石家莊市2025屆普通高中學(xué)校畢業(yè)年級(jí)教學(xué)質(zhì)量摸底檢測(cè)

數(shù)學(xué)

(本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

2

1設(shè)集合A={N￡R|1KX<5},B={xeR|x-3x-4<0}>則正與=()

A.(-1,1]B.(-1,4)C.[1,4)D.[1,5)

【答案】C

【解析】

【分析】解一元二次不等式求出8,根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可得答案.

【詳解】集合A={X￡R|1KX<5}=工5),B={XGR|X2-3X-4<0}=(-1,4),

故項(xiàng)8=[1,4),

故選；C

2.已知復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=2+3i,則復(fù)數(shù)z的虛部為()

15-15

A.-B.-C.一一D.一一

2222

【答案】A

【解析】

分析】利用復(fù)數(shù)除法法則得到2二士，得到虛部.

【詳解】1+T-(l+i)(l-i)-r

故虛部為L(zhǎng).

2

故選：A

3.已知平面向量滿足2.3-力=2,且同=1,h=2,則向量瓦B的夾角為（）

兀-2兀_it>5兀

A.-B.—C.-D.—

6336

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算及夾角公式得解.

【詳解】因?yàn)橥?1,忖=2,

所以限3—方）-a3=1—。3=2,即〃$=-1，

所以儂（哂=茜T，

所以《叫=冬

故選:B

4.己知正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2,且其側(cè)面積的和是底面積的2倍，則此正四棱錐的體積為（）

A.在B.空C*D,2^3

333

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)已知得出斜高，從而可得正四棱錐的高，由體積公式可得正四棱錐的體積.

【詳解】如圖，正四棱錐S—A8C。，BC=2,。為底面正方形中心，E為BC中點(diǎn),

由已知可得4x,x2xSE=2x2x2,

2

所以SE=2,

又°E=1，所以S0=Jsf2-0E2=6,

所以正四棱錐的體積為V=,x2x2xJ^=遞

33

故選：C.

4

5.已知sin(a+￡)=2cos(c-Q),tana+tan,則tanatan/?=()

1

A.3B.-3C.—D.——

33

【]D

【解析】

4

【分析】根據(jù)條件可得sin(a+/)=gcosacos〃，結(jié)合sin(a+^)=2cos(a-￡)及差角余弦公式，即可求

目標(biāo)式的值.

，八sinasin6sinacosa+sinZ?cosBsin(a+5)4

【詳解】由tana+〔an〃=——+—^=------------------?--=―—3=不，

cosacospCOSOfcospcoscrcosp3

4..

所以sin(a+/?)=-cosacos/?,而sin(a+0)=2cos(cr-/7)=2(cosacos夕+sinasinft),

42

所以一cosacos〃=2cosacos/74-2sinasinp,即2sin6zsinft=——cosacosP,

33

所以tana?tan夕=一一.

3

故選:D

6.若數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，S,為數(shù)列｛q｝的前八項(xiàng)和，4+。9>°，S“<。，則S”的最小值為

A.S5B.S6C.S7D.S8

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)由S“<?？傻?>0,即可求出數(shù)列｛4｝前6項(xiàng)均為負(fù)值，可得結(jié)論.

【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可得箕="(4；%)=11%<0，即可得470；

又〃4+。9=，+%>0，所以。7>0；

因此可得數(shù)列｛%｝的公差d>0,且前6項(xiàng)均為負(fù)值，

所以S”的最小值為前6項(xiàng)和，即為

故迄B

AB.—,8C.(0,8]D.[8,loo)

-(°i)8

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得/(log^/W/C),利用單調(diào)性解不等式結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解

【詳解】函數(shù)/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且在［0,48)上單調(diào)遞減,

所以/(x)在R上是減函數(shù)，

于(睡2。)一f(log1〃)-2/(3),即/(log,a)+/(log,a)<2f(3),

2-

所以/(噫。)"⑶，

^[X\og2a>3=\oo22\

所以々之8,即實(shí)數(shù)。的取值范圍為+8).

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知實(shí)數(shù)小b,。滿足a〉〃>c>0,則下列選項(xiàng)正確的是()

a+c>a,a-c八

A.B.1g---->0D.a+Z?H—,—>2\/2

b+cbb-c\[ah

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用作差法可判斷AC；根據(jù)不等式性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷B；利用基本不等式判斷D.

【詳解】對(duì)于A,實(shí)數(shù)a,b,c滿足

Q+C(a+c)/?-3+c)a_Si)。'<0,a+cQ…、r

則a即t"；---<-,A錯(cuò)誤;

b±cb(。十傳十c)0b+cb

對(duì)于B,由于a>Z?>c>0,故-c>0,「.’-->1,

b-c

則1g土=>0,B正確;

b-c

對(duì)于C,因?yàn)閍>/?>c>0,故〃一〃>0,4-。>0力一。>0,

則r一°ci{b-c)bc

>0,即——->----,C正確;

a-ba--b^(a-c)a-ba-c

對(duì)干D,由于故a+b>2\[^,

則〃+8+3>2，石+二，而2瓢+；22血,當(dāng)且僅當(dāng)。匕=?!"時(shí)等號(hào)成立,

yjah\Jah\ab2

故〃+Z?+.—>2\[2,D正確,

7ab

故迄BCD

7T

10.已知函數(shù)/（x）=sin（s+7）（o>0）,則下列說(shuō)法正確的是（）

6

MK7K）

A.當(dāng)3=3時(shí)，/3）在—上單調(diào)遞增

B.若|/（5）一/（々）|=2,且則函數(shù)/（幻的最小正周期為兀

7T

C.若/（幻的圖象向左平移五個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象關(guān)于），軸對(duì)稱，則。的最小值為3

23991

D.若/(%)在[0,2可上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為［五,宣

【答案】ABD

【解

【分析】對(duì)于A,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷；對(duì)于B,直接可得工=2，由此即可判斷；走于C,由題

22

con

意得畀EkZ結(jié)合”的范圍即可判斷；對(duì)于D,先得到

12

69>0,xe[0,2n]=>69x+—e32+2M,進(jìn)一步列出不等式組即可求解.

666

4兀771rI->兀3兀5兀、

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)3=3時(shí)，若XE,貝IJ3X十三e

9963F）

/A7、

所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知/（X）在常,請(qǐng)上單調(diào)遞增;

I997

對(duì)干B,若|/（芭）-/（七）|=2,且L=—?則當(dāng)且僅當(dāng)一=￡=>7=兀，故B正確;

222

7T

對(duì)于c,若/（刈的圖象向左平移五個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為:

f(X)=sin(5+絆+今3>0),

]12o

若工(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則,+2=]+A7aeZ=M4+12k/wZ,

注意到3>0,所以當(dāng)且僅當(dāng)A=0時(shí)，。的最小值為4,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,69>0,XE[0,2兀]=>5+2￡—,—+26971,若/(/)在/。)=5皿的+3(④>0)上恰有4個(gè)零

6166」6

點(diǎn),

c?！?/p>

2①冗+—24兀

則當(dāng)且僅當(dāng)[623292329)

=>—<co<——即。的取值范圍為

C兀L1212TI'五’

2MTI+—<5兀

6

故選:ABD.

11.如圖，曲線c過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)o,且。上的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足到兩個(gè)定點(diǎn)耳(一。,0),6(。,0)(。>0)的距

離之積為9,則下列結(jié)論正確的是()

A.a=3

B.若直線)，=履與曲線。只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A的取值范圍為[1,48)

C.耳鳥(niǎo)周長(zhǎng)的最小值為12

9

D.△尸石鳥(niǎo)面積的最大值為二

2

【答案】AD

【解析】

【分析】求解曲線方程后，利用過(guò)原點(diǎn)求得4=3,可判斷A；我立方程組，結(jié)合其解唯一求出2的范

圍，可判斷B；利用基本不等式求解歸制+|刊4的范圍，即可求解△戶”居周長(zhǎng)范圍，判斷C；根據(jù)面積

公式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可判斷D.

【詳解】由定義歸用?歸閭=9,即?x+4+/XJ(i)2+),2=9,

g|J(X2++a2+2ax)-(x2+j2+-2ax)=81,該曲線過(guò)原點(diǎn),所以/=gi.

又〃>0,所以。=3,故選項(xiàng)A正確；

故方程為12+〉,2+9+64卜2-）,2+9_6,=8],

所以曲線C的方程為k2+）,2）2=18卜2一丁），

直線y二日與曲線C：1+月2=]8卜2一,2）必有公共點(diǎn)（0,0）,

因此若直線尸質(zhì)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則?卜+，）="（%7）只有一個(gè)解（0,0）,

y=kx

即1（1+k2『=18/（1一公）只有一個(gè)解為工=0，

即KW0時(shí)，=18/（1—公）無(wú)解，

故1一公《0,即實(shí)數(shù)％的取值范圍為（-2—1]。[1,包），故B錯(cuò)誤；

由\PF^\PF2\>21附卜|叫=6,僅當(dāng)|尸娟=歸用=3時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)點(diǎn)。在〃1心的垂直平分線上：故點(diǎn)尸與原點(diǎn)O重合，不能形成三角形，

所以|尸制+|尸閭>6,所以以耳居周長(zhǎng)歸用+|尸閭+忻聞>6+6=12,

等號(hào)取不到，故c錯(cuò)誤；

^=1|^H^|sinZ^P^=|x9xsinZ^P^<1,

JJJ

3

當(dāng)且僅當(dāng)/耳P6=90、等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)P縱坐標(biāo)為5，

方程[2+）,2）2=18卜2_力可化為/+（2丁2_18卜2+）'2卜2+[8）=0,

令/=X?,則方程/+（2）2-18）+y2（）3+]8）=0,

由判別式△=（2了2一18）2-4/（）,2+]8）=-18（8），2-18”0,可得丁工\,

9

故面積能取到最大值不，故D正確.

2

故選：AD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)值（取值范闈）問(wèn)題，通常將直線方程代入曲線方程轉(zhuǎn)

化為一7匕方程根的情況研究，再結(jié)合方程類型變形建立不等式，通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍，但也要注意

變形過(guò)程中的等價(jià)處理.如復(fù)合方程通過(guò)整體換元轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單方程來(lái)研究時(shí)，不能忽視求解新元的范圍；

高次方程因式分解轉(zhuǎn)化為低次方程來(lái)研究時(shí)，要注意幾個(gè)低次方程之間的重根討論；分式方程化為整式方

程研究時(shí).，分母是否為0的分類討論；無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程時(shí)，被開(kāi)方數(shù)的限制條件等.

三、填空題；本題共3小題，每小題5分，共15分

12.在等比數(shù)列｛〃“｝中，4=1,/64=64，則%=.

【答案】16

【解析】

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由a243a4=64,及〃=

可得：。；=64,即4=4,

又的$=裙,

所以%=16.

故答案為：16

—x~+3x-1,x20

13.已知函數(shù)/(x)=,4，若>=兇與y=/a)的圖象相切于4、8兩點(diǎn)，則直線AB的

一+4,x<0

方程為.

【答案】x+3y-4=0

【解析】

【分析】解方程先求出A8的坐標(biāo)即可求解.

【詳解】x?O"(x)=國(guó)=>>0,—x2+2x—1=0=>x=1,

x<0J(x)=|M=x<0，x+'+4n4=-2,

不妨設(shè)A(—2J(—2)),8(1J⑴)，所以A(—2,2),8(1,1),

所以直線A3的方程為：y-l=——-(x-l)=>x+3y-4=0.

故答案為：x+3y-4=0.

14.金字塔在埃及和美洲等地均有分布，現(xiàn)在的尼羅河下游，散布著約80座金字塔遺跡，大小不一，其中

最高大的是胡夫金字塔，如圖，胡夫金字塔可以近似看做一個(gè)正四棱錐，則該正四棱錐的5個(gè)面所在的平

面將空間分成部分(用數(shù)字作答).

【答案】23

【解析】

【分析】假想一個(gè)沒(méi)有上頂?shù)恼襟w，該正方體會(huì)把空間分割成18塊，把四面進(jìn)行極限傾斜相交分析求

解.

【詳解】假想一個(gè)沒(méi)有上頂?shù)恼襟w，該正方體會(huì)把空間分割成18塊，

把四面進(jìn)行極限傾斜相交，如圖所示，

在傾斜的過(guò)程中，在不管底面的情況下，4個(gè)側(cè)面在頂點(diǎn)以下的“水平范圍”內(nèi)最多可以切割出9個(gè)空

間，與沒(méi)有傾斜極限的情況?樣，

多出來(lái)的空間是交叉的切割出來(lái)的空間，

在空間上是對(duì)稱的，四個(gè)傾斜的側(cè)面在空間中的延伸還是這樣的傾斜側(cè)面，

如圖所示的對(duì)稱的錐面同樣會(huì)切割出9個(gè)空間，

即頂點(diǎn)之上的4個(gè)延伸的傾斜的面同樣會(huì)切割出9個(gè)空間，

但是四個(gè)空間和下面的四個(gè)傾斜的側(cè)面切出的是同一個(gè)，

即標(biāo)記“X”的位置，

所以在18基礎(chǔ)上加9減4,即結(jié)果是23.

故答案為：23.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于把四面進(jìn)行極限傾斜相交分析.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知拋物線C:y2=2px（〃>0）的焦點(diǎn)為凡4是拋物線上橫坐標(biāo)為2且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物

線焦點(diǎn)的距離為3.

2

（1）求拋物線C的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)F的直線/交拋物線C于8、。兩點(diǎn)（異于。點(diǎn)），連接。8、0D,若S&OBF=；S^ODF，

求8。的長(zhǎng).

【答案】（1））/=2x

⑵-

4

【解析】

【分析】（1）由拋物線上焦半徑的計(jì)算公式求解出P,然后得到拋物線的方程即可；

（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，由韋達(dá)定理得到兩根之前與兩根之積，由5入0/=15%。?，得

\OG\]BF\=^\DF[\OG\,即忸目二g|。目，計(jì)算80的長(zhǎng)即可.

【小問(wèn)1詳解】

由題意得￡+2=g,解得〃=1,故拋物線方程為），2=2x.

【小問(wèn)2詳解】

由題意得直線/的斜率不為0,設(shè)直線/：x=）+g,與寸=2/

聯(lián)立得9-29-1=0,由韋達(dá)定理得y+%=2/,y,y2=-l?

設(shè)B（x，x）,D（x2,y2）,過(guò)O點(diǎn)作/垂線，垂足為G.

由以硼二；“。”，得|OGH明=』四?|OG|,KP|BF|=||DF|

由忸日=JoF|得x=-g必②

由①②聯(lián)立上式得y=#，%=一日，=一乎

忸D|=JCvJ+GcJ=J（i+『）（y_必『='?

16.如圖，在直四棱柱A8C7）-NB'C'Q'中，4G=2AO',AB±BC,AB=\,BC=JJ,

3

3月

(1)設(shè)過(guò)點(diǎn)G、B、。的平面交直線49于點(diǎn)M,求線段GM的長(zhǎng)；

(2)若AC上BD,當(dāng)二面角笈一AC—。'為直二面角時(shí)，求直四棱柱A8C￡)—4?C7)'的體積.

【答案】(1)旦

2

⑵號(hào)

【解析】

【分析】(I)由直棱柱得37)7/即且B?！ㄆ矫?9C77,利用線面平行的性質(zhì)得4O〃GM,進(jìn)而求線段

GM的長(zhǎng)：

(2)法一：設(shè)ACQ80=0,連接B'O,O'O,利用線面垂直的判定及性質(zhì)定理及二面角的定義有NEOD

為二面角B-AC-D1的平面角，令BF=DU=h結(jié)合已知條件求h,最后應(yīng)用棱柱的體積公式求體積；

法二：設(shè)。。'=。，根據(jù)已知二面角大小，應(yīng)用向量法列方程求〃，進(jìn)而應(yīng)用棱柱的體積公式求體積;

【小問(wèn)1詳解】

連接377,由直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，知87)7/8。且30〃平面A'夕C7J,

平面A&CTTri平面GAQ=GM,3Du平面GBD,而以BDHGM,

由平行傳遞性知GM〃9。，

所以M為靠近H的A9三等分點(diǎn)，GM=-B,D,=—

32

【小問(wèn)2詳解】

方法一：幾何法,

如上圖，設(shè)Acri33=o,連接B'O,D'O,

由題意AC上BD,ACJ.88，49口8力=B且都在面加。內(nèi)，故4。_1面8￡0,

同理有AC_L面。D'O,由夕Ou面/加79,￡>'Ou面OD'O,

所以3'O_LAC，DVIAC,故/B'OD為二面角笈一AC—。的平面角,

設(shè)83'=。/)=/?,由二面角9-AC—/)為直二面角，知4'0。二4,

2

由題設(shè)有AC=2,等面積法得8。=正，故00=6，Br02=BO2+h2?D'O2=DO2+h1，

2

3077/r

在Rt^B'OD'中夕療+少療二9。？，即一+/-+3+川=二，整理得/二：,解得力=±~_,

4422

由題設(shè),知BB，=與,則Sg=S△八8C+SZ^CD=￥^X2X；=￥^

所以^ABCD-A'BrC'Dr=Sh=—；

方法二：向量法，

設(shè)直線AC與直線B力交于點(diǎn)。，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。8為X軸，以0C為)，軸建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系。一冷立.

在RlZ\A8C中。8_LAC,由射影定理得0A=！,OC=j,0B=—^

222

設(shè)DD=h，則A(O,—g,O),C(0,|,0),D<-瓜0,h),

設(shè)平面B/C的一個(gè)法向量為〃i=(x，y,zj,

(內(nèi)，％4)?((),2,())=(),=()

%?AC=0

則二_，即《,所以’61/Z

仆?AB=0(xp-,//)=()

令芭=-2〃，則4=石，%=卜2〃,0,班卜

設(shè)平面Z/AC的一個(gè)法向量為4=（A2?y2,z2）,

‘心/二0(X2，)’2，Z2)(°，2,0)=0)，2=0

則:一，即

/—1c，所以,-6%+gy+力z?=o

(X,37^2)(-V3,-,/?)=O

I%■?AD=022

令々=〃，則馬=6，%=（"，°，6），

當(dāng)二面角笈一4C一少為直二面用時(shí)，1?0=-2〃2+3=0,得力=*，

,VAHCD-A'B'CD'=SAHCD,,1=7；ACBDh=

17.在VA3c中，AB=6,AC=2g，點(diǎn)。在邊上，且BD=CD.

(1)若NBAD=三,求BC的長(zhǎng);

2

(2)若NA4C='，點(diǎn)￡在邊AC上，且Afn-EC,BE與AO交于點(diǎn)M,求cosNAM8.

32

【答案】（1）BC=\f2\

⑵」

7

【解析】

【分析】（1）設(shè)3O=CO=g,在/^48。和丫48。中分別得出＜：058,即可求解;

2

（2）根據(jù)數(shù)顯積的定義可得而.正，根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得而.屁，由向量的夾角運(yùn)算公式即可

求解.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)BD=CD=3

2

R_ABN

B==

在血中，COS~^B~

2

V43c中，由余弦定理可得

nAB2+BC2-AC2

cosB=----------------

g(6?+/—僅6『

所以，V=一際一，

2

解得。=萬(wàn)，所以8。二收；

【小問(wèn)2詳解】

ABAC=V3x2\/3xcos—=3.

3

ADSE=-(AB+AC)(AE-AB)=-(AB+AC)[-AC-AB

2213

:一;血.—g研+||AC|2=-1x3-^x3+|x(2>/3)2=-^

[x(3+2x3+12)=理

+2ABAC+AC

=JiAC2-^ABAC+AB211s2.后

ABJ—x12——x3+3=----

933

7JD~BE__2

cosZAMB=cosAD,BE=

西.同后后7,

18.已知函數(shù)/(x)二《.

x

(1)當(dāng)x>0時(shí)，求函數(shù)/(x)的最小值；

r4-1

(2)設(shè)方程f(x)二一二的所有根之和為7；且「￡(〃,〃+1),求整數(shù)〃的值；

廠

(3)若關(guān)于工的不等式/*)?以一alnx+e-1恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)。

(2)n=-\

(3)a<\

【解析】

【分析】(1)由題可得/'(幻，判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，可得函數(shù)的單調(diào)性，即可得函數(shù)的最G值；

⑵/*)=注oe'-L_i=o,由g*)=1-L-1單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得g(x)零點(diǎn)范圍，

XXX

即可得「的范圍，即可得答案；

閉令〃。)=/。)一心+。1門一(。-1),求導(dǎo)得〃(x)=('_])(：T八)，然后分aMe,a>e兩種情

廠

況討論可得答案；

【小問(wèn)1詳解】

UgX

"0,f(x)=~P

X

xe(0,l),/'(x)<0,/(外單調(diào)遞減，

xe(l,+oc),f\x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

/(X)min=/⑴；

【小問(wèn)2詳解】

r4-11

方程/(的=「可化簡(jiǎn)為d——i=o

XX

方程e、—_L—1=0的根就是函數(shù)g(x)=—1的零點(diǎn)，

XX

注意至Ijg'(x)=e'+」T>0,則g(x)二9一1一1在(-00,0),(0,+8)上單調(diào)遞增.

x-X

O_211

因?yàn)間(—二)=e5——<0,g(-l)=一〉()，

23e

所以函數(shù)g(x)在(一8,0)有唯一零點(diǎn)七，且芯w(-|s-1).

因?yàn)間(g)=血―3<0,^(l)=e-2>0,

(\、

所以函數(shù)g(x)在(0,+<功有唯一零點(diǎn)/，且馬丘不，1

I，/

則T=X]+工2￡(-1，°)，因此，n=-\.

【小問(wèn)3詳解】

tS/z(x)=/(x)-ax+alnx-(e-l),則當(dāng)/>0時(shí)力(大)之0恒成立,

川(大)一生戶一〃十a(chǎn)(x-l)(eA-ax)

2

廠x廠

er

①由(I)得一>e?er>ex-

x

當(dāng)〃4e時(shí)，ev-or>ex-ex>0

xc(O,l),"(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

X€(l,4-cc),h\x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

/?(x)>/?(1)=e-6/-(e-l)=l-a>0,.\a<\

②當(dāng)a>e時(shí)，力(1)=1一。<0,這與力(犬)之0矛盾，

綜上，a<\.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于零點(diǎn)范圍問(wèn)題，常利用零點(diǎn)存在性定理確定具體范圍；對(duì)于函數(shù)不等式恒成立問(wèn)

題，

可利用分離參數(shù)解決，也可直接分類討論處理.

19.母函數(shù)(又稱生成函數(shù))就是一列用來(lái)展示一串?dāng)?shù)字的掛衣架.這是數(shù)學(xué)家赫伯特?維爾夫?qū)δ负瘮?shù)的

一個(gè)形象且精妙的比喻.對(duì)于任意數(shù)列死，4，。2，-，/，即用如下方法與一個(gè)函數(shù)聯(lián)系起來(lái)：

2

G(x)=a()+alx+a2x+--+allx\則稱G(x)是數(shù)列｛q｝的生成函數(shù).例如：求方程

10()=4+G+…十的的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù).設(shè)此方程的生成函數(shù)為G(_r)=(l+x+f+…嚴(yán)，其中x的

指數(shù)代表W=l,2,3,…,10)的值.G(x)=(l+x+/+…尸=工勺父，則非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為。儂.若

〃=0

/(x)=l+x+x2+...,則VXx)=x+—+d+…,可得(1一只八力=1,于是可得函數(shù)/W的收縮表

1010100

達(dá)式為：/(x)=----.故G(x)=('j----)=(1—x)_=C?10(-x)°H-CLJOC-X)H---HC喘(-xp+…

1-xi-x

(廣義的二項(xiàng)式定理：兩個(gè)數(shù)之和的任意實(shí)數(shù)次幕可以展開(kāi)為類似項(xiàng)之和的恒等式)則

為二盤(pán)二㈠藍(lán)(TN°°+DJ°9'啜/蟲(chóng)二喘根據(jù)以上材料,解決下述問(wèn)

題：定義“規(guī)范01數(shù)列”｛?！ǎ缦拢海鹮｝共有2m項(xiàng)，其中加項(xiàng)為0,〃?項(xiàng)為1,且對(duì)任意ZW2m,

之”!,不同的“規(guī)范01數(shù)列”個(gè)數(shù)記為bm.

/=12

(1)判斷以下數(shù)列是否為“規(guī)范01數(shù)列”;

@0,1,0,1,0,1；(gX),0,1,1,1,0,0,1；③0,1,0,(),0,1,1,1.

⑵規(guī)定4=1,計(jì)算“，h2,%”的值，歸納數(shù)列物J的遞推公式；

2,n

(3)設(shè)數(shù)列｛bm｝對(duì)應(yīng)的生成函數(shù)為F(x)=%+b.x+b2x+^+bmx+…

①結(jié)合F。)與F2(x)之間的關(guān)系，推導(dǎo)F(x)的收縮表達(dá)式；

②求數(shù)列也“｝的通項(xiàng)公式.

【答案】(1)①，③是“規(guī)范01數(shù)列“，②不是“規(guī)范01數(shù)列”，理由見(jiàn)解析?：

(2)4=1,%=2,4=5,4=14；數(shù)列也“｝的遞推公式為

4力+2

O=她I+她吁2++…+*4+*瓦或%]=——~b；

?n+2m

(3)①F(x)=—'-----:②"

2xn?!(/n+1)!

【解析】

【分析】(1)根據(jù)“規(guī)范01數(shù)列''的定義進(jìn)行驗(yàn)證，①@正確，其中②中4+生+生+4+%=3>]，故

②錯(cuò)誤；

(2)列舉法得到仇=1,仇=2,4=5,2=14,方法一：“規(guī)范01數(shù)列”滿足：①當(dāng)

八knk

〃=1,2,3,???次一1時(shí)，Zq<7；②當(dāng)〃=左時(shí)，￡%=、，從而可將回j劃分為兩部分，即

f=i2z=i2

4M2,…，q和4+I，％+2,…嗎，得到優(yōu)｝的遞推公式；方法二：利用正難則反的方法進(jìn)行求解，得到

〃〃=焉推出%4/77+2

粼；

m+2

(3)①推出外2(幻=廠(幻一1,求出1(x)=l±[4x由極限思想舍去尸(外二上沖三亙，得到

FM=l-y/l-4x；②在①的基礎(chǔ)上，推出

2x

G(x)=1=：口一(1+￡c；(Tx)〃,)]=￡⑵〃一，得到答案,

2x2xZi2九加(加+1)!

小問(wèn)1詳解】

①，③是“規(guī)范01數(shù)列”，②不是“規(guī)范01數(shù)列”，理由如下：

13

?0,1?0,1,0,I；=0<—,4+4=1?1，4+4+%=145，

q+生+4+=2工2,4+/+生+&+%=2V3,

q+4+/+。4+4+4=3K3,故①為“規(guī)范01數(shù)列”，

②0,0,1,1,1,0,0,1,4一。2+。3+。4+。5=3＞］，不滿足要求；

*k

③0,1,0,0,0,1,1,1,滿足AW8，2＞，《不，③為“規(guī)范01數(shù)列“；

1=12

【小問(wèn)2詳解】

加=1時(shí)，"規(guī)范01數(shù)列”只有0,1,故a=1,

m=2時(shí)，"規(guī)范01數(shù)歹『'有0,0,I,1和0,1,0,I,故4=2,

m=3時(shí)，"規(guī)范01數(shù)列”有0,0,0,1,1,1和0,1,0,1,0,1和0,0,1,0,1,1

和0,1,0,0,1,I和0,0,I,1,0,I,故4=5,

機(jī)=4時(shí)，”規(guī)范01數(shù)列”有0,0,0,0,1,1,1,1和0,1,0,1,0,1,0,1

和0,0,1,0,1,1,0,1和0,1,0,0,1,1,0,1和。，0,1,1,0,1,0,1

和0,0,1,1,0,0,1,1和0,1,0,0,1,1,0,1和0,。，0,I,0,1,1,1

和0,0,1,0,0,1,1,1和0,1,0,0,0,1,1,1和0,0,1,0,1,0,1,1

和0,1,0,1,0,0,I,1和0,0,(),I,1,0,I,1和()，0,0,I,1,1,0,1；

故〃=14,

方法一：”規(guī)范01數(shù)列”■｝中，首項(xiàng)4=0,若｛an｝同時(shí)滿足：

當(dāng)〃=1,2,3,…,％—1時(shí)，②當(dāng)〃=攵時(shí)，￡《=：，

i=i2；=)2

此時(shí)可將｛%｝劃分為兩部分，即4，。2,…，《和4+1，4+2,…，/，

由干％=0fiak=1,則%,%，…，4.i可構(gòu)成一個(gè)“規(guī)范01數(shù)列“，

所以數(shù)列也,｝的遞推公式為：

bm=帥+b\b吁2+b2ba3+…+b吁2bl+"7bo；

方法二：要想滿足“規(guī)范01數(shù)列”，即從左向右掃描，出現(xiàn)0的累計(jì)個(gè)數(shù)大于等于出現(xiàn)1的累訐個(gè)數(shù),

先從2機(jī)位上選擇個(gè)位置填入0,剩余的位置填入1,有C黑個(gè)，

不合要求的情況為從左向右掃描，出現(xiàn)。的累計(jì)個(gè)數(shù)小于出現(xiàn)累計(jì)1的個(gè)數(shù),

不合要求的數(shù)的特征是從左到右掃描時(shí)，必然在某一個(gè)奇數(shù)2〃+1,〃（團(tuán)位上首先出現(xiàn)〃+1個(gè)1的累計(jì)

數(shù)和〃個(gè)（）的累計(jì)數(shù)，

此后的2（加一〃）-1位上有（加一〃）個(gè)