，求證：對任意的x∈0,+∞【答案】(1)函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間是?∞,ln2，單調(diào)遞增區(qū)間是(2)證明見解析【解題思路】（1）求導，根據(jù)導數(shù)的符號求函數(shù)fx（2）分析可知原題意等價于12e2【解答過程】（1）當a=2時，fx=令f′x<0，得x<ln2；令所以函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間是?∞,ln2，單調(diào)遞增區(qū)間是ln2,+∞（2）證明：當a=0時，f要證fx+4e構(gòu)建?x=1構(gòu)建mx=e所以函數(shù)mx在0,+∞上單調(diào)遞增，則mx>可知函數(shù)?x在0,+∞則?x>?0【變式6-3】（2025·河北·模擬預測）已知fx=e(1)求a的值；(2)若gx=fx+bx(3)證明：對于任意的x1>0,x【答案】(1)1(2)?∞,?(3)證明見解析【解題思路】（1）通過對函數(shù)f(x)求導得到f′(x)，再對f（2）通過對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而確定函數(shù)的極值點，從而求出參數(shù)b的取值范圍.（3）先看x1=x2，此時結(jié)論顯然成立.對于0<x1<x2接著設(shè)?(x)=f用反證法，若?′(x1)>0或?那么在x1到x2間?(x)<0，即【解答過程】（1）f′x=ex當a=1時，f①當0≤x≤π2時，f′x單調(diào)遞增，又由②當?π6<x<0時，對f′x=ex?acos可知當?π6<x<0時，f′x由①②可知a=1時，函數(shù)fx在（2）gx=ex?sinx+①當b≥0時，若x∈0,π2,p②當b<0時，當?π2<x<π2時，px單調(diào)遞增，若p若p0=2b+1<0時b<?12，存在x0∈0,π2，使當x∈0,x0時，px<0，當x∈（3）x1fx=e不妨設(shè)Ax1,直線AB:設(shè)?x=f當x>0時，對?'x則?′x在0,+∞上單調(diào)遞增，又若?′x1>0，則?x若?′x2<0，則?x故?′x1<0<?則x∈x1,x則fx綜上所述：fx【題型7洛必達法則】【例7】（2025高三·全國·專題練習）已知函數(shù)f(x)=alnx+bx(a,b∈R)在x=12處取得極值，且曲線y=f(x)(1)求實數(shù)a,b的值；(2)若?x∈[1?,?+∞)，不等式【答案】(1)a=1,b=?2；(2)m≥1【解題思路】（1）根據(jù)f(x)=alnx+bx,

求得f′(x)=ax+b，再根據(jù)f(x)=alnx+bx(a,b∈R)在x=（2）將不等式f(x)≤(m?2)x?mx恒成立，轉(zhuǎn)化為lnx≤m(x?1x)恒成立，由x=1時，恒成立；當【解答過程】（1）解：∵f(x)=alnx+bx∴f′函數(shù)f(x)=aln

∴f′又∵曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x?y+1=0垂直，∴f′解得：a=1,b=?2；（2）不等式f(x)≤(m?2)x?mx恒成立可化為即lnx≤m(x?當x=1時，恒成立；當x>1時，m≥x令?(x)=x則?'(x)=(令m(x)=x則m'(x)=2x?2xln令n(x)=x則n'(x)=2x?4xln得n(x)=x2?2故n(x)<n(1)=0，進而m'(x)<0（或m'(x)=x?2xlnx?1得m'(x)=x?2xlnx?1x在可得：m(x)<m(1)=0，故?'(x)<0，所以?(x)=xlnx而m要大于等于?(x)=xlnx當x=1時，y=?(x)沒有意義，由洛必達法得limx→1∴m≥1【變式7-1】（24-25高二下·全國·期末）若不等式sinx>x?ax3對于x∈(0,【答案】a≥1【解題思路】由題設(shè)有a>x?sinx【解答過程】當x∈(0,π2)記f(x)=x?sinx記g(x)=3sinx?xcos因為g″(x)=xcos所以g″(x)在(0,π所以g′(x)在(0,π因此g(x)在(0,π2)故f′(x)=g(x)x4由洛必達法則有l(wèi)imx→0即x趨向于0時，f(x)趨向16，即有f(x)<故a≥16時，不等式sinx>x?a【變式7-2】（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學工具——洛必達法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)fx，gx的導函數(shù)分別為f′x，limx→a②設(shè)a>0，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)fx滿足：對任意x∈0,a，均有fx≥fxk成立，且limx→0結(jié)合以上兩個信息，回答下列問題：(1)試判斷fx=x(2)計算：limx→0(3)證明：sinxx?π【答案】(1)不是；(2)e；(3)證明見解析.【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)fx為區(qū)間0,a上的k（2）通過構(gòu)造?x=lng（3）通過換元令令x?π=t，則原不等式等價于tant?sin2t≥t3,t∈0,π【解答過程】（1）設(shè)Fx由于F1所以fx故fx=x（2）設(shè)gx=(1+x)設(shè)?x則limx→0所以limx→0lng(x)=1（3）令x?π=t，則原不等式等價于即證tant?記ft=tan所以ft即有對任意t∈0,π2所以ft因為limx→0所以limn→+所以ft【變式7-3】（23-24高二下·廣東珠?！て谀┰谘芯亢瘮?shù)問題時，我們經(jīng)常遇到求函數(shù)在某個區(qū)間上值域的問題，但函數(shù)在區(qū)間端點又恰好沒有意義的情況，此時我們就可以用函數(shù)在這點處的極限來刻畫該點附近數(shù)的走勢，從而得到數(shù)在區(qū)間上的值域.求極限我們有多種方法，其中有一種十分簡單且好用的方法——洛必達法則該法則表述為：“設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)滿足下列條件：①limx→af(x)=0，②在點a處函數(shù)f(x)和g(x)的圖像是連續(xù)且光滑的，即函數(shù)f(x)和g(x)在點a處存在導數(shù)；③limx→af′(x)g′(x)則limx→a那么，假設(shè)有函數(shù)f(x)=ex，(1)若f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范圍；(2)證明：ex【答案】(1)1；(2)證明見解析.【解題思路】（1）由題意可得ex≥tx+1恒成立，然后分x=0,x>0,x<0三種情況，根據(jù)不等式恒成立，求出（2）令px=lnx?x+1，對px求導，判斷p【解答過程】（1）若f(x)≥g(x)恒成立，即ex當x=0時，e0當x>0時，t≤ex?1?′x=m′當x>0時，m'x>0，當所以mx在?∞,0上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，所以當x>0時，?'x>0由洛必達法則知：limx→0所以當x>0時，?x>1，所以同理，當x<0時，可得ex?1綜上所述：t的取值范圍為1.（2）令px=ln所以當0<x<1時，p′x>0當x>1時，p′x<0所以當x=1時，px所以當x>0，px≤p1=0，即由（1）知，ex≥x+1（當且僅當所以ex【題型8導數(shù)中雙變量恒（能）成立問題】【例8】（24-25高三上·貴州·階段練習）已知函數(shù)fx=12x2?ax+lnx,A．?32,+∞ B．32,+∞ 【答案】A【解題思路】求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得f′(x)=x2?ax+1x在0,+∞上有兩個不同的零點，即方程x2?ax+1=0在0,+∞上有兩個不同的實根，利用韋達定理及根的判別式求出【解答過程】函數(shù)fx=1又f′(x)=x所以f′(x此時方程x2?ax則Δ=a2?4>0若不等式f(x1因為f=ln(x則f(x1)+f則?′(a)=1a2?1所以?(a)<?(2)=?32，所以λ≥?故選：A.【變式8-1】（2025·福建莆田·三模）已知函數(shù)fx=ex，gx=?x2?mx，若對區(qū)間A．?1,2?2ln2 B．?C．?1,e?2 D．?1,1【答案】A【解題思路】由f(x)單調(diào)性及g構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)?構(gòu)造函數(shù)G(x)=f(【解答過程】假設(shè)x1<x2，因為fx所以fx1令Fx=fx?gx因為F′x在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，所以F′x的最小值為F′令Gx=fx+gx=e令?x=ex?2x，則?′x=ex?2，所以綜上所述，?1≤m故選：A．【變式8-2】（2025·廣西·三模）已知函數(shù)fx(1)當a>0時，求函數(shù)f(2)對任意的x1,x2∈0,1，當【答案】(1)在0,a上單調(diào)遞增，在((2)[?3,+∞)【解題思路】（1）求出函數(shù)fx的定義域與導數(shù)，當a>0時，分析導數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)（2）設(shè)gx=fx?4x，分析可知函數(shù)gx在0,1上為增函數(shù)，則g′x≥0【解答過程】（1）解：函數(shù)fx定義域為0,+∞，f當a>0時，由f′x<0得x>此時函數(shù)fx的增區(qū)間為0,a，減區(qū)間為綜上所述，當a>0時，函數(shù)fx的增區(qū)間為0,a（2）由14fx即fx令gx因為x1<x2，則gx故g′x=ax?1+4設(shè)y=x?4x，y′所以a≥綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為?3,+∞.【變式8-3】（2025·江蘇鹽城·三模）已知函數(shù)f(x)=(1)求函數(shù)gx在x(2)討論函數(shù)fx(3)當m>0時，若對于任意x1>0，總存在x2∈[?2,?1]【答案】(1)x(2)答案見解析(3)e【解題思路】（1）先求gx（2）先求fx的導數(shù)，對m（3）利用導數(shù)法分別求解f(x),【解答過程】（1）因為g(x)=1?所以所求切線的斜率為g′0=?所以切線方程為y?12（2）f(x)=m(所以f′x=2mx?1x+1x當m>0時，由f′x<0解得：x∈由f′x<0解得：x∈1綜上，m≤0時，fx在m>0時，fx在0,1（3）由（2）知，當m>0時，f根據(jù)題意，不等式等價于?14m對于g(x)=1?1所以gx在x∈?2,?1則有?14m設(shè)?m=14m所以?m在定義域內(nèi)為減函數(shù)，又?所以14m?ln2m?1≤12e【題型9導數(shù)中雙函數(shù)恒（能）成立問題】【例9】（2025·山東泰安·二模）已知函數(shù)fx=xe?x，gx=lnx?xA．?∞,e?1+1 B．?∞,e?1+1【答案】B【解題思路】構(gòu)造函數(shù)?x=xe?x?ln【解答過程】∵fx≥gx∵fx=xe∴xe?設(shè)?x=xe?x?ln當x<1時，?′x當x>1時，?′x>0，?x∴?x的最小值是?1=e?1∴b≤e?1+1故選：B.【變式9-1】（2025·重慶·模擬預測）已知函數(shù)fx=lnxx,gx=A．?∞,?2 B．?2,?1 C．?1,+∞ D．0,+∞【答案】D【解題思路】利用導數(shù)求得fx在區(qū)間0,1上的值域，求得gx在區(qū)間?∞,0上的值域，由此求得【解答過程】對于fx=ln所以fx在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，ln1所以當x∈0,1時，fx對于gx=ax若a=0，則g若a>0，則g′x>0，所以所以當x∈?∞,0時，gx當a<0時，gx在區(qū)間?∞,1在區(qū)間1a,+∞上g1a=a所以當x∈?∞,0時，gx綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為0,+∞.故選：D.【變式9-2】（2025·廣東汕頭·三模）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若fx≤g【答案】(1)答案見詳解(2)2【解題思路】（1）求導后，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對a>0與a（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解.【解答過程】（1）f′x=當a<0時，由于x>0，所以f′x>0當a>0時，0<x<1a，f從而fx在0,1a綜上，當a<0時，fx的單調(diào)遞增區(qū)間為當a>0時，fx的單調(diào)遞增區(qū)間為0,1（2）令?x=f只要使?x≤0恒成立，也只要使?′若a>0，x>0，所以當0<x<2a時，?′可知?x在0,2a所以?xmax=?可知a的最小值為2e若a<0，x>0，所以當0<x<?1a時，?′可知?x在0,?1a所以?x在0,+∞內(nèi)無最大值，且當x趨近于+∞時，?x趨近于綜上所述：a的最小值為2e【變式9-3】（2025·青海海東·三模）已知函數(shù)f(x)=(1)求f((2)當a≠0時，討論g(3)若?x∈(1,+∞)，f(【答案】(1)極小值為f((2)單調(diào)遞減區(qū)間為?∞，0,(3)a【解題思路】（1）求定義域，求導，得到函數(shù)單調(diào)性，求出f(x)=x2（2）求定義域，求導，得到導函數(shù)小于0恒成立，故單調(diào)遞減區(qū)間為?∞，0,（3）變形得到lnx?elnx>ax?【解答過程】（1）f(x)=故f′令f′(x)>0，即令f′(x)<0，即所以f(x)在0,所以f(x)=x2（2）a≠0，g(xg′故g(x)=（3）?x∈(1,+∞)，x2所以lnx其中l(wèi)nx>0，令qxq′若a≥0，則ax≥0，其中q故qx=x所以lnx>a令wx=xlnx故wx=x故wx>w1=0，即xlnx若a<0，ax<0當x>?1時，q′x>0，當故qx=x?e且x<0時，qx=x?所以qln綜上，a≤0一、單選題1．（2025·山東煙臺·三模）若不等式xex?x?lnA．0,1 B．0,e?1 C．?∞,1 D．?∞,e?1【答案】C【解題思路】先化簡轉(zhuǎn)化為elnx+【解答過程】因為xex?令t=lnx+則a≤令φt=e當t∈?∞,0時，當t∈0,+∞時，所以φt在?∞,0上單調(diào)遞減，在0,+∞所以φtmin=φ0=1，所以故選：C.2．（2025·河南·二模）已知函數(shù)fx=x+e?x，若存在實數(shù)xA．?∞,1?e B．1,+∞C．1?e,1 D．?∞,1?e【答案】D【解題思路】先求導函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性得出函數(shù)值范圍計算即可求參.【解答過程】因為函數(shù)fx=x+e當x>0時，存在x+e當x=0時，0+當x<0時，存在x+e令y=1+1x當x∈當x∈所以x=?1時，ymax=1?e，x→?∞,y綜上得：a≤1?e或a故選：D.3．（2025·海南·模擬預測）已知當x∈(0,+∞)時，函數(shù)f(x)=axA．?1e,+∞C．2e,+∞ 【答案】B【解題思路】由題易知a≤0時不成立，a>0時，由指對同構(gòu)轉(zhuǎn)化為axeax+ax≥xln【解答過程】當a≤0時，fe=當a>0由f(x令gx=x所以gx在x∵axeax∴ax≥lnx∴a≥ln?′所以x∈0,e時，?′x∈e,+∞時，?′即?x∴a故選：B.4．（2025·湖北·模擬預測）已知函數(shù)fx=axex+lnax,A．0,1 B．?∞,0∪0,1 C．0,1【答案】D【解題思路】對a分類討論，通過同構(gòu)可將問題轉(zhuǎn)化為a≤xe【解答過程】當a<0時，x當a>0時，x>0,?ax∵y=x+lnx為0,+∞由題意，只需a≤記?x當x>1,?′x<0,?x在故?xmax=?綜上，a的取值范圍為?∞,0∪故選：D.5．（2025·廣西·模擬預測）若對任意的x∈(?1,+∞)，不等式ex?a[ln(A．?1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解題思路】根據(jù)題意確定y=ex?a,y【解答過程】由于函數(shù)y=ex而不等式ex若a≤0，則需ln(x+1)?b≥0故a>0，則y=e則ex0?故a?令fx=ef′0=1，由于y故f′x=則?1<x<0時，f′x<0故fx在?1,0上單調(diào)遞減，在0,+∞故fxmin=故選：C.6．（2025·河北秦皇島·一模）若存在正實數(shù)t，使得?x∈0,+∞，關(guān)于x的不等式t?mA．?∞,1e2+1 B．1e2【答案】B【解題思路】將恒成立和存在問題轉(zhuǎn)化最值問題，然后對m的范圍分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值求解即可.【解答過程】t?m?1x∈0,+∞，設(shè)f′(x)=1?xex∈0,1時，f′故f(當m>1時，g(x由f(x)的單調(diào)性知，g(xg(此時若存在正實數(shù)t，?x∈0,+∞即存在正實數(shù)t，使f1<t當m<1時，g(x)=m因為f(x)=綜上可得，實數(shù)m的取值范圍是1e故選：B.7．（2025·四川成都·模擬預測）已知函數(shù)f(x)=(x?1)ex?12x2+1，g(x)=sinxA．(?∞,0] B．0,12 C．12【答案】D【解題思路】別分判斷出f(x)，g(x)的單調(diào)性，進行分類討論，分a≥1【解答過程】由于f(x)=(x?1)ex?1這表明f(x)在(?∞,0]和[0,+∞)由于g(x)=sin①若a≥1，則g′(x)=cosx?這就意味著對x≥0有f(x)≥f(0)=0，對②若a<1，取t∈0,π2，使得cost>a，則對這就意味著有g(shù)(?t)<g(0)=0綜合①②兩個方面可知，實數(shù)a的取值范圍為[1,+∞)．故選：D．8．（2025·天津紅橋·二模）已知向量a,b是夾角為60°的單位向量，若對任意的x1,x2∈m,+∞A．e2,+∞ B．12,+∞ C．【答案】A【解題思路】利用向量的運算，求得模長，整理不等式，構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性，利用導數(shù)，可得答案.【解答過程】已知向量a,b的夾角為60°所以a?所以對任意的x1,x2∈所以lnx2x設(shè)fx=lnx?1又x∈0,+∞時，f′所以x∈0,ex∈e2,+∞,故選：A．二、多選題9．（2025·江西新余·模擬預測）已知不等式k2x?1exA．2 B．0 C．1 D．1【答案】ACD【解題思路】由題知不等式x?1ex≤k【解答過程】由題知，不等式x?1ex≤k即直線y=kx?12恒在函數(shù)fx圖象的上方，直線y=kx?12∴fx在區(qū)間?∞,2上單調(diào)遞增，在區(qū)間2,+∞∴當x=2時，fxmax=f2=在同一坐標系中作出函數(shù)fx與直線y設(shè)直線y=kx?12與函數(shù)fx的圖象相切時切點為x∴當直線y=kx?12與函數(shù)故選：ACD．10．（2025·安徽馬鞍山·一模）已知函數(shù)fx=etx?lnx+A．1e B．12e C．1e【答案】AD【解題思路】根據(jù)fx≥0轉(zhuǎn)化成etx+tx≥lnx+e【解答過程】fx故fx≥0恒成立，轉(zhuǎn)化成記gx=ex+x，g'x=e記?x=lnxx,?′x=1?lnxx2，故當故由tx≥lnx?t≥故選：AD.11．（2025·黑龍江大慶·模擬預測）已知fx=x3?ax2+A．函數(shù)fxB．函數(shù)fx的對稱中心是C．當x∈m,+∞時fxD．當x∈0,+∞【答案】BD【解題思路】根據(jù)不等式的解集與方程的解之間的聯(lián)系求得a=4b=5，結(jié)合導數(shù)和極值點的概念即可判斷A；根據(jù)函數(shù)的對稱性驗證f(x)+f(83?x)=?427即可判斷B；根據(jù)函數(shù)fx的單調(diào)性可知x∈【解答過程】對于A：因為不等式fx<0的解集為{x即不等式x3?ax2所以方程x3?ax2得(x?1)2所以a=4b=5，則f令f′(x)<0?1<x所以函數(shù)f(x)在(1,所以x=1是f(x)的極大值點，x=對于B：由選項A知f(則f(所以f(x)+f(C：由選項A知f(x)=且f53=53則x∈53,+∞時fxD：由選項A知f(當x∈0,+∞,當x=0時，原不等式顯然成立，此時k當x>0時，轉(zhuǎn)化為k≤x記?(x)=x記mx則m′x=2+36x又m3=0，所以當(0,3)時，當(3,+∞)時，mx=?′(x)>0，所以函數(shù)?(x)在(0,3)上單調(diào)遞減，在(3,+∞)故選：BD.三、填空題12．（2025·湖北·模擬預測）已知關(guān)于x的不等式xx2>ax2ln【答案】?2【解題思路】原式變形為ex2lnx>ax2lnx，令t=x2【解答過程】由xx2>ax2ln由t′=2x當x∈0,e?12時，當x∈e?12,+∞時，所以tmin當t=0時，e0>當t>0，a<ett若0<t<1，可得g′t<0若t>1，可得g′t>0，所以所以gtmin=當?12e≤t<0，可得a所以gt=ett所以a>?2綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為?2e故答案為：?2e13．（2025·湖南益陽·三模）設(shè)實數(shù)f(x)=2xlnx，g(x)=【答案】[2ln2+2,+∞)【解題思路】將問題轉(zhuǎn)化為不等式a≥2lnx+4x=?(x【解答過程】由f(x)≤即不等式a≥2lnx+設(shè)?(x)=2lnx令?′所以?(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在則?(x)即實數(shù)a的取值范圍為[2+2ln2,+∞).故答案為：[2+2ln2,+∞).14．（2025·河南南陽·三模）已知函數(shù)f(x)=2axe2x【答案】1【解題思路】對不等式進行變形得2xe2x≥elne【解答過程】f(x)≥g