第4章平面與平面系統(tǒng)

4.1平面反射鏡

4.2平行平板

4.3反射棱鏡

4.4折射棱鏡

4.5光楔

4.1平面反射鏡

4.1.1單平面鏡成像如圖4－1所示，PP′為平面反射鏡，由物點A發(fā)出的光束被平面反射鏡反射，其中任意一條光線AO經(jīng)平面鏡PP′反射后，沿OB方向射出；另一條光線AP垂直于鏡面入射，并沿原路反射，這兩條反射光線的反向延長線交于A′，A′點即為物點A被平面鏡反射后所成的像。

圖4－1平面鏡實物成虛像

圖4－2平面鏡虛物成實像

圖4－3平面鏡的鏡像

圖4－4平面鏡的旋轉(zhuǎn)

平面鏡還有一個性質(zhì)：當(dāng)保持入射光線的方向不變，而使平面鏡轉(zhuǎn)動一個角度α?xí)r，則反射光線將同向轉(zhuǎn)動2α(如圖4－4所示)，這是因為入射角和反射角同時變化了α角。

平面反射鏡的這一性質(zhì)可用于測量物體的微小轉(zhuǎn)角或位移。如圖4－5所示，R為刻有標(biāo)尺的分劃板，位于物鏡L的前焦面上，當(dāng)測桿處于零位時，平面鏡處于垂直光軸的狀態(tài)

M0，此時從標(biāo)尺零點即F點發(fā)出的光束經(jīng)物鏡折射、平面鏡反射之后，沿原路返回，重新聚焦于F點。當(dāng)測桿被被測物體推移x而使平面鏡繞支點轉(zhuǎn)動了α角后，平面鏡處于M1狀態(tài)，平行光束被反射后，將偏移光軸2α角，聚焦于標(biāo)尺的F′點。

圖4－5平面鏡用于小角度或微小位移的測量

4.1.2雙平面鏡成像

將兩個平面反射鏡組合在一起，使兩個平面反射鏡構(gòu)成一個二面角，這就是通常所說的雙平面鏡系統(tǒng)。

如圖4－6所示，Q、R兩平面鏡構(gòu)成一個夾角為α的雙平面鏡系統(tǒng)，下面我們來分析物體被這兩個平面鏡相繼成像一次的情況。任意一條在主截面內(nèi)傳播的光線經(jīng)雙面鏡的兩個反射面反射后，入射光線與出射光線的夾角為β，下面討論β角與α角的關(guān)系。

圖4－6雙平面鏡成像由此得

由此可知，位于主截面的出射光線與入射光線之間的夾角和入射角I無關(guān)，只取決于兩個反射鏡的夾角α，出射光線的轉(zhuǎn)角永遠(yuǎn)等于兩平面鏡夾角的2倍，其旋轉(zhuǎn)方向則與反射面按照反射次序由Q面轉(zhuǎn)至R面的方向相同。

根據(jù)這一性質(zhì)，用雙平面鏡折轉(zhuǎn)光路非常有利，其優(yōu)點在于：只需加工并調(diào)整好雙平面鏡的夾角，而對雙平面鏡的安置精度要求并不高，不像單個反射鏡折轉(zhuǎn)光路時調(diào)整困難。

下面我們舉例說明。

例如在測距機中，要求入射光線經(jīng)過兩端的平面鏡反射以后改變90°，并且要求該角度始終保持穩(wěn)定不變。如果使用單個平面鏡來完成，即使在儀器出廠時平面鏡的位置已安裝得很準(zhǔn)確，但是在使用過程中由于受到振動或儀器結(jié)構(gòu)的變形，平面鏡的位置仍可能有小量的變動。當(dāng)反射鏡的位置變化了α角度時，出射光線就將改變2α。為了克服這種缺點，通常采用兩個平面鏡，使它們之間的夾角等于光線轉(zhuǎn)角的一半。只要這兩個反射面之間的夾角保持不變，即使反射面位置改變，也不會影響出射光線的方向。最簡單可靠的方法是把兩個反射鏡做在一塊玻璃上。如圖4－7所示，如果我們要求光線的轉(zhuǎn)角為90°，只要在制造中嚴(yán)格保證兩反射面的夾角為45°，這樣無論棱鏡的位置如何，入射光線和出射光線之間的夾角都等于90°。

圖4－7測距機的轉(zhuǎn)像光路4.2平行平板

由兩個相互平行的折射平面構(gòu)成的光學(xué)元件稱為平行平板。平行平板在光學(xué)儀器中應(yīng)用很廣，如標(biāo)尺、分劃板、補償板、濾光鏡、保護玻璃等等。

所以平行平板是個無光焦度的光學(xué)元件，不會使物體放大或縮小，總對物體成同等大小的正立像，物與像總在平行平板的同一側(cè)，兩者的虛實不一致。

圖4－8平行平板的成像特性

光線經(jīng)平行平板折射后，雖然方向不變，但要產(chǎn)生位移。由圖4－8知

可得側(cè)向位移或平行位移為

（4-1）

若沿平行平板垂線方向計算位移，得到像點A2′

到物點A的距離稱為軸向位移，以ΔL′表示，有

將式（4－1）代入上式，得

（4－2）

（4－3）

如果入射光束以近軸光束通過平行平板，因為I1角很小，所以余弦值可近似地等于1，這時將軸向位移量用Δl′表示，式（4－2）變?yōu)?/p>

（4－4）

式(4－4)表明，近軸光線的軸向位移只與平行平板的厚度d及折射率n有關(guān)，而與入射角I1無關(guān)。因此物點以近軸光經(jīng)平行平板折射后所成的像是完善的。也就是說，在近軸區(qū)內(nèi)，不管物體位置如何，其經(jīng)過平行平板折射所成的像都可認(rèn)為是由物體移動一個軸向距離而得到的。圖4－9平行平板的等效作用

利用這一特點，在進行光路計算時，為了方便，可以將平行平板簡化為一個等效空氣平板，其換算原理如圖4－9所示。入射光線PQ經(jīng)玻璃平板ABCD后，出射光線HM′平行于入射光線。過H點作光軸的平行線，交PA于G，過G作光軸的垂線EF。將玻璃平板的出射平面及出射光路HM′一起沿光軸平移Δl′，則CD與EF重合。這表明，光線經(jīng)過玻璃平板的光路與無折射地通過空氣層ABEF的光路完全一樣。這個空氣層就稱為平行玻璃平板的等效空氣平板，其厚度為（4－5）

引入等效空氣平板的作用在于，如果光學(xué)系統(tǒng)的會聚或發(fā)散光路中有平行玻璃平板（包括由反射棱鏡展開的平行玻璃平板），可將其等效為空氣平板，這樣可以先計算出無平行玻璃平板（即等效為空氣平板）時的像方位置，然后再沿光軸移動一個軸向位移Δl′，就得到有平行玻璃平板時的實際像面位置，即（4－6）

而無需對平行玻璃平板逐面進行計算。因此，在進行光學(xué)系統(tǒng)外形尺寸計算時，將平行玻璃平板用空氣平板等效后，光線將無折射地通過等效空氣平板，只需考慮平行玻璃平板的出射面或入射面的位置，而不必考慮平行玻璃平板的存在對光路產(chǎn)生的影響。

4.3反射棱鏡

4.3.1反射棱鏡的分類

1.簡單棱鏡簡單棱鏡只有一個主截面，它所有的工作面都與主截面垂直。根據(jù)反射面數(shù)目的不同，簡單棱鏡又分為一次反射棱鏡、二次反射棱鏡和三次反射棱鏡。

1）一次反射棱鏡

一次反射棱鏡具有一個反射面，相當(dāng)于單塊平面鏡，對物成鏡像，即垂直于主截面的坐標(biāo)方向不變，位于主截面內(nèi)的坐標(biāo)方向改變。

最常用的一次反射棱鏡是等腰直角棱鏡，如圖4－10（a）所示為等腰直角棱鏡，光線從一直角面入射，從另一直角面出射，使光軸折轉(zhuǎn)90°。圖4－10(b)所示的等腰棱鏡可以使光軸折轉(zhuǎn)任意角度。確定反射面角度時，只需使反射面的法線方向處于入射光軸與出射光軸夾角的平分線上即可。這兩種棱鏡的入射面與出射面都與光軸垂直，在反射面上的入射角大于臨界角，能夠發(fā)生全反射，反射面上無需鍍反射膜。圖4－10（c）所示為道威棱鏡，它是由直角棱鏡去掉多余的直角部分而制成的，其入射面和出射面與光軸均不垂直，但出射光軸與入射光軸方向不變。道威棱鏡的重要特性之一是：當(dāng)其繞入射光軸旋轉(zhuǎn)α角時，出射光軸向同方向旋轉(zhuǎn)2α角，和平面鏡旋轉(zhuǎn)一樣。圖（c）中上圖右手坐標(biāo)系xyz經(jīng)道威棱鏡后，x坐標(biāo)由向上變?yōu)橄蛳?，y坐標(biāo)和z坐標(biāo)方向不變，從而形成左手坐標(biāo)系x′y′z′。當(dāng)?shù)劳忡R旋轉(zhuǎn)90°后，x坐標(biāo)方向不變，y坐標(biāo)由垂直紙面向外變?yōu)榇怪奔?/p>

面向里，如圖(c)下圖所示，這時的像相對于旋轉(zhuǎn)前的像轉(zhuǎn)了180°。因為道威棱鏡的入射面和出射面都不與光軸垂直，所以道威棱鏡只能用于平行光路中。圖4－10一次反射棱鏡

2）二次反射棱鏡

二次反射棱鏡有兩個反射面，相當(dāng)于雙平面鏡系統(tǒng)，在這類反射棱鏡中，光線經(jīng)兩個反射面依次反射后，反射光線相對于入射光線偏轉(zhuǎn)的角度，為兩個反射面夾角α的2倍。因此，經(jīng)過二次反射棱鏡后，出射光線與入射光線的夾角取決于反射面的夾角。由于是偶次反射，因此像與物一致，不存在鏡像。

圖4－11繪出了幾種常用的二次反射棱鏡，其中(a)是半五角棱鏡，(b)是30°直角棱鏡，(c)是五角棱鏡，(d)是二次反射直角棱鏡，(e)是斜方棱鏡。五種棱鏡兩個反射面的夾角分別為22.5°、30°、45°、90°和180°，對應(yīng)的入射光線與出射光線的夾角分別為45°、60°、90°、180°和360°。半五角棱鏡和30°直角棱鏡多用于顯微鏡觀察系統(tǒng)，使垂直向上的光軸折轉(zhuǎn)到便于觀察的方向。五角棱鏡取代一次反射的直角棱鏡或平面鏡，使光軸折轉(zhuǎn)90°而不產(chǎn)生鏡像，且裝配調(diào)試方便。二次反射直角棱鏡多用于轉(zhuǎn)像系統(tǒng)，或構(gòu)成復(fù)合棱鏡。斜方棱鏡可以使光軸平移，多用于雙目觀察的儀器（如雙目望遠(yuǎn)鏡），以調(diào)節(jié)兩目鏡的中心距離，滿足人眼不同眼距（雙眼中心距離）的觀察需要。

圖4－11幾種常用的二次反射棱鏡

圖4－12斯密特棱鏡

3）三次反射棱鏡

三次反射棱鏡最常用的是斯密特棱鏡，如圖4－12所示，出射光線與入射光線的夾角為45°，因為是奇次反射，所以成鏡像，其特點是由于光線在棱鏡中的光路很長，因此可折疊光路，使儀器結(jié)構(gòu)緊湊。

2.復(fù)合棱鏡

1）分光棱鏡

圖4－13所示為一分光棱鏡。兩塊直角棱鏡膠合在一起，中間有一層半透半反的析光膜，可以將一束光分成光強相等或光強呈一定比例的兩束光，且這兩束光在棱鏡中的光程相

等，在兩個方向成像。這種分光棱鏡在很多領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。圖4－13分光棱鏡

2）分色棱鏡

圖4－14所示為一分色棱鏡。白光經(jīng)過分色棱鏡后被分解為紅、綠、藍(lán)三束單色光。其中，a面鍍了一層反藍(lán)透綠介質(zhì)膜，b面鍍了一層反紅透綠介質(zhì)膜。分色棱鏡主要用于彩色電視攝像機的光學(xué)系統(tǒng)。

圖4－14分色棱鏡

3）轉(zhuǎn)像棱鏡

圖4－15所示為三種轉(zhuǎn)像棱鏡，其中（a）為普羅Ⅰ型轉(zhuǎn)像棱鏡，（b）為普羅Ⅱ型轉(zhuǎn)像棱鏡，（c）為別漢棱鏡。轉(zhuǎn)像棱鏡的主要特點是出射光軸與入射光軸平行，實現(xiàn)完全倒像，并能在棱鏡中折轉(zhuǎn)很長的光路，可用于在望遠(yuǎn)鏡的光學(xué)系統(tǒng)中實現(xiàn)倒像。

圖4－15轉(zhuǎn)像棱鏡

3.屋脊棱鏡

所謂屋脊棱鏡，就是把普通棱鏡的一個反射面用兩個互成直角的反射面來代替的棱鏡。兩直角面的交線(即棱線)平行于原反射面，且在主截面上。它猶如在反射面上蓋上一個屋脊，故稱為屋脊棱鏡，圖4－16(a)所示為等腰直角棱鏡，圖4－16(b)所示為直角屋脊棱鏡。

屋脊棱鏡除了能保持與原有棱鏡相同的光軸走向外，還能使垂直于主截面的Oy軸發(fā)生倒轉(zhuǎn)。因此上述的奇次反射棱鏡用屋脊面代替其中的一個反射面后，就成了偶次反射棱鏡，可以單獨作為倒像棱鏡來使用。

圖4－16直角屋脊棱鏡

4.3.2反射棱鏡的展開

反射棱鏡在光學(xué)系統(tǒng)中相當(dāng)于一塊平行平板。在幾何光學(xué)中，我們習(xí)慣于沿直線計算光路，因此，常將反射棱鏡折轉(zhuǎn)的光路拉直，這種拉直的方法稱為棱鏡的展開。棱鏡展開的方法是按其入射光線被反射的順序，以反射面為鏡面，求其對稱像，并依次畫出反射棱鏡的展開圖。反射棱鏡展開后，入射面和出射面相互平行，相當(dāng)于一塊平行平板。平行平板的厚度就是反射棱鏡的展開長度，或光軸長度。

反射棱鏡對入射光線產(chǎn)生的軸向位移以及成像缺陷和展開的等效平板是相當(dāng)?shù)?。因此，在光路中加入反射棱鏡會產(chǎn)生軸向位移和側(cè)向位移，使像面位置改變，并引入像差。圖4－17所示為一五角棱鏡展開的情況。將其主截面按反射面的順序經(jīng)兩次翻轉(zhuǎn)180°后，即可得到等效的平行平板。由于兩個反射面間的夾角θ=45°，因此入射光線和出射光線間的夾角為90°。設(shè)其口徑為D，AB=AE=D，不難求出與五角棱鏡等效的平行平板的厚度L為

圖4－17五角棱鏡的展開

若棱鏡展開后厚度為L，棱鏡通光口徑為D，則

式中，K為棱鏡的結(jié)構(gòu)常數(shù)，它取決于棱鏡的結(jié)構(gòu)，而與棱鏡的大小無關(guān)。再舉一個例子，圖4－18所示為一靴形棱鏡展開的情況，按反射順序，將其主截面翻轉(zhuǎn)180°兩次，展開后不是平行平板，為了使其具有全反射棱鏡的作用，加一塊“補償棱鏡”EFG，構(gòu)成平行平板。為了使主棱鏡發(fā)生全反射，令其和補償棱鏡之間有一個小的空氣間隙。

設(shè)棱鏡的口徑AB=D，由圖4－18可求得其等效平板的厚度L為

圖4－18靴形棱鏡的展開

4.3.3反射棱鏡成像方向的判定

反射棱鏡的主要作用是改變光軸和成像的方向。假設(shè)物空間是左手坐標(biāo)Oxyz，與其相對應(yīng)的像空間坐標(biāo)O′x′y′z′的方向可由以下原則來判定：

（1）O′z′軸和光軸出射方向一致。

（2）O′y′軸的方向（與光軸截面垂直的方向）視棱鏡組中屋脊面的個數(shù)而定。沒有屋脊面或有偶數(shù)個屋脊面時，O′y′與Oy同向；有奇數(shù)個屋脊面時，O′y′與Oy反向。

（3）O′x′軸的方向視棱鏡組中的反射次數(shù)（一個屋脊面算兩次反射）而定。如果有奇數(shù)次反射，則O′x′的方向按右手坐標(biāo)來定；如果有偶數(shù)次反射，則O′x′的方向按左手坐標(biāo)來定。

4.4折射棱鏡

除反射棱鏡以外，還有一類用作折射元件的折射棱鏡。折射棱鏡的工作面是兩個折射面。兩折射面的交線稱為折射棱，兩折射面間的二面角稱為折射棱鏡的折射角，用表示。同樣，垂直于折射棱的平面稱為折射棱鏡的主截面。圖4－19所示為一折射棱鏡的主截面，設(shè)棱鏡位于空氣中，其折射率為n，頂角為α，入射角為I1，折射光線相對于入射光線的偏角為δ。（4－7）

圖4－19折射棱鏡的工作原理兩式相加有

（4－8）

又由折射定律有

（4－9）

式(4－9)中兩式相減并化積得

則有

（4－10）

將式（4－8）兩邊對I1微分，得

（4－11）

再對式（4－9）的兩邊分別微分，得

（4－12）

對式（4－7）中第一個式子微分，得dI1′=dI2，代入式（4－12）中，并將式(4－12)的兩個分式相除，得

（4－13）

由式（4－9）得

（4－14）

（4－15）

欲使式（4－14）和式（4－15）兩式成立，必須滿足

（4－16）

也就是說，只有當(dāng)光線的光路對稱于棱鏡時，δ才能取得極值δm。

（4－17）

其中，δm為最小偏向角。

光學(xué)上常用測量折射棱鏡最小偏向角的方法來測量玻璃的折射率，具體測量方法為：將被測玻璃做成棱鏡，頂角α取60°左右，然后用測角儀測出α角的精確值。當(dāng)測得最小偏向角