第05講解三角形

目錄

01考情解碼?命題預(yù)警..........................................................2

02體系構(gòu)建?思維可視............................................................3

03核心突破?靶向攻堅(jiān)............................................................3

知能解碼....................................................................3

知識(shí)點(diǎn)1正弦定理......................................................3

知識(shí)點(diǎn)2余弦定理......................................................5

知識(shí)點(diǎn)3三角形的形狀的判定............................................6

知識(shí)點(diǎn)4三角形面積公式.................................................6

知識(shí)點(diǎn)5常用結(jié)論......................................................7

題型破譯.......................................................................8

題型1正弦定理理解三角形...............................................8

題型2余弦定理理解三角形..............................................11

題型3三角形解的個(gè)數(shù)問題..............................................15

題型4正、余弦定理判定三角形形狀.....................................19

重

題型6求三角形中的邊長或周長的最值或范圍聘..........................26

題型7距離、高度、角度測(cè)量問題.......................................31

重

39

題型10證明三角形中的恒等式或不等式圖................................44

題型11正余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用國.........................47

04真題溯源?考向感知..........................................................52

05課本典例?高考素材..........................................................56

01

考情解碼-命題預(yù)警

考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年

(1)正弦定理理解三角形

(2)余弦定理理解三角形

天津卷，第16題，14

(3)和三角形面積有關(guān)的問題口單選題天津卷，第16題，14天津卷，第16題，14

分

(4)正余弦定理與三角函數(shù)性口多選題分分

口填空題

質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用國解答題

(5)正、余弦定理判定三角形

形狀

考情分析：

本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出三角形，解決三角形中的周長與面積，同時(shí)解三角形會(huì)與兩角和差二倍

角進(jìn)行結(jié)合，求解湊求值問題，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為14分.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1.理解、掌握正余弦定理，能夠運(yùn)用正余弦定理解三角形

2.能掌握正余弦定理與三角形的面積周長問題

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)靈活運(yùn)用三角形的知識(shí)點(diǎn)解決中線，高線，角平分線問題

4.會(huì)解三角形的最值與取值范圍問題

02

體系構(gòu)建-思維可視

—^-=———=2J?

解三角

勾股定理：

直角三角形〃

互余關(guān)系：.4+3=90°,cosC-0,sinC-1

一腰三角形a=b，A=

03,?

核心突破-靶向攻堅(jiān)

知識(shí)點(diǎn)1正弦定理

1、正弦定理

在一個(gè)三角形中各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即:

sinAsinBsinC

2、正弦定理的推廣及常用變形公式

在AABC中，若角A、B及C所對(duì)邊的邊長分別為。，b及c,其外接圓半徑為R,則

cdbc…

①------=-------=-------=2R

sinAsinBsinC

@asinB=bsmA；bsinC=csmB；asinC=csinA；

③sinA:sin5:sinC=a:Z7:c

（4）--a-=--b-=--c--=-----a-+-b-+-c----=---a-+--b--=---a-+--c--=----b-+-c--

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCsinA+sinBsinA+sinCsinB+sinC

⑤a=2AsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）

cihc

@sinA=——,sin3=——，sinC=——（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）

2R2R2R

自主檢測(cè)|在VABC中,，。分別是角A氏C的對(duì)邊，下列四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為（）

①若bcosC+ccosB=b,則VABC是等腰三角形；

②若6=3,4=120。，三角形面積S=3石，則三角形外接圓半徑為2叵；

3

③若點(diǎn)M為VABC內(nèi)一點(diǎn)，且加+標(biāo)+碇=0，則￡ABC：S?BMC=3：1；

④在VABC中，8=60。*="若丫43（?有解，則。的取值范圍是0<a<#.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】對(duì)于①，因?yàn)閎cosC+ccos_B=6,由正弦定理得sinBcosC+sinCcos3=sin3,

所以sin（8+C）=sinA=sin8,又A8e（0,兀），且A+8+C=7t,則A=3,所以①正確，

對(duì)于②，由題知;bcsinA=3/，又6=3,A=120。，所以;x3csing=3石，解得c=4,

又八八人次3g=9+16。3卬［-》37,得到”而，

又由正弦定理知上7=2r（其中「是三角形外接圓半徑），

sinA

國質(zhì)-，/7-7

所以KT一訪一，解得『=葉1,所以②錯(cuò)誤，

sin——3

32

對(duì)于③，如圖，取8C中點(diǎn)H,因?yàn)槭?磁+碇=6，5LMB+MC=2MH

所以涼+2麗=0,即涼=-2麗，所以三點(diǎn)共線，且?guī)焲=2|國，

AABCAMBCC：S.BMC=A?：M〃=3：1,

又共底邊BC,所以21s故③正確，

7bsinAV6sinA仄.

對(duì)于④，由正弦定理知一j=—J,得到"=.兀=?2sinA

sinAsmBsin—

3

所以5吊4=全，又因?yàn)閂ABC有解，又2兀,貝iJO<sinA=Ewl，得到O<aV20，故④錯(cuò)誤,

故選：B.

知識(shí)點(diǎn)2余弦定理

1、余弦定理

三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即:

a?=/+c、2bccosA,b?=a'+c2-2accosB,/=〃+b2-2abeosC

2、余弦定理的變形公式:

coSAP+a囁°SB/+匚-JCOSC/+°2亞

2bclac2ab

71.

|自主檢測(cè)|在VABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知B=—,a=8,Z?cosA+acosB=6,點(diǎn)。

3

是VABC的外心，^BO=xBA+yBC,則U=()

c29

AcD.——

-4-Il-ti36

【答案】A

【詳解】丁bcosA+acos_B=6,

a2+c2-b1(

由余弦定理有：bJ———=6,

2bc+ax2ac

2

***c=6cJ解得c=6,

2___?___k_

由超=入麗+,就得，BOBA=xBA-BA+yBC-BA,

即防屈=cos3,

BOBC=-=xBA-BC+yBC-BC,

2

|2

BA\cosB+y\BC\,

25

即：18=36x+24y,32=24x+64y,解得x、，y=^-

故選：A.

知識(shí)點(diǎn)3三角形的形狀的判定

1、特殊三角形的判定

（1）直角三角形

勾股定理：a2+b2=c2,

互余關(guān)系：A+B=90°,cosC=0,sinC=l；

（2）等腰三角形

a=b9A=B；

2、用余弦定理判定三角形的形狀（最大角A的余弦值的符號(hào)）

Z.22_2

（1）在AABC中，0°<A<90°<^>cosA=--------------->0<^b2+c2>a2；

2bc

力22_2

（2）在A4BC中，A=90°ocosA=---------------=0?Z?2+c2=tz2；

2bc

（3）在AABC中，*2_2；

900<AocosA=---------------<0o/+/<

2bc

自主檢測(cè)|在VABC中,記角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,若acosA—灰:os5=sin（A+5+C）,則VABC

的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【詳解】因?yàn)镼OsA-bcosB=sin（A+B+C）=sin兀=。，所以acosA=Z?cos3,

所以sinAcosA=sinBcosB,所以sin2A=sin2B,

因?yàn)锳_B￡（0,兀），所以sinAsin8>0,所以cosA,cosB符號(hào)相同，

若cosAWO,貝iJcosBWO,而這會(huì)導(dǎo)致4+82兀，這與三角形內(nèi)角和矛盾，

7T

從而只能0<42<萬，所以0<24,28<兀，

所以2A=23或24+23=兀，

7T

所以A=B或4+3=5，

所以VA2C的形狀是等腰三角形或直角三角形.

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)4三角形面積公式

①S二工x底義高；

2

②S二—absinC=—acsin3=—besinA；

222

③S=g（a+人+c）廣（其中，。，仇c是三角形ABC的各邊長，廠是三角形ABC的內(nèi)切圓半徑）；

nhc

④s=」（其中，仇。是三角形ABC的各邊長，R是三角形ABC的外接圓半徑）.

4R

|自主檢測(cè)|在VABC中，三個(gè)內(nèi)角A,民C所對(duì)邊分別為a,瓦c,若四一c）sinB=2csinC且a=A/10,COSA=1,則

o

VABC的面積等于（）

A.與B.回C.3713D.3

【答案】A

【詳解】因?yàn)椋?—c）sinB=2csinC,由正弦定理可得6。—c）=2,2,即從一/一2c?=0,解得6=2?；?=-。

（舍）.

由余弦定理可得10=/=/+0?-26ccosA=5C2-4C2X-=-C2,

82

解得c=2,故6=4,

因?yàn)閏osA=x，則角A為銳角，所以，sinA=J1—cos?A=,

88

,.。1,?.1..V39739

因ra上匕k，S=—Z?csinA=—x4x2x-----=------.

△AAMRer2282

故選：A.

知識(shí)點(diǎn)5常用結(jié)論

在三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

①sin（A+B）=sinC

②cos（A+B）=-cosC

③tan（A+5）=-tanC

④sin(41^)=cosg

⑤cos(生當(dāng)=sin￡

22

⑥若sinA=sinJBoA=_B

JT

⑦若sin2A=sin25oA=JB或A+5=—

2

題型1正弦定理解三角形

----------冗冗

例1-1(2025?天津紅橋?模擬預(yù)測(cè))在VABC中，若AC=2,ZA=-,ZB=-,則3C=()

--------36

A.73B.72C.2A/3D.2夜

【答案】C

BCAC

【詳解】由正弦定理，得

sinAsinB

BC2

則迫一工，解得BC=2g.

T2

故選：c.

例1-2|（24-25高一下?天津西青?階段練習(xí)）在相距2千米的A,8兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C,若2018=75。,

ZCBA=60°,則A,C兩點(diǎn)之間的距離為（）（單位：千米）

A.&B.也C.76D.273

22

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得NACB=45。，利用正弦定理計(jì)算即可.

【詳解】ZCAB=y5°,ZCBA=60°,:.ZACB=45°,

A3AC即嘉AC

由正弦定理

sinZACB~sinZABCsin60

2也

解得A0=二*=庭,故C正確.

2

故選：C.

方法技巧

(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即

根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素.

(2)正弦定理、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時(shí)可以把已知條件化為角的三角

函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系.

【變式訓(xùn)練1-1](24-25高一下?天津?yàn)I海新?期中)在VA2C中，AB=9,AC=12,NB4c=90。，點(diǎn)、D

在邊BC上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)處，貝|sin/C4D=()

2A/133小

13

【答案】D

【詳解】

4R3

在VABC中，ABAC=90°,AB=9,AC=U,可得3C=15貝!|cosB=sinC=—=-,

BC5

因2BD=￡?C,則BD=5,CD=10,

3

222

在△ABD中，由余弦定理得：AD^AB+BD-2ABBDCOSB=92+52-2X9X5X-=52,即4。=疫,

所以sin/CAO=±叵.

故選：D

【變式訓(xùn)練1-2】式025?天津?二模)在VABC中，m6,c分別為角A,分C的對(duì)邊,acosC+ccosA=2bcosB,

sinB=26cosA.

(1)求sinA的值；

(2)若”2石,求c的值.

【答案】⑴巫

⑵用半

【詳解】(1)H^J(2COSC+CCOSA=2Z2COSJB,

由正弦定理，得sinAcosC+sinCeosA=2sinBcosB,

即sin(A+C)=2sinBcosB?sinB=2sinBcosB.

1IT

因?yàn)锽EQTI),sinB0,所以cosB=—,B=—.

23

由2gcosA=sin3=，得cosA=J,

24

因?yàn)锳￡(0,兀)，所以sinA=A/1-COS2A=.

(2)由正弦定理，可得匕=竺電0=生叵.

sinA5

V151173A/15+A^

XsinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=------x—+—x

424T--8-

由正弦定理，可得。=跑￡=百+姮.

sinA5

【變式訓(xùn)練1-3】(2025?天津?yàn)I海新?三模)在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別“，b,c,已知

c^acosB+bcosA^=4,2asinB=36sinC,6=4.

(1)求。的值；

⑵求sinB的值；

⑶求cos(2B+C)的值.

【答案】⑴。=3

(2)sinB=

4

⑶上

32

【詳解】(1)方法一：由c(acos3+灰x)sA)=4,

4.o4.Fr(a2+c2-b1.b2+c2-a2.

根據(jù)余弦7E理可得，。Q---------------+b--------------=4,

I2ac2bc

則d+廠一6-+"+才一”=4,即c=2,

22

由2asinB=3Z?sin。，根據(jù)正弦定理可得2aZ?=3Z?c,貝1J2a=3c=6,即a=3.

方法二：由c^acosB+Z?cosA)=4,

根據(jù)正弦定理可得，c(27?sinAcosB+27?sinBcosA)=4,則c(2HsinC)=4,

則，=4,即c=2,

由2asinB=3加inC,根據(jù)正弦定理可得2ab=3A，貝lj2a=3c=6,即a=3.

（2）由余弦定理可得858="一+}—”=-工,

2ac4

又因?yàn)??0,兀），可得sinS=7T-cos2B=~~~-

（3）由（2）知，cosB=--,sinB=,

44

7/vc

則cos2B=2cos2B-l=--,sin2B=2sinBcosB=-------，

88

由正弦定理孟二熹,則益"逅，即sinC=T'

4

-----------7

又c<b,則C<5,所以cosC=Jl—sii?C=—，

8

77/l5/l517

所以cos（23+C）=cos23cosc-sin2BsinC=——x—+——x——=-----

v7888832

題型2余弦定理解三角形

例2-1（2025?天津紅橋?模擬預(yù)測(cè)）在VABC中,若AC=1,AB=6,cosA=-也，則BC的長度為（）

--------4

A.2B.4C.百D.273

【答案】A

【詳解】由余弦定理得：BC2=l+2-2xlx72x

所以BC=2,

故選：A.

例2-2|（2025?天津河西?二模）已知雙曲線C：=-2=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為K，F(xiàn)2,過工作

ab

___?jr

直線分別交雙曲線的左、右兩支于M,N兩點(diǎn)，滿足質(zhì)=2而，AMP-（ME-MN）=0,

則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=+\[6xB.y=±^/T.xC.y=±2A/2XD.y=±3尤

【答案】A

【詳解】由而5?（近一兩）=0,得用?而'=0,即MP_LN8，

又曬=2而，得尸為叫的中點(diǎn)，則|AW|=|5

又“NF]=60°,于是為等邊三角形，設(shè)AMN居的邊長為優(yōu)，

由雙曲線定義知，|明|—|惟|=2。，\MF^-\MF\=2a,貝=根+2。，|崢|=〃「2。，

又=|ACV|=7〃，貝ip"+2a-（7〃-2a）=w，解得加=4々，

在△科工中，由余弦定理得|￡B「=|M；「+|N^「—2|NE||N^|cos60。,

BP（2c）_=36fl"+16a~—2-6a-4a--,得/二7/,b~~6a~>b=\/6a,

所以雙曲線C的漸近線方程為y=土底x.

故選：A

方法技巧

1、己知三角形的兩邊及一角解三角形的方法

已知三角形的兩邊及一角解三角形，必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對(duì)角，還是給出兩邊的夾角.若

是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；若是給出兩邊中一邊的對(duì)角，可以利用余弦定理建立一元

二次方程，解方程求出第三邊.

2、已知三角形的三邊解三角形的方法

利用余弦定理求出三個(gè)角的余弦，進(jìn)而求出三個(gè)角.

22

【變式訓(xùn)練2-1】（2025?天津?二模）雙曲線C:3-斗=l（a>0,6>0）的左右焦點(diǎn)分別為小工，過招且斜率

ab

為|■的直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于N兩點(diǎn)，若喝加卜陽川，則雙曲線C的離心率是（）

A.0B.73C.幣D.發(fā)

【答案】D

【詳解】過點(diǎn)尸2作尸垂足為p,則|MP|=|NP|,如圖所示，

設(shè)怩閭=怩兇=機(jī)，則防=2a+聞?dòng)?m-2a,

所以|AGV|=|M|-|MF；|=2a+M_（M_2a）=44,

所以|MP|=|NP|=2a,貝！||「耳|=|町|+|PAf|=m-2a+2a=M,

334

因?yàn)橹本€肱V的斜率為了，所以tan/尸耳月=z，貝i」cos/PKK=1，

閥匚附1=4=\PF\=m=^-

在Rt△尸耳片中cosZPFF=l

i2比閶2c5

在△岬g中，眼周=根_20=二-24,四用=￡，閨工|=2c,

明玻+比工「-|叫「

由余弦定理得,cosZPFF=

X22.用耳聞

整理得，浮

【變式訓(xùn)練2-2］已知VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,AABC的面積為ga(csinC+加infi-asinA).

⑴求A;

(2)若a=2,且VABC的周長為5,設(shè)。為邊BC中點(diǎn)，求AO.

【答案】⑴*

⑵晅

6

【詳解】(1)依題意，a(csinC+bsinB-(2sinA)=absinC,

所以csinC+bsinB-asinA=bsinC,

由正弦定理可得，

由余弦定理，c2+b2-a2=2bccosA,解得cosA二；,

因?yàn)锳?0㈤，所以A=1；

(2)依題意，Z?+c=5-。=3,

5

因?yàn)?lt;?2+/?2—bc=(b+c)9—3bc=a2,解得力c=§,

因?yàn)槎?3回+碼，

112

所以而2=；（而+可=b+C+bc_(Z?+c)-be

4446

所以I

【變式訓(xùn)練2-3?變載體】（2025?天津.二模）在VABC中，內(nèi)角A民C的對(duì)邊分別為名瓦c,已知

Z?=2^cosfC-y1.

⑴求A；

⑵若6=2g，且VABC面積2指,

（i）求〃的值;

(ii)求cos(2B—A).

【答案】（l）g

6

⑵(i)277(ii)—巫

14

【詳解】（1）因?yàn)?=2acos（C-W

/TTTT\

所以Z?=cosCcosy+sinCsinyI,可得:b=acosC+y/3asinC,

由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+A/3sinAsinC,

可得：sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+逝sinAsinC,

因?yàn)镃e（0,兀），所以sinCwO,

所以cosA=#》sinA，即tanA=，

3

因?yàn)锳?（U）,所以A=E

(2)(i)因?yàn)?=2限，且5AAsc=gbcsinA=2石，

解得：c=2,b=4^3,

由余弦定理可得：/=/+c2_2bccosA=48+4-2x4若x2x#=28,解得:

a=2A/7;

^22_/228+4-482幣

(ii)由余弦定理可得cosB="

2ac2X2A/7X2-7

所以sinB=應(yīng)，COS2B=2COS2B-1=-4百

sinIB=2sinBcosB=--------,

777

A/34A/313A/3

所以cos(2B-A)=cos2BcosA+sin25sinA=—xX-=

727----214

題型3三角形解的個(gè)數(shù)問題

例3-1（24-25高一下?天津南開?期中）在VABC中，下列命題不正確的是（）

A.若A>8,則sinA>sin3

B.若sin2A=sin23,則VABC一定為等腰三角形

C.若片+從<02,則VABC為鈍角三角形

D.若A=30。，b=4,a=3,則VABC有兩解

【答案】B

【詳解】對(duì)于A：若A>3,則a>8,所以2RsinA>2Rsini5,

所以sinA>sin5,故A正確；

對(duì)于B：sin2A=sin2B,貝I]2A=25或2A+23=兀,

TT

即A=5或A+3=5,所以VABC為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤;

〃2工序一2

對(duì)于C：a2^b2<c2,則cosC="°一°<0,

2ab

所以角。為鈍角，所以VA5c為鈍角三角形，故C正確;

4x-

對(duì)于D：Z?sinA2,

sin5=2

a33

因?yàn)閟in3>sinA,b>a,所以角3可能是銳角，也可能是鈍角,

故VA3C有兩解，故D正確.

故選：B.

例30（24-25高一下?天津武清?階段練習(xí)）在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則下列對(duì)三

角形解的個(gè)數(shù)的判斷正確的是（）.

A.°=石，b=屈,4=60°,無解B.a=30,b=35,A=150°,有一解

C.a=7,6=14,A—30°,有兩解D.a-6,6=9,A=45°,有兩解

【答案】A

ab

【詳解】對(duì)于A,由正弦定理=,可得sinB=U

sinAsinB

a

三角形無解，故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)椤?lt;6,且A=150。，由大邊對(duì)大角可知角3不存在,

故三角形無解，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由正弦定理可得.bsinA21，此時(shí)3=90。，

sinBn=---------=-------=1

a7

三角形有一解，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由正弦定理可得.nbsinA。交3V2J三角形無解,

sinB=--------=-------=----->1

。64

故D錯(cuò)誤;

故選：A

方法技巧

1、已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時(shí)有唯一解，三角形被唯一確定.

2、已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角，此時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角

形不能被唯一確定.

(1)從代數(shù)的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角”時(shí)三角形解的情況，下面以已知。力

和A，解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：

①若sinB="電'>1,則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為0；

a

②若sinB=/Q=l,則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1;

a

③若疝!18=/電且<1,則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1或2.

a

顯然由0<sinB=/也'<1可得8有兩個(gè)值，一個(gè)大于90。，一個(gè)小于90。，考慮至「大邊對(duì)大角”、“三角形

a

內(nèi)角和等于180。”等，此時(shí)需進(jìn)行討論.

(2)從幾何的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角”時(shí)三角形解的情況，以已知。力和4

解三角形為例，用幾何法探究如下：

圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)

【變式訓(xùn)練3-1］（24-25高一下?天津南開?階段練習(xí)）由下列條件解三角形問題中，對(duì)解的情況描述正確的

是（）

A.a=20,b=ll,A=30°,有兩解B.c=2,b=&,8=30。，有兩解

C.<2=8,b=16,A=30°,有兩解D.b=2,c=30,A=45°,無解

【答案】B

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閍>b,可得

sinB'sin30°sinB

11

則。;“〃_萬_11，故B只能有一個(gè)值，所以三角形有一解，故A錯(cuò)誤;

sinD=—二—

2040

對(duì)于B,由于2sin3（T=l<0<2,即csinB<8<c,所以三角形有兩解，故B正確;

對(duì)于C,由于a=bsinA=8,故三角形為直角三角形，有一解，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)榉?2,c=30,A=45。，有余弦定理°=巧下二五荔7，可求得。唯一，所以三角形有一

解，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

【變式訓(xùn)練3-2】由下列條件解VABC,其中有兩解的是（）

A.b=20,A=45°,C=80°B.a=30,c=28,8=60°

C.a=ll,Z?=6,A=45D.a=9,c=10,A=30

【答案】D

【詳解】對(duì)于A,由6=20,A=45°,C=80°,3=180°一C=55°,由正弦定理可得二=二=三，

sinAsinnsinC

由。=更華和。=如5可知。和C只有唯一解，所以VABC只有唯一解，因此A不正確；

smBsinB

對(duì)于B,因?yàn)閍=30,c=28,3=60°,由余弦定理廿=/十02-2accos5可知6只有唯一解，

所以三角形的三個(gè)邊唯一確定，即VABC只有唯一解，因此B不正確；

對(duì)于C,因?yàn)椤?11,b=6,A=45°,由正弦定理得二三=二"，

sinAsinB

.八bsinA6v23A/2V2

即HnsinB=--------=—x-----=------<,3^b<a,以Bv45,

a112112

所以角8只有唯一解，即VABC只有唯一解，因此C不正確；

對(duì)于D,因?yàn)椤?9,c=10,A=30°,由正弦定理得一工=——，

sinAsinC

「qinA10151

所以sinC=S^C=Yx：=[>：,又c>a,所以C>A=30°,所以角C有兩個(gè)解，即VA5C有兩個(gè)解，

a9292

因此D正確.

故選：D.

【變式訓(xùn)練3-3】根據(jù)下列情況，判斷三角形解的情況，其中有唯一解的是（）

A.ci=20,b=11,B=30°B.a=6,c=4,C=60°

C.b=18,c=20,5=120。D.a=30,Z?=25,A=150。

【答案】D

【詳解】對(duì)于A,由正弦定理可得：sinA1,所以sinA=3io,

2

因?yàn)椤?gt;>，所以A>3,所以三角形有2解，故A錯(cuò)誤；

上」3c

對(duì)于B,由正弦定理可得：sinA?,所以sinA=H">l,此三角形無解，故B錯(cuò)誤；

-4

18_20

對(duì)于C,由正弦定理可得：而萬=耳，所以sinB=20r,

T20

因?yàn)?<c,所以3<C,則C為鈍角，不成立，所以無解，故C錯(cuò)誤；

「

—30255

對(duì)于D,由正弦定理可得：1sinB，所以sin8=不，

2

因?yàn)椤?gt;>，所以4>3,所以此三角形只有唯一解，故D正確.

故選：D.

題型4正、余弦定理判定三角形形狀

闞4-1|已知VABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若ccosC=a-cosA,則VABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

/*_2^2.r2_2

【詳解】因?yàn)閏?cosC=a-cosA,故ex---------------=ax----------，

lab2cb

2

整理得C（a?+）2一02）=々2（02+。2一/）,

2211

BPbc—ba+/—/=0,故（"一片一°2）（02一/）=o,

故C=〃或〃=/+〃，故三角形為等腰或直角三角形，

故選：D.

例4-21在VABC中,2a=b+c,記VABC的面積為S,若6.須=-空S,判斷VABC的形狀為（）

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【詳解】由CA-AS=-冬As,可得bccos（兀一A）=-3AxLbcsinA,

3v732

即cosA=t^sinA,可得tanA=6,

因?yàn)锳eQn）,可得A=1,

又由余弦定理，可得/=tr+c1-2bccosA^b2+c2-bc,

因?yàn)?a=6+c,可得。=審，所以（號(hào)）2=〃+C2-6C,

整理得"+<?-26c=0,即（b-c）2=0,所以6=c,所以。=6=c,

所以VABC為等邊三角形.

故選：B.

方法技巧

(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系；

(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁.

無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘

隱含條件，重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的限制.

【變式訓(xùn)練4-1]在VABC中，已知—?dú)v=儲(chǔ)，且6tanC=ctan3,則VABC的形狀為()

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.有一個(gè)角為60。的直角三角形D.等邊三角形

【答案】D

【詳解】由廿+02一歷=或可得cosA=/+：、.=?,

2bc2

又Aw(o,7t),所以4=60。，

由〃由。二。311區(qū)和正弦定理可得51115?到￡=51口。則0,BPcosB=cosC,

cosCcosB

所以6=C,所以A=60?B=C,所以VABC的形狀為等邊三角形，

故選：D.

【變式訓(xùn)練4-2](24-25高一下?天津?期中)在VABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c.已知

/+/—/=?

⑴求。的大小；

(2)設(shè)式=(cos8/),3=(A,sinA),且五，九判斷VABC的形狀.

【答案】(1)5

6

(2)等腰三角形

【詳解】(1)由余弦定理：cose1%"-=叵竺迫,