湖北省荊州市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=（l+i>i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知向量互=（2,2）,5=（1,0）,則向量0在B方向上的投影向量為（）

A.(0,2)B.(1,0)C.(2,0)D.(0,1)

己知非零向量5,B滿足（2"可，五，且卜-2可，1,則i與B的夾角大小為（

4.設(shè)4,z?為復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位，下列命題中正確的是（

B.若上|=區(qū)|,則z：=z；

C.若4滿足㈤=1,則回―l|e[0,2]D.z「石=z；

5.已知/,力，是互不重合的三條直線，，夕，7是互不重合的三個(gè)平面，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若/〃加，"，u。，貝心〃口

B.若/_Lrn,IIn,mua，"UCC,貝!]/_]_1

C.若/與加是異面直線，/ua,則a〃力

D.若G□￡=/，^ri/=m,aC\Y=n,Illy,則加〃九

6.已知tana=2,貝ljtan[a+T+sin2e=（）

11111717

A.——B.—C.——D.—

551515

7.設(shè)VABC的內(nèi)角AB,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為，b,,其面積S=：sinAsin&inC,若VABC的周長(zhǎng)為1,貝U

8

sinA+sinB+sinC=（）

i3

A.1B.-C.2D.-

24

8.已知0,,三點(diǎn)不共線，9=4云+%筑，其中4,當(dāng)為實(shí)數(shù)且不同時(shí)為0,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.若4+4=1,貝IJ,,三點(diǎn)共線

B.若4=4=；,則點(diǎn)為VAOB的重心

C.若4研=4畫，則0P平分

D.若4不西-，則而_L通

二、多選題

9.下列命題正確的是（）

A.數(shù)據(jù)0,1,1,2,2,2,3,4的極差與眾數(shù)之和為6

B.數(shù)據(jù)11,13,5,6,8,1,3,9的下四分位數(shù)是3

C.若數(shù)據(jù)4灰,…，不。的標(biāo)準(zhǔn)差為1,則數(shù)據(jù)2占+1,2%+1,……，2再。+1的標(biāo)準(zhǔn)差為2

D.若樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖的形狀為單峰不對(duì)稱，且在右邊“拖尾”（如圖所示），則樣本數(shù)據(jù)的平

均數(shù)大于中位數(shù)

10.若函數(shù)〃x）=tan［ox-加。＞0）的圖象與直線）=加的相鄰交點(diǎn)的距離為:，則以下說(shuō)法正確的是（

)

A.函數(shù)y=/（x）的最小正周期為:

B.點(diǎn)g,。］是函數(shù)/（X）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

C川一目＞/（第

D.的解集為］＜年+1,上

11.已知正方體ABCD-A4GR的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為棱AB，BC,GR的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正

確的是（）

A.過點(diǎn)E，F(xiàn),R的平面截正方體A38-44GA所得截面多邊形為正五邊形

9兀

B.若三棱錐2-GCE的頂點(diǎn)都在球0的表面上，則球。的表面積為?

C.從頂點(diǎn)出發(fā)沿正方體AB8-A4GD的表面運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G的最短路線長(zhǎng)為巫

2

D.若用一張正方形的紙把正方體438-4542完全包住，不考慮紙的厚度，不將紙撕開，則所需

正方形紙的面積的最小值為8

三、填空題

12.已知圓錐的母線長(zhǎng)為拉，若軸截面為等腰直角三角形，則圓錐的表面積為.

13.為了解某高中學(xué)校學(xué)生每周閱讀課外書籍的數(shù)量，按年級(jí)分層，采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法

抽取學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì).現(xiàn)抽取高一學(xué)生25人，其每周閱讀課外書籍?dāng)?shù)量的均值為3本，方差為3.2；抽取高二

學(xué)生25人，其每周閱讀課外書籍?dāng)?shù)量的均值為2本，方差為2.3.則該校高一、高二學(xué)生每周閱讀課外書籍

數(shù)量的總樣本的方差是.

TT

14'如圖‘正方形.。的邊長(zhǎng)為1，，。分別為邊加，CD上的點(diǎn)，且加。二，則正點(diǎn)的取值范圍

四、解答題

15.某中學(xué)舉辦學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)知識(shí)競(jìng)賽.現(xiàn)從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)(滿分100

分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40,50),[50,60),L,[90,100],得到如圖所示的頻率分

布直方圖.

頻率

(1)求頻率分布直方圖中的值；

(2)試估計(jì)全校答卷成績(jī)的第40百分位數(shù)(保留小數(shù)點(diǎn)后一位)和平均數(shù)(單位：分，同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).

16.己知a,b,c分別為VABC三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，

⑴求；

(2)在VABC中，若BC邊的中線4)=1，求VABC面積的最大值.

17.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，已知AC=0,PA=BC=2,Q41底面ABCD,平面PAC,平

面PCD.

p

⑴求點(diǎn)到平面PCD的距離；

(2)證明：CO_L平面PAC；

(3)若AB=AC,求二面角P-6C-A的余弦值.

18.已知函數(shù)/(x)=sin20x-2&os20x+后(其中0＜。＜3),將的圖象向右平移算個(gè)單位長(zhǎng)度后

得到的函數(shù)為偶函數(shù).

⑴求〃X)的解析式；

IT7T

(2)當(dāng)xe時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

,JI47r

⑶記方程/＞(*)=皿〃zeR)在xe上有五個(gè)實(shí)根人，心,三，x4,x5,其中占＜2＜%＜4＜三，

求m的取值范圍及%+2巧+2%+2%+%的值.

19.已知函數(shù)/3=八畝(④+村(。＞0,0＜夕＜兀)的部分圖象如圖1所示，A,3分別為圖象的最高點(diǎn)和

最低點(diǎn)，過作軸的垂線，交軸于點(diǎn)4,點(diǎn)c[,o]為該部分圖象與軸的交點(diǎn).

rj=0006?/=0OO/YJ=0006

⑴求/(“)的解析式；

⑵將繪有函數(shù)，(x)部分圖象的紙片沿軸折成g的二面角，如圖2所示.

(i)求直線A8與平面OBC所成的角的正弦值；

(ii)求以線段AB的中點(diǎn)為球心，半徑為由的球與二面角所圍成的幾何體的體積.

2

注：球缺的定義：如圖3,一個(gè)球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫球缺的底面，垂直于底面的直徑被

截下的線段長(zhǎng)叫球缺的高.設(shè)球的半徑為，球缺的高為九則球缺的體積公式為/缺=3%后(3氏一切.

圖1圖2圖3

題號(hào)12345678910

答案BCBCDACDACDABC

題號(hào)11

答案BCD

1.B

先計(jì)算復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】由Z=（l+i）.i=i+i2=-l+i,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第二象限,

故選：B.

2.C

向量「在B方向上的投影向量為同。。雙？g卡?瓦

石萬(wàn)2

【詳解】向量「在B方向上的投影向量為同c。4？w修?B?。?,0）=（2,0）.

故選：c

3.B

本題可根據(jù)向量垂直的性質(zhì)得到向量入5的數(shù)量積以及模長(zhǎng)的關(guān)系，再利用向量夾角公式求解夾角.

【詳解】因?yàn)椋?益一方），5,所以（2。-孫5=0=2①5=|5|2①，

因?yàn)椋阂?5）_1_2，所以（々-25）々=0=>|汗F=2萬(wàn).5②，

聯(lián)立①②可得［苕|2=|5|2,又向量心B為非零向量，所以|引=|5|,

設(shè)向量2,E的夾角為仇0<0<71,

=^=i=l,所以〃=[.

則co即

同科同223

故選：B

4.C

選項(xiàng)A,利用虛數(shù)單位i的周期性基運(yùn)算判斷；

選項(xiàng)B,通過反例說(shuō)明模長(zhǎng)相等的復(fù)數(shù)平方不一定相等；

選項(xiàng)C,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，分析單位圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離范圍;

選項(xiàng)D,利用復(fù)數(shù)與共軌復(fù)數(shù)的乘積公式與平方的關(guān)系對(duì)比.

【詳解】對(duì)于A,結(jié)合虛數(shù)單位i的幕運(yùn)算，「=（-）=-ir-1,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,令4=1,z2=i,則㈤=R，但z；=l,zf=-1,則故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,因?yàn)?滿足體|=1,所以q表示復(fù)平面上對(duì)應(yīng)單位圓上的點(diǎn)，則表示在復(fù)平面內(nèi)，4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

到點(diǎn)。，0）的距離，又點(diǎn)（L0）在單位圓上，所以|4-[引0,2],故C正確；

對(duì)于D,令4=。+歷,貝!|有=。一友,所以4.%=（&+歷）（。一歷）=/一（歷,

z：=（。+所）-=/+2而i+（歷）一=/-廿+2”歷，所以4?可wz；,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

5.D

根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系即可判斷ABC,利用線面平行的性質(zhì)定理即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A：若I"m,，nua,貝心〃&或/utz,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B:若Uni,/I",mua,“ua,貝l]/J_1或/與相交，或/U（Z,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若/與〃，是異面直線，/ua,mu￡,則e〃￡或與我相交，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：若（/（"!￡=/,/3[}y=m,ar\y=n,Illy,所以///〃，IUm,所以m〃"，故D正確.

故選：D.

6.A

根據(jù)兩角和的正切公式計(jì)算ta?a+B，利用二倍角的正弦公式和同角三角函數(shù)商的關(guān)系計(jì)算Sin2a,進(jìn)而求

解.

zxtana+tan—

【詳解】因?yàn)閠an|<z+?|=---------3tana+\2+1.

I4/71-------=---=一3，

v71—tanatan—1—tana1—2

4

.__.2sinacosa2tana2x24

sm2a=2smacosa-——---------=——-----=———二—

sin?+cosatan。+12+15

所以tan(o+：+sin2cr=-3+-=-—

55

故選：A.

7.C

利用正弦定理得"2HsinA,。=2RsinB,c=27?sinC,代入S=-sinAsinBsinC即可求得，再利用正弦定理

8

將邊轉(zhuǎn)化為角即可求解.

【詳解】由正弦定理有二=々；=三=2/?,為VABC的外接圓半徑，

sinAsmBsinC

所以a=2RsinA,b=2HsinB,c=2RsinC,

所以S=LabsinC='x2AsinAx2AsinBxsinC=2J?2sinAsinBsinC=—sinAsinBsinC,

228

所以2公=；即R又V43C的周長(zhǎng)為l,所以a+Hc=l,

84

所以a+6+c=2AsinA+2Rsin8+2RsinC=1nsinA+sin8+sinC==2,

2R

故選：C.

8.D

根據(jù)向量共線、三角形重心、角平分線以及向量垂直的相關(guān)性質(zhì)逐一分析選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：

因?yàn)?+4=1,所以4=1-4,

所以加=4次+4近=4萬(wàn)+(1-4)礪=礪+4麗.

所以歷一歷=麗=4麗.

所以點(diǎn)A3,P三點(diǎn)共線，所以A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：

—.1—.1―.

OP^-OA+-OB,設(shè)A8的中點(diǎn)M，

—.2___.

根據(jù)向量加法的平行四邊形法則得OA+OB=2OM,所以。尸=.

根據(jù)三角形重心的定義，三角形的重心是三條中線的交點(diǎn)，且重心分得所在線段長(zhǎng)度為2：1,

可知點(diǎn)為MOB的重心，B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：

設(shè)4網(wǎng)=同網(wǎng)=?0,則叫百麗+向麗，

OAOB

后罰分別是與由，西同向的單位向量，以這兩個(gè)單位向量為鄰邊的平行四邊形是菱形，

菱形的對(duì)角線平分內(nèi)角，所以0P平分ZA06,所以C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：

而.窈二(4方+丸2瓦乂礪一碗)=(4-4)雙礪一4|麗2+刈西［

因?yàn)?平|2=冬|西2,所以麗麗=仇-4)次礪，

因?yàn)?4-%)瓦?瓦不一定為o,所以而與而不一定垂直，所以D錯(cuò)誤.

故選：D.

9.ACD

對(duì)于A利用極差和眾數(shù)的定義即可判斷，對(duì)于B利用百分位數(shù)的定義即可判斷，對(duì)于C利用方差的性質(zhì)即

可判斷，對(duì)于D利用中位數(shù)和平均數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖形分析即可判斷.

【詳解】對(duì)于A：數(shù)據(jù)0,1,1,2,2,2,3,4的極差為：4-0=4,眾數(shù)為：2,所以極差與眾數(shù)之和為4+2=6,

故A正確；

對(duì)于B：由工x8=2,所以數(shù)據(jù)11,13,5,6,8,1,3,9按從小到大排列為1,3,5,6,8,9,11,13,

4

下四分位數(shù)是W=4,故B錯(cuò)誤；

2

對(duì)于C：若數(shù)據(jù)和程…,乙的標(biāo)準(zhǔn)差為1,則數(shù)據(jù)2%+1,2X2+1,……，2%。+1的標(biāo)準(zhǔn)差為2*1=2,故C

正確；

對(duì)于D：右拖尾特征：分布右側(cè)有少數(shù)極端大值，左側(cè)數(shù)據(jù)較集中.

平均數(shù)vs中位數(shù)：

平均數(shù)受極端值影響顯著，向右偏移.

中位數(shù)僅取決于數(shù)據(jù)中間位置，對(duì)極端值不敏感.

結(jié)論：右拖尾時(shí)，平均數(shù)通常大于中位數(shù)，故D正確.

故選：ACD.

10.ABC

根據(jù)題意求/(X)的最小正周期即可判斷A,進(jìn)而得，將仁,oj代入/(X)即可驗(yàn)證，進(jìn)而判斷B,禾煙周

期先將-曰?=再由單調(diào)性即可判斷C,由/'(x)vl解出即可判斷D.

【詳解】由題意有/(x)的最小正周期為:，故A正確；所以。=牛=2,所以〃x)=tan[2xq

由2、工p所以仁,0)是函數(shù)/(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確;

「7i19K2兀

又一<---<—<71y=tanx在D上單

2303

調(diào)遞增，所以tan^vtanW，即/-白>了2,故C正確;

303II5J

/(x)=tan|2x-y|<1,所以一4+也<2不一四<四+配,女￡2,

V6；264

rtr兀kit5兀kit.,.,、r

即---1-----<x<------1-----，左EZ,故D錯(cuò)慶.

62242

故選：ABC.

11.BCD

對(duì)于A作出過點(diǎn)￡,F，R的平面截正方體所得截面計(jì)算截面邊長(zhǎng)即可判斷，對(duì)于B：

取棱44、2a的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體EBCN-M4GG的外接球即為三棱錐尸-QQE的外接球，求半徑即可判

斷，對(duì)于C正方體部分展開分別求出AG即可判斷，對(duì)于D由正方體的側(cè)面展開圖.結(jié)合圖④可以看出五個(gè)

邊長(zhǎng)為2的正方形及上下左右四個(gè)等腰直角三角形組成一個(gè)正方形，可知要想把正方體完全包住，正方形

HSLTHSLT即為所求最小正方形，計(jì)算其面積即可判斷.

【詳解】對(duì)于A：如圖①，延長(zhǎng)配交D4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，易得AEFB?AEPA，所以4尸=3/連接尸R

A0AP1

交AA于點(diǎn)0,由APAQ?AAAQ,得若=777=5,所以。是A4上靠近的三等分點(diǎn)，在棱區(qū)名上取點(diǎn)/,

使得B/=；BB一連接匕，貝“G〃自Q,在棱CG上取點(diǎn)J，使得JC]=；CG，連接BJ,則民7〃G/,得

BJ//D.Q,取c/的中點(diǎn)，連接比，則FR〃BJ,得FRIIAQ,則是CG上靠近C的三等分點(diǎn)，連接。田，

則五邊形E尸RRQ即為所求截面.

莊=血爐+獷=舊+均當(dāng)EQ=JAE2+AQ2=J[：+。=半，

02="4療+*2=卜+（1]=孚,邛=〃0；+中2=卜+1|）=浮,

RF=^CF2+CR2=+QJ=半，故五邊形EFRD.Q不是正五邊形，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：如圖②，取棱A心、2G的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體EBCN-M4GG的外接球即為三棱錐尸-0QE的外接

球，直徑長(zhǎng)為EG=J由+叱+優(yōu)=J[[+[2+]2=|,則球0的表面積為故B正確

對(duì)于C：正方體部分展開圖如圖③所示，按不同的展開方式，分三種情況:

AG=j22+g1=呼,AG=j22+（g；=半，則AG的最小值為半，故C正確.

對(duì)于D：由正方體的側(cè)面展開圖.結(jié)合圖④可以看出五個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形及上下左右四個(gè)等腰直角三角形

組成一個(gè)正方形，可知要想把正方體完全包住，正方形"SLTHSLT即為所求最小正方形，其對(duì)角線長(zhǎng)為

-+1+1+1+-=4,所以面積為工x4x4=8,故D正確.

222

④

12.+

設(shè)母線長(zhǎng)為/,底面半徑為，由軸截面為等腰直角三角形，即可求，根據(jù)圓錐的表面積公式即可求解.

【詳解】設(shè)母線長(zhǎng)為/,底面半徑為，由題意有：、夜,

因?yàn)檩S截面為等腰直角三角形，所以(2r)2=『+/2=4n2r=2nr=l,

所以圓錐的表面積為S=7ilr+nr2=&兀+兀=(&+1)兀，

故答案為：(夜+1)兀.

13.3

根據(jù)分層隨機(jī)抽樣中總樣本方差的計(jì)算公式來(lái)求解.

【詳解】因?yàn)楦咭怀槿W(xué)生25人，樣本均值為3；高二抽取學(xué)生25人，樣本均值為2,

根據(jù)分層隨機(jī)抽樣總樣本均值公式外考黑a=2.5.

根據(jù)分層隨機(jī)抽樣總樣本方差公式可得:

n25

S2,2SB-2.5)1+￡

r\+n225+25

故答案為：3.

14.[272-2,1]

設(shè)/PAB=e,則=；-0，則"=蓊」=一可'利用數(shù)量積的定義得

AP-A2=|AP||A^COS-=--利用三角恒等變換和三角函數(shù)即可求解.

2coscos----"

(4)

【詳解】設(shè)=則所以

,.\AB\1..\AD\1

\AP\=J__L=----,AQ=—L__------

11cos(9cos<911n](兀力,

cos——ecos——e

U)u)

1

所以Q.而=|兩國(guó)cos十----X

cos。2coscosf：-夕

令t=cos(26?-2]+變，由OWOW烏有-4426-烏《巴，所以立Vcos(26-

I4j244442I4j

所以收4/41+走，所以2夜一24比41,

2t

所以Q?戀的取值范圍為[2及-2,1]

故答案為：[2A/2-2,1].

15.⑴a=0.006

⑵40百分位數(shù)為72.9,平均數(shù)為76.2

(1)由頻率之和為1列方程求解；

(2)根據(jù)累計(jì)頻率判斷第40百分位數(shù)所在區(qū)間，然后代入百分位數(shù)求解公式計(jì)算，區(qū)間中點(diǎn)值與對(duì)應(yīng)區(qū)

間頻率的乘積之和即為平均數(shù).

【詳解】(1)由頻率分布直方圖，可知(0.004+。+。.022+0.028+0.022+0.018)x10=1,貝|。=0.006.

(2)前三個(gè)小矩形的面積和為(0.004+0.006+0.022)xlO=0.32<0.4,

前四個(gè)小矩形的面積和為0.32+0.028xl0=0.6>0.4,則第40百分位數(shù)位于[70,80)內(nèi)，

04-032

由70+二———X10。72.9,得第40百分位數(shù)為72.9,

0.6-0.32

平均數(shù)為45x0.004x10+55x0.006x10+65x0.022x10+75x0.028x10+85x0.022x10+95

x0.018xl0=1.8+3.3+14.3+21+18.7+17.1=76.2.

71

16.⑴A=§

⑵g

(1)利用正弦定理和余弦定理即可求解；

(2)法一：由。是BC中點(diǎn)，得通=；(南+/)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算得4=廿+慶+°2,最后利用均

值不等式和三角形面積公式即可求解；法二：由。是BC中點(diǎn)，得=在△ADC和AADB

中利用余弦定理得。2+°2一4=反，最后利用均值不等式和三角形面積公式即可求解；法三：由。是BC中

點(diǎn)，^AB+AC=2AD,AB-AC=CB,上面兩式平方做差得bccos/BACul-1/,進(jìn)而得〃十°2，

最后利用均值不等式和三角形面積公式即可求解；法四：在VABC中，COSB=?A---------

2--ac

2

cos2="2+L-"，即4+2=〃2+C2,最后利用均值不等式和三角形面積公式即可求解；法五：延長(zhǎng)AD

至E，使QE=4），因?yàn)镺是加的中點(diǎn)，即證△ADCmBDE,進(jìn)而得4石石=手，又AE=2,即

cosXABE=C+°4=--,即/+°2=4一加，最后利用均值不等式和三角形面積公式即可求解.

2bc2

【詳解】（1）由正弦定理,得（c+a）（c—0）=（一定即/+。2—〃=加,

由余弦定理，得8弦='+=一.=!,又人右（0,兀），所以A=q；

（2）法一：因?yàn)?。是BC中點(diǎn)，所以通=g（通+/）,即而2=；（通+記）2

即麗2=而2+2-/+記2）,AD（宿+2網(wǎng)園.cosZBAC+AC^,

而？=；僅2+2歷.cosZBAC+c2）,~AD=^b2+2a?cos?+c?）

因?yàn)锳D=1,所以1=；/+2Z?c?cos/+c2）,即4=/?2+兒+。2,4-bc=b2+c2

4-bc=b2+c2>2bc即歷《±（當(dāng)且僅當(dāng)Z?=c=冬叵）

33

所以SMBC=—bcsin^BAC=是bc^l.J昱

△ABC24433

所以當(dāng)6=c=2巨時(shí)，S/Bc最大值為".

33

法二：

因?yàn)?。是BC中點(diǎn)，所以

—+12-&2

￡)8?+4。2-AB?_7

2CDAD2DBAD

幺+,l2_?22

因?yàn)?4￡>C+/ADB=7i,所以7_n，所以號(hào)+2="+/①

I一u乙

aa

由cos/TMcJ"-,且/BAC=3,得,即62+o2_〃=歷②

把①代入②上式得：4-bc=b2+c2

下同方法1.

法三：因?yàn)?。是BC中點(diǎn)，所以初+工=2苞，AB-AC=CB,

上面兩式平方作差得：AB-AC=AD2--BC2,所以bccos/BACnl-」/,

44

JT11

因?yàn)?B4C=—,所以一bc=l——a2,即1=4(1-夫]①

324

右2?2_“2冗

由cos/BAC=+。-"，且4AC=—得即〃+c—C②

2b-C3

把①代入②上式得：4-bc=b2+c2

下同方法1.

f-aT+c2-12

^22_h2

法四：在VABC中，COSBJ2)]---------在VABC中，cos3=

2ac

2,一ac

2

下同方法2.

法五：如上圖,延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，因?yàn)?。是BC的中點(diǎn),

所以CD=OB,又NADC=NBDE,所以AADCWBDE,則BE=4C,且NACD=NOBE,

所以4C//BE,ZCAB+ZABE=n,因?yàn)?C4B=f,所以NABE=冬，又他=2，

33

2+A2-41

所以cos/A3E=rc""=-■!■,即/+02=4-歷，

2bc2

下同方法1

17.(1)^1

7

(2)證明見解析

⑶g.

(1)過點(diǎn)作AE1PC于E，垂足為點(diǎn)E，即證AE1平面PCD,則線段即為點(diǎn)到平面PCD的距離，在

RtZWC中，計(jì)算此即可;

(2)由(1)可知AE1平面PCD,得AE1CD,由B41底面ABCD,得上4LCD,利用線面垂直的判定

定理即可得證；

(3)作AF/BC于/，連接即，即證BC1",則乙園即為二面角P-8C-A的平面角，在ZWF計(jì)

算cos/AFP即可.

【詳解】(1)過點(diǎn)作/1￡1PC于E，垂足為點(diǎn)E，

由平面PACJ_平面PCD,AEu平面P4C，平面PACPl平面PCD=PC,AELPC,得AE1平面PCD,

則線段AE即為點(diǎn)到平面PCD的距離，

由B41底面A8CD,ACu平面48CD,得上414。，即A24c為直角三角形，

在Rt△必。中，AC=0,PA=2,PC=y/PA2+AC2=隹=弋廿=￥=^^，

PC777

故點(diǎn)到平面PCD的距離為2旦；

7

(2)由(1)可知AE1平面PCD,又CDu平面PCD,得AE1CD,

由B41底面48CD，CDu平面ABGD,得B4LCD,

由AELCD,PA1CD,AE>以u(píng)平面PAC，A￡pPA=A,得CD,平面以C；

(3)作AF工BC于F，連接PF，

由B41底面ABCD,BC、AFu平面P4B，得K416C,PA1AF，

由AF/BC,PA1BC,的、以u(píng)平面以F，AF^PA=A,得平面P4F，又尸bu平面總F，得

BC1PF,

則ZAfP即為二面角P-8C-A的平面角.

由AB=AC,AF1BC,得CF==1,AF=VAC2-CF2=V2,

AF_屈—小

在Rt/\PAF中，PF=y/PA2+AF-=V6，cos/AFP=

而一寺—B

故二面角P-BC—A的余弦值為由.

3

71571

⑵24924

(3)m￡[0,,Xy+2%2+2/+2%4+毛=~~~

(1)利用二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后寫出平移后函數(shù)的解析式，最后根據(jù)函數(shù)

TT

產(chǎn)Asin(w+°)為偶函數(shù)則0=萬(wàn)+也求解，即可求得/(%)的解析式;

TTTT

(2)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解/(工)的單調(diào)增區(qū)間，再與區(qū)間-五z取交集即可;

7J1TTT

(3)令f=4x-￡,作出y=2sin/在re},5兀上的圖象，數(shù)形結(jié)合可求出根的范圍，根據(jù)對(duì)稱性求出

3

5+k2、々+%3、毛+%4、Z+%5，求和即可.

cos2x+1

【詳解】(1)f[x}=sm2(ox-2yf3^+坦=sin20x-V§cos2s=2sinI2a)x-

7171

由“X)的圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，得y=2sin2旬X-----=2sin(2s.箸一與

24J

此函數(shù)是偶函數(shù)，則一言一三二'l+fal(左￡Z),。=一10—12乂RwZ)

=2,〃x)=2sin[4x-|J.

因?yàn)?<①<3,所以當(dāng)女二一1時(shí)，3

(2)法一

由—>2X4xJW+2E(%eZ)，得一導(dǎo)興官十*Z)

JTJT兀5兀

因?yàn)閤e，所以當(dāng)k=0時(shí),----<x<——

2424

37r

所以y(x)的單調(diào)增區(qū)間為-y金r號(hào)

法二

t兀兀ZQ.兀712兀2兀

由X?,得好一4G

3

7T7171/口7T5兀

由t—W44x—W-,倚----KxW—

2322424

jr57r

所以/'(X)的單調(diào)增區(qū)間為一盤嗡

/—、t7147r_.7U7171L

(3)由'可得4%一彳G一,571

633J3

m在te/兀上有

五個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)f=|?時(shí)，y=V3；當(dāng)》=5兀時(shí)，y=0,

則由圖象可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=2sinr與直線）=加在fe5,5兀上有五個(gè)交點(diǎn)，設(shè)為小占以乙3，

不妨設(shè)4＜才2＜才3＜乙＜/5，

c971c

+tc—2x—=97i,

2

11K177123兀29兀20兀

再+2X+2X+2X+/=(菁+%2)+(工2+工3)+(%3+14)+(工4+%5)=H----1----1---故me[。,⑹,

234121212123

___20兀

Xy+2/+2/+2/+/=———

兀571

19.(l)/(x)=V3sin-x-\-----

26

ez.x3V13「.、27

(2)(1)-----；(11)——71

2632

T12兀71

【詳解】（1）由圖可得,周期7=4,所以。二

73T~2,

=B得sin[-|"￡+e

由U

57r57r

所以夕=^+2M（keZ）,因?yàn)?＜。＜兀，所以當(dāng)憶=0時(shí)，（p=7

66

71571

所以〃x)=&in-x-\-----

26

(2)(i)法一

如圖①，設(shè)在平面。加上的射影為"，連接AH、A"則/AA歸人苣AH=-.

2

BD=^-

在平面08C上過口作軸的平行線/,過點(diǎn)作交/于。，交軸于G,則如=2,

2

BH=VHD2+DB2=Y2,AB=VAH2+HB2=y/13,

因?yàn)樵谄矫妗?C上的射影為"，所以AB在平面08C上的射影為皮/，故AB和平面OBC所成角為NABH，

3

.AH2=3?所以AB和平面OBC所成角的正弦值為小叵.

sin/ABH=-----

AB屈一26

法二

如圖，以阮的方向?yàn)閥軸的正方向，在平面OBC內(nèi)過o且垂直y軸的直線為軸，過o且垂直平面08C的直

線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖②，

設(shè)在平面08c上的射影為〃，則=AH力,AH^

3