重難點04利用導數研究不等式恒（能）成立問題（舉一反三專項訓練）

【全國通用】

題型歸納

【題型1利用導數研究不等式恒成立問題1...................................................................................3

【題型2利用導數研究能成立問題】.............................................................3

【題型3分離參數法解決不等式恒（能）成立問題】...............................................4

【題型4分類討論法解決不等式恒（能）成立問題】...............................................5

【題型5構造函數法解決不等式恒（能）成立問題】...............................................6

【題型6與不等式恒（能）成立有關的證明問題】.................................................6

【題型7洛必達法則】..........................................................................7

【題型8導數中雙變量恒（能）成立問題1....................................................................................7

【題型9導數中雙函數恒（能）成立問題】.......................................................10

命題規(guī)律

1、利用導數研究不等式恒（能）成立問題

導數中的不等式恒（能）成立問題是高考的?？伎键c，是高考的熱點問題，從近幾年的高考情況來看，不

等式的恒（能）成立問題經常與導數及其幾何意義、函數、方程等相交匯，綜合考查分析問題、解決問題的能

力，一般作為壓軸題出現(xiàn)，試題難度較大，解題時要學會靈活求解.

方;飆巧

知識點1不等式恒（能）成立問題的解題策略

1.不等式恒（能）成立問題的求解方法

解決不等式恒（能）成立問題主要有兩種方法：

（1）分離參數法解決恒（能）成立問題

①分離變量：根據不等式的性質將參數分離出來，得到一個一端是參數，另一端是變量表達式的不等式,

構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題，進而解決問題.

②。三/（X）恒成立a三/（X）max；

。w/（X）恒成立u=>aW/（X）min；

a三/（x）能成立a三/（x）min；

a&y（x）能成立a4/（x）max.

（2）分類討論法解決恒（能）成立問題

分類討論法解決恒（能）成立問題，首先要將恒成立問題轉化為最值問題，此類問題關鍵是對參數進行分

類討論，在參數的每一段上求函數的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個值或一段內

的函數值不滿足題意即可.

知識點2雙變量的恒(能)成立問題的解題策略

1.雙變量的恒(能)成立問題的求解方法

“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實質，深刻挖掘內含條件，進行等價變換,常見的等價變換

有：

對于某一區(qū)間/,

(1)VX15X2e/,/(%))>g(X2)f(X)min>g(X).

⑵Vx1e/i,3x2el2,/(珀>g(x2)f(x)min>g(x)min.

(3)3e/15VX2E/2,/(^l)>g(》2)/(x)max>g(x)max.

知識點3洛必達法則

“洛必達法則”是高等數學中的一個重要定理，用分離參數法(避免分類討論)解決成立或恒成立命題時，經

常需要求在區(qū)間端點處的函數(最)值，若出現(xiàn)《型或高型可以考慮使用洛必達法則.

1.洛必達法則

法則1若函數式尤)和g(?滿足下列條件：

(l)lim/(x)=0及l(fā)img(x)=O；

''V―￥nv-VZ7

(2)在點a的去心鄰域內，危)與g(x)可導且gXx)W0；

⑶吧翱=4那么吧需=吧焉

法則2若函數兀0和g(x)滿足下列條件:

(x)=8及l(fā)img(x)=co；

/x—ax—>a

(2)在點a的去心鄰域內，於)與g(x)可導且gXx)W0；

(3)lim=4,那么lim=lim("=4.

xTaS(%)xTagwxTag'(x)

2.用洛必達法則處理，型函數的步驟：

(1)分離變量；

(2)出現(xiàn)《型式子；

(3)運用洛必達法則求值.

co

3.用洛必達法則處理號型函數的步驟:

(1)分離變量；

00

⑵出現(xiàn)晟型式子;

(3)運用洛必達法則求值.

【注意】：

1.將上面公式中的x—8換成xT+co,x->-oo,xTa+,xTtT,洛必達法則也成立.

2.洛必達法則可處理0-8,產,8。,0°,8—8型求極限問題.

3.在著手求極限前，首先要檢查是否滿足*稱,。?叫產,8°,0°,8—8型定式，否則濫用洛必達法則會出

錯，當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限.

4.若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

1而4斗=1向馬2=1加/黑，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則.

x.ag(X)gWig(X)

舉一反三

【題型1利用導數研究不等式恒成立問題】

【例1】(2025?海南?模擬預測)已知當x>0時，1血2出1?次恒成立，則實數a的取值范圍為()

A.(-oo,l]B.(-co,2-21n2]

C.(-oo,21n2]D.(-oo,2+21n2]

【變式1-1](2025?甘肅金昌?三模)若關于x的不等式ein3)ln(ax)W2xeZH在(0,+oo)上恒成立，則實數a的取值范

圍為()

A.(0,e]B.(0,2e]C.(0,Ve]D.(0,e2]

【變式1-2](2025?廣東廣州?三模)若不等式e?日(e=2.71828…為自然對數的底數)對任意實數尤恒成立，

則實數上的最大值為()

A.0B.1C.eD.e2

【變式1-3](2025?江西新余?模擬預測)若關于x的不等式*力2+⑵加+1/+但42在(0,+oo)上恒成立,

則實數a的取值范圍為()

A.[e,+<?)B.(0,e]C.R,+co)D.?

【題型2利用導數研究能成立問題】

【例2】(2025高三?全國?專題練習)函數/若存在工口。+切，使/■&丑0有解，則加的取值范圍

為()

A.(-oo,l]B.(-oo,2]C.[l,+oo)D.[2,+co)

【變式2-1](2025?遼寧大連?三模)B^/(x^xe^-iwc-ax,若存在工()□丑,使得/&下1，則實數Q的取值范圍是

A.（一叱）B.[-*）C.（-1,0）D.（0,1]

【變式2-2]（2025?河北張家口?一模）已知/（x）=lnx-a（x+l）,a\JR.

⑴若。=2,求曲線/（x）在x=l處的切線方程；

⑵若□與口（0,2],使/&（）；＞0,求a的取值范圍.

【變式2-3]（2025?甘肅白銀?模擬預測）已知函數/■&方傭六2尸-1,月/幻在x=0處取得極值.

（1）求m的值及/i紀的單調區(qū)間；

（2）若存在xDR,使得/在上2ex-a-l,求實數。的取值范圍.

【題型3分離參數法解決不等式恒（能）成立問題】

【例3】（2025?陜西?二模）口》口[1,2],有山升￡-1加恒成立，則實數a的取值范圍為（）

A.[e,+oo）B.[l,+oo）C.D.[2e,+co）

【變式3-1]（2025?四川成都?三模）若》口;0,+切，r+^+lWe”恒成立，則實數a的最大值為（）

A.eB.2C.e-1D.e-2

【變式3-2]（2025?遼寧盤錦?三模）已知函數/3）=/-31+/1欣.

⑴當時，討論危）的單調性；

（2）若口》口[2,4],/?6萬0,求實數2的取值范圍.

【變式3-3]（2025?江西?三模）已知函數/■&>e^Mnx+a.

（1）討論函數的極值點個數；

⑵茍次乃。-刀&-1尸1恒成立，求實數a的取值范圍.

【題型4分類討論法解決不等式恒（能）成立問題】

【例4】（2025?海南?模擬預測）若不等式e"+2戶史曲（2+x）對任意X口/1,+切恒成立，則實數f的最大值是（

A.-B.eC.-D.e2

22

【變式4-1]（2025?遼寧?一模）已知函數f&>e2Je-ax,若它0時，恒有力無0,貝必的取值范圍是（

A.（-oo,2]B.（-oo,4]C.[2,+co）D.[4,+oo）

【變式4-2]（2025?新疆喀什?二模）已知函數依>產262+蛆+如）

（1）當加=-1時，求/&?的極值；

⑵若存在龍口42,0/,使得f&為％求加的取值范圍.

【變式4-3]（2025?吉林延邊?模擬預測）己知函數/'69=g+alm>&+l」x.

（1）當。=2時，求/A）的單調遞增區(qū)間；

（2）若壯0,於巨《對%口/1，+°°?恒成立，求實數。的取值范圍.

【題型5構造函數法解決不等式恒(能)成立問題】

【例5】(2025?黑龍江佳木斯?三模)已知不等式加+3,對□%□((),+8)恒成立，則加的取值范圍為()

A.B.加C.m>-2D.m<-2

【變式5-1](2025?陜西商洛?模擬預測)已知函數/6片2%山孫2,若對任意的修/2口(。,+8),當修>必時，都

有2片我2)>2必十穴修)，則實數〃的取值范圍為()

A.B.[l,+oo)C.卜,+8)D.[2,+co)

【變式5-2](2025?吉林長春?模擬預測)已知函麴7M=e'-Qx-l.

⑴當〃=1時，求/、口的單調區(qū)間與極值；

(2)若后一在工口o+切上有解，求實數0的取值范圍.

【變式5-3](2025?黑龍江哈爾濱?模擬預測)已知函數/&>^+?+血&口口

(1)討論〃切的單調性；

(2)若對于口%>0,不等式為e*+；x2恒成立，求實數a的取值范圍.

【題型6與不等式恒(能)成立有關的證明問題】

【例6】(2025?安徽合肥?模擬預測)已知函數/㈤*=&*2必-).

(1)若函數/次)在區(qū)間(1,+oo)上單調遞增，求實數加的取值范圍;

⑵當機=g時，求證：對口工二(0,+co)；/[x)>ln(x+l)-gx恒成立.

【變式6-1](2025?安徽?三模)已知函數/6>e+Ulnx+/

(1)若加=2,求曲線在x=l處的切線方程；

(2)當加□◎口時，求證：關于x的不等式加叼如/1在口⑹上恒成立.

【變式6-2](2025?河南南陽?模擬預測)已知函數2axs口尺)

⑴當4=2時，求〃口的單調區(qū)間；

(2)當〃=0時，求證：對任意的工口色+切，恒成立；

【變式6-3](2025?河北?模擬預測)已矢叨后尸eJzsinx,且在x=0處取得極小值.

(1)求。的值；

(2)若g6六/反)+瓜2,且g6)在x=0處取得極大值，求b的取值范圍；

(3)證明：對于任意的修>0處>0/>0,有％1分加山。+沙筆"1成立.

【題型7洛必達法則】

[例7](2025高三?全國?專題練習)已知函數/'(x)=alnx+bx{a,bER)在久=巳處取得極值，且曲線y=/(%)

在點處的切線與直線x—y+1=0垂直.

⑴求實數的值；

(2)若V%e[1,+00),不等式f(x)<(m-2)%恒成立，求實數TH的取值范圍.

【變式7-1](24-25高二下?全國?期末)若不等式sin%>%-。爐對于久￡(0,今恒成立，求a的取值范圍.

【變式7-2](2024.浙江?二模)①在微積分中，求極限有一種重要的數學工具——洛必達法則，法則中有結

論：若函數/(%),g(%)的導函數分別為/'(%),g'(x),且limfO)=limg(x)=0,則

x^aXia

lim^^=lim

x->ag(x)xrag'CO

②設a>0,左是大于1的正整數，若函數/(久)滿足：對任意xe[0,a],均有f(x)2fo成立，且㈣/(久)=0,

則稱函數/(乃為區(qū)間[0,a]上的左階無窮遞降函數.

結合以上兩個信息，回答下列問題：

(1)試判斷f(久)=/一3x是否為區(qū)間[0,3]上的2階無窮遞降函數；

1

(2)計算：1面(1+久)力

x->0

(3)證明：(矍<cosx,Ke(Tt,|n).

【變式7-3](23-24高二下?廣東珠海?期末)在研究函數問題時，我們經常遇到求函數在某個區(qū)間上值域的

問題，但函數在區(qū)間端點又恰好沒有意義的情況，此時我們就可以用函數在這點處的極限來刻畫該點附近

數的走勢，從而得到數在區(qū)間上的值域.求極限我們有多種方法，其中有一種十分簡單且好用的方法——洛

必達法則

該法則表述為：“設函數f(x),g(x)滿足下列條件：

?lim/(x)=0,lima(x)=0；

x^ax^a

②在點a處函數/(久)和9(久)的圖像是連續(xù)且光滑的，即函數門久)和g(x)在點。處存在導數;

③lim零=4其中A是某固定實數；

則lim3=四=A”

%fag(%)XTag，(x)

那么，假設有函數/(%)=ex,g(x)=tx+1.

(1)若/(%)Ng(%)恒成立，求，的取值范圍；

(2)證明:ex—Inx＞2.

【題型8導數中雙變量恒(能)成立問題】

【例8】(24-25高三上?貴州?階段練習)已知函數/6分：》2m+血,?？谖?若/6)有兩個極值點看/2，且

/田入/出心版1+切恒成立，則實數力的取值范圍為()

A.B.C.[-V2,+co)D.[V2,+co)

【變式8-1](2025?福建莆田?三模)已知函數/&＞巴g(x^=-x2-mx,若對區(qū)間[0,1]內任意兩個實數修題(看力2)，

都有IAxi)：/(X2)|＞|g(Xi)-g(X2)|恒成立，則實數加的取值范圍是()

A.[-l,2-21n2]B.[-e2-4,l]

C.[-l,e-2]D.[-1,1]

【變式8-2](2025?廣西?三模)已知函數尸alnx-x+1&口及7

(1)當心0時，求函數〃幻)的單調區(qū)間；

(2)對任意的占河口QU，當修＜叼時，都有:雙修)處2)]＜言，求實數。的取值范圍.

【變式8-3](2025?江蘇鹽城?三模)已知函數/。)=加(/+2%)-111&切,(冽DR),g(x)=l-1ex+x2.

⑴求函數g6?在x=0處的切線方程；

⑵討論函數〃與單調性；

(3)當機＞0時，若對于任意修＞0,總存在%2口[-2廣1＞使得求加的取值范圍.

【題型9導數中雙函數恒(能)成立問題】

【例9】(2025?山東泰安?二模)已知函數/67=xe-%,g(x)=\wc-x+b(6口尺)若〃五左在x＞0時恒成立，貝防的取

值范圍為()

A.(-co,e-1+l)B.(-co,e-1+l]C.(-co,e-1)D.(-co,e-1]

【變式9-1](2025?重慶?模擬預測)已知函數尸￥，g6下辦e%若存在修口(0,1)22口(-8,0)使得/a)=862,

則實數。的取值范圍為()

A.(-oo,-2)B.(-2,-1)C.(-l,+oo)D.(0,+oo)

【變式9-2](2025?廣東汕頭?三模)已知函數/a)=lnx-Qx,g&?=

⑴求函數〃切的單調區(qū)間；

(2)茍G為g67恒成立，求〃的最小值.

【變式9-3](2025?青海海東?三模)已知函數/(xA/hix,g(x尸?？趨^(qū).

(1)求/(x)的極值；

(2)當好0時，討論g(x)的單調區(qū)間；

⑶若口％口(1,+oo),/[x)＞g(x)，求〃的取值范圍.

過關測試

一、單選題

1.(2025?山東煙臺三模)若不等式xeOc-lgaK)恒成立，則實數a的取值范圍為()

A.(0,1]B.(0,e-l]C.(-oo,l]D.(-oo,e-l]

2.(2025?河南?二模)已知函數/&>x+e-x,若存在實數%,使得/成立，則實數。的取值范圍為()

A.(-co,l-e]B.(l,+oo)

C.(l-e,l]D.(-oo,l-e]D(l,+oo)

3.(2025?海南?模擬預測)已知當xd(0,+oo)時，函數/(x)=axe"X-(x+l)lnx+axK)恒成立，求實數a的取值范圍

是()

A.[j+co)B,g,+co)

C.D.[e,+co)

4.(2025?湖北?模擬預測)已知函數/■6尸axe〉+l吟若存在實數x0,使得f&o昌&o)，則實數。的

取值范圍為()

A.(0,1]B.(-oo,0)□(0,1]C.(0,1]D.(-oo,0)U(0,^]

5.(2025?廣西?模擬預測)若對任意的工口(-1,+8),不等式e-a)[ln(x+l)-6]N0恒成立，貝！Ja-6的最小值是()

A.-1B.0C.1D.2

6.(2025?河北秦皇島?一模)若存在正實數,,使得□》□((),+oo),關于x的不等式上也盧](勺)<0恒成立，

則實數用的取值范圍是()

A.(-4+1)B,G+l,+oo)C.(-co1)D.(\+co)

7.(2025?四川成都?模擬預測)已知函數女尸(%-1)--；，+1,g(x)=siwc-ax.用max{加,〃}表示相，〃的最大值,

記F(x)=max{/(x),ga)},若對任意xDR,/(工巨0恒成立，則實數。的取值范圍為()

A.卬⑼B.(0,0C.g,l)D.[1,+功

8.（2025?天津紅橋?二模）已知向量Z工是夾角為60。的單位向量，若對任意的期,工2口（私+00）,且修＜了2,

3心＞|落同，則加取值范圍是（）

A.[e2,+oo）B.C.[e,+co）D.g+s）

二、多選題

9.（2025?江西新余?模擬預測）已知不等式左②-l*-2x+2K）恒成立，則實數化的可能取值為（）

A.2B.0C.1D.々

2e2

10.（2025?安徽馬鞍山?一模）已知函數/&7=eFnx+?-l力:，若/仇注0恒成立，則實數方的可能的值為（）

1117

A.-B.-C.4D.-

e2e