第09講函數(shù)的概念及其表示

【人教A版2019】

內(nèi)谷導(dǎo)航

思維導(dǎo)圖

，模塊一：函數(shù)的概念

夯基?基礎(chǔ)知識(shí)梳理卜一模塊二：函數(shù)的相等

、模塊三：函數(shù)的表示法

「題型1函數(shù)的概念的理解

，題型2求函數(shù)的定義域

L題型3求函數(shù)的值域

函數(shù)的概念及其表示

?題型4由函數(shù)的定義域或值域求參數(shù)

J提升?必考題型歸納--題型5求函數(shù)值或由函數(shù)值求參

、題型6判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等

、題型7函數(shù)的表示法

'題型8函數(shù)解析式的求解

I題型9分段函數(shù)

課后作業(yè)（19題）

思維導(dǎo)圖

概念：一般地，設(shè)4B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合a中的任意一個(gè)

數(shù)X,按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,在集合B中都有唯一確定的數(shù)r和它對(duì)

應(yīng)，那么就稱f：為從集告4到集合B的一4"函數(shù)，記作產(chǎn)紙)，XC4

［函數(shù)的概念函數(shù)的四個(gè)特征：①非空性；②任意性；③單值性；④方向性

⑴定義域；(2)值域；(3)對(duì)應(yīng)關(guān)系

函數(shù)的概念--函數(shù)的三要素

數(shù)

(1)求給定解析式的函數(shù)定義域的方法；(2)求抽象函數(shù)定義域的方法

的

I函數(shù)的定義域求函數(shù)值域的一般方法：⑴分離常數(shù)法；(2酒己方;去；⑶不等式法；(4)

與值域單調(diào)性法；(5)換元法；⑹數(shù)形結(jié)合法

概

念定義：只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)

才相等，即是同一個(gè)函數(shù)

及r同一函數(shù)

函數(shù)的相等-

閉區(qū)間、開區(qū)間、半開半閉區(qū)間

其

I區(qū)間的概念

表

函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法和圖象法

r函數(shù)的表示法—----------------------

示

函數(shù)的表示

抽象函數(shù)的概念：沒有給出具體解析式的函數(shù)，稱為抽象函數(shù)

法

I抽象函數(shù)與復(fù)

合函數(shù)復(fù)合函數(shù)的概念

模塊一函數(shù)的概念

知識(shí)梳理

1.函數(shù)的概念

(1)一般地，設(shè)A,8是非空的實(shí)數(shù)集,如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)無(wú)，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系力

在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱必出為從集合A到集合8的一個(gè)函數(shù)(function),

記作y=/(x),A-￡A.

(2)函數(shù)的四個(gè)特征：

①非空性：A,2必須為非空數(shù)集,定義域或值域?yàn)榭占暮瘮?shù)是不存在的.

②任意性：即定義域中的每二仝元素都有函數(shù)值.

③單值性：每一個(gè)自變量有且僅有唯二的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng).

④方向性：函數(shù)是一個(gè)從定義域到值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系,如果改變這個(gè)對(duì)應(yīng)方向，那么新的對(duì)應(yīng)所確定

的關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.

2.函數(shù)的三要素

(1)定義域：函數(shù)的定義域是巨變量的取值范圍.

(2)值域：與尤的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合伏x)|無(wú)GA｝叫做函數(shù)的值域(range).

(3)對(duì)應(yīng)關(guān)系：對(duì)應(yīng)關(guān)系了是函數(shù)的核心，它是對(duì)自變量無(wú)實(shí)施“對(duì)應(yīng)操作”的“程序”或者“方法”.

3.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法

求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式

或不等式組求解；對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，定義域應(yīng)使實(shí)際問(wèn)題有意義.

4.求抽象函數(shù)定義域的方法

(1)若已知函數(shù)人尤)的定義域?yàn)樗?，則復(fù)合函數(shù)力g(x)］的定義域可由不等式a<g(x)<b求出.

⑵若已知函數(shù)/［g(x)］的定義域?yàn)閳F(tuán),外則五尤)的定義域?yàn)間(尤)在xe瓜勿上的值域.

5.求函數(shù)值域的一般方法

(1)分離常數(shù)法；

⑵配方法；

(3)不等式法；

(4)單調(diào)性法；

(5)換元法；

(6)數(shù)形結(jié)合法.

步題型歸納

【題型1函數(shù)的概念的理解】

口【例1】(24-25高一上?貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí))下列從集合A到集合8的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中y是尤的函數(shù)

的是()

A.A—B=R,對(duì)應(yīng)關(guān)系—y=(

B.A—B=R,對(duì)應(yīng)關(guān)系/x—y=2"

C.A=B—R,對(duì)應(yīng)關(guān)系f:x7y=±x

D.A=B=N,對(duì)應(yīng)關(guān)系fy=：

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的定義一一判斷即可.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,因?yàn)?64但是［沒有意義，因此不符合題意，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)槿我庖粋€(gè)實(shí)數(shù)x的2,是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，符合函數(shù)的定義，故B正確；

對(duì)于C,顯然2€4此時(shí)y=±2,有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)的定義，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,因?yàn)榧?是自然數(shù)集，264但此時(shí)y=］《N,所以y不是x的函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

【變式1.1］(24-25高一上?四川瀘州?階段練習(xí))下列圖象中，不能作為函數(shù)圖象的是()

【解題思路】根據(jù)函數(shù)定義可得出結(jié)論.

【解答過(guò)程】根據(jù)函數(shù)的定義可知，C選項(xiàng)中存在一個(gè)x對(duì)應(yīng)兩個(gè)y值，不合乎函數(shù)的定義，

ABD選項(xiàng)中，對(duì)于定義域內(nèi)每一個(gè)x值，都只有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)，滿足函數(shù)的定義.

故選：C.

【變式1.2]（24-25高一上?山東濰坊?期中）已知集合4={一1,1,2},B=1,2,4）,若xe4yEB,

則下列對(duì)應(yīng)關(guān)系為4上的一個(gè)函數(shù)的是（）

A.y=x+1B.y=—|C.y=x2+1D.y=2X

【解題思路】依題意，A中的任意一個(gè)數(shù)，通過(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系在3中都有唯一的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，據(jù)此逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可.

【解答過(guò)程】由函數(shù)的定義可知，要使應(yīng)關(guān)系能構(gòu)成從A到8的函數(shù)，

須滿足：對(duì)集合A中的任意一個(gè)數(shù)，通過(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系在集合3中都有唯一的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，

對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)汽=2時(shí)，y=3g故不能構(gòu)成函數(shù)；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)％=1時(shí)，y=-2比B,故不能構(gòu)成函數(shù)；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)％=2時(shí)，y=:生B,故不能構(gòu)成函數(shù)；

對(duì)于D選項(xiàng)，集合A中的任意一個(gè)數(shù)，通過(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系在集合3中都有唯一的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，故能構(gòu)成函數(shù).

故選：D.

【變式1.3]（24-25高一上?山西大同?期中）下列關(guān)于久，y的關(guān)系中，y是％的函數(shù)的是（）

A.y=V%—3+V2—%

B.y2=9%

[2%（%>D

7-11-2%（%<1）

D.

X1234

y00-61

【解題思路】利用函數(shù)的定義逐項(xiàng)分析判斷.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,不等式的解集為0,y不是x的函數(shù)，A不是；

對(duì)于B,當(dāng)x>0時(shí)，有兩個(gè)y與x對(duì)應(yīng)，y不是x的函數(shù)，B不是；

對(duì)于C,當(dāng)x=1時(shí)，有兩個(gè)y與x對(duì)應(yīng)，y不是x的函數(shù)，C不是；

對(duì)于D,對(duì)于久的每一個(gè)值，y都有唯一值與之對(duì)應(yīng)，y是％的函數(shù)，D是.

故選：D.

【題型2求函數(shù)的定義域】

【例2】(24-25高一上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí))函數(shù)/(x)=77不的定義域是()

A.RB.[-3,+oo)C.(-oo,0)U(0,+oo)D.[-3,0)U(0,+oo)

【解題思路】利用具體函數(shù)定義域的求法求解即可.

【解答過(guò)程】根據(jù)題意，得到『m°，解得”>一3且％*0.

故定義域是[-3,0)U(0,+8).

故選：D.

【變式2.11(24-25高一上?湖北省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí))已知函數(shù)/(/)的定義域?yàn)閇1,2],則函數(shù)/(2x+1)

的定義域?yàn)?)

A.[j,l]B.[0,j]C.[1,2]D.[1,4]

【解題思路】求出函數(shù)f(x)的定義域，對(duì)于函數(shù)f(2x+l),可得出關(guān)于x的不等式，即可解得函數(shù)f(2%+1)

的定義域.

【解答過(guò)程】對(duì)于函數(shù)/(/),有iwxw2,可得

故函數(shù)人久)的定義域?yàn)閇1,4],

對(duì)于函數(shù)f(2x+l),有1W2X+1W4,解得OWxwj,

故函數(shù)+1)的定義域?yàn)椴?/p>

故選：B.

【變式2.2](24-25高一上?陜西西安?期中)已知函數(shù)y=/(乃的定義域?yàn)閇―2,3],則函數(shù)y=答的定義

域?yàn)?)

A.[一|,1]B.[―|,—1^U(-1,1]C.[—3,7]D.[-3,-1)U(-1,7]

【解題思路】由題意可得2%+1的范圍為[-2,3],求解x的范圍，再結(jié)合分母不為0即可得解.

【解答過(guò)程】由題意得一2<2%+1<3,解得一|Wx<l,

由x+1力0,解得x力-1,

故函數(shù)y=△等的定義域是卜|,-1)u(-1,1],

故選：B.

【變式2.31(24-25高一上?河南漠河?階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=提，則函數(shù)y=/(*)—/(13—%)的定義

域?yàn)?)

A.2<x<11B.[2,11]C.(2,15)D.(2,11)

【解題思路】結(jié)合復(fù)合函數(shù)的定義域，建立使各個(gè)式子有意義的不等式求解可得.

【解答過(guò)程】由/(乃=總有意義，可得x—2>0,解得x>2.

要使函數(shù)y=/(%)-f(13-%)有意義,

則2,解得2<久<11?

對(duì)函數(shù)y=/(%),%€力，定義域?yàn)樽宰兞勘鹊娜≈捣秶Γ?/p>

其中集合4為非空數(shù)集，

所以函數(shù)y=/(%)-/(13-x)的定義域?yàn)?2,11).

故A錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

【題型3求函數(shù)的值域】

【例3】(23-24高一上?江蘇蘇州?期中)已知函數(shù)/(久)=/—1的定義域?yàn)閧—1,0,1},則函數(shù)的值域

為()

A.{0,1}B.[-l,+oo)C.[-1,0]D.{-1,0}

【解題思路】直接計(jì)算出所有函數(shù)值即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)?(—1)=/(I)=0,/(0)=-1,

所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閧-1,0}.

故選：D.

【變式3.1](24-25高一上?黑龍江哈爾濱?期中)函數(shù)/Q)=片的值域()

A.(-8()嗚+8)B.(-8,|)uC，+8

C.(-00,-0u(.|,+00)D.(—8,|)U&+8

【解題思路】利用分離常數(shù)法求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)楹瞬?/p>

21111

rf、2x-3-(3X+1)——2

f(x)=--=-------=-3

J、'3x+l3x+l33x+l

所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?一8,|)u(|,+oo).

故選：D.

【變式3.21(24-25高一上?福建廈門?期中)已知函數(shù)/(%)=%2-2%-2,%￡[-2,2],函數(shù)/(久)的值域?yàn)?)

A.[-3,6]B.[-2,6]C.[2,10]D.[1,10]

【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到值域.

【解答過(guò)程】/(%)=%2—2%-2=(x-I)2-3,

因?yàn)橐?[—2,2],所以f(x)的值域?yàn)閇/(l),f(-2)],HP[-3,6],

故選：A.

【變式3.3】(24-25高一上?江西?階段練習(xí))函數(shù)/(%)=加與二淳—?—的值域?yàn)?)

A.[-V2,-l]B.[V2,2]C.[―V2,2]D.V2]

【解題思路】求出函數(shù)“X)的定義域，將函數(shù)f(X)變形成f(%)="1+\2x一％2一號(hào)2—|,再結(jié)合二次函

數(shù)值域求解.

【解答過(guò)程】函數(shù)/(%)=.2%—_石_,2_%中,V2%—X2=^/―(x—I)2+16[0,1],

貝—V2x—x2—+V2—%)=V2x—x2—V24-2A/2X—x2

=(V1+V2x—x2)2—V2-V1+V2x—%2—1=(Jl+&v-7_項(xiàng)2_I，

而1WJ1+,2%-x*<V2?因此一<f(%)<—1,

所以函數(shù)/(%)=12%--y一一％的值域?yàn)閇一迎,一1].

故選：A.

【題型4由函數(shù)的定義域或值域求參數(shù)】

[例4](23-24高一上?江西宜春?階段練習(xí))已知函數(shù)/(久)=tax?-2ax+l的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是()

A.(0,1]B.(0,+oo)C.[l,+oo)D.[0,1]

【解題思路】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式a/-2ax+l>0恒成立問(wèn)題，分類討論a=0與a中0兩種情況，結(jié)合根

的判別式得到不等式，從而得解.

【解答過(guò)程】因?yàn)閒0)=聲FFTI的定義域?yàn)镽,

所以不等式a/-2ax+1>。對(duì)任意的xeR恒成立，

當(dāng)a=0時(shí)，1>0恒成立，滿足題意；

當(dāng)"0時(shí)，貝立/…，解得0<aWl;

綜上，OWaWl,即a的取值范圍是[0,1].

故選：D.

【變式4.1](24-25高一下?廣東梅州?期中)已知函數(shù)/(%)=一%+5在17n㈤上的值域?yàn)閇4皿4九],則

m+n=()

A.4B.5C.8D.10

【解題思路】首先利用二次函數(shù)最值求出小2則得到其單調(diào)性，貝山少可=:小，代入計(jì)算即可.

8(f(n)=4n

【解答過(guò)程】/(x)=一X+5的對(duì)稱軸為X=1,則9)=1XI2-1+5-I<4m,解得小>

2228

則/(%)在[TH,出上單調(diào)遞增，

fl

(ffm'y=47n~m7—m+5=4m

所以歐c,即?…，

(f(九)—-n2—n4-5=4n

I2

所以ri為方程一%+5=4%的兩個(gè)根，

即m,幾為方程％2—10%+10=0的兩個(gè)根，所以m4-n=10.

故選：D.

【變式4.2](24-25高一上?江蘇常州?期中)若函數(shù)/(乃=v/K,X^2~r、KX~ri’.的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是

A.(0,4)B.(0,4]C.[0,4)D.fc<0或k>4

【解題思路】由題意可知不等式k/+kx+l>0的解集為R,分情況討論，即可求解.

【解答過(guò)程】當(dāng)xeR時(shí)，不等式+kx+1>0恒成立.

當(dāng)k=0時(shí)，1>0恒成立；

當(dāng)丘0時(shí)，則需滿足1A/n，「.0<k<4,

綜合可得k的取值范圍是[0,4).

故選：C.

【變式4.3](24-25高一上?四川廣安?期中)若函數(shù)f(x)=一刈%+3的值域?yàn)閇o,+8),則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍是()

A.(-8,-2*\/6]B.(-8,-2V6]U[2V6,+oo)

C.[-2V6,2V6]D.[2V6,+oo)

【解題思路】根據(jù)題意由二次函數(shù)值域利用判別式即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)=V2%2—mx+3的值域?yàn)閇0,+8),

所以2尤2—小尤+3能取遍所有大于或等于零的實(shí)數(shù)，

即方程2/一加久+3=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解.

所以△=m2—4x2x3=m2—24>0,解得mE(—00,—2V6]U[2V6,+8).

故選：B.

【題型5求函數(shù)值或由函數(shù)值求參】

J【例51(24-25高一上?江西宜春?階段練習(xí))已知函數(shù)f(2x+3)=x2-x+a,且f(5)=3,則a=()

A.3B.-3C.17D.-17

【解題思路】賦值計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】在f(2x+3)=x2—%+a中取x=1可得/(5)=1—l+a=3,所以a=3,

故選：A.

【變式5.1](24-25高一上?陜西西安?期中)已知函數(shù)f(x+1)=/-3x+5,財(cái)"3)=()

A.9B.7C.5D.3

【解題思路】根據(jù)解析式求函數(shù)值即可.

【解答過(guò)程】由/(x+1)=/-3尤+5,

所以f(3)=f(2+1)=22-3x2+5=3.

故選：D.

【變式5.2](24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè))已知函數(shù)f(%—1)=T，/(m)=1,則m=()

A.-1或3B,1或3C.-1D.3

【解題思路】根據(jù)題意X-1=再用辿=1計(jì)算即可.

X

【解答過(guò)程】令2=1,解得x=4,則％-1=3,則m=3.

X

故選：D.

【變式5.3](24-25高一上?安徽合肥?階段練習(xí))已知函數(shù)〃久)的定義域?yàn)镽,且=x3f^xE(一p0)U

(0,+8)),/(x)+f(y)-2xy=f(x+y),則f(4)的值是()

A.-20B.-16C.-12D.-10

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用賦值法依次求出/(0),/(-1)/(1)力(2)/(4)即可.

【解答過(guò)程】在f(%)+f(y)-2%y=/(%+y)中,令％=y=0,則f(0)=0,

令欠=1斤=-1,則f⑴+/(_i)+2=/(0)=0,即/(1)+/(-1)=-2,

在f(x)中，令x=-l,貝行(_1)=一〃一1),貝行(-1)=o,f(l)=-2,

令％=y=1,則f(2)=2/(1)-2=-6,令X=y=2,則/'(4)=2/(2)-8=-20.

故選：A.

1.函數(shù)的相等

同一函數(shù)：只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才相等,即是同一個(gè)函數(shù).

2.區(qū)間的概念

設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b.我們規(guī)定：

⑴滿足不等式。Wx&b的實(shí)數(shù)尤的集合叫做閉區(qū)間,表示為團(tuán),切；

⑵滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間,表示為①力)；

(3)滿足不等式a或的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間,分別表示為團(tuán)力),他,力.

這里的實(shí)數(shù)a與b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).

3)題型歸納

【題型6判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等】

【例6】(24-25高一上?四川瀘州?階段練習(xí))下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是(

C.y=|%|與y=Vx2D.y=|汽|與y=(Vx)2

【解題思路】分別求出各個(gè)函數(shù)的定義域，根據(jù)定義域不同可判斷A,B,D；化簡(jiǎn)解析式可判斷C.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,y=2的定義域?yàn)槠?},y=程的定義域?yàn)閧K|X*±1},

兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

2

對(duì)于B,丫=%的定義域?yàn)閰^(qū)，y=》v的定義域?yàn)閧幻工工0},

兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,y=|%]的定義域?yàn)镽,y=的定義域?yàn)镽,且y=V^=|%|,

所以y=|劃與y=是同一函數(shù)，故C正確；

對(duì)于D,y=|x|的定義域?yàn)镽,y=(V%)的定義域?yàn)閧用尢20},

兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式6.1](24-25高一上?內(nèi)蒙古包頭?期中)下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的是()

①乃=y2=%-5；②f(x)=x,g(x)=后；

③八(久)=x,m(x)=Vx^；④/i(久)=(V2x—5),%(久)=2%—5.

A.①②B.②③C.③D.③④

【解題思路】根據(jù)函數(shù)相等的概念逐項(xiàng)判斷即可.

【解答過(guò)程】對(duì)于①，函數(shù)yi="膏且定義域?yàn)閃x*-3},函數(shù)%=x-5的定義域?yàn)镽,

這兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，故兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；

對(duì)于②，函數(shù)/'(>)=尤、g(x)==|x|的定義域都為R,

所以兩個(gè)函數(shù)的定義域相同對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同，故兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；

對(duì)于③，函數(shù)A(x)=x、m(x)==x的定義域均為R,

所以兩個(gè)函數(shù)的定義域相同對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，故兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)；

對(duì)于④，由2%-520,解得x2|,

所以函數(shù)左⑴=(7^=5)2的定義域?yàn)?+8),

函數(shù)%(%)=2x-5的定義域?yàn)镽,這兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，故兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù).

故選：c.

【變式6.2](24-25高一上?陜西渭南?期中)下列選項(xiàng)中表示同一函數(shù)的是()

A./(t)=t。與g(x)=1

B./(x)=x+2與。(久)=會(huì)

C.〃久)=廣"2。與刎=行

x<0(1,t=0

D./(x)=2024)2與g(x)=x_2024

【解題思路】通過(guò)定義域和解析式都相同來(lái)判斷是否是同一函數(shù)即可.

【解答過(guò)程】對(duì)于A.，。)=1°的定義域?yàn)榭趹?0},而或尤)=1定義域?yàn)镽.故二者不是同一函數(shù);

對(duì)于B./(x)=x+2的定義域?yàn)镽,g(x)=二三的定義域?yàn)閧久|x#2},故二者不是同一函數(shù)；

對(duì)于C.g⑴=|畝'=[1,"0=[L=。，-)=[1，x>0的定義域以及對(duì)應(yīng)關(guān)系、值

1,t=oI1—1,tV01-1,%V0

l-l,t<0

域都相同，故二者為同一函數(shù)；

對(duì)于D./(%)=J(x—2024尸=反_2024]的值域?yàn)閧y|y>0},g(x)=x-2024的值域?yàn)镽.故二者不是

同一函數(shù).

故選:C.

【變式6.3](24-25高一上?江蘇鹽城?階段練習(xí))下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的為()

A.f(%)=2x2,g(x)=￥B.f(x)=，2x+2025,g(x)=|2x+2025|

C.f(x)=x-g(X)=D./(%)=5x,g(x)=V5x2

【解題思路】由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可；

【解答過(guò)程】對(duì)于A,/(x)的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)閧x|x力0},定義域不同，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,〃乃定義域?yàn)閇-等,+8),g(x)的定義域?yàn)镽,定義域不同，不是同一函數(shù)；故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：f(x),g(x)的定義域均為{x|x70},且g(x)=Qg(x)=x-1=f(x),定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相

同，是同一函數(shù)，故C正確；

對(duì)于D：/(x),g(x)的定義域均為R,且g(x)=?|x|,對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)，故D錯(cuò)誤;

故選：C.

模塊三函數(shù)的表示法

知識(shí)梳理

1.函數(shù)的表示法

函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法和圖象法.

(1)解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

(2)列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

(3)圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

2.抽象函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

(1)抽象函數(shù)的概念：沒有給出具體解析式的函數(shù),稱為抽象函數(shù).

(2)復(fù)合函數(shù)的概念：若函數(shù)丫可⑶的定義域?yàn)锳,函數(shù)Ug(x)的定義域?yàn)镈,值域?yàn)镃,則當(dāng)CGA時(shí)，

稱函數(shù)y=Ag(尤))為/W與g(x)在。上的復(fù)合函數(shù)，其中f叫做中間變量，z=a(x)叫做內(nèi)層函數(shù),v=*f)叫做外層

函數(shù).

步題型歸納

【題型7函數(shù)的表示法】

【例7】(24-25高一上?廣東東莞?期中)已知4={%I0<x<2},B={y\l<y<2},下列圖象能表

示以4為定義域，8為值域的函數(shù)的是()

【解題思路】觀察選項(xiàng)ACD中函數(shù)的值域即可排除，觀察分析選項(xiàng)B中函數(shù)的定義域與值域，從而得解.

【解答過(guò)程】A是函數(shù)的圖象，值域?yàn)閇0,2],與題干函數(shù)的值域?yàn)锽={y|lWyW2}不符，故A錯(cuò)誤;

B是函數(shù)的圖象，定義域?yàn)閇0,2],值域?yàn)閇1,2],故B正確；

C是函數(shù)的圖象，值域?yàn)閧1,2},與題干函數(shù)的值域?yàn)?={y|1WyW2}不符，故C錯(cuò)誤；

D是函數(shù)的圖象，值域?yàn)榭?2},與題干函數(shù)的值域?yàn)锽={y|1WyW2}不符，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

【變式7.11(24-25高一上?貴州遵義?階段練習(xí))面積為S的長(zhǎng)方形的某邊長(zhǎng)度為％,則該長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)L與x的

函數(shù)關(guān)系為()

A.L=x+-C(x>0)B.L=*+±C(0<尤<S)

XX

7<77C

C.Z,=2%+—(%>0)D.L=2x+—(0<x<S)

XX

【解題思路】根據(jù)條件長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)度為無(wú)，則另一邊長(zhǎng)為之且x>0,從而得到周長(zhǎng)L與"的函數(shù)關(guān)系.

X

【解答過(guò)程】由條件長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)度為％,且面積為S.

則另一邊長(zhǎng)為三，且x>0.

X

所以該長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)L=2x+至(X>0).

X

故選：C.

【變式7.2](24-25高一上?廣東佛山?期中)已知函數(shù)/(久)、g(x)列表法表示如下，則下列說(shuō)法正確的是()

X1234

/(%)2341

X1234

9。)2413

A./(/(I))=4B.g(g(l))=1

C./(g⑴)=3D.g(/⑴)=2

【解題思路】結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)，代入即可得到正確答案.

【解答過(guò)程】由表格得/⑴=2,f(2)=3,g⑴=2,g⑵=4,

貝，(/(D)=f(2)=3,g(/(D)=g(2)=4,

f(g(D)=f(2)=3,g(g(l))=g(2)=4,

因此，只有C選項(xiàng)正確.

故選：c.

【變式7.3](24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè))某同學(xué)坐公交車去上學(xué)，出發(fā)一段時(shí)間后他媽媽發(fā)現(xiàn)他忘記帶

文具盒，于是開車去追，在公交換乘時(shí)追上他，把文具盒交給他后便開車回家，忽略兩人見面的時(shí)間，以

下哪個(gè)圖象表示隨著時(shí)間變化兩人之間距離的變化()

上兩人之間的距離

【解題思路】根據(jù)已知條件進(jìn)行分析，結(jié)合圖象來(lái)確定正確答案.

【解答過(guò)程】設(shè)公交車行駛速度為%,開車的速度為以，

則該同學(xué)出門后到他媽媽發(fā)現(xiàn)他忘帶文具盒這段時(shí)間兩人之間的距離以巧的速度增大,

從媽媽出發(fā)到追上他這段時(shí)間兩人之間的距離以(藝-%)的速度減??；

分別后兩人之間的距離以(巧+%)的速度增大，C正確.

故選：C.

【題型8函數(shù)解析式的求解】

[例8](24-25高一上.全國(guó).課后作業(yè))若是一次函數(shù)，2/(2)-3/(1)=5,2/(0)-/(-I)=1,

則/(久)=()

A.3x+2B.3x—2C.2x+3D.2x—3

【解題思路】設(shè)出函數(shù)/(%)的解析式，再根據(jù)給定條件列出方程組，求解作答.

【解答過(guò)程】設(shè)/(?=ax+b(a力0),由題設(shè)有],

解得｛,所以f(久)=3久一2.

故選：B.

【變式8.1](24-25高一上?云南文山?期中)已知函數(shù)八十)=專-2,則/(久)的解析式為()

A./(%)=x2—2x—1B./(x)=x2—2(%W0)

C./(x)=x2—2x—3(%W1)D./(%)=x2—2x—1(%W1)

【解題思路】利用換元法求解即可.

【解答過(guò)程】令t=M=l+4小1,則

XXX

所以J(t)=(t-l)2-2=t2-2t-l,

所以/(%)=x2—2x—1(%H1).

故選：D.

【變式8.21(24-25高一上?福建福州?期中)若函數(shù)f(%)是二次函數(shù),滿足f(0)=2,/(x+2)-/(%)=4%,

則/(%)=()

A.%?+%+2B.%2—2%+2C.%2—%+2D.%2+2%+2

【解題思路】利用待定系數(shù)法，由題意建立方程組，可得答案.

【解答過(guò)程】設(shè)/(%)=ax2+b%+c(aHO),由/(0)=2,貝！Jc=2,

由/(%+2)—f(%)=4%,則a(%+2)2+b(x+2)+2—(ax2+b%+2)=4x,

4

整理可得4a久+4a+26=4x,則。=n,解得\，

(4a+2b=0lb=-2

所以/(久)=/-2%+2.

故選：B.

【變式8.3](24-25高一上?湖北?階段練習(xí))已知/(等)=?，財(cái)7(x)=()

A.2%—3(%。0)B.2%—3(%。2)

C.2%+3(%W0)D.2%+3(%W2)

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用配湊法求出函數(shù)解析式.

【解答過(guò)程】依題意，/(如)=把上3=2?竺士—3,顯然把1=2+工。2,

XXXXX

所以,(工)=2x—3(x豐2).

故選：B.

【題型9分段函數(shù)】

[例9](24-25高一上?江蘇南通?階段練習(xí))設(shè)/(久)={叱;誓上資，則/⑼的值為()

A.9B.11C.28D.14

【解題思路】由9V10,結(jié)合函數(shù)解析式可得/(9)=/(/(14)),再由解析式求/(14),/(13)求結(jié)論.

【解答過(guò)程】因?yàn)?(X)=；0叫9<10,

所以f(9)=f(f(14)),

又14>10,故/'(14)=2X14-15=13,13>10,

所以/"(9)=/(13)=2x13-15=11.

故選:B.

【變式9.1](24-25高一上?山西太原?階段練習(xí))函數(shù)f(x)=儼2-1'久￡{二川的定義域?yàn)?)

1%,xG{0,2}

A.0B.[%|-1<%<2}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1}

【解題思路】由對(duì)分段函數(shù)的定義域的理解可得.

【解答過(guò)程】由{-1,1}U{0,2}={-1,0,1,2},

得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧—1,0,1,2}.

故選：C.

【變式9.2］(24-25高一上?廣東廣州?期中)已知函數(shù)f(x)，則f,Q］的值為()

5311

A.-B.-C.-D.--

2222

【解題思路】由分段函數(shù)的概念直接代入解析式計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)楣?=一|+3//G)=#1=|,

所以"⑨|=*

故選：B.

2V|^1

''.若f(1-a)=f(1+2a),

{—x—2a,x>1

則〃的值為()

A.1B.C.-1D.或-1

【解題思路】對(duì)a分類討論判斷出1-a,1+2a在分段函數(shù)的區(qū)間段，代入求出函數(shù)值，解方程求出a.

【解答過(guò)程】解：①當(dāng)a>0時(shí)，l+2a>1,

由f(l—a)=/(I+2a),

得2(1—a)+a=—(1+2a)—2a,

解得a=-1,不滿足a>0,故舍去；

②當(dāng)a<0時(shí)，1—a>1,14-2a<1,

由/(I-a)=/(I+2a),

得—(1—CL)—2a=2(1+2a)+a,

解得a=一［滿足a<0，

故a=—|.

故選：B.

2)課后作業(yè)(19題)

一、單選題

1.(24-25高一上?陜西渭南?階段練習(xí))函數(shù)/(*)=VTT三+六的定義域是()

A.(—co,—1)B.(1,+oo)C.[一1,+8)D.[—1,1)11(1,+8)

【解題思路】根據(jù)偶次根式、分式有意義的條件列不等式，求解即可.

【解答過(guò)程】由題意得｛；]：M：，解得一1WX<1或%>1，

所以函數(shù)的定義域?yàn)閇一1,1)U(1,+8).

故選：D.

2.(24-25高一上?江西贛州?開學(xué)考試)下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是()

A./(%)=5，g(x)=-^2B.f(x)=|x|，5(x)=｛

x\yx)i-x,x<u

C./(x)=l,g(x)=x0D.f(x)=x2,g(x)—(x+l)2

【解題思路】求出兩個(gè)函數(shù)定義域以及化簡(jiǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，若兩個(gè)函數(shù)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，則這兩個(gè)函數(shù)

相同，從而得到結(jié)果.

【解答過(guò)程】對(duì)A,八無(wú))的定義域?yàn)椋鹸|x40｝,gQ)的定義域?yàn)椋鹸|x>0｝,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,f(x)和g(x)的定義域均為R,且f⑺=|x|=，故B正確；

對(duì)C,/(%)的定義域?yàn)镽,g(%)的定義域?yàn)椋茫O｝,故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,/(%)和g(%)的定義域均為R,但f(%)Wg(%)，對(duì)應(yīng)關(guān)系明顯不同，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

3.(24-25高一上?黑龍江哈爾濱?期中)函數(shù)/⑺=器的值域()

A-(-8《)U&+8)B.

C(一8,-1)u(/+8)D.(一8,|)U&+8)

【解題思路】利用分離常數(shù)法求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)/。)的定義域?yàn)榇尾妨?：｝,

2/cY、1111

f(x\=竺金=式3X+1)-三=2_豐2；

八,3X+13X+133X+13

所以函數(shù)/(X)的值域?yàn)?一8,|)U(|,+8).

故選：D.

4.(24-25高一上?浙江杭州?期中)己知函數(shù)/(%)=，平[如亍，則八―3)=()

A.21B.-3C.-21D.3

【解題思路】根據(jù)分段函數(shù)解析式計(jì)算可得.

【解答過(guò)程】因?yàn)閒⑺=”+目”?

所以/(―3)=—3x(-3—4)=21.

故選：A.

5.(24-25高一上?遼寧鞍山?期中)已知函數(shù)f(x+1)的定義域?yàn)閇一1,3],明廉/)的定義域?yàn)?)

A.[-2,2]B.[0,4]C.[1,9]D.[0,8]

【解題思路】通過(guò)中間函數(shù)f(x)過(guò)渡，即求出f(x)的定義域后可求.

【解答過(guò)程】在y="x+l)中，%e[-l,3].Ax+1G[0,4])

的定義域是[0,4],

故在/'(/)中0<x2<4,解得一2<x<2,

??"(二)的定義域是[-2,2].

故選：A.

6.(24-25高一上?福建福州?期中)若函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，滿足/(0)=2,/(%+2)-f(%)=4%,財(cái)晨x)=

()

A.x2+x+2B.x2—2x+2C.x2—x+2D.x2+2x+2

【解題思路】利用待定系數(shù)法，由題意建立方程組，可得答案.

【解答過(guò)程】設(shè)/'(%)=ax2+bx+c(a4O),由/'(0)=2,貝!|c=2,

由f(x+2)—f(x)=4x,貝!Ja(x+2)2+b(x+2)+2—(ax2+bx+2)=4x,

整理可得4ax+4a+2b=4x,則。黑.“解得\，

14。+2D=03=—2

所以/(%)=%2—2%+2.

故選：B.

7.(24-25高一上?安徽合肥?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,且/(%)=，/(>(％E(-00,0)U(0,+8)),

/(%)+/(y)-2xy=f(x+y),則f(4)的值是()

A.-20B.-16C.-12D.-10

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用賦值法依次求出f(0),f(-1),/(1)4(2),/(4)即可.

【解答過(guò)程】在/(%)+/(y)-2xy=f(x+y)中，令％=y=0,則/(0)=0,

令x=l,y=-l,則r(l)+f(-l)+2=f(0)=0,即f(l)+f(-1)=-2,

在“x)=x3/C)中，令》=—1,貝次(_i)=—/(—1),貝次(-1)=0"(1)=-2,

令X=y=1,則/(2)=2/(1)-2=—6,令x=y=2,貝i|f(4)=2/(2)—8=-20.

故選：A.

8.(24-25高一上?湖北省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí))己知/(?+1)=尤+3,則/(x+1)的解析式為().

A.x+4(%>0)B.x2+3(x>0)

C.x2—2x+4(x>1)D.x2+3(x>1)

【解題思路】令曲+1=t(t>1),求得/⑴可得f(x)的解析式，再求+1)即可.

【解答過(guò)程】令五+1=t(t>1),解得X=(t-I)2

所以f⑴=?-1)2+3(121),

則/(X)=(X-I)2+3(%>1),

/(x+1)=/+3(x>0).

故選：B.

二、多選題

9.(24-25高一上?陜西渭南?階段練習(xí))下列四個(gè)曲線中，可以作為函數(shù)圖象的有()

【解答過(guò)程】根據(jù)函數(shù)的定義，在選項(xiàng)A、C、D中的圖象中，

對(duì)于任何一個(gè)x,都有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，所以可以作為函數(shù)圖象，

選項(xiàng)B中，當(dāng)x>0時(shí)，有2個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，不能作為函數(shù)圖象.

故選：ACD.

10.（24-25高一上?陜西西安?期中）下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（）

A./(%)=%+1,g(x)=V%2+2x+1B./(%)=%2+1,