?第6講函數的概念及其表示

Q知識點目錄/

【知識點1】函數的概念.............................................................2

【知識點2】函數的解析式...........................................................3

【知識點3】分段函數...............................................................4

Q獸出知識/

1.函數的概念

一股地，設A8是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x,按照某種確定的對應

關系f,在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A-B為從集合A到集合B的

一個函數，記作v="x),xsA

2.函數的三要素

(1)函數的三要素：定義域、對應關系、值域.

⑵如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致,即相同的自變量對應的函數值也相

同，那么這兩個函數是同一個函數.

3.函數的表示法

表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

4.分段函數

若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分另J用兒個不同的式子來表示，這種函數

稱為分段函數.

【常用結論】

1.直線x=a與函數y=f(x)的圖象至多有1個交點.

2.在函數的定義中，非空實數集AB,4即為函數的定義域，值域為8的子集.

3.分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數.分段函數的定義域等于各段函數的

定義域的并集，值域等于各段函數的值域的并集.

Q知識點1/

知識點

【知識點1］函數的概念

函數的含義及判斷兩個函數是同一個函數的方法

⑴函數概念中有兩個要求：①48是非空的實數集；②第一個集合人中的每個元素在第二個

集合8中有且只有一個元素與之對應.

⑵兩個函數滿足定義域和對應關系相同時，才是同一個函數.

【例1】(2025?五華區(qū)校級模擬)已知集合A=(0,4),5=(-2,2),下列對應關系能構成函數的

是()

A.A->13Jy=x-2B.A—>4,y=log2xC.B->Aty

D.BTA,y=(夕

【例2】(2023?青羊區(qū)校級模擬)給出下列4個函數，其中對于任意XCR均成立的是()

A./(sin3x)=sinxB.f(sin3x)=.r3+x24-x

C./(f+2)=|x+2|D.+4x)=|x+2|

【例3】(2025?廣東模擬)函數j+Q的定義域為()

x-3

A.(-8,3)53,y)B.[1,3)53，+oo)

C.[1,+oc)D.[3>+co)

【例4】(2025?揚州校級模擬)已知函數)，=/(x)的定義域為［0，1］，則函數),=四里2的定義

2v+1

域為（)

A.[1,2]B.[-1,0]

C.^(——,0]D.(—1,——)IJ(-_,0)

2222

【例5】(2025?泉州模擬)函數/(x)=2'—的值域為()

A.[0,1]B.[0,+oo)C.(1,-KX))D.[1,-KO)

圖知識點2/

知識點

【知識點2］函數的解析式

函數解析式的求法

⑴配湊法.（2）待定系數法.（3）換元法.（4）解方程組法.

雌例題

【例6】（2025?臺灣四模）若“幻為二次函數且/（0）=3,/（x+2）-/（x）=4x+2,則/（幻的解析

式為__f（x）=x2-x+3

【例7】（2025?重慶模擬）設定義域為R的函數/（x）滿足：Vx,yeR都有f（x+/（）：））=+y

且f（0）=。伍為常數）,則函數f（x）=_x+a_.

nn

【例8】（2025?河北模擬）已知定義在R上的函數/⑴滿足/a-），）=/a）/G，）+f（-x）f（_y）t

44

且八0）=|,試寫出一個滿足上述條件的/⑴的解析式：_cos2v_.

【例9】（2025?昆明模擬）已知函數/⑺是定義在A上的奇函數，且當且僅當工＞0時,

\.nx.八、,

sin(x?0)1

【例14】(2020?寶雞二模)若/(幻=j丁，則/V(3)]=_-2_.

I[\-2x(x>0)

【例15】(2021?市中區(qū)校級模擬)已知函數Ax)」。-。"-3區(qū),7),數列〃滿足

|a'-6(x>7)〃

N"),且凡是遞增數列,則實數。的取值范圍是一(2,3)_.

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【知識點1】函數的概念.............................................................2

【知識點2】函數的解析式...........................................................5

【知識點3】分段函數...............................................................8

Q獸出知識/

1.函數的概念

一股地，設A8是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x,按照某種確定的對應

關系f,在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A-B為從集合A到集合B的

一個函數，記作v="x),xsA

2.函數的三要素

(1)函數的三要素：定義域、對應關系、值域.

⑵如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致,即相同的自變量對應的函數值也相

同，那么這兩個函數是同一個函數.

3.函數的表示法

表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

4.分段函數

若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分另J用兒個不同的式子來表示，這種函數

稱為分段函數.

【常用結論】

1.直線x=a與函數y=f(x)的圖象至多有1個交點.

2.在函數的定義中，非空實數集AB,4即為函數的定義域，值域為8的子集.

3.分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數.分段函數的定義域等于各段函數的

定義域的并集，值域等于各段函數的值域的并集.

Q知識點1/

知識點

【知識點1］函數的概念

函數的含義及判斷兩個函數是同一個函數的方法

⑴函數概念中有兩個要求：①48是非空的實數集；②第一個集合人中的每個元素在第二個

集合8中有且只有一個元素與之對應.

⑵兩個函數滿足定義域和對應關系相同時，才是同一個函數.

【例1】(2025?五華區(qū)校級模擬)已知集合A=(0,4),5=(-2,2),下列對應關系能構成函數的

是()

A.A->13Jy=x-2B.A—>4,y=log2xC.8fA,y=r

D.3t4,y=(夕

【答案】AD

【分析】根據函數的定義逐一判斷即可.

【解答】解：根據題意，依次分析選項：

對于A,.re(0,4),則ye(-2,2),按照對應關系y=x-2f集合A中每個元素，在集合B中都有

唯一元素與之對應，故A正碓；

對于B,取x=則y=-3eB,故B錯誤；

8

對于C,取1=0,則y=0史4,故C錯誤；

對于。，工￡(々2),"(IMS，按照對應關系y=Q3集合8中每個元素，在集合A中都有

4,2

唯一元素與之對應，故。正

確.故選：AD.

【例2】(2023?青羊區(qū)校級模擬)給出下列4個函數，其中對于任意％eA均成立的是()

A./(sin3x)=sinxB./(sin3x)=.r3+f+x

1

C.fix+2)=\x+2\D./(A-+4X)=|X+2|

【答案】。

【分析】從函數的定義出發(fā)進行分析，任意'只能對應唯一的y,否則不滿足，由此可排除選

項A,B,C.

【解答】解：對于A,取x=O,則/(())=(),取工=〈則有/(O)=sin"j故不成立；

33

對于B,取x=O,則/(())=(),取X/，則/(0)=小+"2+",故不成立；

-()()

3333

對于C,取x=2,則/(6)=4,取x=-2,則/(6)=0,故不成立；

對于。，令r=|x+2|,(/>0),則由/(『+4)=|x+2|,

可得/[(X+2)2-4]=|X+2|,BP/(?-4)=r,

故〃x)=&N,故成立.

吉姆：D.

【例3】(2025?廣東模擬)函數y=J+GT的定義域為()

x-3

A.(-<?，3)53，-K?)B.[I,3)53，+oo)

C.[I,+oo)D.[3,+oo)

【答案】B

【分析】由根式內部的代數式大于等于0,分式的分母不為0,聯立不等式組求解.

【解答】解：要使原函數有意義，則fT”.°,解得X...1且.3.

[x-3工0

.??函數門二+不？的定義域為[1,3)D(3,+8).

x-3

故選：B.

【例4】（2025?揚州校級模擬）已知函數尸/（X）的定義域為[0,1],則函數）,=3D的定義

2A-+1

域為（）

A.[1,2]B.[-1,0]

C.D.

2222

【答案】C

【分析】根據抽象函數定義域的求法，列出方程組，即可求得答案.

【解答】解：因為y=/（幻的定義域是[0,1],所以0”式,,1,

根據抽象函數定義域求法，在函數y=當斗中，

人+口，解得_10,1.0且…1,

jlr+I^O2

則定義域為[一1,一1）U（—1刈.

22

樹：C.

【例5】（2025?泉州模擬）函數/（幻=2'+?的值域為（）

A.[0,11B.[0,+oo）C.D.[1,+oo）

【答案】。

【分析】求出函數定義域，再利用單調性求出值域.

【解答】解：函數〃力=21+、&的定義域為[0,+oo）,

又/（幻在[0,+00）上單調遞增，

故八幻的值域為H,

-KO）.故選：。.

知識點2

知識點

【知識點2]函數的解析式

函數解析式的求法

⑴配湊法.(2)待定系數法.(3)換元法.(4)解方程組法.

例例題

【例6】(2025?臺灣四模)若/(幻為二次函數且/(0)=3,/(x+2)-/(x)=4x+2,則f。)的解析

式為__f(X)=-X+3

【答案】/(.V)=A2-X+3.

【分析】利用待定系數法和對應思想的應用求出結果.

【解答】解：設/(X)=加+bx+C,

由于/(0)=3,所以c=3,

又因為/(x+2)-/(x)=4x+2,

所以f[x+2)-/(X)=4or+4a+2。=4%+2,

所以f(x)=x2-x+3.

故答案為：f(x)=x2-x+3.

【例7】(2025?重慶模擬)設定義域為R的函數/(%)滿足：Vx,yeR都后f(x+/()：))=/(/(x))+y

且/(0)=a(a為常數)，則函數f(x)=_x+a_.

【答案】x+a.

【分析】由已知函數關系，運用賦值法可求解.

【解答】解：定義域為R的函數/(%)滿足：Vx,都有/(x+/(>))=/(/(x))+y,

由/a+/(y))=/(/(x))+y①，

令x=0可得/(/日))=/(/(()))+y②，

在②中，令y=f(m)，則/(/(/(m)))=/(/(0))+f(m)③，

由②可得，/(/(/(/?)))=/(/(/(0))+⑼④，

由①可得,/(/(/(0))+m)=/(/(m))+y(O)⑤，

由②可得,/(/(m))+/(0)=/(/(0))+m+/(0)

則由③④⑤?可得，/(/(0))+/(/H)=/(/(0))+m+/(0),即f(m)=m+/(O),

因/(O)=a,則f(x)=x+a.

故答案為：x+a.

【例8】(2025?河北模擬)己知定義在R上的函數/(x)滿足/(%-)，)=/(x)/(y)+f

44

且"0)=1,試寫出一個滿足上述條件的/⑴的解析式：_cosZt_.

【答案】/(x)=cos2x(答案不唯一).

【分析】根據函數/(x)的遞推關系，可猜想函數為/(x)-c°s2x,驗證即可.

【解答】解：根據題意可知,fa-y)中間符號為“-”,f(x)f(y)+/(Crv)f[Lry)前后兩個代

44

數式中間符號為“+”，

類比兩角差的余弦公式cos(。-0)=cosO8S0+sinGsin0,

但cos(L。)=sinG,.?.猜測f(x)的一個解析式為/(x)=cos2A.

2

檢驗，/(x-y)=cos2(x-y)=cos(2x-2y)=cos2xcos2y+sin2ysin2y,

/(x)/(v)+/(--x)f^--y)=cos2xcos2y+cos2P-x)cos2(也1>')=cos2xcos2y+sinZrsin2y,

4444

/(x-y)=/U)/(y)+/(Sn、

x)/(jy)f滿足題意,

44

X/(0)=cos0=l,滿足題意,

故f(x)的一個解析式為f(x)=cos2x.

故答案為：/U)=cos2x(答案不唯一).

【例9】(2025?昆明模擬)已知函數/⑴是定義在R上的奇函數，且當且僅當x>0時，

f(x)=阮t,則當x<0時，/(x)的解析式為_f(x)=-ln(-j)___.

【答案】/(.r)=.

【分析】利用奇函數的定義，將求工<0時的解析式轉化為一>0時的情況，直接代入已知解析

式即可.

【解答】解：設x<0時，-x>0,f(-x)=ln(-x)9

因為f(X)是奇函數，所以f(T)=_f(X)=/〃(T),

所以當x<0時，/(x)=-7n(-x).

故答案為：f(x)=-/n(-v).

【例10】(2024?懷仁市校級四模)已知集合A={〃㈤|〃(力=加一Q+b)x+b,a,beR),函數

f(x)=x2-1,若函數g(x)滿足：對任意w(x)eA,存在九R,使得u(x)=Af(x)+〃g。)，則g(x)

的解析式可以是(寫出一個滿足條件的函數解析式即可)

【答案】T+1.

【分析】先將〃，式工)表示出來，再賦值即可.滿足g(1)=0,且一次項系數不為零的所有一

次或者二次函數解析式均正玳.

【解答】解:〃式I)=M(X)-Af(x)=ax2-(a+b)x+h-Aix1-1),

令人=a,則〃g(x)=加一(〃+b)x+1)-d(jr-1),

=-(a+b)x+a+bf取〃=a+/?，貝l]g(x)=-x+

1.故答案為：-v+I.

-------------------------應知識點3I---------------------------------

知識點

【知識點3]分段函數

分段函數求值問題的解題思路

⑴求函數值：當出現f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值.

⑵求自變量的值：先假設所求的值在分段函數定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值,

切記要代入檢驗.

例例題

【例11】(2024?羅山縣二模)若/⑴則八_2)的值為()

|log2x,x...1

A.0B.1C.2D.-2

【答案】B

【分析】利用函數的解析式知道當x<l時是以2周期的周期函數，故/(-2)=/(2),再代入函

數解析式即得

【解答】解：Q/(x)=f/(A+2)A<，

[log2x,x...1

.?.當X<1時，八-2)=/(())=/(2),

.,.當k=2時即/(2)=Iog22=1

故選：B.

【例12】(2022?上虞區(qū)模擬)設函數-8，為，0,則力/(1)]=__7_,若f(a)

?屏x>0

>1，則實數。的取值范圍是—.

【答案】-7;(-00,-2)0(10,+00).

【分析】依據分段函數的定義去求(1)]的值；分類討論關于a的不等式組，去求。的取

值范圍.

【解答】解：Q函數/(%)=(『-8』()，

1gM>0

???/(1)=/gl=0，

/If(1)]=/(0)=(1)°-8=-7；

/x.k>0_p\a0

fr(a)>lo或Jvr,

I3

解得q>10或a<-2,

:.若f(a)>1,則實數n的取值范圍是(7o,-2)510，

+oo).故答案為：-7;(-oo,-2)U(10,+oo).

【例13】(2020?西城.區(qū)校級模擬)函數/(幻=<[,滿足/(力>1的x的取值范圍()

I[x2,x>0

A.(-1J)B.(-l,+oo)C.{x\x>0^x<-2}D.{x|x>l

【答案】D

【分析】分x”0和1>0兩種情況解不等式，解指數不等式時，要化為同底的指數不等式，再利

用指數函數的單調性來解.