弧度制、任意角的三角函數(shù)

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激活思維

n

1.（人A必一Pl76T7⑵）若a為第一象限角，貝叼是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角

2.下列各式不正確的是（）

7兀9兀

A.—210。=一/B.405°=y

O

23K47K

C.3350-12D.7050-12

cosa

3.當(dāng)a為第二象限角時(shí)，的值是（）

|cosa\

A.1B.O

C.2D.-2

4.（多選）已知角0的終邊上有一點(diǎn)P{a,2d),若a<0,貝!J()

A?n75

A.sin”一§B.sin6—

C.tan0=一；

D.tan0=2

7T

5.（人A必一P175練習(xí)T6改）已知圓心角為不的扇形所對(duì)的弧長(zhǎng)為2兀，則該扇形的面積

為.

聚焦知識(shí)

1.角的概念的推廣

平面內(nèi)一條射線繞著______________從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一

定義

個(gè)位置所形成的圖形

、、

按旋轉(zhuǎn)方向

分類—

按終邊位置______________、軸線角

終邊相所有與角。終邊相同的角，連同角。在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合

同的角S=W?=a+2E,%￡Z}

2.弧度制的定義和公式

長(zhǎng)度等于_____________的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記

定義

作rad

角a的弧度數(shù)公式|a|=-(Z表示弧長(zhǎng))

①1°-180出山

公式角度與弧度的換算

②1屆=修°

弧長(zhǎng)公式1=______________

扇形面積公式s=___________________=_____________________

注意：在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用.

3.任意角的三角函數(shù)

三角函數(shù)正弦余弦正切

設(shè)P(x,y)是角a終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，其到原點(diǎn)。的距離

為r

定義y

1Xtanot—

sina=cosa=~X

rr

(xWO)

I+++

各象

II+一一

限符

一一

號(hào)III+

IV—+一

三角函

數(shù)線

有向線段有向線段_____________有向線段

為余弦線____________為正

為正弦線切線

注意：若ctG(O,貝Utanaasina.

4.常見結(jié)論

(1)4，a的終邊關(guān)于彳軸對(duì)稱o￡=—a+2E,kb.

(2)￡,a的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱=￡=兀一a+2%n,k^Z.

(3)4，a的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱o￡=7i+a+2E,kb.

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說(shuō)法

目標(biāo)H象限角及其表示

3兀

例1⑴若夕是第二象限角，則號(hào)+尸是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

(2)已知角a的終邊在如圖所示的陰影部分所表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，那么角a用

集合可表示為.

30。'(-、1.45。

|0*

(例1(2))

〈總結(jié)提煉〉

(1)象限角

［第一象限角)｛a|2/ai<a<2/ai+^-9&EZ}

(第二象限角］｛同2E+當(dāng)va〈2E+7i,%￡Z

角

的［第三象限角｛42也+兀<?<2而+挈AEZ｝

集

V、第四象限角］｛a|：

[2E+苧<。<2碗+2兀,ZEZ

（2）軸線角

/A―（終邊落在x軸上的角）{可依=左兀,左EZ}

線

角--［終邊落在y軸上的磯{3。=爰+%兀,4EZ}

的

集

V■{終邊落在坐標(biāo)軸上的角］{。|。=與兀，）EZ}

變式1（多選）若。是第二象限角，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.~a是第三象限角

B.5是第三象限角

C.5+a是第二象限角

D.2a是第三或第四象限角或終邊在y軸負(fù)半軸上

目標(biāo)巴弧度制與扇形的弧長(zhǎng)、面積公式

例2（多選）已知扇形的半徑為r,弧長(zhǎng)為/,若其周長(zhǎng)為4,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若該扇形的半徑為1,則該扇形的面積為1

B.該扇形面積的最大值為1

C.當(dāng)該扇形的面積最大時(shí)，其圓心角的弧度數(shù)為2

D."2抽1最小值為9

〈總結(jié)提煉〉

應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法：

（1）利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.

（2）求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方法使問(wèn)題得

到解決.

（3）在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.

變式2（1）（2024?青島一模）如圖（1）是珍寶“玉璜”，其璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈

扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S”型雙龍，造型精美.現(xiàn)要計(jì)算璜身面積（厚度忽略不計(jì)），測(cè)得各

3

項(xiàng)數(shù)據(jù)如圖（2）：AB"8cm,AD?2cm,AO"5cm,若sin37。心f兀=3.14,則璜身（即曲邊

四邊形A2C0的面積近似為（）

圖⑴圖(2)

(變式2(1))

A.6.8cm2B.9.8cm2

C.14.8cm2D.22.4cm2

⑵如圖，正六邊形ABC。斯的邊長(zhǎng)為2,分別以點(diǎn)A,B為圓心，A尸長(zhǎng)為半徑畫弧,

兩弧交于點(diǎn)G,則前，BG,AB圍成的陰影部分的面積為

(變式2(2))

目標(biāo)閭?cè)我饨堑娜呛瘮?shù)

a+習(xí)=(

例3(1)(2024?深圳一調(diào))若角a的終邊過(guò)點(diǎn)(4,3),則sin)

4

AB

-l--5

c-t

D--5

(2)(多選)已知角8的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,一小),且。與。的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則下列結(jié)

論正確的是()

叵

A.sin0=

7

B.a為鈍角

c-平

D.點(diǎn)(tanasin㈤在第二象限

V總結(jié)提煉A

(1)當(dāng)已知角a終邊上一點(diǎn)尸的坐標(biāo)時(shí)，可利用三角函數(shù)的定義求出角a的三角函數(shù)

值.

(2)當(dāng)已知角a的三角函數(shù)值時(shí)，也可以利用三角函數(shù)的定義求出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

變式3（多選）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)0為圓心的圓與x軸正半軸交于點(diǎn)

A（l,0）.已知點(diǎn)8（X1，%）在圓。上，點(diǎn)T的坐標(biāo)是（無(wú)o，sinxo）,則下列說(shuō)法正確的有（）

（變式3）

A.若則

B.右yi=sin%o，則xi=xo

C.若yi=sinxo，貝!jACB=xo

D.若AC8=xo，則yi=sin%o

新視角I三角函數(shù)線

例4（多選）已知sina>sinp,那么下列結(jié)論正確的是（）

A.若角a,尸是第一象限角,貝!Jcosa>cosW

B.若角a,夕是第二象限角，貝！Jtan￡>tana

C.若角a,夕是第三象限角，則cosA〉cosa

D.若角a,。是第四象限角，則tana>ta”

變式4（2018?北京卷）在平面直角坐標(biāo)系中，AB,CD,EF,俞是圓尤2+f=i上的四

段?。ㄈ鐖D），點(diǎn)尸在其中一段上，角a以O(shè)x為始邊，OP為終邊，若tana<cosa<sina,

則P所在的圓弧是（）

（變式4）

A.ABB.CD

C.EFD.GH

隨堂內(nèi)化

1.與一2026。終邊相同的最小正角是（）

A.136°B.134°

C.57°D.43°

2.（2020?全國(guó)II卷理）若a為第四象限角，則（）

A.cos2a>0B.cos2a<0

C.sin2a>0D.sin2a<0

3.（2024?濟(jì)南、青島、棗莊三模）已知角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重

合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（cos$sin^）,則cos（a—嵩=（）

1

A.0B.

c坐D.坐

4.（2022?全國(guó)甲卷）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓

弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”.如圖，成是以。為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，。在

AB上，COLAB.“會(huì)圓術(shù)”給出AB的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：s=AB+M.當(dāng)OA=2,

Cz/i

乙408=60°時(shí)，s=()

（第4題）

1—3小11—4小

2B.2

9—3小D.厘

.2

配套精練

一、單項(xiàng)選擇題

1.sin2-cos3-tan4的值（）

A.小于0B.大于0

C.等于0D.不存在

2.（2024.呂梁二模）已知角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸上，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一審,

71

1),則tana~6,=()

A.~yf3B.

3

D.小

3

3.（2025?青島期初）在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，角a與角力均以x軸的非負(fù)半軸為始邊,

它們的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱.若cosa=—g,則cos（a—夕）=（）

9

C.1D.7

4.中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》的第一章“方田”中載有“半周半徑相乘得積步”，

其大意為：圓的半周長(zhǎng)乘以其半徑等于圓的面積.南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之曾用圓內(nèi)

接正多邊形的面積“替代”圓的面積，并通過(guò)增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)〃，使得正多邊形

的面積更接近圓的面積，從而更為“精確”地估計(jì)圓周率兀據(jù)此，當(dāng)〃足夠大時(shí)，可以得到

兀與”的關(guān)系為（A）

（第4題）

n.360°

A.兀2不in------

2n

B.7i^nsin叵

二、多項(xiàng)選擇題

5.若*那么下列不等式成立的是（）

A.sina<cosa<tanaB.cosa<sin（x<tana

C.sina<a<tanaD.a<sina<tana

6.（2024.溫州二模）已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與入軸的非負(fù)半軸重合，P（—3,

4）為其終邊上一點(diǎn)，若角夕的終邊與角2a的終邊關(guān)于直線丁=一%對(duì)稱，則（）

3

A.cos（7i+a）^g

71

B/=2E+]+2Q（）t￡Z）

7

C.tan

D.角夕的終邊在第一象限

___7T

7.如圖，A,2是單位圓上的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，點(diǎn)2的坐標(biāo)為（1,0）,ZBOA=y質(zhì)點(diǎn)A以1

rad/s的角速度按逆時(shí)針?lè)较蛟趩挝粓A上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)8以2rad/s的角速度按順時(shí)針?lè)较蛟趩?/p>

位圓上運(yùn)動(dòng)，則（）

TT

A.經(jīng)過(guò)1s后，ZBOA的弧度數(shù)為京+3

B.經(jīng)IT過(guò)*s后，扇形A02的弧長(zhǎng)77r為骨

TTTT

C.經(jīng)過(guò)襲s后，扇形AOB的面積為g

5jr

D.經(jīng)過(guò)半s后，A,3在單位圓上第一次相遇

三、填空題

8.如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角a的集合是

（第8題）

9.已知角6的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊為x軸正半軸，終邊過(guò)點(diǎn)A（3,y）,且sin（兀

4

+6）=亍貝!jcos9=,tan0=.

1