專題03空間向量基本定理

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第三步：測

過關測穩(wěn)提升小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升

8析教材學知識

知識點01：空間向量基本定理

1、空間向量基本定理

如果向量三個向量a,6,c,不共面，那么對空間任意向量p,存在有序實數組｛x,y,z｝,使得p=xa+yb+zc.

2、基底與基向量

如果向量三個向量a/,c,不共面，那么所有空間向量組成集合就是尤a+y&+zc,x,y,zeR）.這個集

合可看作是由向量￡*,c,生成的，我們把｛。,仇耳叫做空間的一個基底°,仇°,都叫做基向量.

對基底正確理解，有以下三個方面：

（1）空間中任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底；

（2）因為0可視為與任意一個非零向量共線，與任意二個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著

它們都不是0；

（3）一個基底是由三個不共面的向量構成的，它是一個向量組；而一個基向量是指基底中的某一個向量，

二者是不同的概念.

知識點02：空間向量的正交分解

1、單位正交基底：如果空間一個基底的三個向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫作正交基底，特別地，當

Fr口

一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用￥，/,左｝表示。

2、正交分解：由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量），均可以分解為三個向量++

使二=』+y'+zl像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解。

型強知識

【題型01：空間向量基底的概念及辨析】

一、單選題

1.（24-25高二上?遼寧?期末）已知4、〃eR,下列可使非零向量a，b，c組成的集合｛。，瓦。｝成為空間

的一組基底的條件是（）

A.b=AcB.a>b>c兩兩垂直

C.a=Ab+jucD.a+b+c=Q

【答案】B

【分析】由基底定義和共面定理即可逐一判斷選項A、B、C、D得解.

【詳解】由基底定義可知只有非零向量a，b，c不共面時才能構成空間中的一組基底.

對于A,b=Ac,貝!I"c共線，由向量特性可知空間中任意兩個向量是共面的，所以a與反c共面，故A錯

誤；

對于B,因為非零向量a，b，c兩兩垂直，所以非零向量a，b，c不共面，可構成空間的一組基底，故B

正確；

對于C,由共面定理可知非零向量a，b，c共面，故C錯誤；

對于D,a+b+c=09即a=-b-c,故由共面定理可知非零向量a，b.c共面，故D錯誤.

故選：B.

2.（24-25高二下?河北保定?開學考試）若｛。也可構成空間的一個基底，則下列向量可作為基底的是（）

A.a+b?b+cJc—aB.a—c,b—c,a—b

C.2a+ba—c,2c+bD.a—b，b+c,c—a

【答案】D

【分析】根據基底的定義，結合空間向量的共面條件，可得答案.

【詳解】因為c-a=(b+c)-(a+b),所以a+b,/?+c,C—a共面；

因為4-0=(〃-c)-(/?-c),所以。-e,b—c9Q-Z?共面；

因為2〃+0=2(〃—c)+(2c+b),所以2〃+b，ci—c92c+b共面；

因為不存在x,y,使得〃-Z?=x(Z?+c)+y(c-〃)，所以b+c9C—a不共面，所以可以作為基底.

故選:D.

3.(24-25高二上?湖北?階段練習)在四棱臺中，一定能作為空間向量的一個基底的是()

A.｛ABMABjDjB.｛AB,A4]，G2｝c.｛AB，AAA2｝D.｛AA，AC,CC；｝

【答案】c

【分析】利用不共面的三個向量能作為一組基底一一判斷.

對A,因為4卬/3。,所以｛AB,AD,耳，｝中三個向量共面，

不能作為空間向量的基底，A錯誤；

對B,因為在正四棱臺中，ABHCR,所以｛AB.AVG，｝中三個向量共面，

不能作為空間向量的基底，B錯誤；

對C,A.DJ/AD,且AB，AAAD不共面，

所以｛AB，AAAA｝中三個向量不共面，能作為一組基底，C正確；

對D,因為A4PAece?三個向量均在平面ACGA內，

所以｛朋,AC,CC；｝不能作為作為空間向量的基底，D錯誤；

故選:C.

4.(18-19高二上?吉林長春?期末)若〈a,6,4〉是空間的一組基，且向量7〃=。+匕,九=。-6,則可以與相，”構

成空間的另一組基的向量是()

A.aB.bC.cD.2d

【答案】C

【分析】逐一判斷選項中的向量是否與肛”共面即可，如果不共面就符合題意.

【詳解】由題意知，a,b,c不共面，對于選項A,a=—[(a+b)+(a—b)]=—m+—n,故a,相，〃共面，排

除A；

對于選項B,b=^[(d+b)-(a-b)]=^m-^n9故》,w共面，排除B；

對于選項D,由選項A得，2a=m+n,故2a,加，〃共面，排除D.

對于C,Vx,y￡R,向量Mz+y〃=(x+y)a+(x-yW,而c不與Q,Z?共面，故C正確.

故選：C.

5.(24-25高二上?吉林?期中)若｛。力,可構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是()

A.a,b,a+bB.a,b,2a-3b

C.c+b,c—b,aD.c+b,a+b+c,a

【答案】c

【分析】根據空間向量共面的定義逐項判斷即可求解.

【詳解】對于A選項，有b=(a+b)-a,所以a,b,a+b共面；

對于B選項，有2a-3b=2a-3b，所以。力,2a-3b共面；

對于C選項，假設c+〃,c-"a共面，則有"尤(c+6)+y(c-6)，

即a=(x-y)Z?+(x+y)c,由此有°、b、c共面，與已知條件矛盾，

所以不共面；

對于D選項,〃=(〃+b+d)-(c+b),所以C+A,Q+Z?+C,Q共面.

故選：C

【題型02:用基底表示向量】

一、單選題

1.(24-25高二上?江蘇常州?期中)如圖,在平行六面體ABCD-\BXCXD｝中,M為A￡與3Q的交點.若AB-a,

2222

C.-ClH—Z?+cD.—CLH—b+C

2222

【答案】D

【分析】利用向量的線性運算求解即可.

【詳解】因為M為4G與BQ的交點，所以M是AG與42的中點，

所以8M=3旦+B[M=BB,+-B.A+-BC^--AB+-AD+^--a+-b+c.

22ll2222

故選：D.

2.(24-25高二上?新疆昌吉?期末)已知四面體Q4BC,M、N分別是OABC的中點，且OA=a,O3=b,OC=c,

用a,b,c表示MN二()

111111

A.—a——b7+—cB.——a——b7——c

222222

111111

C.——a+—7b——cD.——d+—b7+—c

222222

【答案】D

【分析】根據空間向量的線性運算，結合圖形可得.

【詳解】因為M、N分別是0ABe的中點，所以OM=gQ4,ON=；(O2+OC),

^\^MN=ON-OM=-(OB+OC^--OA=-^a+-b+-c.

故選：D

3.（24-25高二下?甘肅金昌?期中）《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積

的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱.如圖，在塹堵中，M

是4cM中點，G是MB的中點，^AG=xAB+yAAl+xAC,則x+y+z=()

..35

A.1B.2C.—D.一

24

【答案】D

【分析】連接AM,根據空間向量法線性運算法則計算可得.

【詳解】連接40,因為G是MB的中點，所以AG=（（AM+AB

2'

因為三棱柱ABC-A由q是底面為直角三角形的直棱柱，

所以四邊形ACC0為長方形，又因為胡是人⑥的中點，

所以AM=A4,+&W=的+)AC,

貝！IAG=-(AM+AB^=-[AA1+^AC]+-AB=^AB+-AA1+-AC,

22LJ2224"

1

x=-

2

y.AG=xAB+yAA,+zAC,又AB，,AC不共面，所以<>=；,所以x+y+z=(.

1

4.(24-25高二下?廣東?階段練習)在三棱錐S-ABC中，￡>,瓦廠分別為線段A氏AC,3c的中點，G為VABC

的重心，貝!)SG=()

A.-SD+-SE+-SF

333

B.-SD+-SE+-SF

222

C.-SD+-SE+-SF

323

D.-SD+-SE+-SF

332

【答案】A

2

【分析】由G為VABC的重心，得AG=：AB,根據空間向量的運算法則即可求解.

【詳解】依題意，SG=SA+AG=SA+-AF=SA+jx-(AC+AB)=SA+-(SC-SA+SB-SA)

=-SA+-SB+-SC=-(，SA+SB)+-(SA+SC)+-(SB+SC)=-Sr>+-SE+-SF,

3336、,6、’6、’333

故選：A.

s

B

5.(24-25高二上?福建南平?期末)如圖，在三棱錐S-ABC中，點G為底面VABC的重心，點M是線段SG

的中點，過點M的平面分別交SA,SB,S。于點。，E,F,若SD=kSA，SE=mSB，SF=nSC，則

111

—+——F—=)

kmn

C.9D.12

【答案】B

【分析】由空間向量基本定理，用SA,SB,SC表示SM,由。，E,F,M四點共面，可得存在實數尢〃,

^.DM^ADE+juDF,再轉化為SM=(l—2-〃胖&4+為*S3+〃7?SC,由空間向量分解的唯一性，列方程求

其解可得結論.

【詳解】由題意可知，

SM=-5G=-(SA+AG)=-SA+-x-(AB+AC]

22、>2L32、>

因為D,E,F,M四點共面，

所以存在實數4〃，使DM=2DE+〃DF,

所以SM-SO=彳(SE-S￡>)+〃(SF-網，

所以

SM=(1—%—SD+ASE+JLLSF=(1—幾一左)SA+A/nSB+jurtSC,

所以

<Am=一，所以—I-----1—=6(1—4—〃)+62+6〃=6.

6kmn

1

故選：B.

【題型03：空間向量基本定理中的參數問題】

一、單選題

1.（24-25高二上?河南?期中）在四面體A2CD中，M為棱C。的中點，E為線段AM的中點，若

BE=aBC+bBD+cBA，則工=（）

a

A.yB.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根據空間向量的線性運算即可求解.

【詳解】如圖，

///C'11/、1/X1

BE=BA+AE=BA+-AM=BA+-^BM-BAJ=BA+-^BD+DMJ--BA

…十…一"V---

=-BA+-BD+-DM=-BA+-BD+--DC=-BA+-BD+-(BC-BD)=-BC+-BD+-BA,

2222222224442

又BE=aBC+bBD+cBA,

所以a=U，c=:，貝|j￡=2.

442a

故選：C

UL1UUUULlUUUU11

2.(24-25高二下?甘肅白銀?期中)設q,%,e?不共面，已知=+2e?+與，^=3^+2^+^,

LUJU111111

CD=3ei-2e2+e3,若A,C,。三點共線，貝!］力一〃=()

A.6B.12C.-6D.-12

【答案】C

【分析】首先表示出AC，由A,C,。三點共線，可得AC//。，則則存在實數f使得AC=fCD,根據空

間向量基本定理得到方程組，解得即可.

UUUU1111UUU1111UULUlUUU

【詳解】因為45=雞+24+%，J5c=3q+2弓+4%，CD=3ex-2e2+e3,

UUULILUmm11u11uuu11uu

以AC=AB+BC=Xq+2/+G+3,+2,+=(X+3)%+4,+(〃+1)%,

又A,C,。三點共線，所以AC//C。，

uririr/iririr

則存在實數t使得AC=tCD，即(X+3)G+4g+(4+1)1=%(3q—2e2+6

又G,e2,e3不共面，

4+3=3,"2=-9

所以4=-2/，解得，=-2所以；I—4=—6.

4+1=%//=-3

故選：C

3.（24-25高二上?陜西?階段練習）已知四面體Q4BC中，OA=a^OB=b，OC=c^OM=2Ai4（A>0）,

N為BC中點、,^MN=--a+-b+-c,貝lj/l=()

422

1

A.3B.2cD.-

-I3

【答案】D

111

【分析】根據空間向量的運算法則，化簡得至=++結合題意，列出方程，即可求解.

1+Z22

夕

【詳解】因為OM=XM4（X>0）,所以。M=——OA,

O

依題意可得MN=ON-0M

=1(OB+OC2

1+1

因為皿=一9+9+9，所以4=。，解得

4221+A43

故選：D.

113

4.（24-25高二上?上海?課后作業(yè)）如圖，在四面體OA8C中，BM=-BC,MN=-NO,AP=-AN,若

224

OQ=WB,且P?！ㄆ矫鍭BC,則實數4=（）

【答案】D

（分析］由條件可知,延長。尸與A"交于D,連接80,則由題意可得尸?！?。，令。。=/JOP,AD=mAM,

則利用不同的方法將AD用0Ao8,0C表示，可求出加，〃，然后利用三角形相似可求得結果.

【詳解】由條件可知，延長。尸與A"交于。，連接80,

因為尸Qi平面A3C,

尸Qu平面平面O8Dc平面至。=8￡）,

所以P?！ㄍ撸?/p>

令。。=〃OP,AD=mAM>

貝!|有AO=00_0Z=〃0P_0A=(；〃_，0A+；〃0B+；〃0C,

AD=mAM=；〃？(AB+AC)=g"?{OB—OA+OC—OA)=-mOA+gmOB+JmOC,

根據向量基底表示法的唯一性，

2

m=—

43

得解得

114

—m=-u4=一

〔24尸3

-PQ//BD,

:./\OPQ^/\ODB,OQ=2L=19

-OBOD4

。3

..A=一.

4

故選：D.

5.(24-25高二上?重慶?期中)在三棱錐A—5co中，G為△3CD的重心，AD=AAE,AB=JUAFAC=3AH,

其中2,，e（l,+e）,若AG交平面于點且則的取值范圍為（）

2Z—2

B.(-oo,l)u(3,+oo)

—00,；)0(],+8)

D.

【答案】A

【分析】應用四點共面定理可知，若瓦產,以四點共面，則AM可用AE,A￡AH表示，且系數和為1,

通過條件表示向量AM，可得4〃的關系，代入計算可得結果.

【詳解】連結CG并延長交8。于N,因為G為△3CD重心，則N為8。中點，

AG=AC+CG=AC+-CN=AC+-\-CD+-CB\

33（22）

=AC+1(Ar>-AC)+|(AB-AC

=-AC+-AD+-AB,

333

尸,〃四點共面，則++=即2+〃=3,

662

因為九,4€。,+8）,所以〃=3-彳>1,解得：1<2<2,

〃—53—A—544

=-1H---------,1<A<2,/.—1+>3,

2-22-22-22-2

〃-5

即>3,

A-2

故選:A

【點睛】知識點點睛：若四點共面，且面外一點A,則AM可用AE,A￡AH表示且系數和為1.

【題型04:利用空間向量基本定理證明線線平行、垂直位置關系】

一、解答題

1.(24-25高二上?廣東?階段練習)如圖所示，在三棱柱ABC-A4G中，CA=CB=CCltCA=a，CB=b，

2兀71

CC[=c,{a,b)={a,c)=—,(b,c)=-,N是AB的中點.

(1)用a,b,C表示向量AN;

9

(2)在線段c班上存在一點M,且=求證：

【答案】⑴AN=-54+76-c

⑵證明見解析；

【分析】(D根據空間向量線性運算法則計算可得結果；

(2)利用垂直關系的向量表示，可得AMTN=O,即可求得AM，AN.

【詳解】(1)易知AN=AA+A7V=4A+LA2=AA+4AC+CB)=-c+4-“+b)=」a+4-c；

22222

2

(2)易知AM=AG+GM=A4j+AC+￡M,又C；M=§G4；

22--

所以AMMAVAC+IGU=~a+~b+c；

不妨取C4=C5=C￡=1,

-cj-a+|z>+c

可得AM.AN=

22

2322323

-C，力力+4「％,=」+級!」/一0二0,

2362666222

即可得AM_LAN,

所以AM^AN.

2.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）已知O,A,B,C,D,E,F,G,"為空間的9個點（如圖所示）,

并且。E=%OA,OF=kOB.OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF.求證：

(1)A,B,C,。四點共面，E,F,G,”四點共面;

(2)AC//EG;

(3)OG=kOC.

【答案】⑴證明見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(D根據空間向量的基本定理即可得證；

(2)由EG=EH+mEF,結合空間向量的減法和數乘運算可推出EG=ZAC，從而得證;

(3)由OG=EG-EO，結合(2)中結論與0E=左。4可得證.

【詳解】(1)證明：由AC=AO+〃zAB,EG=EH+mEF,

知A,B,C,。四點共面，E,F,G,”四點共面.

(2)證明：由OE=HM,OF=kOB?OH=kOD,

得E?=EH+mEF=OH-OE+m[OF-OE^

=k(0D-0A^+km(0B—0A^=kAD+kmAB

=k^AD+mAB^=kAC,

AC//EG.

（3）證明：由（2）知EG=&AC,

所以OG=EG-EO=ZAC-ZAO

=k(AC-AO\=kOC,

OG=kOC?

3.（24-25高二上?廣東東莞?階段練習）如圖，在底面A8CO為菱形的平行六面體ABCD-中，M,

N分別在棱AA，CG上，且4M=gAA，CN=；CG，＞ZA.AD=ZA.AB=ZDAB=60°.

⑵當若為何值時，MN1BB,.

【答案】⑴證明見解析

(2)當第=3時，MN±BB,

【分析】（D根據空間向量線性運算的幾何表示可得DN=M耳，進而即得;

⑵設AA=c,AD=6,AB=a,然后利用。也c表示出肱V,四，再利用向量的數量積為0可得答案.

【詳解】（1）在平行六面體A2C￡>-A^G2中，連接MIXDN、NB,B{M,如圖,

因為AM=；AA，CN=gee1，

所以=MAi+AiBi=^AAi+AiBl=^AAi+AB,

DN=DC+CN=AB+^CCl=~AAi+AB,

所以ZW=9，即OV=MB,且DN//MBt,

所以四邊形OVffiiN為平行四邊形，即2M,穌N共面;

⑵當*=3時,叫，理由如下,

^AA[=c,AD=b,AB=a,且c與八c與八b與a的夾角均為60。,

因為底面A5CD為菱形，所以忖=同,

21

MN=MA+AB+BC+CN=--AAi+AB+BC+-AAi

=A.B+AD—/l/L=a+b—c

3"3

若MN1BB】,則肱V_LBB],即肱554=0,

c+cc

所以-c=a-c+b-c--c2=1i?iii|Hii-|ii2=。,

3

,又小同,

所以2同二:同，即￡=3,所以普=3,

jaAD

即9=3時，MN±BBt.

4.（24-25高二上?河南平頂山?階段練習）如圖.在平行六面體A3C。-ABC.中.

圖I圖2

⑴如圖1,已知D4=a,DC=6,OR=c,點G是側面用BCQ的中心，試用向量。,兒c表示下列向量：DB},.

⑵如圖2,點瓦尸,G分別是A2，Z）Q，2G的中點，請選擇恰當的基底向量，證明：平面EFG〃平面做C.

【答案】（1）。4=a+b+6,B\=-b+c

（2）基底向量見解析，證明見解析

【分析】（1）結合圖形，利用空間向量的線性運算即可得解；

（2）利用空間向量的線性運算得到MEG=^AC,進而利用線面平行與面面平行的判定定理即

可得證.

【詳解】（1）因為ZM=a,DC=6,DR=c,點G是側面的中心,

所^以DB[—DD[+D[A+A4-DD[+DA+DC=a+Z?+c,

BA=BN+AAj=—DC+DR=—b+c.

(2)以D4,OC,Z)Di為基底，

貝！]“=ED；+2尸=；42+；R￡>=-；ZM_gDR,

EG=EDl+DlG=^AiDt+；℃=-1DA+|DC,

BlC=BlB+BC=-DD{-DA,AC=AD+DC=-DA+DC，

所以匹=^4。，EG=^AC,

則EFV/BC，EG!IAC,

又EGU平面ABjC,ACu平面ABXC,:.EG//平面AB,C.

同理￡F//平面鈣C,又EFEG=E,EF,EGu平面EFG,

所以平面￡FG//平面MC.

【題型05:空間向量的正交分解】

一、單選題

1.（23-24高二上.河北邯單上期末）已知SA_L平面ABC,ABJ.AC,SA=AB=1,BCf,則空間的一個

單位正交基底可以為（）

A.^AB,^AC,AS^B.{AB,AC,AS}

C.D.?AS,AB,y-Bcj

【答案】A

【分析】根據正交基地的定義可知，三個向量兩兩互相垂直，且模長為1.

【詳解】因為&4,平面A5C,AB.AC都在面ABC內，

所以1sA_LAB,SALAC.

因為AB1AC,AB=1,BC=y/5,所以AC=2,又SA=1,

所以空間的一個單位正交基底可以為pB,|AC,As].

故選:A

2.（24-25高二上?福建廈門?階段練習）在單位正交基底/。耳下，已知向量〃=i+2/+3左，b=2i+3k，

則向量戊=a+b在向量z■上的投影向量為（）

A.3iB.2iC.6iD.4z

【答案】A

【分析】首先表示出山，再根據投影向量的定義計算可得.

【詳解】因為。=i+2/+3攵，b=2i+3k，

所以冽=〃+8=力+2，+3攵+2,+3k=3i+2j+6k,

又｛，j”為一組單位正交基底，

所以加?i=卜i+2/+6%)?i=3i?i+2八，+6左?/=3,

m-i

所以向量機=a十人在向量，上的投影向量為時=3i

故選:A

二、多選題

3.(23-24高二上?內蒙古?期末)已知｛a,b,c｝是空間的一個單位正交基底，則()

A.卜+目=應.B.｛a-6,6+c,a+c｝構成空間的一個基底

C.(a+6)(a+c)=lD.｛a-b,6+c,a-c｝構成空間的一個基底

【答案】ACD

【分析】A.根據a,6,c均為單位向量且兩兩垂直判斷；B.利用基底的定義判斷；C.利用數量積的運算律求解

判斷；D.利用基底的定義判斷.

【詳解】因為｛“，瓦c｝是空間的一個單位正交基底，所以a也c均為單位向量且兩兩垂直，所以

卜+6卜血口=夜，A正確.

因為a-6+b+c=a+c,所以｛。-46+。，。+<4不能構成空間的一個基底，B錯誤.

(a+6)(a+c)=，=1,C正確.

因為不存在實數x,y,使得x(a-6)+y僅+°=a-2,所以｛a-〃,6+3,”c｝構成空間的一個基底，D正確.

故選：ACD

三、填空題

4.(23-24高二上.河南鄭州?期中)己知｛。,6,c｝是空間的一個單位正交基底，p=a-2b+3c,若

/>=尤(a+6)+y(q_6)+ze,貝[]x+y+z=.

【答案】4

【分析】變形得至Up=(x+y)a+(x-y)》+zc,從而得到方程組，求出答案.

【詳解】。=元a+b\+y(a—b\+zc=^x+y^a+^x—y^b+zc,

又p=a—2b+3c,所以x+y=l,%_y=_2,z=3,

故x+y+z=l+3=4.

故答案為：4

5.(24-25高二上?重慶?階段練習)已知加,6,耳是空間的一個單位正交基底，向量p=a-2匕-4°,

{d+6,d-6,可是空間的另一個基底，用基底{4+6,4-6,4表示向量°=.

13

【答案】--{a+b)+-{a-b)-^c

【分析】根據空間向量基底的意義表示向量P，再借助相等向量列出方程組求解即得.

【詳解】設〃=x(a+Z?)+y(a—Z?)+zc,

rrr

依題意，p=y)a+^x-y)b+zc=a-2b-^c,而『/,c}空間的基底，

13

所以p=-—(a+b)+—(a-b)-4c.

i3

故答案為：-5(。十6)+5(〃

定理概念

基底與基向量

一、空間向量基本定理

用基底表示向量

證明線線位置關系

應用

求長度、夾角

二、單位正交基底

一、單選題

1.（24-25高二上?新疆巴音郭楞?期末）如圖，在四面體。4BC中，N是8C的中點.設0A=“，，OC=3,

則AN=（）

ci-\—bH—c—Q+Z7+C

222

-a+—b+—c—aH—b+c

222

【答案】c

【分析】根據空間向量的線性關系即可求解.

【詳解】

AN=ON-OA=^OB+OC^—OA——aH—b—c.

22

故選：C

2.（23-24高二上.河北?期中）已知BD1平面ABC,AB±BC,BD=1,AB=2,BC=3,則空間的一個

單位正交基底可以為（）

-BC,BD,—AD

35

C.{BC,BD,BC,BD,-BA

【答案】B

【分析】先得到AB,3c,3。兩兩垂直，再根據其長度得到空間的一個單位正交基底.

【詳解】因為平面ABC,AB,BCu平面ABC,

所以BD±BC.

因為ABLBC,即AB,3C,B￡）兩兩垂直，

又BD=1,AB=2,BC=3,

所以空間的一個單位正交基底可以為，BC,BD,1.

故選：B.

3.(24-25高二上?山東濰坊?期末)如圖，空間四邊形。4BC中，0A=是BC的中點,

AP=-PD,貝I］OP=（）

2

21,1

C.-a+-b+-cD.—a+—b+—c

66333333

【答案】A

【分析】根據空間向量的線性運算即可求解.

［詳解］0P=0A+AP=0A+1Ar>=a4+|（0r>-0A）=0A+|x|（0B+0C）-10A

211911

=-OA+-OB+-OC=-a+-b+-c

366366

故選：A

4.（24-25高二上?山西晉中?期末）在三棱柱ABC-A用G中，，AC=b^A\=c,。為平行四邊形

5CC由對角線的交點，則()

1,1-

A.—ci~\—b—cB.aH—bH—cC.-ciH—bH—cD.a——b—c

2222222222

【答案】C

【分析】根據空間向量的加減運算法則計算可得結果.

【詳解】如下圖所示：

易知A￡>=42+20=AB+IIBC+BBJUAB+IIAC—AB+AA）

="+』伍"+c）=L+4+，.

2、7222

故選：C

5.（24-25高二上?河南許昌?階段練習）已知｛a,"c｝是空間的一個單位正交基底，m=。-6+2c，則空間

向量。在加方向上的投影向量為（）

A.—aB.y/6mC.D.-m

666

【答案】D

【分析】根據空間向量的投影向量公式計算即可.

【詳解】因為｛。,匕,c｝是空間的一個單位正交基底，則。/=0,。.C=0,?！?0

貝!||司=m=-b+2cj=a2+b2+4c2=6?

a，ma-（a—b+2c\i

則空間向量。在加方向上的投影向量為=%=-----------m=-m,

\m\\m\0

故選：D.

6.（24-25高二上?貴州黔東南?階段練習）如圖，已知空間四邊形OABC,其對角線為08、AC,M.N

分別是對邊。4、BC的中點，點G在線段跖V上，且分MN所成的定比為2,現(xiàn)用基向量。4、OB、0C表

示向量。G，^OG=xOA+yOB+zOC,則x、y、z的值分別為（）

【答案】D

【分析】推導出0N=g03+（0C,由題意可得AfG=2GN,利用空間向量的線性運算可得出0G關于

OB、0C的表達式，即可得解.

【詳解】因為N為BC的中點，

貝！j0N=0B+BN=08+gBC=08+g（0C-0B）=j08+g0C,

由題意可得MG=2GN，貝!J0G-0M=2（0N-0G）,

所以，30G=OM+2ON=^OA+OB+OC,貝!）OG=1oA+Lo2+』OC,

2633

M111

故x=w，y=7，z=[,

633

故選：D.

7.(2025?上海黃浦?二模)如圖，在平行六面體ABC。-A耳GA中，設1=知，b=DB,,若a、b、。組

成空間向量的一個基底，則c可以是()

A.BBXB.BQC.BDD.BD{

【答案】B

【分析】利用平行六面體的結構特征，結合空間共面向量定理愛空間向量基本定理逐項判斷.

【詳解】由。=A4,，b=DB\,a、b、c組成空間向量的一個基，得向量a、b、c不共面，

對于A,在平行六面體A8Cr>-ABiG2中，=A4,,則3旦與a、b共面，A不是；

對于C,BD=BBX+BXD=A\-DBX^a-b,BD與。、。共面，C不是；

對于D,BDi=BD+DDi=a-b+a=2a-b,皿與a、。共面，D不是；

對于B,由_DB]=八4+。。+/)￡)],b=DA+DC+a>"1,<0(7,0不共面，

假設BC]與。、。共面，則存在x,yeR,使得3cl=M+y￡>,

ffljBq=CC1—CB=a—DA,貝！]a—DA=xci+y(D4+DC+a),

x+_y-l=0

整理得(x+y-l)a+(y+l)D4+yDC=0,從而<y+l=0,此方程組無解，

7=0

假設不成立，因此3G與a、b不共面，c可以是BC].

故選：B

8.(23-24高二上?河南?階段練習)已知a,b,c是不共面的三個向量，則下列能構成空間的一個基底的

一組向量是()

A.14a,a—3b，4a+26B,-13b，4a-3b,2a+5b

C.a,2b，b-cD.2c,2d-36，2c-4b

【答案】C

【分析】根據空間向量的基本定理結合共面向量的定義逐項分析判斷.

【詳解】因為向量。，b,c是不共面的三個向量，

對于A,14a=2（a-36）+3（4a+26）,則向量14a,a-3b，必+25共面，

即向量14%a-3b,4。+2力不能構成空間的一個基底，因此A錯誤；

對于B,-13Z?=（4〃一3。）一2（2a+5b）,則向量一136，4-a-3b,2a+5人共面，

即向量-13/?，4a—3b92a+5Z?不能構成空間的一^個基底，因此B錯誤；

對于C,假定向量4,2b，。-C共面，則存在不全為0的實數4，4,使得。=246+4（6-c）,整理得

ci—（24+4）b+4c=0,

1=0

而向量a,b,c不共面，則有一4+小=。，顯然不成立，所以向量a,2b，8-c不共面，

4=0

即向量“，2b，8-c能構成空間的一個基底，因此C正確；

對于D,2c=4（2c-36