大連市第十五中學(xué)2022-2023學(xué)年第一學(xué)期中考試

高二數(shù)學(xué)考試試卷

第I卷(選擇題)

一、單選題

1.直線后一3'+4=()的傾斜角為()

A.150°B.120°C.60°D.30°

【答案】D

【解析】

【分析】先求出直線的斜率，從而可求傾斜角.

【詳解】設(shè)直線的傾斜角為夕，則tan，=g,而。€[0,兀)，

故。=烏，

6

故選：D.

2.已知向量"=(—3,2,5),匕1)且則x的值為()

A.4B.2C.3D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)?？芍?。力=0,代入坐標(biāo)公式即可求解.

【詳解】因?yàn)樗浴Ａ?0，

因?yàn)橄蛄縜=(-3,2,5),b=,

所以o.6=_3+2x—5=0，解得元=4,所以尤的值為4,

故選：A.

3.已知在四面體A3CD中，分別是5cA。的中點(diǎn)，設(shè)AB=a,AC=6,AD=c＞則跖V=

()

A.--a+》+c)B.—+b-c

17,

C.—IU-—bcD.-(-a-b+c

2、2、

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合圖像，利用空間向量的線性運(yùn)算即可得到結(jié)果.

【詳解】連接AM，如圖，

因?yàn)锳B=d,AC=6,AD=c分別是5cAD的中點(diǎn),

所以2W=MA+A7V=—AM+』+AC)+^

22、>2

151…1,八11,117,、

二——AB—AC+—AD=——a—b+—c=—\—a—b+c.

2222222、7

故選：D.

4.已知直線/：尤―y+2=0,點(diǎn)4(0,0),3(1,1),點(diǎn)C為直線/上一動(dòng)點(diǎn)，貝|ABC的面積為()

A.1B.J2C.2D.—

2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)求得直線方程，利用平行線距離公式，結(jié)合三角形面積公式，可得答案.

【詳解】直線A3的方程為x-y=0,所以///AB,所以A3邊上的高為兩平行線之間的距離，記為d,

=^2,\AB\=y/M=42,所以SoBc=；|A3|xd=l.

故選：A.

5.如果方程二+二一=1表示焦點(diǎn)在丁軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

a〃+6

A.a>3B.a<—2

C.a〉3或av—2D.—2vav3且azO

【答案】D

【解析】

【分析】依題意可得0＜/＜。+6,即可求出參數(shù)的取值范圍.

22

【詳解】因?yàn)榉匠?+二一=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，

a〃+6

所以0＜々2＜々+6,即(Q+2)(Q—3)＜。，

解得—2vav3且“zO；

故選：D.

221

6.己知橢圓與雙曲線三—匕=1有共同的焦點(diǎn)，且離心率為,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

32

22,2

A.-%---1--y--=11

2025

2222

c豪廠D3=1

【答案】B

【解析】

22

【分析】設(shè)橢圓的方程為二+2-=l(a>Z7>0),求出。/即得解.

ab2

【詳解】由題得雙曲線的焦點(diǎn)為(6,0),(—君,0),

所以橢圓的焦點(diǎn)為(6,0),(—6,0)，

2

設(shè)橢圓的方程為二+y=1(a>Z?>0),

ab2

/=5+/

所以“61，:.a=5,b=2非.

,a亞

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

2520

故選：B

7.已知圓。…(X-1)2+(J+2)2=9,圓。2：(x+2)2+(y+l)2=16,則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系為()

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)含

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)兩圓圓心距與兩圓的半徑的和與差作比較即可.

【詳解】由題可知，兩圓的圓心距為[0]Q|=J(—3)2+(—l)2=而,

因?yàn)?—3<|a。2|<4+3,

所以兩圓相交.

故選:C.

22

8.已知橢圓C：\+二=1(。〉6〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為月、工，點(diǎn)尸為C上一點(diǎn)，若「鳥，耳心，

ab

且NPKB=30。，則橢圓。的離心率為()

A.-B.在C.-D.正

6633

【答案】D

【解析】

24

【分析】先根據(jù)尸石，片鳥，且N尸石g=30。求得尸乙=耳風(fēng)。耳=§a,再根據(jù)勾股定理列出關(guān)于c

的方程，解出e即可

【詳解】P點(diǎn)橢圓。上的點(diǎn)，

:.\PF^+\PF^=2a

且。

PF2LFXF2,NPE8=30

2=4a

/.PF2=—a,PFi~

在△P/花中，閨閶2+|Pg「=|P<

即(2c『+(§a)2=(§a)2,整理得：/二］〃?

日n21A/3

即e=—,.、=—

33

故選：D

二、多選題

22

9.已知橢圓土+2L=1,c=l,則上（2。為橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和，2c為兩焦點(diǎn)之間的距

m2a

離）為（）

A.-B.BC.-D.73

332

【答案】BC

【解析】

【分析】分焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上討論確定加的值.

22

【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，m=3,曲線方程為三+乙=1,

32

則長半軸長為6,半焦距為1，

離心率為且；

3

22

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，加=1時(shí)，方程為二+二=1,

21

則長半軸五，半焦距1,

離心率為二=也

412

故選:BC.

10.下列選項(xiàng)正確的是（）

A.過點(diǎn)（-1,2）且和直線3x+2y-7=0平行的直線方程是3x+2y-l=0

B.“a=-1”是“直線/x—y+l=0與直線x—ay—2=0互相垂直”的充要條件

C.若直線4:x—2y+l=0與/2：2x+ay-2=0平行，則人與"的距離為苧

-兀］「3兀）

D.直線xsina+y+2=。的傾斜角。的取值范圍是0,—o—,Tt

44J

【答案】ACD

【解析】

【分析】由直線的點(diǎn)斜式方程可判斷A,由兩直線垂直對(duì)應(yīng)的斜率關(guān)系可判斷B,由兩平行線的距離公式可

判斷C,由斜率和傾斜角的關(guān)系可判斷D.

3

【詳解】對(duì)于A,直線3x+2y—7=0的斜率為左=——,

2

所以過點(diǎn)(―L2)且和直線3x+2y-7=0平行的直線方程為y-2=-13(x+l),

即3x+2y—1=0,A正確；

對(duì)于B,。=-1時(shí)，直線。2%一＞+1=0的斜率匕=1,直線x—ay—2=0的斜率左2=-1,滿足

匕義心=一1,所以兩直線垂直，

而當(dāng)。=0時(shí)，直線。2*-丁+1=0也與直線x—ay-2=0垂直，

故“a=-1”是“直線4x—丁+1=。與直線％—沖―2=0互相垂直”的充分不必要條件，：B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,直線丸：x—2y+l=0與:2x+ay-2=0平行，則。=一1,

則直線4與12的距離為d=上上簽二正,C正確；

對(duì)于D,直線xsina+y+2=。的斜率左=-sintz,

TI3兀、

即tanSw]—1,1],所以0,—u——,71,D正確.

L4jL4)

故選：ACD

11.已知直線/：(加一l)x+2沖一3根+3=0,%eR和圓C:(x—2y+(y—l)2=4,下列說法正確的是

()

A.直線/恒過定點(diǎn)(3,0)

B.圓C被x軸截得的弦長為2百

C.直線被圓截得的弦長存在最大值，且最大值為2企

D.直線被圓截得的弦長存在最小值，且最小值為2J5

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用直線系方程求得直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)判斷A；求出圓C被x軸截得的弦長判斷B；當(dāng)直線過

圓心時(shí)可判斷C,當(dāng)直線/，PC時(shí)算出弦長可判斷D.

【詳角軍】對(duì)于A,由（帆一1）%+2歿一3加+3=0,^#m（x+2y-3）-x+3=0,

x+2y-3=0f%=3,、

聯(lián)立1cc，得1，無論機(jī)為何值，直線/恒過定點(diǎn)（3,0）,故A正確；

-x+3=0[y=o

對(duì)于B,在（》—2）2+（丁—1）2=4中，令y=0,得x=2土百，所以圓C被無軸截得的弦長為

2+73-（2-73）-2^,故B正確；

對(duì)于C,當(dāng)直線/過圓心C（2,l）時(shí)，直線被圓截得的弦長最大，最大值為圓C直徑4,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,由于直線/恒過的定點(diǎn)（3,0）,易知此點(diǎn)在圓內(nèi)，設(shè)此定點(diǎn)為尸，當(dāng)直線/與直徑垂直時(shí)，直線/

被圓截得的弦長最小，且最小值為2,4_尸。2=2<4-2=2血，故D正確.

故選：ABD

12.已知拋物線丁=2爐的焦點(diǎn)為尸，M（玉,乂），N（w，%）是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

()

A.點(diǎn)F的坐標(biāo)為

B若直線"N過點(diǎn)尸，則xj,=-」-

16

C.若MF=尢N(yùn)F，貝]肱V|的最小值為g

35

D.若=—,則線段肱v的中點(diǎn)p到x軸的距離為一

28

【答案】BCD

【解析】

【分析】由拋物線方程確定焦點(diǎn)坐標(biāo)知A錯(cuò)誤；直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可知B正確;

根據(jù)過焦點(diǎn)可知最小值為通徑長，知C錯(cuò)誤；利用拋物線焦半徑公式，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得P點(diǎn)

縱坐標(biāo)，知D正確.

【詳解】解：拋物線丁=2必，即

對(duì)于A,由拋物線方程知其焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)為歹,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,依題意，直線MV斜率存在，設(shè)其方程為丁=履+；,

.21

%=—y

2，1111

由＜,消去y整理得x2—kx---=0,=---,x,+Xj——k,故B正確；

,1216-161-2

y=kx+—

對(duì)于C,若MF=2NF,則直線4W過焦點(diǎn)，

所以=司=%+：+乃+：="1+：+而2+：+；=；左2+；,

oooo422

所以當(dāng)左=0時(shí)|肱皿.=-,

IImin2

的最小值為拋物線的通徑長故C正確；

對(duì)于D,|河同+|加|=乂+1+%+1=2，二乂+%=』，即p點(diǎn)縱坐標(biāo)為"+%=*

882428

，「到了軸的距離為工，故D正確.

8

故選：BCD.

第II卷(非選擇題)

三、填空題

13.直線/經(jīng)過原點(diǎn)，且經(jīng)過直線2x—2y—1=0與直線4x—2y—3=0的交點(diǎn)，則直線/方程為

【答案】x-2y=0

【解析】

【分析】聯(lián)立直線求解交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得直線/的斜率，即可得直線方程.

【詳解】解:直線2x—2y—l=0與直線4x—2y—3=0的交點(diǎn)滿足

x=l

2x-2y-l=0

解得＜1故交點(diǎn)坐標(biāo)為“

4%—2丁一3二0v=—

--01

所以直線/的斜率2J，所以直線/的方程為y=即x-2y=0.

1-0-22

故答案為：九一2y=0.

14.若過點(diǎn)尸(—1,6)作圓/+/=4的切線，則切線方程為

【答案】x-岳+4=0

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得點(diǎn)尸在圓/+)?=4上，根據(jù)切線的性質(zhì)可得切線的斜率左=一無，進(jìn)而由點(diǎn)斜式

-3

求切線方程.

【詳解】圓必+丁=4的圓心0(0,0),半徑廠=2,

V(-1)2+(73)2=4,則點(diǎn)網(wǎng)―1,6)在圓爐+V=4上，

又：直線OP的斜率knp=走a=-V3,則切線的斜率k=旦,

OP-1-03

...切線方程為y—J^=g(x+1),即x—Qy+4=0,

故切線方程為x-6y+4=0.

故答案為：％—gy+4=0.

22

15.已知橢圓C：_匚+&=1(機(jī)〉0)焦點(diǎn)為《，F(xiàn)2,短軸端點(diǎn)為P,若則m=

m+1m2

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得b=c,列出等量關(guān)系，即可求得結(jié)果.

22

【詳解】對(duì)橢圓C：->0),其4=加+1,〃=九/=1,

m+1m

又加>0，故/?=1^,C=19

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，因?yàn)?片桃=],故可得標(biāo)=1,解得m=1.

故答案為：1.

22

16.已知雙曲線C：三―方=1(?！?]〉0)的右焦點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作一條漸近線的垂線/,垂足為M,若

/與另一條漸近線交于點(diǎn)M且滿足4Mp="N，則該雙曲線的離心率為.

【答案】在

2

【解析】

【分析】根據(jù)NNOM的正切值，結(jié)合漸近線的斜率，即可列出等量關(guān)系，求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：

設(shè)點(diǎn)少坐標(biāo)為（G。），其到漸近線丁=2》的距離區(qū)打=一7理十=）,

ay/a-+b

因?yàn)閨OE|=c,顯然|OM|=a,

又因?yàn)?ME=MN，故可得|MV|=4b,

4bb

在Rt,QMN中，tanNMON=—，設(shè)NMOF=6,則tan￡=—,

aa

2b2b

—4h—

tanAMON=tan20=——彳-Hr—=---——y

七,七’

故答案為：邁.

2

四、解答題

17.己知向量a=(0,2,3),b=(-2,4,6),c=(8,x,-3)

（1）若向量a與a+H;垂直，求實(shí)數(shù)上的值;

（2）若向量￡力和c是共面向量，求實(shí)數(shù)尤的值.

【答案】（1）--

2：

(2)-2.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)向量的加法和數(shù)乘，可得坐標(biāo)表示，根據(jù)垂直向量的坐標(biāo)計(jì)算公式，可得答案;

（2）根據(jù)向量共面定理，建立向量.涉和c之間的表示，可得方程組，解得答案.

【小問1詳解】

由a=（0,2,3）,Z?=（-2,4,6）,則￡+防=（-2>,2+4左,3+61）,

因?yàn)閍_L（a+左）），

所以+左b）=0+2（2+4左）+3（3+6左）=0,則26左+13=0,解得k=—g.

【小問2詳解】

由向量和c是共面向量，則存在九〃，使得c=Xa+〃Z?,

8=-24〃=—4

則%=24+44,解得＜4=7,則1=-2.

—3—3A+6從x=-2

18.已知圓C經(jīng)過三點(diǎn)“（0,2）,0（0,6）,N（2,4）.

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若過點(diǎn)P（l,0）且斜率存在的直線/與圓C交于A,B兩點(diǎn)，且卻=2百，求直線/的方程.

【答案】（1）f+（y—4）2=4；

（2）15%+8^-15=0.

【解析】

【分析】（1）利用待定系數(shù)法或幾何法均可求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵根據(jù)圓的弦長公式求出直線/斜率即可.

【小問1詳解】

..?圓C過M（0,2）,e（O,6）,故圓C的圓心在y=4上，

的中點(diǎn)為（1,3）,kMN=—^—=1,

故MN的中垂線為：y~3=—（x—1）,即>=一無+4,

令y=4nx=0,故圓心。（0,4）,半徑度=|CM|=2,

.?.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：f+（y—4）2=4；

【小問2詳解】

設(shè)/斜率為左，則/為：y=左（九一1）,即Ax-y—左=。，

|AB\=26，，圓心C到直線I的距離d=也—（0了=1，

I—4一左I15

即*=1=1,解得左=—三，得直線/的方程為15x+8y—15=0.

r+18

19.已知圓C圓心在直線x—2y=0上，且與＞軸相切于點(diǎn)（0,1）.

（I）求圓C的方程；

（II）若圓C與直線/：%—y+機(jī)=。交于A,B兩點(diǎn)，,求加的值.從下列兩個(gè)條件中任

選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答：條件①：ZACB=120°；條件②：|A4=2豆.注：如果選擇多個(gè)條件

分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】（I）（x—2y+（y—葉=4；（II）答案見解析.

【解析】

【分析】（I）設(shè)圓心。（。力），易知。=2匕，由圓C與＞軸相切于點(diǎn)（0,1）,可求。力以及廠，寫出圓C

的方程即可.

（H）所給的兩個(gè)條件，均可得。到直線/的距離2=1,結(jié)合點(diǎn)線距離公式即可求加的值.

【詳解】（I）設(shè)圓心坐標(biāo)為。（。3），半徑為廠.

由圓C的圓心在直線九一2y=0上，知：a—2Z?.

又???圓c與y軸相切于點(diǎn)(0,1),

.?.5=1,。=2,則廠=|a—0]=2.

.?.圓C的圓心坐標(biāo)為（2,1）,則圓。的方程為（X—2）2+（y—1）2=4.

(II)如果選擇條件①：ZACB=120°,而|C4|=|CB|=2,

|2-l+m|

圓心C到直線/的距離d=l,則1=解得或一也_1，

71+1

如果選擇條件②：|/叫=2百，而|C4|=|CB|=2,

|2-l+m|

...圓心C到直線/的距離d=l,則1==1,解得加=④―1或—亞-1.

A/1+T

20.在正四棱柱ABC。—AB1GR中，AA=2A5=2,E為。，的中點(diǎn)，尸為上靠近2的三等分

（1）求異面直線CP與GE所成角的余弦值；

（2）求直線CF與平面ACE所成角的正弦值.

【答案】（1）叵

6

⑵B

9

【解析】

【分析】（1）根據(jù)空間向量的數(shù)量積計(jì)算求解；

（2）根據(jù)線面角的正弦等于線法角余弦的絕對(duì)值求解.

【小問1詳解】

解：以。為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)橛饄*軸，建立如下所示的空間坐標(biāo)系,

則由題意可知：。(。,。,0),C(O,1,O),E(O,O,1),4(1,0,2),C/0,1,2),3(1,1,0),。(0,0,2),

/.*=(1,1,-2),GE=(°，T，T)，

設(shè)F(x,y,z),

則￡>1齊=(陽力2-2),

V尸為5。上靠近B的三等分點(diǎn),

D[F=三帥,

2224

(%,y*—?=§a，i，-2)=(]§—])，

222

??x=一,y=—,z=一,

333

:.ClECF=-^,

設(shè)異面直線CF與QE所成角為a且ce(0,1],

C]ECF172

則cosa=

MM3x^x16?

【小問2詳解】

212

解：由(1)可求得:碼=(1,0,1),EQ=(0,1,1),CF=

設(shè)〃=(1,yz)為平面EAC1的法向量,

n-EA-0

則《1

nEC1=0

x+z=0

即《

y+z=0'

解得：x=l,y=l,z=-lf

n=(1,1,—1)f

2121

/.n-CF=-----------

3333

設(shè)直線CP與平面AGE所成角為夕，

.z?I/CF\|〃CF16

則milsmp=\cos(n,CF)\=7-r-.——?=----尸—=—.

I\/此m3x73x19

21.如圖所示正四棱錐S-ABCD,SA=SB=SC=SD=2,AB=①，P為側(cè)棱上的點(diǎn)，且SP=3PD?

S

（1）求證：AC1SD；

（2）求直線SC與平面ACP所成角的正弦值；

（3）側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E使得6E//平面P4G若存在，求——的值；若不存在，試說明理由.

【答案】（1）證明見解析

⑵-

4

（3）2

【解析】

【分析】（1）利用正四棱錐的定義可得SO,面A3CD,即SOLAC,從而利用線面垂直的判定定理可得

AC，面S3。，由此得ACLSD；

（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，利用題設(shè)中的條件與平面幾何的知識(shí)求得各線段的長度，從

而得到各點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出SC與平面ACP的一個(gè)法向量為〃，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求得直線SC與

平面ACP所成角的正弦值；

（3）假設(shè)存在，且EC=2SC，由此求得3E=（—U—尢、須），再由3E//平面B4C得3E/=0,從

而求得X,由此可得——的值.

EC

【小問1詳解】

連結(jié)BDcAC=O,連結(jié)SO,如圖，

因?yàn)樗睦忮FS-ABCD是正四棱錐，所以SO,面A3CD,

又ACu面A3CD,所以SOLAC,

正方形A3CD中，BD±AC,

又SOcBD=O,SO、Mu面煙＞所以AC,面SB。,

因?yàn)镾￡)u面&2，所以ACLSD.

【小問2詳解】

由⑴知3D,AC,SO兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)5,OC,OS為蒼％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則由平面幾何知識(shí)易知，OA=OB=OC=OD=-BD=-^AB2+BC2=1,

22

SO=yJSB2-OB2=73,

所以S(0,0,6)5(1,0,0),C(0,1,0),A(0,-l,0),0(—1,0,0),則AC=(0,2,0),SC=(0,1,一⑹,

因?yàn)镾P=3PD，所以陽=；SD=:(—1,0,—6)=—；，0，一當(dāng)，

故尸0=陽+℃=]—1，0,—g]+(l,1,0)=]1』,—g,

I44jL344J

2y=0

設(shè)平面ACP的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),貝葉，即<，+y—3z=0'

-PCn=0

令x=l,則y=0,z=>/5,故〃=(1,0,6,

設(shè)直線SC與平面ACP所成角為夕，則sin6=kos(SC,=SCn|0+0-3|_3

HHA/T+3XVT+3-4

3

所以直線SC與平面ACP所成角的正弦值為一.

4

【小問3詳解】

假設(shè)SC上存在點(diǎn)E滿足題意，不妨設(shè)EC=2SC，

則5￡=50_石0=50_250=(_1,1,0)_/1(0,1,—百)=(_1,1_4后),

因?yàn)锽E7/平面B4C,所以3E.〃=0，即一1+0+32=