坐標(biāo)系與參數(shù)方程第1頁，共76頁。1.(2018江蘇,21C,10分)[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在極坐標(biāo)系中,直線l的方程為ρsin

=2,曲線C的方程為ρ=4cosθ,求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng).A組

自主命題·江蘇卷題組五年高考第2頁，共76頁。解析[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]本小題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,所以曲線C是圓心為(2,0),直徑為4的圓,

因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為ρsin

=2,所以直線l過點(diǎn)(4,0),傾斜角為

,設(shè)A(4,0),則A為直線l與圓C的一個(gè)交點(diǎn).第3頁，共76頁。設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為B,則∠OAB=

.連接OB,因?yàn)镺A為直徑,所以∠OBA=

,所以AB=4cos

=2

.因此,直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為2

.一題多解把直線和曲線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程得到l:x-

y-4=0,C:x2+y2-4x=0,則C:(x-2)2+y2=4,半徑R=2,圓心C(2,0)到l的距離d=

=1,因此,直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為2

=2

.第4頁，共76頁。2.(2017江蘇,21C,10分)[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為

(s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值.第5頁，共76頁。解析本小題主要考查曲線的參數(shù)方程及互化等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.直線l的普通方程為x-2y+8=0.因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上,設(shè)P(2s2,2

s),從而點(diǎn)P到直線l的距離d=

=

.當(dāng)s=

時(shí),dmin=

.因此當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4)時(shí),曲線C上點(diǎn)P到直線l的距離取到最小值

.第6頁，共76頁。3.(2016江蘇,21C,10分)[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)),橢圓C的參數(shù)方程為

(θ為參數(shù)).設(shè)直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).第7頁，共76頁。解析橢圓C的普通方程為x2+

=1.將直線l的參數(shù)方程

(t為參數(shù))代入x2+

=1,得

+

=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-

.所以AB=|t1-t2|=

.第8頁，共76頁。4.(2015江蘇,21C,10分,0.889)[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+2

ρsin

-4=0,求圓C的半徑.解析以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O,極軸為x軸的正半軸,建立直角坐標(biāo)系

xOy.圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+2

ρ

-4=0,化簡(jiǎn),得ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ-4=0.則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圓C的半徑為

.第9頁，共76頁。5.(2014江蘇,21C,10分,0.92)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)),直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).解析將直線l的參數(shù)方程

(t為參數(shù))代入拋物線方程y2=4x,得

=4

,解得t1=0,t2=-8

.所以AB=|t1-t2|=8

.第10頁，共76頁?？键c(diǎn)一

極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化B組

統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組1.(2018北京理,10,5分)在極坐標(biāo)系中,直線ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)與圓ρ=2cosθ相切,則a=

.答案1+

解析本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化.由

可將直線ρcosθ+ρsinθ=a化為x+y-a=0,將ρ=2cosθ,即ρ2=2ρcosθ化為x2+y2=2x,整理成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=1.又∵直線與圓相切,∴圓心(1,0)到直線x+y-a=0的距離d=

=1,解得a=1±

,∵a>0,∴a=1+

.第11頁，共76頁。方法總結(jié)這種類型的題目的解法是先將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,然后用平面幾何知

識(shí)求解.2.(2017北京理,11,5分)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在圓ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0),則|AP|的最小值為

.答案1解析本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化.由ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得x2+y2-2x-4y+4=0,即(x-1)2+(y-2)2=1,∴圓心C(1,2),半徑r=1,結(jié)合圖形可知|AP|的最小值為|PC|-r=2-1=1.第12頁，共76頁。3.(2017天津理,11,5分)在極坐標(biāo)系中,直線4ρcos

+1=0與圓ρ=2sinθ的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

.答案2解析本題主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化以及直線與圓的位置關(guān)系.由4ρcos

+1=0,得4ρ

+1=0,即2

ρcosθ+2ρsinθ+1=0,根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得直線的直角坐標(biāo)方程為2

x+2y+1=0,同理可得圓的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-1)2=1,圓心(0,1)到直線的距離d=

<1,所以直線與圓相交,因此直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.易錯(cuò)警示1.由于記錯(cuò)兩角差的余弦公式,從而導(dǎo)致錯(cuò)誤;2.由于記錯(cuò)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式,從而求錯(cuò)直線與圓的直角坐標(biāo)方程,最終失分.第13頁，共76頁。4.(2015北京,11,5分)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)

到直線ρ(cosθ+

sinθ)=6的距離為

.答案1解析由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得極坐標(biāo)系中點(diǎn)

對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為(1,

),直線ρ(cosθ+

sinθ)=6對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為x+

y=6,由點(diǎn)到直線的距離公式可得,所求距離為

=1.第14頁，共76頁。5.(2015重慶,15,5分)已知直線l的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ=4

,則直線l與曲線C的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為

.答案(2,π)解析直線l的普通方程為y=x+2,曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2-y2=4(x≤-2),故直線l與曲線C的交

點(diǎn)為(-2,0),對(duì)應(yīng)極坐標(biāo)為(2,π).第15頁，共76頁。6.(2015廣東,14,5分)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsin

=

,點(diǎn)A的極坐標(biāo)為A

,則點(diǎn)A到直線l的距離為

.答案

解析將直線l的極坐標(biāo)方程2ρsin

=

化為直角坐標(biāo)方程為x-y+1=0.由A

得A點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,-2),從而點(diǎn)A到直線l的距離d=

=

.第16頁，共76頁。7.(2014天津,13,5分)在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中,圓ρ=4sinθ和直線ρsinθ=a相交于A,B兩點(diǎn).若

△AOB是等邊三角形,則a的值為

.答案3解析圓的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4y,直線的直角坐標(biāo)方程為y=a,因?yàn)椤鰽OB為等邊三角形,所

以A

,代入圓的方程得

+a2=4a,故a=3.評(píng)析本題考查極坐標(biāo)系下直線與圓的方程,一般轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程再處理相交問題.第17頁，共76頁。8.(2014重慶,15,5分)已知直線l的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ-4cosθ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),則直線l與曲線

C的公共點(diǎn)的極徑ρ=

.答案

解析直線l的普通方程為y=x+1,曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=4x,故直線l與曲線C的交點(diǎn)坐標(biāo)

為(1,2).故該點(diǎn)的極徑ρ=

=

.第18頁，共76頁。9.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅰ文,22,10分)[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐

標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程;(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn),求C1的方程.第19頁，共76頁。解析(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓.由題設(shè)知,C1是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩

個(gè)公共點(diǎn),或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l1所在直線的距離為2,所以

=2,故k=-

或k=0.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn);當(dāng)k=-

時(shí),l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn),l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l2所在直線的距離為2,所以

=2,故k=0或k=

.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn);當(dāng)k=

時(shí),l2與C2沒有公共點(diǎn).綜上,所求C1的方程為y=-

|x|+2.第20頁，共76頁。方法技巧極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的技巧:(1)巧用極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ或同時(shí)平方的技巧,將極坐標(biāo)方程構(gòu)造成含有ρcosθ,ρsinθ,ρ2的

形式,然后利用公式代入化簡(jiǎn)得到直角坐標(biāo)方程.(2)巧借兩角和、差公式轉(zhuǎn)化成ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的結(jié)構(gòu)形式,進(jìn)而利用互化公式得到直角

坐標(biāo)方程.(3)將直角坐標(biāo)方程中的x轉(zhuǎn)化為ρcosθ,將y轉(zhuǎn)化為ρsinθ,即可得到其極坐標(biāo)方程.第21頁，共76頁。10.(2015湖南,16(2),12分)(選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知直線l:

(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ.(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(5,

),直線l與曲線C的交點(diǎn)為A,B,求|MA|·|MB|的值.第22頁，共76頁。解析(1)ρ=2cosθ等價(jià)于ρ2=2ρcosθ.①將ρ2=x2+y2,ρcosθ=x代入①即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0.②(2)將

代入②,得t2+5

t+18=0.設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為t1,t2,則由參數(shù)t的幾何意義即知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.第23頁，共76頁。11.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ理,22,10分)[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程

為ρcosθ=4.(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|=16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方

程;(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為

,點(diǎn)B在曲線C2上,求△OAB面積的最大值.第24頁，共76頁。解析本題考查極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用.(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ,θ)(ρ>0),M的極坐標(biāo)為(ρ1,θ)(ρ1>0).由題設(shè)知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=

.由|OM|·|OP|=16得C2的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ(ρ>0).因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρB,α)(ρB>0).由題設(shè)知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB面積S=

|OA|·ρB·sin∠AOB=4cosα·

=2

≤2+

.當(dāng)α=-

時(shí),S取得最大值2+

.所以△OAB面積的最大值為2+

.第25頁，共76頁。12.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,23,10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為

(t為參數(shù),a>0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=4cosθ.(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程;(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0,其中α0滿足tanα0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a.第26頁，共76頁。解析(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.

(2分)將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.

(4分)(2)曲線C1,C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組

(6分)若ρ≠0,由方程組得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0,

(8分)由已知tanθ=2,可得16cos2θ-8sinθcosθ=0,從而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1時(shí),極點(diǎn)也為C1,C2的公共點(diǎn),在C3上.所以a=1.

(10分)易錯(cuò)警示對(duì)“互化”過程不熟悉,對(duì)參數(shù)和極坐標(biāo)的幾何意義理解不透徹是失分的主要原

因.評(píng)析本題考查了圓的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程.熟練掌握極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程、參數(shù)

方程與普通方程的互化是求解的關(guān)鍵.第27頁，共76頁。13.(2014課標(biāo)Ⅱ,23,10分,0.387)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓C的極坐標(biāo)方程

為ρ=2cosθ,θ∈

.(1)求C的參數(shù)方程;(2)設(shè)點(diǎn)D在C上,C在D處的切線與直線l:y=

x+2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標(biāo).第28頁，共76頁。解析(1)C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的參數(shù)方程為

(t為參數(shù),0≤t≤π).(2)設(shè)D(1+cost,sint).由(1)知C是以G(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓.因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與l垂直,所以直線GD與l的斜率相同,tant=

,t=

.故D的直角坐標(biāo)為

,即

.評(píng)析本題考查了極坐標(biāo)化直角坐標(biāo),普通方程化參數(shù)方程的方法,考查了數(shù)形結(jié)合思想.第29頁，共76頁?？键c(diǎn)二參數(shù)方程與普通方程的互化1.(2018天津理,12,5分)已知圓x2+y2-2x=0的圓心為C,直線

(t為參數(shù))與該圓相交于A,B兩點(diǎn),則△ABC的面積為

.答案

解析本題考查直線的參數(shù)方程和直線與圓的位置關(guān)系.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=1,消去參數(shù)t得直線的普通方程為x+y-2=0.圓心C(1,0)到直線的距

離d=

=

,|AB|=2

=

,所以△ABC的面積為

|AB|·d=

×

×

=

.方法總結(jié)有關(guān)直線與圓相交的計(jì)算問題,通常利用點(diǎn)到直線的距離和勾股定理求解.第30頁，共76頁。2.(2016天津理,14,5分)設(shè)拋物線

(t為參數(shù),p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.過拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線,垂足為B.設(shè)C

,AF與BC相交于點(diǎn)E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面積為3

,則p的值為

.答案

解析由已知得拋物線的方程為y2=2px(p>0),則|FC|=3p,∴|AF|=|AB|=

p,A(p,

p)(不妨設(shè)A在第一象限).易證△EFC∽△EAB,所以

=

=

=2,所以

=

,所以S△ACE=

S△AFC=

×

p×

p=

p2=3

,所以p=

.思路分析利用已知條件及拋物線的定義得|AF|=|AB|=

p,從而可取A(p,

p),問題即可迎刃而解.評(píng)析本題考查了拋物線的定義和方程;考查了計(jì)算求解能力.第31頁，共76頁。3.(2015湖北,16,5分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知

直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(sinθ-3cosθ)=0,曲線C的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)),l與C相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=

.答案2

解析直線l的直角坐標(biāo)方程為y-3x=0,曲線C的普通方程為y2-x2=4.由

得x2=

,即x=±

,則|AB|=

|xA-xB|=

×

=2

.第32頁，共76頁。4.(2014湖北,16,5分)已知曲線C1的參數(shù)方程是

(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ=2,則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為

.答案(

,1)解析曲線C1為射線y=

x(x≥0).曲線C2為圓x2+y2=4.設(shè)P為C1與C2的交點(diǎn),如圖,作PQ垂直x軸于點(diǎn)Q.因?yàn)閠an∠POQ=

,所以∠POQ=30°,又∵OP=2,所以C1與C2的交點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(

,1).

評(píng)析本題考查了參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程.容易忽視x≥0,誤認(rèn)為C1為直線y=

x.第33頁，共76頁。5.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅱ理,22,10分)[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為

(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)).(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率.第34頁，共76頁。解析(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為

+

=1.當(dāng)cosα≠0時(shí),l的直角坐標(biāo)方程為y=tanα·x+2-tanα,當(dāng)cosα=0時(shí),l的直角坐標(biāo)方程為x=1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程,整理得關(guān)于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.

①因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi),所以①有兩個(gè)解,設(shè)為t1,t2,則t1+t2=0.又由①得t1+t2=-

,故2cosα+sinα=0,于是直線l的斜率k=tanα=-2.注:因?yàn)樵诮滩闹?參數(shù)方程與普通方程對(duì)應(yīng),極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程對(duì)應(yīng),所以本題中的

“直角坐標(biāo)方程”更改為“普通方程”更合適.方法總結(jié)以角θ為參數(shù)的參數(shù)方程,一般利用三角函數(shù)的平方關(guān)系:sin2θ+cos2θ=1將參數(shù)方程

化為普通方程;而弦的中點(diǎn)問題常用根與系數(shù)的關(guān)系或點(diǎn)差法進(jìn)行整體運(yùn)算求解.第35頁，共76頁。6.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理,22,10分)[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,☉O的參數(shù)方程為

(θ為參數(shù)),過點(diǎn)(0,-

)且傾斜角為α的直線l與☉O交于A,B兩點(diǎn).(1)求α的取值范圍;(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.第36頁，共76頁。解析本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系.(1)☉O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1.當(dāng)α=

時(shí),l與☉O交于兩點(diǎn).當(dāng)α≠

時(shí),記tanα=k,則l的方程為y=kx-

.l與☉O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)

<1,解得k<-1或k>1,即α∈

或α∈

.綜上,α的取值范圍是

.(2)l的參數(shù)方程為

.設(shè)A,B,P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB,tP,則tP=

,且tA,tB滿足t2-2

tsinα+1=0.于是tA+tB=2

sinα,tP=

sinα.又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足

所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是第37頁，共76頁。

.易錯(cuò)警示容易忽略直線斜率不存在的情形.求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在.求其取值范圍的一般步驟:(1)求出斜率k=tanα的取值范圍;(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性,借助圖象,確定傾斜角α的取值范圍.解后反思將參數(shù)方程化為普通方程的方法(1)將參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征,選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒?常見的消

參方法有:代入消參法、加減消參法、平方消參法等,對(duì)于含三角函數(shù)的參數(shù)方程,常利用同角

三角函數(shù)基本關(guān)系式消參,如sin2θ+cos2θ=1.(2)將參數(shù)方程化為普通方程時(shí),要注意兩種方程的等價(jià)性,不要增解.第38頁，共76頁。7.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理,22,10分)[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為

(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P,當(dāng)k變化時(shí),P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:ρ(cosθ+sinθ)-

=0,M為l3與C的交點(diǎn),求M的極徑.第39頁，共76頁。解析本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化,極坐標(biāo)方程.(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去參數(shù)m得l2的普通方程l2:y=

(x+2).設(shè)P(x,y),由題設(shè)得

消去k得x2-y2=4(y≠0).所以C的普通方程為x2-y2=4(y≠0).(2)C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).聯(lián)立

得cosθ-sinθ=2(cosθ+sinθ).故tanθ=-

,從而cos2θ=

,sin2θ=

.代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交點(diǎn)M的極徑為

.思路分析(1)由參數(shù)方程直接消去參數(shù)t、m、k,即得C的普通方程.(2)將C的直角坐標(biāo)方程化

為極坐標(biāo)方程,與直線l3的參數(shù)方程聯(lián)立,從而求得點(diǎn)M的極徑.方法總結(jié)

極坐標(biāo)問題既可以化為直角坐標(biāo)處理,也可以直接用極坐標(biāo)求解.但要注意極徑、

極角的取值范圍,避免漏根或增根.第40頁，共76頁。8.(2014遼寧,23,10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程將圓x2+y2=1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得曲線C.(1)寫出C的參數(shù)方程;(2)設(shè)直線l:2x+y-2=0與C的交點(diǎn)為P1,P2,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求

過線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.第41頁，共76頁。解析(1)設(shè)(x1,y1)為圓上的點(diǎn),在已知變換下變?yōu)镃上點(diǎn)(x,y),依題意,得

由

+

=1得x2+

=1,即曲線C的方程為x2+

=1.故C的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)).(2)由

解得

或

不妨設(shè)P1(1,0),P2(0,2),則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為

,所求直線斜率為k=

,于是所求直線方程為y-1=

,化為極坐標(biāo)方程,并整理得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,即ρ=

.第42頁，共76頁。9.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,22,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為

(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)).(1)若a=-1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為

,求a.第43頁，共76頁。解析本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.(1)曲線C的普通方程為

+y2=1.當(dāng)a=-1時(shí),直線l的普通方程為x+4y-3=0.由

解得

或

從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),

.(2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(diǎn)(3cosθ,sinθ)到l的距離d=

.當(dāng)a≥-4時(shí),d的最大值為

.由題設(shè)得

=

,所以a=8;當(dāng)a<-4時(shí),d的最大值為

.由題設(shè)得

=

,所以a=-16.綜上,a=8或a=-16.第44頁，共76頁。思路分析(1)利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系將曲線C的參數(shù)方程化成普通方程,利用加減消

元法將直線的參數(shù)方程化成普通方程,將這兩個(gè)普通方程聯(lián)立即可求出交點(diǎn)坐標(biāo);(2)利用點(diǎn)到

直線的距離公式求出距離,再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)表示出其最大值,進(jìn)而列方程求解.方法總結(jié)將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程的方法:消去參數(shù),若參數(shù)為“θ”,一般利用sin2θ+cos2θ

=1消去;若參數(shù)為“t”,一般直接代入消參即可.第45頁，共76頁。10.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理,23,10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為

(α為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin

=2

.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上,點(diǎn)Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).解析(1)C1的普通方程為

+y2=1.C2的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0.

(5分)(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(

cosα,sinα).因?yàn)镃2是直線,所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值,d(α)=

=

.

(8分)當(dāng)且僅當(dāng)α=2kπ+

(k∈Z)時(shí),d(α)取得最小值,最小值為

,此時(shí)P的直角坐標(biāo)為

.

(10分)方法總結(jié)利用圓的參數(shù)方程表示出圓上的動(dòng)點(diǎn),從而利用三角函數(shù)求其最值,這樣可以簡(jiǎn)化

運(yùn)算過程.第46頁，共76頁。11.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,23,10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25.(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求C的極坐標(biāo)方程;(2)直線l的參數(shù)方程是

(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=

,求l的斜率.第47頁，共76頁。解析(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+12ρcosθ+11=0.

(3分)(2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R).設(shè)A,B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1,ρ2,將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ2+12ρcosα+11=0.

(6分)于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|=

=

.

(8分)由|AB|=

得cos2α=

,tanα=±

.

(9分)所以l的斜率為

或-

.

(10分)方法總結(jié)利用整體運(yùn)算的技巧可以大大提高解題效率.評(píng)析本題考查了直線和圓的極坐標(biāo)方程,考查了極坐標(biāo)的幾何意義的應(yīng)用,利用方程的思想

方法是求解的關(guān)鍵.第48頁，共76頁。12.(2015課標(biāo)Ⅱ,23,10分,0.825)(選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:

(t為參數(shù),t≠0),其中0≤α<π.在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2

cosθ.(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo);(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A,C1與C3相交于點(diǎn)B,求|AB|的最大值.第49頁，共76頁。解析(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2

x=0.聯(lián)立

解得

或

所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和

.(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的極坐標(biāo)為(2sinα,α),B的極坐標(biāo)為(2

cosα,α).所以|AB|=|2sinα-2

cosα|=4

.當(dāng)α=

時(shí),|AB|取得最大值,最大值為4.第50頁，共76頁。13.(2014課標(biāo)Ⅰ,23,10分,0.462)(選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知曲線C:

+

=1,直線l:

(t為參數(shù)).(1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線,交l于點(diǎn)A,求|PA|的最大值與最小值.第51頁，共76頁。解析(1)曲線C的參數(shù)方程為

(θ為參數(shù)).直線l的普通方程為2x+y-6=0.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cosθ,3sinθ)到l的距離為d=

|4cosθ+3sinθ-6|.則|PA|=

=

|5sin(θ+α)-6|,其中α為銳角,且tanα=

.當(dāng)sin(θ+α)=-1時(shí),|PA|取得最大值,最大值為

.當(dāng)sin(θ+α)=1時(shí),|PA|取得最小值,最小值為

.第52頁，共76頁。1.(2013重慶理,15,5分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)

系,若極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4的直線與曲線

(t為參數(shù))相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=

.C組

教師專用題組答案16解析極坐標(biāo)方程ρcosθ=4的直角坐標(biāo)方程為x=4,代入

得t=±2,當(dāng)t=2時(shí),y=8;當(dāng)t=-2時(shí),y=-8.兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(4,8),(4,-8).從而|AB|=16.第53頁，共76頁。2.(2014廣東,14,5分)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中,曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ

=cosθ和ρsinθ=1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,

則曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為

.答案(1,1)解析由ρsin2θ=cosθ得ρ2·sin2θ=ρ·cosθ,其直角坐標(biāo)方程為y2=x,ρsinθ=1的直角坐標(biāo)方程為y=1,

由

得C1和C2的交點(diǎn)為(1,1).第54頁，共76頁。3.(2013湖南理,9,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若直線l:

(t為參數(shù))過橢圓C:

(φ為參數(shù))的右頂點(diǎn),則常數(shù)a的值為

.答案3解析由直線l的參數(shù)方程

(t為參數(shù))消去參數(shù)t得直線l的普通方程:y=x-a,由橢圓的參數(shù)方程可知其右頂點(diǎn)為(3,0).因?yàn)橹本€l過橢圓的右頂點(diǎn),所以3-a=0,即a=3.4.(2014北京改編,3,5分)曲線

(θ為參數(shù))的對(duì)稱中心坐標(biāo)是

.答案(-1,2)解析曲線

(θ為參數(shù))的普通方程為(x+1)2+(y-2)2=1,該曲線為圓,圓心(-1,2)為曲線的對(duì)稱中心,所以對(duì)稱中心的坐標(biāo)為(-1,2).第55頁，共76頁。5.(2013陜西理,15C,5分)如圖,以過原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù),則圓x2+y2-x=0的參數(shù)方程為

.

答案

(θ為參數(shù))解析圓的半徑為

,記圓心為C

,連CP,則∠PCx=2θ,故xP=

+

cos2θ=cos2θ,yP=

sin2θ=sinθcosθ(θ為參數(shù)).第56頁，共76頁。6.(2014安徽改編,4,5分)以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,

兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.已知直線l的參數(shù)方程是

(t為參數(shù)),圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ,則直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為

.答案2

解析由

消去t得x-y-4=0,C:ρ=4cosθ?ρ2=4ρcosθ,∴C:x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,∴C(2,0),r=2.∴點(diǎn)C到直線l的距離d=

=

,∴所求弦長(zhǎng)=2

=2

.第57頁，共76頁。7.(2013遼寧理,23,10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圓C1,直線C2的極坐標(biāo)方程分

別為ρ=4sinθ,ρcos

=2

.(1)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo);(2)設(shè)P為C1的圓心,Q為C1與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn).已知直線PQ的參數(shù)方程為

(t∈R為參數(shù)),求a,b的值.第58頁，共76頁。解析(1)圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-2)2=4,直線C2的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0.解

得

所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為

,

.

(6分)注:極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一.(2)由(1)可得,P點(diǎn)與Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,2),(1,3).故直線PQ的直角坐標(biāo)方程為x-y+2=0.由參數(shù)方程可得y=

x-

+1,所以

解得a=-1,b=2.

(10分)第59頁，共76頁。8.(2013江蘇,21C,10分,0.926)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為

(θ為參數(shù)).試求直線l和曲線C的普通方程,并求出它們的公共點(diǎn)的坐標(biāo).解析因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直線l的普通方程為2x-y-2=0.同理得到曲線C的普通方程為y2=2x.聯(lián)立得方程組

解得公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2),

.第60頁，共76頁。9.(2014福建,21(2),7分)已知直線l的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)),圓C的參數(shù)方程為

(θ為參數(shù)).(1)求直線l和圓C的普通方程;(2)若直線l與圓C有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析(1)直線l的普通方程為2x-y-2a=0,圓C的普通方程為x2+y2=16.(2)因?yàn)橹本€l與圓C有公共點(diǎn),故圓C的圓心到直線l的距離d=

≤4,解得-2

≤a≤2

.第61頁，共76頁。解答題(共50分)1.(2018江蘇宿遷高三期中,21C)在極坐標(biāo)系中,已知直線ρcos

=2與圓ρ=acosθ(a>0)相切,求a的值.三年模擬A組2016—2018年高考模擬·基礎(chǔ)題組(時(shí)間：35分鐘分值：50分)第62頁，共76頁。解析以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,將ρcos

=2化為普通方程為x-

y-4=0.將ρ=acosθ化為普通方程為x2+y2=ax,即

+y2=

.因?yàn)橹本€與圓相切,所以

=

(a>0),解得a=

.思路分析將直線和圓的參數(shù)方程化為普通方程,根據(jù)直線與圓相切求得a值.第63頁，共76頁。2.(2018江蘇南通高三第二次調(diào)研,21C)在極坐標(biāo)系中,求以點(diǎn)P

為圓心且與直線l:ρsin

=2相切的圓的極坐標(biāo)方程.解析以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy.則點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,

).將直線l:ρsin

=2的方程變形為ρsinθcos

-ρcosθsin

=2,化為普通方程為

x-y+4=0.所以P(1,

)到直線l:

x-y+4=0的距離為

=2.故所求圓的普通方程為(x-1)2+

=4.化為極坐標(biāo)方程為ρ=4sin

.易錯(cuò)警示本題求解不難,但要注意將結(jié)果化為極坐標(biāo)方程.第64頁，共76頁。3.(2018江蘇無錫高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考,22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程是

(t是參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,若圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ,且直線l與圓C相交,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析由ρ=4sinθ,得ρ2=4ρsinθ,所以x2+y2=4x,即圓C的方程為x2+(y-2)2=4,由

(t為參數(shù))消去t,得

x-y+m=0,由直線l與圓C相交,得

<2,即-2<m<6.第65頁，共76頁。4.(2017蘇北三市第三次模擬考試,21C)在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A

,點(diǎn)B在直線l:ρcosθ+ρsinθ=0(0≤θ≤2π)上.當(dāng)線段AB最短時(shí),求點(diǎn)B的極坐標(biāo).解析以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)A

的直角坐標(biāo)為(0,2),直線