江蘇省海門中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期6月檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知平面向量a=(3,-2),Z?=(1,2+1),若a_L6，貝()

D.二

A.1B.--C.

2332

2.若復(fù)數(shù)z滿足(l+2i)z=5i,則口=()

「V5

A.5B.加D.1

5

3.若一組數(shù)據(jù)為,馬，…,x”的平均值元=5,方差S?=32,若刪去一個(gè)數(shù)之后，平均值沒有改

變，方差變?yōu)?0,則這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)鼠=()

A.5B.6C.7D.8

4.如圖，下列正方體中，M,N,P,。分別為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線

MN和尸。為異面直線的是()

5.已知點(diǎn)4-1，-1),8(2,_2)9(0,1),則向量45在向量4(7方向上的投影的坐標(biāo)為()

D.(1,2)

6.某校從2名女生和4名男生中選出3人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽，則選出的3人中至少有1

名女生的概率為（)

1345

A.-B.-C.D.-

5576

71cosf—+6/>1=-￡2)=走.則&-〃的值為（

7.已知0<a<一,—,cos]

2(4)3、42；3

71713兀713.3兀

A.-B.-C.D.一或一

42T44

8.在VABC中，分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，已知acosC+/asinC-6-c=0.設(shè)。為

邊BC上一點(diǎn),若AD=幣，且竺=與，則VASC面積的最小值為（）

CDb

A.26B.3^/3C.46D.673

二、多選題

9.已知Z，Z2都是復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）

A.若Zi+Zz^R,則Z]=NB.若z；+z；=O,則團(tuán)=閭

C.若Z2=7，則z/Z2=lD.若則z/Z2=1，

10.已知等邊三角形ABC的邊長為2,BD=ABC，CE=2CA（0<2<1）,AD交BE于點(diǎn)、M,

則下列說法正確的是（）

1I2

A.若4二一，貝！JAD=—AC+—A3

333

B.若M4+M5+MC=0，貝（）2=心

27

c.若則=—§

2

D.若2=則M■為AD的中點(diǎn)

11.在底面是菱形的四棱錐尸—ABCD中，ZABC=60,PA=AC=a,PB=PDfa，

點(diǎn)E在尸。上，且PE:￡D=2:1,點(diǎn)尸是棱PC的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

試卷第2頁，共4頁

p

A.AFLBD

B.三棱錐尸-AEC的體積為走〃

36

C.當(dāng)尸是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF/mAEC

D.直線所與平面PAC所成的角的正切值最大為"

三、填空題

12.已知向量A3=（l,2）,BC=（3,m）,AD=（—1,2相），若A,C,。三點(diǎn)共線，貝打力=.

13.己知甲、乙各有6張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6.現(xiàn)甲、乙各隨機(jī)出示一

張卡片，則甲與乙出示的卡片上數(shù)字之差的絕對(duì)值為3的概率為.

14.已知銳角三角形中，內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為。，b,c,若si/B+sin2c=4sii?A,

feinA=sinB+sinC,則實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

四、解答題

15.已知向量。=（一3,1）,Z?=（1,-2）,m=a+kb,其中kER.

⑴求〃?。及向量a，力夾角的余弦值；

⑵若向量。=（1,-1）,且向量機(jī)與向量姑+e平行，求實(shí)數(shù)%的值.

16.在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別是〃，b,c,若b=3,c=4,C=2民且a手b.

⑴求cosB；

⑵求。的值；

⑶求sin[2B-?]的值.

17.某研究機(jī)構(gòu)為了了解各年齡層對(duì)高考改革方案的關(guān)注程度，隨機(jī)選取了200名年齡在

[20,45]內(nèi)的市民進(jìn)行了調(diào)查，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（分第一?五組

區(qū)間分別為[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[40,45]).

(1)求選取的市民年齡在［40,45］內(nèi)的人數(shù)；

(2)利用頻率分布直方圖，估計(jì)200名市民的年齡的平均數(shù)和第80百分位數(shù)；

(3)若從第3,4組用分層抽樣的方法選取5名市民進(jìn)行座談，再從中選取2人在座談會(huì)中作

重點(diǎn)發(fā)言，求作重點(diǎn)發(fā)言的市民中至少有一人的年齡在［35,40)內(nèi)的概率.

18.如圖，三棱錐A-BCD中，△ABD是邊長為2的等邊三角形，CD=243,平面ABD,

平面BCD,AD±CD,P,M分別為AD,CD的中點(diǎn).

⑴證明：平面AC。；

⑵求MP與平面BPC所成角的余弦值；

(3)求二面角P-。的正弦值.

19.定義函數(shù)/(%)=儂也*+力85彳的“源向量，為0"=(根,”),非零向量=的"伴

隨函數(shù)“為/(x)=msinx+〃cosx,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴若向量=的“伴隨函數(shù)”為“X),且求了,-5的值；

(2)在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,6,c,若函數(shù)人(力的“源向量”為OM=(0,l),

且已知a=6,力(4)=；，求A3+AC—AaAC的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

《江蘇省海門中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期6月檢測(cè)數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案ABADCCAABCAB

題號(hào)11

答案ACD

1.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，列式求出九

【詳解】向量a=(3,-2),。=(1,2+1),由a'b，得°/=3-2(4+1)=0,

所以/=

故選：A

2.B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得z=2+i,得到1=2-i，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可

求解.

/、5i5i(l-2i)

【詳解】由(l+21)z=5i,可得z=-]]+2：川二)=2+】，

所以』=2-i，所以同=6+(一1)2=卮

故選：B.

3.A

【分析】由題意得到刪除的數(shù)為5,再利用方差公式求解.

【詳解】由題意得到刪去一個(gè)數(shù)之后，平均值沒有改變，所以刪除的數(shù)為5,

由題意/=!￡(尤,-5)2=32,得￡&-5)2=32〃,

〃Z=11=1

刪除一個(gè)數(shù)后的方差為：￡(^,.-5)2-(5-5)2=40,

得到=40,即“=5.

n-1

故選：A.

4.D

【分析】由已知，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征及平行公理推、情感教練的判定定理逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于A,如圖，PQIICDIIABIIMN,M,N,P,Q四點(diǎn)共面，A不是；

答案第1頁，共14頁

對(duì)于B,如圖，MP//GH//EF//NQ,MN,P,0四點(diǎn)共面，B不是;

對(duì)于C,如圖，MP//KL//NQ,四點(diǎn)共面，C不是;

對(duì)于D,如圖，尸Qe平面色尸。，N任平面反尸。，A/e平面MPQ,Mg直線尸2,

則MN與尸。是異面直線，D是.

M

N

故選：D

5.C

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求得AB,AC,利用投影向量的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)锳(T-l),B(2,-2),C(0,l),可得AB=(3,—1),AC=(1,2),

AC3xl-lx2Io/[2]

則向量"在向量AC方向上的投影為國二南于『

答案第2頁，共14頁

故選：c.

6.C

【分析】根據(jù)古典概型利用組合進(jìn)行求解公式.

C314

【詳解】^=1-^=1--=-.

故選：C.

7.A

【分析】由同角的三角函數(shù)的關(guān)系及兩角差的正弦、余弦公式、二倍角公式計(jì)算求解即可.

.、在c兀rr,l兀兀3兀（71\1

【詳解】0<a<~,則一<。+7cos-+a=-,

.(71171(71A.71

則sina—sin=sin—+crcos—cos—+asin—

U)4U)4

20y/21VI4-0

----------X----------------X--------=----------------

32326

71「兀、兀.「兀、.兀

C3COS互+C—=cos—+acos—+sin—+asin—

U4j(4^4UJ4

1V22yf2垃4+72

——x---1----x--------,

32326

又q＜夕＜o(jì),c°sg一￡|=g,

sin/?=cosj^-|-^=2cos2^-^-l=-1,

貝Ucos尸=Jl-sin2==2f,

4+V22V24-V2

/.cos(a一切=cosacosjS+sinasin/=------1

6---3---------6

7TjrTT

又0<a<］且一5</<0,則Ova—/<兀，:.a-f3=^.

故選：A.

8.A

【分析】根據(jù)已知條件恒等式，求得A=1,然后設(shè)ABAD=6（0<6<弓），則ACAD=：-。,

答案第3頁，共14頁

SBD2cl

利用面積關(guān)系1mARn=7范可以得到2sinO=V§cos。，從而求得tan。；再利用面積關(guān)系

SABC=SAM+SACD可以得到歷=2c+b,再利用基本不等式求出be的取值范圍，再根據(jù)面

積公式計(jì)算可得.

【詳解】由正弦定理可得sinAcosC+百sinAsinC-sin5-sinC=0,

又sin5=sin(兀一A—C)=sin(A+C)

由兩角和正弦公式可得，A/3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0,

又C￡(0,兀)，所以sinC>0,所以百sinA-cosA-1=0,

即sin.3=；,

又Ae(O,7i),所以所以人一^二?即A=g

6166J663

設(shè)n3Ao=e(o<e<》則NCAO.—e,

*.*AD=V7,BD:DC=2c:b,

-ADBDsinZADB

°ABD2________________BD2c

q=~CD~~b

°ACD-ADCDsinZADC

2

一xJ7csin。

2c

即L2-------彳一：

~b化簡得2sin6=A/§COS。，即tan。=，

-xV7-Z7?sinIj-2

又,面1"cos。2,解得sin6=立^或sin6=-g^(舍去),

sin2^+cos2^=l

所以5111怎一。="叵,

214

又SABC=SABD+SACD，

LL,.1J.7114c.八l/CT?，兀z-1|

所以一Asm—=—A￡)?csm8+—A。?加in——0,

2322\,3)

gp^-bc=A/7xc+y/lx^^-b9be=2c+b>2s]2cb?

2714

答案第4頁，共14頁

所以6c28,當(dāng)且僅當(dāng)2c=6=4時(shí)取等號(hào),

所以SMe=；bcsin]=22石，即ABC面積的最小值為2g.

故選：A

9.BC

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,舉反例即可求得結(jié)果；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)出復(fù)數(shù)4=，+歷，z2=c+di,

根據(jù)z；+z；=O,列出等式即可求得結(jié)果；對(duì)于選項(xiàng)C：根據(jù)題干列出等式再計(jì)算即可判斷;

對(duì)于選項(xiàng)D：舉反例即可；

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)4=l+i,z2=2-i,顯然滿足4+Z2￡R，但馬Hz2,A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)+厲，z2=c+ch(a,b,c,deR),由z；+z；=O,

得(Q+Z?i)2+(c+di)?=09所以/—d?+2(tz/?+cd)i=0,

a2+c2-b2-d2=0,

當(dāng)bwO,dwO時(shí)，設(shè)q=-'=%,

ab+cd=0.db

則左2/12=o,所以依2Td+/)=o,解得左=±1，

22

所以㈤=，？+o2,\z2\=yjc+d,則卜卜㈤；當(dāng)4=0時(shí)，貝!j〃=0或6=0,

若a=0,則卜|二網(wǎng)，則㈤=閡,若b=0,則々=。=0,則㈤=區(qū)|,因此㈤二㈤,B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)4=。+歷，z2=c+ch(a,b,c,deR),

—1

由z?-—得(a+0i)(c-di)=ac+Z?d+(Z?c-ad)i=1,^ac+bd=l,bc-ad=0,

Z]

而馬烏=(a-帥(c+di)=ac+bd-(be-ad)i=1,故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D:取4=i,z2=z2=1,滿足團(tuán)=同，所以z/Z2=-i/=-i,=1,則％.z2Tzj,

D錯(cuò)誤.

故選：BC

10.AB

【分析】結(jié)合圖形，由向量的加法法則可得A正確；由三角形重心的向量表示可得B正確；

結(jié)合圖形，由向量的加法法則和數(shù)量積的運(yùn)算律以及數(shù)量積的定義可得C錯(cuò)誤；由向量的

加法法則結(jié)合三點(diǎn)共線的性質(zhì)可得D錯(cuò)誤.

答案第5頁，共14頁

1112

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)2=1時(shí)，AD=AB+BD=AB+-(AC-AB)^-AC+-AB,故A項(xiàng)正

確；

對(duì)于B,由++=知此時(shí)Af為VABC的重心，所以。，E分別是BC和AC的

中點(diǎn),

所以％=g，故B項(xiàng)正確；

2211

對(duì)于C,當(dāng)2=§時(shí)，AD=AB+BD=-AC+-AB,BE=AE-AB=-AC-AB

7-251-214

則=--ABAC--AB故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)=g時(shí)，^AM=kAD=k^AC+^AB^=k^2AE+^AB^=2kAE+^AB,

k31

由8,M,E三點(diǎn)共線，得2%+：=l,解得左故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AB.

11.ACD

【分析】證明出2平面PAC,利用線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用錐體的體積可

判斷B選項(xiàng)；證明出平面3R0〃平面ACE,結(jié)合面面平行的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用線面

角的定義可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，則3OLAC,

因?yàn)镽4=AC=a,PB=PD=42a>ZABC=60,故VABC為等邊三角形，

所以，AB=AD=a,貝!J+74g2=依2,故同理可得R4J_AD,

因?yàn)锳BcA￡)=A,AB,ADu平面ABC。，所以PA_L平面ABCD,

因?yàn)榘?gt;u平面ABC。，所以

因?yàn)镻AAC=A,PA,ACu平面PAC,所以BD2平面PAC,

因?yàn)锳Fu平面尸AC,故SC,A對(duì)；

2

對(duì)于B選項(xiàng)，易知ACD為等邊三角形，S^ACD=^-a,

答案第6頁，共14頁

因?yàn)辄c(diǎn)E在上，且尸石:血=2:1,則

x

故/r—/A±FClC^=—3%r—A4lc^Lo)=—3X—3&ZMAAACZDy'PA=—9~4~Xd=—]8—，B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，連接8。交AC于點(diǎn)0,連接OE,取線段PE的中點(diǎn)M,連接9、BM,

因?yàn)樗倪呅蜛BC。為菱形，ACBD=O,則。為BO的中點(diǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)E在尸。上，且尸E:￡D=2:1,M為PE的中點(diǎn)，貝!|尸加=皿￡=￡0,

所以E為DM的中點(diǎn)，所以O(shè)E//BM,

因?yàn)?/0平面ACE,OEu平面ACE,所以〃平面ACE,

因?yàn)榇鯙槭珻的中點(diǎn)，M為尸E的中點(diǎn)，所以MF//CE,

因?yàn)閃平面ACE,CEu平面ACE,所以小小〃平面ACE,

因?yàn)锽MMF=M,BM、平面BFW,所以平面3EM7/平面ACE,

因?yàn)樽鍀平面班加，故3尸〃平面ACE,C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示：

由A選項(xiàng)可知，301平面尸4S,所以直線8尸與平面PAC所成角為ZBFO,

因?yàn)镺Fu平面尸AC,所以BOJ_O尸，則tan/BR9=空，

OF

因?yàn)閂A3C是邊長為a的等邊三角形，故OB=A2sin60=^-a,

2

因?yàn)樯?_L平面ABCD,ACu平面ABCD,所以上4_LAC,

又因?yàn)镽4=AC=a,故R4c為等腰直角三角形，則ZACP=45,

當(dāng)MLPC時(shí)，0/取最小值，且最小值為OCsin45=-x—=^a,

224

此時(shí)，tan/B/。取最大值，且最大值為（tan/MO）,=—x-^=V6,D對(duì).

212a

故選：ACD.

2

12.-

【分析】首先表示出AC，依題意AD//AC，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.

答案第7頁，共14頁

【詳解】因?yàn)锳B=(1,2),BC=(3,m),AD(-1,2m),

所以AC=AB+=（1,2）+（3,〃z）=（4,2+m）,

又A,C,。三點(diǎn)共線，BPADIIAC，

2

所以4x2帆=-lx（2+m）,解得加=—§.

2

故答案為：

13.-

6

【分析】利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再由古典概型的概率公式計(jì)算可得.

【詳解】甲、乙各隨機(jī)出示一張卡片有（U）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,

（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,

（3,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,

（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）,共6x6=36個(gè)基本事

件，

甲與乙出示的卡片上數(shù)字之差的絕對(duì)值為3的有。,4）,（2,5）,（3,6）,（4,1）,（5,2）,（6,3）

共6個(gè)基本事件，

故甲與乙出示的卡片上數(shù)字之差的絕對(duì)值為3的概率尸=三=！.

故答案為：—.

0

14_

I2」

【分析】利用正弦定理得廿+C?=4",即A不是最大角，不妨設(shè)62c,得〃</+,6<a+c,

設(shè)0=2cos。，￡=2sin。，解得sin。的范圍，又％=2（sin6+cos。），利用三角函數(shù)即可求解.

aa

【詳解】因?yàn)閟ir?B+sin2c=4sin2A,由正弦定理得加十廿=而2,

所以A不是最大角，不妨設(shè)Z?之c,則。2<〃2+C2,b<a+c,

答案第8頁，共14頁

b〉c

aa

hc

所以設(shè)—=2cos。,—=2sin6,

cos^>sin^>0

2cos8>1,解得中〈sin”,,

所以

2cos6<l+2sin6

4cos2。<l+4sin2^

假設(shè)sin%=手，所以,

7sinBsinCbc_.?八、、大.（八兀、

-又因k=-------1-------=—I—=2（zsin。+cos。）=25/2sin|0H—,

sinAsinAaaI4J

又因?yàn)镺e，弓，所以"+：￡,。+：仁，

所以左=20sin[e+：]在上單調(diào)遞增，所以"峽20

故答案為:息巫,2亞

15.⑴分6=-5，cos(^a,b^=~~~

【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式及夾角公式可求答案；

（2）利用向量平行的坐標(biāo)表示可求答案.

【詳解】（1）由已知，得〃2=_3_2=_5,|H=Ji^，W=J^.

所以向量“，。夾角的余弦值為cos?⑷=麗=比不二后=一飛

（2）由已知，得防+△=左（1,—2）+（1,—1）=（左+1,—2左一1）,

又向量機(jī)與向量的+。平行，機(jī)=（4-3,-2左+1）,

所以（女—3）（—2女—1）—（—2k+1）（左+1）=0,

答案第9頁，共14頁

整理可得弘+1=0,解得％=-；.

16.(l)cosB=j

7

(2)a=-

4A/10+V2

3J

18

【分析】(1)由題意可得出sinC=sin2B,再由正弦定理和二倍角的正弦公式求解即可;

(2)由余弦定理可得3a2_16〃+21=0,解方程即可得出答案;

(3)利用同角的正余弦公式可求得sinB,再求得sin25,cos25,進(jìn)而利用兩角差的正弦公

式可求得sin(25

【詳解】(1)因?yàn)镃=25,所以sinC=sin2B=2sin3cos民

c42

由正弦定理可得：c=2bcosB所以COS3=9=——=-.

2b2x33

a2+c2-b2+16-9〃？+7

(2)由余弦定理可得:cosB=—=

3lac2a,48a

7

所以3片-16Q+21=0,解得：〃或i=3,

7

因?yàn)椤╳4所以〃=§.

(3)因?yàn)閏os2==,所以所以sin8=Jl-cos?8=好,

3<2；3

,ORo-pR。非24A/5

sin2B=2sinBcosB=2x——x—=-----，

339

cos2B=2cos?i5=2x|—j-1=—，

⑺9

所以sin(2B_3=sin23cos三一==

(4)4492(9)218

17.(1)20

⑵平均數(shù)32.25;第80百分位數(shù)37.5

⑶工

10

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖，先求出年齡在［40,45］內(nèi)的頻率，再求出頻數(shù)；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，求出組中值，利用組中值求平均數(shù)即可，第80百分位數(shù)即為左

側(cè)面積為0.8的線所對(duì)應(yīng)的值；

答案第10頁，共14頁

（3）先確定從第3,4組中分別抽取3人，2人.再根據(jù)古典概型公式求解概率即可.

【詳解】（1）（1）由題意可知，年齡在［40,45］內(nèi)的頻率為尸=0.02x5=0.1,

故年齡在［40,45］內(nèi)的市民人數(shù)為200x0.1=20.

（2）（2）平均數(shù)為

22.5x0.01x5+27.5x0.07x5+32.5x0.06x5+37.5x0.04x5+42.5x0.02x5=32.25

32.25;

前三組的頻率和為0.01x5+0.07x5+0.06x5=0.7,

第四組的頻率為0.04x5=0.2,所以第80百分位數(shù)在第四組，

第80百分位數(shù)為35+耳*5=37.5.

0.2

（3）（3）易知，第3組的人數(shù)，第4組人數(shù)都多于20,且頻率之比為3:2,

所以用分層抽樣的方法在第3、4兩組市民抽取5名參加座談，

所以應(yīng)從第3,4組中分別抽取3人，2人.

記第3組的3名分別為A，4,4,第4組的2名分別為瓦，B2,則從5名中選取2名作

重點(diǎn)發(fā)言的所有情況為（4,4），（4,A），（A，耳），（4心），（4,4）,（4,4）,（4也），

（4,4）,（45），（4，月），共有1。種.

其中第4組的2名九當(dāng)至少有一名被選中的有：（A，耳），（4也），（4,耳），（4,不），

（4，4）,（4也），（4也），共有7種，

所以至少有一人的年齡在［35,40）內(nèi)的概率為由.

【點(diǎn)睛】（1）古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性，一定要注意在計(jì)算基本事件總數(shù)

和事件包括的基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，他們是否是等可能的.（2）用列舉法求古典概型，是一個(gè)形

象、直觀的好方法，但列舉時(shí)必須按照某一順序做到不重復(fù)、不遺漏.（3）注意一次性抽取

與逐次抽取的區(qū)別：一次性抽取是無順序的問題，逐次抽取是有順序的問題.

18.（1）證明見解析

⑵也

26

⑶手

4

【分析】（1）如圖，易知AELBD,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)可得AE_LCD,

答案第11頁，共14頁

利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得結(jié)合CD,3尸和線面垂直的判定定理即可

證明；

(2)如圖，確定/MPC為與平面BPC所成的角.在△CPM中，利用勾股定理和余弦定

理計(jì)算即可求解；

(3)由(1),根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定定理確定/PGO為二面角的平面角，

利用等面積法和正弦定理計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)取8。中點(diǎn)E,連接AE.

因?yàn)椤靼?是等邊三角形，所以

因?yàn)槠矫鍭B￡>_L平面38,平面ABDc平面3CD=3D,AEu平面ASD,

所以AEJL平面BCD,又CDu平面BCD,所以AE_LCD.

又因?yàn)镃Z)_LAr),ADr>AE=A,AD,AEu平面ABD,

所以CD_L平面AB。，而3Pu平面ABD,所以CD_L8P.

因?yàn)槭瑸锳￡>的中點(diǎn)，所以3P_LAD,

又CDAD=D,CD,ADu平面AC。，

所以3P_L平面ACZX

(2)過點(diǎn)Af作Aff/LPC,垂足為H.

因?yàn)?P_L平面ACD,Afffu平面ACD,所以BP上MH,

又BPPC=P,BP,PCu平面3PC,所以Aff/L平面3PC,

所以/MFC為MP與平面BPC所成的角.

因?yàn)锳D_LC￡>,MD=CM=-CD=43,PD=-AD=\,

22

所以PM=JftD?+MD?=JT+=2,PC=SJPD。+CD。=「+僅@2=713,

在ACPM中，由余弦定理得cos/MPC=PC?+PM?-CM?=(呵+2?(@=7^3,

2PCPM2xV13x226

所以MP與平面BPC所成角的余弦值為迤.

26

(3)取￡?的中點(diǎn)0,連接尸O,易知尸O〃AE,PO=-AE=—,

22

過點(diǎn)尸作PG_L3M,垂足為G,連接OG.

由(1)知，AE_L平面88,所以尸O_L平面BCD

又OG,BMu平面BCD,所以尸O_L3M,POLOG.