理科數(shù)學(xué)試題(答案)一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合\(A=\{x|x^2-2x-3\lt0\}\)，\(B=\{x|y=\ln(2-x)\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\((-1,2)\)B.\((-1,2]\)C.\((-3,2)\)D.\((-3,2]\)2.設(shè)\(i\)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)\(z=\frac{i}{1+i}\)，則\(z\)的共軛復(fù)數(shù)\(\overline{z}=\)（）A.\(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\)B.\(1-\frac{1}{2}i\)C.\(1+\frac{1}{2}i\)D.\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\)3.已知\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(x,1)\)，若\((\vec{a}+2\vec)\parallel(2\vec{a}-\vec)\)，則\(x\)的值是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(1\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(2\)4.已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}2^x,x\lt0\\\log_2x,x\gt0\end{cases}\)，則\(f(f(-1))=\)（）A.\(-1\)B.\(0\)C.\(1\)D.\(2\)5.若雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一條漸近線方程為\(y=\sqrt{2}x\)，則其離心率\(e=\)（）A.\(\sqrt{2}\)B.\(\sqrt{3}\)C.\(2\)D.\(3\)6.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，若\(a_3+a_4+a_5=12\)，則\(S_7=\)（）A.\(28\)B.\(36\)C.\(42\)D.\(48\)7.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的圖象可由函數(shù)\(y=\sin2x\)的圖象（）A.向左平移\(\frac{\pi}{3}\)個(gè)單位長(zhǎng)度得到B.向右平移\(\frac{\pi}{3}\)個(gè)單位長(zhǎng)度得到C.向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個(gè)單位長(zhǎng)度得到D.向右平移\(\frac{\pi}{6}\)個(gè)單位長(zhǎng)度得到8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）（此處省略三視圖圖形描述，可自行想象一個(gè)常見的組合體三視圖，比如由圓柱和圓錐組成）A.\(\frac{1}{3}\pi+\pi\)B.\(\frac{1}{3}\pi+2\pi\)C.\(\frac{2}{3}\pi+\pi\)D.\(\frac{2}{3}\pi+2\pi\)9.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(f(x)=x^2-4x\)，則不等式\(f(x)\gtx\)的解集用區(qū)間表示為（）A.\((-5,0)\cup(5,+\infty)\)B.\((-\infty,-5)\cup(0,5)\)C.\((-\infty,-5)\cup(5,+\infty)\)D.\((-5,0)\cup(0,5)\)10.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)這\(5\)個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取\(2\)個(gè)不同的數(shù)，則這\(2\)個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率是（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)11.已知函數(shù)\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，若\(f(x)\)在區(qū)間\((-1,0)\)上單調(diào)遞減，則\(a^2+b^2\)的取值范圍是（）A.\([\frac{9}{5},+\infty)\)B.\((0,\frac{9}{5}]\)C.\([\frac{9}{2},+\infty)\)D.\((0,\frac{9}{2}]\)12.已知拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)為\(F\)，準(zhǔn)線為\(l\)，過\(F\)且斜率為\(\sqrt{3}\)的直線與拋物線在\(x\)軸上方的部分相交于點(diǎn)\(A\)，\(AK\perpl\)，垂足為\(K\)，則\(\triangleAKF\)的面積是（）A.\(4\)B.\(3\sqrt{3}\)C.\(4\sqrt{3}\)D.\(8\)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知\((1+2x)^n\)的展開式中第\(6\)項(xiàng)與第\(7\)項(xiàng)的系數(shù)相等，則\(n=\)______.14.已知實(shí)數(shù)\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x-y+1\geqslant0\\x+y-3\leqslant0\\y\geqslant1\end{cases}\)，則\(z=2x-y\)的最大值為______.15.已知球\(O\)的半徑為\(4\)，圓\(M\)與圓\(N\)為該球的兩個(gè)小圓，\(AB\)為圓\(M\)與圓\(N\)的公共弦，\(AB=4\)，若\(OM=ON=3\)，則兩圓圓心的距離\(MN=\)______.16.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}ax^2+(a-1)x+1\)在區(qū)間\((1,4)\)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間\((6,+\infty)\)內(nèi)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍是______.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知\(\triangleABC\)的內(nèi)角\(A\)，\(B\)，\(C\)所對(duì)的邊分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)，且\(a=2\)，\(\cosB=\frac{3}{5}\)。（1）若\(b=4\)，求\(\sinA\)的值；（2）若\(\triangleABC\)的面積\(S_{\triangleABC}=4\)，求\(b\)，\(c\)的值。18.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，\(PA\perp\)平面\(ABCD\)，\(AP=AB=2\)，\(BC=2\sqrt{2}\)，\(E\)，\(F\)分別是\(AD\)，\(PC\)的中點(diǎn)。（1）證明：\(PC\perp\)平面\(BEF\)；（2）求平面\(BEF\)與平面\(BAP\)所成二面角的大小。19.（本小題滿分12分）某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問\(50\)名職工，根據(jù)這\(50\)名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為\([40,50)\)，\([50,60)\)，\(\cdots\)，\([80,90)\)，\([90,100]\)。（1）求頻率分布直方圖中\(zhòng)(a\)的值；（2）估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于\(80\)的概率；（3）從評(píng)分在\([40,60)\)的受訪職工中，隨機(jī)抽取\(2\)人，求此\(2\)人評(píng)分都在\([50,60)\)的概率。20.（本小題滿分12分）已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率為\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，點(diǎn)\((2,\sqrt{2})\)在\(C\)上。（1）求\(C\)的方程；（2）直線\(l\)不過原點(diǎn)\(O\)且不平行于坐標(biāo)軸，\(l\)與\(C\)有兩個(gè)交點(diǎn)\(A\)，\(B\)，線段\(AB\)的中點(diǎn)為\(M\)，證明：直線\(OM\)的斜率與直線\(l\)的斜率的乘積為定值。21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)\(f(x)=e^x-ax-1\)（\(a\inR\)，\(e\)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。（1）求函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)\(a\gt0\)時(shí)，若\(f(x)\geqslant0\)對(duì)任意的\(x\inR\)恒成立，求實(shí)數(shù)\(a\)的值；（3）求證：\(\ln(1+\frac{2}{2\times3})+\ln(1+\frac{4}{3\times5})+\cdots+\ln(1+\frac{2n}{(n+1)(2n+1)})\lt1(n\inN^)\)。22.（本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系\(xOy\)中，曲線\(C_1\)的參數(shù)方程為\(\begin{cases}x=2\cos\alpha\\y=2+2\sin\alpha\end{cases}\)（\(\alpha\)為參數(shù)），\(M\)是\(C_1\)上的動(dòng)點(diǎn)，\(P\)點(diǎn)滿足\(\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}\)，\(P\)點(diǎn)的軌跡為曲線\(C_2\)。（1）求\(C_2\)的方程；（2）在以\(O\)為極點(diǎn)，\(x\)軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線\(\theta=\frac{\pi}{3}\)與\(C_1\)的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為\(A\)，與\(C_2\)的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為\(B\)，求\(\vertAB\vert\)。答案一、選擇題1.A2.A3.A4.B5.B6.A7.C8.A9.A10.B11.A12.C二、填空題13.\(8\)14.\(3\)15.\(3\)16.\([5,7]\)三、解答題17.（1）因?yàn)閈(\cosB=\frac{3}{5}\gt0\)，且\(0\ltB\lt\pi\)，所以\(\sinB=\sqrt{1-\cos^{2}B}=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^{2}}=\frac{4}{5}\)。由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)，已知\(a=2\)，\(b=4\)，\(\sinB=\frac{4}{5}\)，則\(\sinA=\frac{a\sinB}=\frac{2\times\frac{4}{5}}{4}=\frac{2}{5}\)。（2）因?yàn)閈(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}ac\sinB=4\)，\(a=2\)，\(\sinB=\frac{4}{5}\)，所以\(\frac{1}{2}\times2\timesc\times\frac{4}{5}=4\)，解得\(c=5\)。由余弦定理\(b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cosB\)，\(a=2\)，\(c=5\)，\(\cosB=\frac{3}{5}\)，可得：\(b^{2}=2^{2}+5^{2}-2\times2\times5\times\frac{3}{5}=4+25-12=17\)，所以\(b=\sqrt{17}\)。18.（1）以\(A\)為原點(diǎn)，分別以\(\overrightarrow{AB}\)，\(\overrightarrow{AD}\)，\(\overrightarrow{AP}\)的方向?yàn)閈(x\)軸，\(y\)軸，\(z\)軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。則\(A(0,0,0)\)，\(B(2,0,0)\)，\(C(2,2\sqrt{2},0)\)，\(P(0,0,2)\)，\(E(0,\sqrt{2},0)\)，\(F(1,\sqrt{2},1)\)。\(\overrightarrow{PC}=(2,2\sqrt{2},-2)\)，\(\overrightarrow{BF}=(-1,\sqrt{2},1)\)，\(\overrightarrow{BE}=(-2,\sqrt{2},0)\)。\(\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{BF}=2\times(-1)+2\sqrt{2}\times\sqrt{2}+(-2)\times1=-2+4-2=0\)，所以\(\overrightarrow{PC}\perp\overrightarrow{BF}\)。\(\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{BE}=2\times(-2)+2\sqrt{2}\times\sqrt{2}+(-2)\times0=-4+4=0\)，所以\(\overrightarrow{PC}\perp\overrightarrow{BE}\)。又\(BE\capBF=B\)，\(BE\subset\)平面\(BEF\)，\(BF\subset\)平面\(BEF\)，所以\(PC\perp\)平面\(BEF\)。（2）由（1）知\(\overrightarrow{PC}=(2,2\sqrt{2},-2)\)是平面\(BEF\)的一個(gè)法向量。平面\(BAP\)的一個(gè)法向量為\(\overrightarrow{AD}=(0,2\sqrt{2},0)\)。設(shè)平面\(BEF\)與平面\(BAP\)所成二面角為\(\theta\)，則\(\cos\theta=\vert\frac{\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{AD}}{\vert\overrightarrow{PC}\vert\vert\overrightarrow{AD}\vert}\vert=\frac{2\times0+2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}+(-2)\times0}{\sqrt{2^{2}+(2\sqrt{2})^{2}+(-2)^{2}}\times\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}}}=\frac{8}{4\times2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。因?yàn)閈(0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}\)，所以\(\theta=45^{\circ}\)，即平面\(BEF\)與平面\(BAP\)所成二面角的大小為\(45^{\circ}\)。19.（1）因?yàn)閈((0.004+a+0.018+0.022\times2+0.028)\times10=1\)，即\((0.004+a+0.018+0.044+0.028)\times10=1\)，\((0.094+a)\times10=1\)，\(0.94+10a=1\)，解得\(a=0.006\)。（2）由頻率分布直方圖可知，評(píng)分不低于\(80\)的頻率為\((0.022+0.018)\times10=0.4\)，所以估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于\(80\)的概率為\(0.4\)。（3）由頻率分布直方圖可知，評(píng)分在\([40,50)\)的受訪職工有\(zhòng)(0.004\times10\times50=2\)人，記為\(A_1\)，\(A_2\)；評(píng)分在\([50,60)\)的受訪職工有\(zhòng)(0.006\times10\times50=3\)人，記為\(B_1\)，\(B_2\)，\(B_3\)。從評(píng)分在\([40,60)\)的受訪職工中隨機(jī)抽取\(2\)人，所有可能的結(jié)果有\(zhòng)(C_{5}^{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\)種。\(2\)人評(píng)分都在\([50,60)\)的結(jié)果有\(zhòng)(C_{3}^{2}=\frac{3!}{2!(3-2)!}=3\)種。所以此\(2\)人評(píng)分都在\([50,60)\)的概率\(P=\frac{3}{10}\)。20.（1）由橢圓離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，可得\(c^{2}=\frac{1}{2}a^{2}\)，又\(b^{2}=a^{2}-c^{2}\)，所以\(b^{2}=\frac{1}{2}a^{2}\)。橢圓方程為\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{2}a^{2}}=1\)，因?yàn)辄c(diǎn)\((2,\sqrt{2})\)在橢圓上，所以\(\frac{2^{2}}{a^{2}}+\frac{(\sqrt{2})^{2}}{\frac{1}{2}a^{2}}=1\)，即\(\frac{4}{a^{2}}+\frac{4}{a^{2}}=1\)，\(\frac{8}{a^{2}}=1\)，解得\(a^{2}=8\)，則\(b^{2}=4\)。所以橢圓\(C\)的方程為\(\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1\)。（2）設(shè)直線\(l:y=kx+m(k\neq0,m\neq0)\)，\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(M(x_M,y_M)\)。將\(y=kx+m\)代入\(\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1\)得\((1+2k^{2})x^{2}+4kmx+2m^{2}-8=0\)。則\(x_1+x_2=-\frac{4km}{1+2k^{2}}\)，所以\(x_M=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{2km}{1+2k^{2}}\)，\(y_M=kx_M+m=k\times(-\frac{2km}{1+2k^{2}})+m=\frac{m}{1+2k^{2}}\)。所以直線\(OM\)的斜率\(k_{OM}=\frac{y_M}{x_M}=-\frac{1}{2k}\)，則\(k_{OM}\cdotk=-\frac{1}{2}\)，即直線\(OM\)的斜率與直線\(l\)的斜率的乘積為定值\(-\frac{1}{2}\)。21.（1）函數(shù)\(f(x)=e^x-ax-1\)的定義域?yàn)閈(R\)，\(f^\prime(x)=e^x-a\)。當(dāng)\(a\leqslant0\)時(shí)，\(e^x\gt0\)，所以\(f^\prime(x)=e^x-a\gt0\)恒成立，\(f(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上單調(diào)遞增。當(dāng)\(a\gt0\)時(shí)，令\(f^\prime(x)=0\)，即\(e^x-a=0\)，解得\(x=\lna\)。當(dāng)\(x\in(-\infty,\lna)\)時(shí)，\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x\in(\lna,+\infty)\)時(shí)，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增。綜上，當(dāng)\(a\leqslant0\)時(shí)，\(f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,+\infty)\)；當(dāng)\(a\gt0\)時(shí)，\(f(x)\)的單調(diào)遞減區(qū)間為\((-\infty,\lna)\)，單調(diào)遞增區(qū)間為\((\lna,+\infty)\)。（2）由（1）知當(dāng)\(a\gt0\)時(shí)，\(f(x)\)在\(x=\lna\)處取得極小值也是最小值，\(f(\lna)=a-a\lna-1\)。因?yàn)閈(f(x)\geqslant0\)對(duì)任意的\(x\inR\)恒成立，所以\(f(\lna)=a-a\lna-1\geqslant0\)。令\(g(a)=a-a\lna-1\)，\(g^\prime(a)=1-(1+\lna)=-\lna\)。當(dāng)\(a\in(0,1)\)時(shí)，\(g^\prime(a)\gt0\)，\(g(a)\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(a\in(1,+\infty)\)時(shí)，\(g^\prime(a)\lt0\)，\(g(a)\)單調(diào)遞減。所以\(g(a)\)在\(a=1\)處取得最大值\(g(1)=0\)，所以\(a-a\lna-1\leqslant0\)，又\(a-a\lna-1\geqslant0\)，所以\(a=1\)。（3）當(dāng)\(a=1\)時(shí)，\(f(x)=e^x-x-1\geqslant0\)，即\(e^x\geqslantx+1\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(x=0\)時(shí)取等號(hào)。令\(x=\frac{2n}{(n+1)(2n+1)}\)，則\(\ln(1+\frac{2n}{(n+1)(2n+1)})\lt\frac{2n}{(n+1)(2n+1)}=2(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2})\)。所以\(\ln(1+\frac{2}{2\times3})+\ln(1+\frac{4}{3\times5})+\cdots+\ln(1+\frac{2n}{(n+1)(2n+1)})\lt2[(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+\cdots+(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2})]\)。\(2[(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+\cdots+(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}