丹東市2024?2025學(xué)年度（下）期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)

局一數(shù)學(xué)

總分：150分時(shí)間：120分鐘

本試卷共19題，共150分，共4頁(yè).考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1cos600°=（）

【答案】B

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.

【詳解】cos600°=cos（360°+240°）=cos240°=cos（l80°+60°）=-cos600=-1.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

1-i_

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z=―r（i為虛數(shù)單位），則I對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)除法可得［，據(jù)此可得答案.

(l-i)(2-i)_l-3i

【詳解】因?yàn)閦=

(2+a2-1廠巡

]_3

,在第一象限.

555

第1頁(yè)/共17頁(yè)

故選：A

3.已知圓錐的母線長(zhǎng)為2,底面半徑為1,則圓錐的側(cè)面積為(

A.471B.4扃C.2兀

【答案】C

【解析】

【分析】直接由圓錐的側(cè)面積公式得到.

【詳解】因?yàn)?=21=1,所以圓錐的側(cè)面積s=?！?2兀.

故選：C.

4.將函數(shù)/(x)=sin[2x-]]的圖像向右平移展個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖像，則()

A.g(x)=-cos2xB.g(x)=cos2x

c.g(x)=sin12x—工]D.g(x)=sin|^2x-^

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函數(shù)圖像的平移法則，結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解.

【詳解】將函數(shù)/(0=5①5-力的圖像向右平移、個(gè)單位，得到g(x)圖像，

故選：A.

5.正四面體的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為()

V3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)正四面體的性質(zhì)求解即可.

【詳解】在正四面體4-BCD中，不妨取邊長(zhǎng)為1,設(shè)。為底面的中心，E為CD的中點(diǎn)連接AE,BE,

第2頁(yè)/共17頁(yè)

A

則/O_L平面BC。，所以/A8O就是側(cè)棱45與底面所成角，

又BO=^BE=顯,所以cos/A8O=^=且，

33AB3

故正四面體的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為逅.

3

故選：A.

6.在VZ8C中，44c8=90°,AC=2,ZB=4,點(diǎn)。滿足麗=g刀，則々.刀=（）

A.6B.8C.873D.12

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得詼?方=（%+；方）?方，結(jié)合向量的運(yùn)算律及數(shù)量積定義求解即可.

【詳解】解：由題意可得礪="+①=/+工方，

2

----*,*1,**,1*2*21*2

所以AD-Z8=（ZC+—=+—28=AC+-AB=4+8=12.

222

故選：D.

7.已知正四棱臺(tái)的上下底面的邊長(zhǎng)分別為亞和2亞，體積為苧，則該正四棱臺(tái)的外接球體積為（）

第3頁(yè)/共17頁(yè)

【答案】B

【解析】

【分析】由棱臺(tái)的體積公式可得棱臺(tái)的高，再求棱臺(tái)的外接球體積即可.

【詳解】由題可知，S上=2,5下=8,設(shè)棱臺(tái)高為人

則憶=；*(2+8+行彘)力=今8,解得力=百，

根據(jù)正四棱臺(tái)的特性，正四棱臺(tái)的外接球半徑即為四邊形Z4G。外接圓半徑，

又4G=2,/c=4,h=C，所以zq=V^=2G,cq=Vi^=2，

則所以△ZCG為直角三角形，

故NC為四邊形AA^C外接圓直徑，

432

正四棱臺(tái)的外接球半徑尺=2,體積%=—兀肥=一限

33

故選：B.

1，

1-tan一a

8.已知as(0,兀)，3sina+cosa=1,則-------=()

1+tan—

2

11

A.—2B.2C.---D.—

22

【答案】C

【解析】

a

【分析】由二倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系可得tan—=3,據(jù)此可得答案.

2

【詳解】因ae(0㈤，則界(。f”tan0■〉(),cos^〉0.

c..aaa.aa.a

3sin。+cos。=1n6sm—cos——i-co2s---sm2一=cos2——Hsin2一

222222

第4頁(yè)/共17頁(yè)

aa

「.aaA.2a「a

n6sin—cos一=2sin—n6tan-=2tan2—ntan-=3.

222222

1，a

I-tan一

則------11-3

,.a1+32

1+tan—

2

故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）

A.若馬=2i,Z2=3i,則Z]<Z2B.若〃eN,則i4"=1

C.若z=2—i,則z的虛部為—1D.若z='一，則目=J5

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及除法運(yùn)算即可逐項(xiàng)判斷.

【詳解】對(duì)于A,由純虛數(shù)不能比較大小，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)閞=1，所以j4"=i，故B正確；

對(duì)于C,若z=2-i,則z的虛部為—1,故C正確；

ii（l+i）-11..fl_fJ2

對(duì)于D,z=「=I：=?+31,則目=、盧+上==，故D錯(cuò)誤.

l-i+2211\442

故選：BC.

10.已知向量石，）均為單位向量，a+b+41c=Q^則（）

A.|?-S|=V2B.|?+6+c|=V2+1

C.D.伍力=]

【答案】ACD

【解析】

【分析】由2+3+&"=6，所以=-收鼠再平方可得7坂=o，再逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.

【詳解】因?yàn)閍+B+J^c=6,所以a+B=-J^c,

即（a+5）=2+2a-b=^-A/2Cj=2=>a-S=0，

第5頁(yè)/共17頁(yè)

所以卜一3］二｛（［-3）=\2-2a-b=41，故A正確;

又卜+（+3=卜后1+4=,故B錯(cuò)誤；

因?yàn)椋?=_］（力）.曰+*_*2_片）

=0，所以（0-嬉_1_°,故C正確;

由7坂=0，所以?,力='，故D正確.

故選：ACD.

,、sinx,sinx>cosx

11.已知函數(shù)/（x）=〈,，則（

[|cosx|,smx<cosx

A./（x）的值域?yàn)椋?,1］B./（X）的最小正周期為7T

c./（X）在區(qū)間卜，晝J上單調(diào)遞增D./（X）在［0,2可上有2個(gè)零點(diǎn)

【答案】AD

【解析】

【分析】由題可化簡(jiǎn)/（X）.對(duì)于A,由化簡(jiǎn)式及三角函數(shù)值域知識(shí)可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)于B,通過特殊值

驗(yàn)證可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)于C,由題可得/（X）在區(qū)間［匹上的解析式，據(jù)此可得單調(diào)區(qū)間；對(duì)于D,

由題可得/（x）在［0,2可上的解析式，據(jù)此可得零點(diǎn).

兀J71

【詳解】sinx>cosxxe—+2左兀,---b2左兀九

44

3+2%+2版.

smx<cosx=>x€

又sinx20nx￡[2hi,兀+2析],sinx<0nx￡（一兀+2析,2H）；

7兀1兀兀（713兀]

cosx>0=>xe---F2hi,—+2kn,cosx<0=>xe—+2kn,---\-2kn,keZ.

222122J

第6頁(yè)/共17頁(yè)

sinx,xe—+2左兀，兀+2左兀

4

-sinx,x￡(兀+2左兀,2+2左兀

I4

則/(x)=,左￡Z.

--+2左兀,—+2左兀]

cosx,xe

24J1

371C7兀C7

-cosx,x€--------F2左兀,---F2左兀

42

7T(571

對(duì)于A,sinxG[0,1],xe—+2左兀,兀+2左兀-sinxex€7i+2H,——+24兀,

I4

兀兀xG[——+2kn,——+2kn

COSX€[o,l],X€-5+2析,^+2左兀-cosxe唱

其中keZ,則/(x)e［0』，故A正確;

則B錯(cuò)誤;

'5哈

-sinx,X€|匹j

對(duì)于C,/(X)=<

5TI3A

-cosX,X€一「兀

[42)

則/(x)在卜日］上單調(diào)遞增，在兀］上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤.

COSX,XG0.—U—71.271

4J2

.71

smx,xe一，兀

L4J

對(duì)于D,/(%)=<

(5兀

-sinx,xe7t,——

I4

則/(兀)=/0,即有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確.

故選：AD

第7頁(yè)/共17頁(yè)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量自與［的夾角為120。,同=2,歸一2可=26,則忖=.

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積和模長(zhǎng)的運(yùn)算即可得出結(jié)果.

【詳解】—2'=26，

：.\a-2可2=a2-4a-b+b2=\af—4同網(wǎng)cos120。+4=4+4忖+4麻=12,

整理得麻+*2=0,解得W=l，W=-2（舍），

故答案為：1.

13.已知等邊V4BC的邊長(zhǎng)為4JL2。是5c邊上的高，以為折痕將A/CZ）折起，使N5QC=60°,

則三棱錐A-BCD外接球的表面積為.

【答案】52兀

【解析】

【分析】由題可得三棱錐/-BCD為側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，據(jù)此可由圖確定外接球球心，據(jù)此可得答

案.

【詳解】由題，折疊后可得AD1DC,又BDcDC=B,8。,DCu平面8。。，

則易得平面ADC.

設(shè)為AHDC外接圓圓心，過已做平面5DC垂線，

則垂線上所有點(diǎn)到AHDC頂點(diǎn)距離相等.又垂線與AD平行，從而垂線與AD共面，

過N做垂線的垂線，垂足為0，則易得四邊形為矩形.

取OR中點(diǎn)為。，則。。=。4,從而。為三棱錐/-BCD外接球球心.

2D0=BJ=2也=4=>D0=2

易得AD=O。，=6nOQ=3,由正弦定理可得”“5一.兀百一?

sm—

32

則外接球半徑OD滿足OD=打何+OD?=V13.

則外接球的表面積為4TIx（舊了=52兀.

故答案為：5271.

第8頁(yè)/共17頁(yè)

14.V48c的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=2,(2+b)(sin/—sin5)=(c-b)sinC,則

VABC周長(zhǎng)的取值范圍是.

【答案】(4,6]

【解析】

714

【分析】由正弦定理邊角互化結(jié)合余弦定理可得/=—,則。+b+c=2+T(sin8+sinC),然后由和

3V3

差化積公式結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得答案.

【詳解】因?yàn)镼=2,所以(a+b)(sin4—sinB)=(c—6)sinC,

由正弦定理得a?-Z?2=c1-be=be=b?+。2—。之,

則由余弦定理得cos/="+C—幺=4,又/e(O,兀)，所以2=四.

2bc23

a4

貝iJa+/?+c=2+----(sinB+sinC)=2+—^(sin5+sinC)

sin4V3

因2+C=?,則C=&—5,Be

由和差化積公式得:

33

?T~f.萬??I2兀jc.兀(D兀cosf5-y

sin5+sinC=sin5+sinI-I=2sin—cosI

從而sin5+sinCG則Q+6+C<4,6].

故答案為：(4,6].

第9頁(yè)/共17頁(yè)

四、解答題：本題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=cos2x——+cos2x.

I3j

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)求/(x)的值域及單調(diào)遞增區(qū)間.

【答案】(1)兀

(2)值域?yàn)椴?增區(qū)間為+j+E(左eZ)

【解析】

【分析】(1)由兩角差的余弦定理結(jié)合輔助角公式可得/(X)=Gsinf2x+yj,據(jù)此可得周期;

(2)由正弦函數(shù)值域及單調(diào)區(qū)間可得答案.

【小問1詳解】

(c兀71)。3百

因?yàn)?(x)=cos2x——+cos2x=—coszx+——sin2x

322

所以/(x)=6sinf2x+y

2九

因?yàn)?=萬=兀，所以/(x)的最小正周期為兀;

【小問2詳解】

兀兀.(兀兀)7171

當(dāng)2xH———F2左兀，左6Z時(shí)，sin2xH——1,則x=----Fkit,keZ,/(x)有最大值為6,

32I33J1122

n571

當(dāng)-----F2左兀，左￡Z時(shí)，sin|2xH—j——1,貝！Jx=Fkit,keZ,/(x)有最小值為

22------------------------I3J1212

jrTTjr57rjr

當(dāng)一一+2EV2x+—V—+2E時(shí)，解得一L+

2321212

57r7T

得了(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一三"+E'五+"兀(左￡Z).

16.如圖，四面體45C。中，點(diǎn)G是V48C的重心，點(diǎn)E在4D上，AE=2ED.

第10頁(yè)/共17頁(yè)

A

(1)求證：GE〃平面8cZ＞；

(2)設(shè)過點(diǎn)G,E,。的平面為a,a與四面體的面相交，交線圍成一個(gè)多邊形.

(i)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出這個(gè)多邊形(不必說出畫法和理由)；

(ii)求出。將四面體分成兩部分幾何體體積之比.

【答案】(1)證明見解析

(2)(i)答案見解析；(ii)；

【解析】

【分析】(1)連接/G并延長(zhǎng)交5c于點(diǎn)R連接由比例關(guān)系得G￡〃。尸，即可證明；

(2)(i)連接CG并延長(zhǎng)交28于點(diǎn)〃，連接HE,EC,則平面77EC即為a.

(ii)由(i)知，a將四面體48CD分成兩部分，由的面積與四邊形/的面積之比為1:2進(jìn)

行求解.

【小問1詳解】

連接/G并延長(zhǎng)交于點(diǎn)尸，連接DE,

因?yàn)椤?——=2,所以GE//O尸，

GFED

GE,平面BCZ),。尸u平面BCD,

所以G￡//平面88.

【小問2詳解】

(i)連接CG并延長(zhǎng)交Z8于點(diǎn)“，連接HE,EC,則平面HEC即為a.

(ii)由(i)知，a將四面體45cD分成兩部分，

第11頁(yè)/共17頁(yè)

分別為三棱錐C-ZHE與四棱錐C-,很顯然兩個(gè)棱錐的高相等，記為

—x|Z*x|ZE|xsin/%E

△AHE的面積與AABD的面積之比為1------------------------

-x\AB\x\AD\xsmAHAE3

所以△/上出的面積與四邊形/的面積之比為1:2,

V彳力xS^AHE1

roilC-AHE=3---------=1

Jv12-

rC-BDEH—hxS

3BDEH

17.在V4BC中，已知/氏4c的平分線與邊BC相交于點(diǎn)。.

BDAB

(1)求證:

灰F~AC

(2)若BD=2DC,ABAC=60°，AD=2,求BC.

【答案】(1)證明見解析

(2)BC=3

【解析】

BDAB

【分析】(1)分別對(duì)AABD和AADC采用正弦定理可得

sinZBADsinZBDA

DCZC

,兩式聯(lián)立即可.

sinND4csinZADC

(2)解法一：由得N3=2/C與疝5=!方+2/，左右兩側(cè)同時(shí)平方解得4g與ZC的

33

長(zhǎng)度，再通過余弦定理求解8C即可.

解法二：由AD=2QC,得=2AC,通過等面積法可求解AB與4c的長(zhǎng)度,再通過余弦定理求解BC

即可.

【小問1詳解】

在△48。和△4DC中，如圖所示:

由正弦定理得：

BDABDCAC

sinZBAD-sinZBDAsinZDAC-sinZADC

因?yàn)閆BDA+ZADC=180°，所以ZADC=180°-ZADB，

第12頁(yè)/共17頁(yè)

DC_4c_AC_/C

所以sinZDAC~sinZADC-sin（180°-Z5D^）—sinZBDA'

即DCAC

sinZDACsinZBDA

又因?yàn)?0為/A4C的角平分線，所以/B4D=/D4C,

BDAB

所以----------=----------,兩式相除得——=——

sinZBADsinABDAsinADACsinABDA-----------------DCAC

所以黑=乍得證?

【小問2詳解】

解法一：BD=2DC,所以通=工方+2就，

33

---*2]----24---?24---*---*

平方得AD=-AB+-AC+-AB-AC,由（1）可得：AB=2AC,ABAC=60°,

999

解得AC=Vs,AB=2V3>

則BC-=AB2+AC2-2ABACcos60°=9，BC=3,

所以5C=3.

解法二：

由BD=2DCJ由（1）得AB=ZAC,所以S^ABC=S^ABD+S^ADC,

因?yàn)?D為NA4c的角平分線，ABAC=60°,所以ZB/。=NCUC=30°,

則工x/5x/Cxsin60°=—x^45x^4Z）xsin30o+—xADxACxsin300,

222

解得AC=V3,AB=2G，

則BC?=AB2+AC--2ABACcos60。=9，BC=3,

所以BC=3.

18.如圖，三棱柱48C-4AG的所有棱長(zhǎng)均為2,AN/C為等邊三角形.

(1)求證：48,平面A8C；

(2)求點(diǎn)C到平面AA^B的距離;

(3)求二面角C-48-&的正弦值.

第13頁(yè)/共17頁(yè)

【答案】（1）證明見解析

⑵巫

3

【解析】

【分析】（1）作出輔助線，根據(jù)三線合一性質(zhì)得到48,481，AXB±CO,從而證明出線面垂直；

（2）解法1：設(shè)點(diǎn)C到平面44避避的距離為d,先求出點(diǎn)。到ZC的距離，由（1）知，43,平面/月C,

先計(jì)算出七一型=2〃7m=孚，并求出5入^=百，由等體積法求出"=蔡=當(dāng)；

解法2；過。作CEL48],垂足為￡,由（1）得面面垂直，推出CEL平面44]48,則CE即為點(diǎn)C到

平面24四3的距離，求出點(diǎn)。到ZC的距離，根據(jù)三角形面積得到方程，求出CE=2國(guó)，點(diǎn)C到平面

3

AA.B.B的距離為偵；

3

（3）求出cosNC4E=]，由余弦定理得與。=20,由勾股定理逆定理得BC，8四，BAX±AXCX,

連接DO,/COD即為二面角48-G的平面角，由勾股定理逆定理得CD求出

sinZCO￡>=—，得到答案.

3

【小問1詳解】

證明：設(shè)2用門48=0,連接CO,

因?yàn)樗倪呅?4耳8為菱形，所以，逐，2與，4。=08,

又因?yàn)闉榈冗吶切?，所?8LC。，

因?yàn)?8]CC0=。，/4,。0<=平面/月。，所以48,平面/耳。.

【小問2詳解】

解法1：設(shè)點(diǎn)C到平面AA^B的距離為d,

第14頁(yè)/共17頁(yè)

在△/0C中，AO=OC=5AC=2,

可得點(diǎn)。到ZC的距離為J/CP—1=e，

由（1）知，48J_平面48]C,

iiob

+

所以憶匕義—義,又一義義，

C—/1/ly5D=4]—zlAC/OCCD-zAlCO/CC~4]一力AC7oCc=23226=--3---

又因?yàn)镾B=」XGX2=G，所以"=莖=9?

△如2V33

解法2：由（1）知，4B_L平面A8C，&8U平面2448,

所以平面ABfi1平面AAXB}B,平面ABXCA平面AA{BXB=AB1,

過C作CEL28],垂足為￡,所以CEL平面44￡8,

則CE即為點(diǎn)C到平面AAXBXB的距離,

在△ZOC中，AO=0C=5AC=2,

可得點(diǎn)O到NC的距離為JNO2_19]=正，

所以工x2x&=1x百xCE,則砥=城，

223

所以點(diǎn)C到平面44/田的距離為歧；

3

在RS/CE中，izCAE=—=—^貝iJcos/C4E=±

snCA33

在△/qc中，由余弦定理得用。2=/02+/42—2/c.481cosNC4E=8,

解得4。=2后，

第15頁(yè)/共17頁(yè)

又BB[=BC=2,則=用。2,所以8CL84，

故四邊形Bcqq為矩形，BCX=2V2,

又A/RC為等邊三角形，故B4=5C=2,又4G=2,

2

則AXB+4G2=CB2,所以34，z￡