第11講函數(shù)的奇偶性及函數(shù)性質(zhì)綜合

【人教A版2019】

內(nèi)谷導(dǎo)航

3思維導(dǎo)圖

模塊一：函數(shù)的奇偶性

夯基?基礎(chǔ)知識梳理

模塊二：函數(shù)的圖象

「題型1函數(shù)奇偶性的判斷

一題型2由函數(shù)奇偶性求函數(shù)值、解析式

函數(shù)的奇偶性及L題型3由函數(shù)奇偶性求參數(shù)

函數(shù)性質(zhì)綜合，題型4函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

J提升?必考題型歸納一

、題型5函數(shù)圖象的識別與判斷

'題型6函數(shù)圖象的應(yīng)用

一題型7抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

I題型8函數(shù)性質(zhì)的綜合

課后作業(yè)（19題）

步思維導(dǎo)圖

偶函數(shù)、奇函數(shù)、非奇非偶函數(shù)

奇偶函數(shù)的圖象特征：①奇函數(shù)的圖象特征：若一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個

函函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形；②偶函數(shù)的圖象特征：若

一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形

數(shù)r函數(shù)的奇偶性

奇、偶函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用：①若一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則這個

的

函數(shù)是奇函數(shù)；②若一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)

奇函數(shù)的奇偶判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：（1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；（2）

、函數(shù)奇偶性的判則同”）是否具有等量關(guān)系

偶性

判斷

性

I函數(shù)奇偶性的（1）利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值；。）畫函數(shù)圖象

及應(yīng)用

奇函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形

函數(shù)圖象的對C

稱，性一［偶函數(shù)圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形

數(shù)

性函數(shù)圖象的識⑴排除法：利用特殊點(diǎn)的值來排除；⑵利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性來判斷

函數(shù)的圖象--

別、判斷

質(zhì)

對稱性的三個常用結(jié)論

綜

I對稱性的結(jié)論—

合

模塊一函數(shù)的奇偶性

知識梳理

1.函數(shù)的奇偶性

⑴定義：

一般地，設(shè)函數(shù)危）的定義域?yàn)?,如果v尤門，都有-x￡/,

偶函數(shù)且大㈤?工），那么函數(shù)/U）叫做偶函數(shù).

定一般地，設(shè)函數(shù)兀V）的定義域?yàn)?,如果都有

義奇函數(shù)且式-%）=/＞），那么函數(shù)/（X）叫做奇函數(shù).

非奇非

既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)的函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù).

偶函數(shù)

定義域

定義域必須是關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間.

特征

設(shè)函數(shù)A%）的定義域?yàn)?,則有#X）是偶函數(shù)且

等價(jià)?￥）是僉函數(shù)0Vx￡/,且長元）切＞0=0.特別地，

形式若409，還可以判斷木1=±1是否成立.

⑵奇偶函數(shù)的圖象特征（幾何意義）

①奇函數(shù)的圖象特征：若一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形;

反之，若一個函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù).

②偶函數(shù)的圖象特征：若一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形;反

之，若一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù).

③奇偶函數(shù)的結(jié)論：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間

上有相反的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數(shù)；

奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù).

(3)奇、偶函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用

①若一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則這個函數(shù)是僉函數(shù)；

②若一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)是假函數(shù).

2.函數(shù)奇偶性的判斷

判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

(2)判斷與於%)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系

式(/WtA-無)=0(奇函數(shù))或加)#x)=0(偶函數(shù)))是否成立.

3.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值,求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的

函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.

(2)畫函數(shù)圖象:利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.

步題型歸納

【題型1函數(shù)奇偶性的判斷】

【例1】(24-25高一上?黑龍江大慶?期末)己知函數(shù)/(%)=*,則下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是()

A./(%-2)+1B./(%-2)-1C./(x+2)-1D./(%+2)+1

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的解析可得八-4-x)+/(%)=2,故可得/(x)圖象的對稱中心，故可得正確的選項(xiàng).

【解答過程】因?yàn)?(-4-乃+/(久)=^^+2=2,

故/O)圖象的對稱中心為(一2,1),

所以將/(%)的圖象向右平移2個單位，再向下平移1個單位后圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱,

故2)—1為奇函數(shù)，

故選：B.

【變式1.1](24-25高一上?廣東佛山?階段練習(xí))己知/(久)==受，則/O)()

|X+Z|-2

A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)

C.是非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

【解題思路】求得函數(shù)定義域，去絕對值后根據(jù)奇函數(shù)定義判斷即可.

【解答過程】由1一/20得—1<%<1,即可得/(x)=苫邑="=士二，

\X-rZ|—2X+Z—ZX

所以函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,0)U(0,1],關(guān)于原點(diǎn)對稱.

又K-G=匕")2=—出3=—/(%)，可得,0)是奇函數(shù).

故選：B.

【變式1.2](24-25高一上?四川眉山?期中)下列函數(shù)中既奇函數(shù)又是增函數(shù)的是()

A./(x)=*2B./(x)=：

C./(x)=|x|D./(%)=2x

【解題思路】根據(jù)題意，逐項(xiàng)判斷即可.

【解答過程】對于A,函數(shù)/(乃=/為偶函數(shù)，故A錯誤；

對于B,函數(shù)f(x)=(為奇函數(shù)，在(0,+8)上單調(diào)遞減，故B錯誤；

對于C,函數(shù)/(x)=反|為偶函數(shù)，故C錯誤；

對于D,函數(shù)/O)=2x的定義域?yàn)镽,/(-%)=-2x=-/(x),所以/(x)=2乂為奇函數(shù)，易知其為增函數(shù)，

故D正確.

故選：D.

【變式1.3](25-26高一上?全國?課后作業(yè))已知函數(shù)"X)=3g(x)=|x|,則()

A./(%)+g(%)是奇函數(shù)B./(%)-g(%)是奇函數(shù)

C./(%)g(%)是奇函數(shù)D.是奇函數(shù)

【解題思路】根據(jù)奇偶性的概念分別判斷函數(shù)/(%),9(%)的奇偶性，再利用奇偶性的概念與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可

得結(jié)論.

【解答過程】函數(shù)/O)=:的定義域?yàn)?—8,0)u(0,+oo),貝葉(—K)=—§=-/(X),所以函數(shù)/(X)是奇函數(shù)，

函數(shù)g(%)=|%]的定義域?yàn)镽,所以9(-久)=\-x\=\x\=g(%),則g(%)是偶函數(shù)，

所以/(一無)+g(-%)=-/(%)+g(%)，不能確定奇偶性,A錯誤；

/(-%)-g(-x)=-/(%)-g(x),不能確定奇偶性,B錯誤；

f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)f則f(%)g(%)是奇函數(shù)，C正確；

f[g(-x)]=f[gM]f則是偶函數(shù),D錯誤.

故選：C.

【題型2由函數(shù)奇偶性求函數(shù)值、解析式】

J1例21(24-25高一上?江蘇無錫?階段練習(xí))定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x<0時,f(x)=x2-3x-l,

那么無>0時,/(x)=()

A.—X2—3%+1B.%2+3x+1C.-%2+3%+1D.%2—3x—1

【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及汽<0時的解析式即可求得%>0時的解析式.

【解答過程】當(dāng)%>0時，一%V0,

可得/(一式)=(―x)2—3(—%)—1=x2+3%—1,

又因?yàn)?(%)為奇函數(shù)，所以/(一%)=-/(%)=/+3%-1,可得/(%)=-/_3%+1,

即久>0時，/(x)=—X2—3x+1.

故選：A.

【變式2.11(24-25高一上?江蘇淮安?階段練習(xí))設(shè)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)％>0時，/(%)=2/+%,

則/(-1)=()

A.-2B.1C.-1D.-3

【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)的定義可得f(-l)=-/(I),求出/(I)即可.

【解答過程】因?yàn)?(支)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)％20時，/(x)=2x2+x,

所以/(-1)=-/(I)=一(2xI2+1)=-3.

故選：D.

【變式2.2](24-25高一上?重慶?期中)已知f(%)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)》>0時，f(%)=%3+2%+1,則汽<0

時，/(%)的解析式為()

A./(%)=—X3—2x—l(x<0)B./(%)=—x3—2x+l(x<0)

C./(%)=x3+2x-1(%<0)D./(%)=—x3+2%+1(%<0)

【解題思路】利用奇函數(shù)的定義計(jì)算即可.

【解答過程】因?yàn)閒(%)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)％>0時/(%)=/+2%+1,

因?yàn)槠?lt;0,所以一汽>0,/(—%)=(―%)3+2(—x)+1=—X3—2%+1=—/(%),

所以/(%)=/+2x2—1.

故選：C.

【變式2.3](24-25高一上?江蘇鹽城?期中)若奇函數(shù)/(%)和偶函數(shù)g(%)滿足/(%)+g(%)=%3+%2+2,則

/⑴+g(0)=()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于/(%)、g(%)的方程組，解出這兩個函數(shù)的解析式，代值

計(jì)算可得出/(1)+g(0)的值.

【解答過程】因?yàn)槠婧瘮?shù)f(%)和偶函數(shù)g(%)滿足f(%)+g(%)=/+/+2,

則/(-久)+g(-%)=(-x)3+(-%)2+2,

nn(/(%)+9(%)=%3+/+2(/(%)=%3

I—/(x)+g(%)=—x3+/+2，Ag(x)=x2+2"

因此，/(l)+g(0)=l+2=3.

故選：C.

【題型3由函數(shù)奇偶性求參數(shù)】

[例3](24-25高一上?吉林?階段練習(xí))設(shè)/(%)=-%3+(a-2)%2+%是定義在R上的奇函數(shù)，則a=

()

A.1B.2C.0D.-2

【解題思路】由題設(shè)得/(一1)=一/(1),進(jìn)而求出。，再檢驗(yàn)即可.

【解答過程】因?yàn)?(%)=-x3+(Q-2)/+%是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(—1)=~f(1)>即一(一1)3+(a—2)(—I)2+(―1)=—[―I3+(a—2)+1]9故a=2,

此時/(%)=—x3+x,所以/(_%)=—(—%)3+(—%)=x3—x=—(—%3+%)=—/(%),

滿足/(%)=-%3+(a-2)x2+%是定義在R上的奇函數(shù)，

所以a=2.

故選：B.

【變式3」】(24-25高一上?浙江杭州?期中)已知函數(shù)/(%)=當(dāng)，若y=/(x+a)—b為奇函數(shù)，貝U()

A.a=l,b=-1B.a=l,b=1C.a=-l,b=-1D.a=-1,b=1

【解題思路】f(x)的對稱中心為(L-1),根據(jù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù)得到f(x)關(guān)于(a,b)對稱即可得解；

【解答過程】f(x)=止=千把=—1—3,

71-x1-xX-1

因?yàn)?'(1_久)+/(1+x)=-1-+—1_17^1=—2，

所以八%)的對稱中心為(L-1),

由題意得函數(shù)y=/(x+a)—b為奇函數(shù)關(guān)于(0,0)對稱，

則f(x)關(guān)于(a,b)對稱，

解得a-l,b=-1,

故選：A.

【變式3.2](24-25高一上?全國?課后作業(yè))"=1”是“函數(shù)f⑺=三署為奇函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】利用函數(shù)/(x)=三若為奇函數(shù)求得々=±1,進(jìn)而得到"=1”與"函數(shù)f(x)=淺學(xué)為奇函數(shù)”

的邏輯關(guān)系.

【解答過程】若函數(shù)/(乃=鬻廣定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，

則/(0)=—|fc|+1=0,即女=±1,

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)卜=±1時，函數(shù)〃%)=三需是奇函數(shù)，

而/O)為奇函數(shù)時，k不一定等于1,

故"=1”是“函數(shù)f⑺=霽^為奇函數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A.

【變式3.3](24-25高一上?云南?期中)已知函數(shù)/(%)=x3-6x2,若g(%)=/(%+a)-b為奇函數(shù),則a+b=

()

A.-4B.12C.14D.-14

【解題思路】由奇函數(shù)的定義即可求解.

【解答過程】因?yàn)間(%)=/(x+。)一b為奇函數(shù)，/(x)=x3-6x2,

所以/(%+a)-b+f(—x+a)—b=0,

所以(％+a)3—6(x+a)2—b+(—%+a)3—6(—x+a)2—b=0,

所以(％+a)3—6(%+a)2—b—(x—a)3—6(%—a)2—b=0,

所以(6a-12)x2+2a3-12a2-2b=0,

所以6a-12=0,2a3-12a2-2/?=0,

所以a=2,b=-16,則a+b=—14.

故選：D.

【題型4函數(shù)奇偶性的應(yīng)用】

[例4](24-25高一上?吉林延邊?期末)定義在R上的奇函數(shù)/(x),在(-8,0)上單調(diào)遞增，且/(2)=0,

則滿足%/(%-2)>0的％的取值范圍是()

A.[-2,0]U[2,4]B.(—co,2]u[4,+oo)

C.[-2,2]U[5,+00)D.[-2,2]U[4,+oo)

【解題思路】根據(jù)題意得到f(0),〃一2)的值與f(x)的單調(diào)性，再分類討論x=0,%=2,%>2,0<%<2與

%<0五種情況，結(jié)合f(x)的性質(zhì)即可得解.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞增，且f(2)=0,

所以f(0)=0,2)=-/(2)=0,/⑸在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x=0時，xf(x—2)>0成立；

當(dāng)x=2時，K/(久一2)20成立；

當(dāng)x>2,即％-2>0時，/(x-2)>0=/(2),即有222,可得x24；

當(dāng)0<x<2時，x-2<0,f(x-2)>0=f(-2),可得22-2,可得0<x<2；

當(dāng)x<0時，%-2<0,f(x-2)<0=/(-2),可得尤一2W-2,可得％<0；

綜上，*W2或尤24,即工的取值范圍是(一8,2]U[4,+8).

故選：B.

【變式4.1](24-25高一上?福建莆田?期中)設(shè)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(一8,-1]上單調(diào)遞增，貝IJ()

A.B./(2)</(-|)</(-1)

C./(2)</(-1)</(-|)D./(-1)</(-|)</(2)

【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得到f(2)=f(-2),再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

【解答過程】因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以/(2)=/(-2),

又/'(x)在區(qū)間(一8,—1]上單調(diào)遞增，—2<—1<—1,所以/"(—2)</(―|)<f(―1),

則/⑵</(—習(xí)</(—1).

故選：B.

【變式4.21(24-25高一上?湖南常德?階段練習(xí))已知函數(shù)f⑺的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?0,+8),若fQ+1)/(%-

1)=4,函數(shù)f(x-2)為偶函數(shù)，f(2024)=1,則/⑴+/(2)+…+>(2024)=()

A.4050B.4552C.4554D.4556

【解題思路】由條件證明/(%)為周期函數(shù)，周期為4,再證明函數(shù)〃久)為偶函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求

/(I),/(2),/(3),/(4),利用加法的運(yùn)算律求結(jié)論.

【解答過程】由f(x+1)/(%-1)=4可得f(%+2)f(x)=4,①

對任意的％ER,/(x)>0,所以，f(x+4)/(%+2)=4,②

由①②可得/(%+4)=/(%),所以函數(shù)/。)是周期為4的周期函數(shù).

因?yàn)閒(x-2)為偶函數(shù),則f(t-2)=f(x-2),

因?yàn)閒(2024)=/(4X506)=f(0)=1,由/(%+2)/(x)=4可得f(2)=高=%

且f(4)=/(0)=1,由f(%-2)/(?=4可得“T-2)/(—x)=4,

因?yàn)椤ㄒ痪靡?)=f(x-2),所以，/(-x)=/(x),故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，

因?yàn)椤▁+2)/(x)=4,則1)=4=v(1)]2,所以，/⑴=2,

由f(l)f(3)=4可得/(3)=2，因?yàn)?024=4x506,所以，立簽f(n)=506(2+4+2+1)=4554

故選：C.

【變式4.3](24-25高一上?陜西渭南?期中)已知偶函數(shù)外為的定義域?yàn)镽,對于任意均,&G[0,+8)(均*x2)

均有"犯)-"巧)<0,且/(1)=0)則滿足-2久-3)>。的x的取值范圍是()

%2一%]

A.(2,+00)B.(1,2)C.(-oo,l)U(2,+oo)D.[0,2)

【解題思路】由題意可得在[0,+8)單調(diào)遞減，又函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且f(1)=0

所以不等式f(2x-3)>0等價(jià)于f(|2x-3|)>f⑴，即|2x-3|<1,解之即可.

【解答過程】因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,且對于任意e[0,+8)%大犯)均有“加力"1)<0,

所以/(%)在[0,+8)單調(diào)遞減，

又函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且/(1)=0

由/(2%-3)>0,得f(2x-3)>f(l),等價(jià)于f(|2x-3|)>f(l),

所以|2x—3|<1,

即一1<2%一3<1,

解得：l<x<2,

所以實(shí)數(shù)%的取值范圍是：(1,2),

故選：B.

模塊二函數(shù)島面象

知識梳理

1.函數(shù)圖象的對稱性

(1)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形:函數(shù)yy(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,6)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)

g(,x)=f(x+a)-b為奇函數(shù).

(2)圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形:函數(shù)y?(尤)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)

g(x)=/(尤+a)為偶函數(shù).

2.函數(shù)圖象的識別、判斷

⑴排除法:利用特殊點(diǎn)的值來排除；

(2)利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性來判斷.

3.對稱性的三個常用結(jié)論

(1)若函數(shù)/(x)滿足人.+尤)=/仍-無)，則的圖象關(guān)于直線x="對稱.

⑵若函數(shù)外)滿足Ha+x)=；/(b-x),則>成0的圖象關(guān)于點(diǎn)可對稱.

(cibc\

⑶若函數(shù)"x)滿足火=c,則y可(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一2—對稱?

步題型歸納

【題型5函數(shù)圖象的識別與判斷】

，例5](24-25高一上?江蘇常州?階段練習(xí))函數(shù)f(x)=V的圖象大致形狀是()

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的符號可得正確的選項(xiàng).

【解答過程】f(x)的定義域?yàn)閧加尤豐±2},而f(-x)==-/(%),

因此f(x)為奇函數(shù)，故排除CD,

當(dāng)0<x<2時，/(%)=—<0,故排除B,

X—1

故選：A.

【變式5.1](24-25高一上?四川雅安?階段練習(xí))函數(shù)/(%)的大致圖象如圖所示，則/(%)可能是()

比2

B-

D-&)=已

【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖象，易得函數(shù)的定義域和對稱性，奇偶性，再逐一判斷各選項(xiàng)即得.

【解答過程】由圖象可知，f(X)為奇函數(shù)且定義域?yàn)椋鸛I%7±1｝.

對于A,函數(shù)的定義域?yàn)?1x7±1｝關(guān)于原點(diǎn)對稱，但〃-切=1三=去=/(%),是偶函數(shù)，故A錯

誤;

對于B,函數(shù)定義域?yàn)椋?IX片1｝，與圖象不符，故B錯誤;

對于C,函數(shù)定義域?yàn)椋?IxW±1｝關(guān)于原點(diǎn)對稱，且/(-%)=-~==一/(%)，是奇函數(shù)，與圖

(―x)z—1xz—1

象符合,故C正確;

對于D,函數(shù)定義域?yàn)椋鹸Ix十±2｝,與圖象不符，故D錯誤;

故選：C.

【變式5.2](24-25高一上?湖南?期中)若/(X)與g(x)均為定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)h(x)=/(x)g(x)的

【解題思路】先分析無0)的奇偶性，然后直接判斷即可.

【解答過程】因?yàn)閒(x)與g(x)均為定義在R上的奇函數(shù)，

所以/'(—%)==-g(x)J(0)=g(0)=0,

又因?yàn)閔(x)=f(x)g(x)的定義域?yàn)镽且關(guān)于原點(diǎn)對稱，

K/i(-x)==[-/(x)][-5(x)]=f(%)g(x)=/i(x),

所以h(x)為偶函數(shù)，

故圖象關(guān)于y軸對稱且%(0)=/(0)5(0)=0,符合要求的只有選項(xiàng)B,

故選：B.

【解答過程】由題意可得：/(%)=&的定義域?yàn)閧劃尢豐±1},

且/(—X)=元3=一米),

所以函數(shù)f(x)=旨在定義域上為奇函數(shù)，故排除選項(xiàng)B,D.

又因?yàn)?'&)=二■=一：＜0,故排除選項(xiàng)C.

2id~2

故選：A.

【題型6函數(shù)圖象的應(yīng)用】

【例6】(24-25高一上?天津?yàn)I海新?期中)已知函數(shù)/(%)是(一8,0)u(0,+8)上的奇函數(shù)，且當(dāng)％V0

時，函數(shù)的部分圖象如圖所示，則不等式餐心＜0的解集是()

X

A.(―3,—1)U(1,3)B.(—3,—1)U(0,1)U(3,+8)

C.(—8,—3)U(—1,1)U(3,+8)D.(—8,—3)U(—1,0)U(0,1)U(3,+8)

【解題思路】根據(jù)題設(shè)，將不等式化為?<0,結(jié)合奇函數(shù)對稱性及圖象確定其解集.

X

【解答過程】由題設(shè)但正到;殳"<0,即?<0,

XXX

當(dāng)x<0時，竽<00/(%)>0,

由圖可知,X€(—00,-3)U(―1,0)時/(%)>0,x6(―3,—1)時V0,

當(dāng)x>0時，"<0=/(%)<0,

根據(jù)奇函數(shù)的對稱性，有xG(0,1)U(3,+8)時/(久)<0,XG(1,3)時/(?>0,

所以,不等式的解集為(一8,-3)U(-1,0)U(0,1)U(3,+8).

故選：D.

【變式6.1](24-25高一上?貴州六盤水?期中)已知函數(shù)/的部分圖象如圖所示，則()

A.f(x)的定義域?yàn)镽B.f(x)的值域?yàn)?0,+8)

C.f0)在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞減D./(%)>0的解集為(-1,0)U(1,+8)

【解題思路】根據(jù)解析式和圖像直接判斷AB；對于C：結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)分析判斷；對于D：利用單調(diào)性解

不等式即可.

【解答過程】對于選項(xiàng)A：顯然函數(shù)f(x)=x-:的定義域?yàn)閧x|x40},故A錯誤;

對于選項(xiàng)B：由圖象可知f(x)可以為負(fù)值，所以f(x)的值域不為(0,+8),故B錯誤;

因?yàn)?(—%)=-x—《=一1—￡)=—/(%),可知/0)為奇函數(shù).

對于選項(xiàng)C：由圖象可知：/(%)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

則f(x)在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞增，故C錯誤；

對于選項(xiàng)D：因?yàn)?(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

且f(1)=0,此時f(x)>0的解集為(1,+8)；

又因?yàn)閒(x)在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞增，

且/(—1)=一/⑴=0,此時/(x)>0的解集為(—1,0)；

綜上所述：f(x)>0的解集為(—l,0)U(L+8),故D正確；

故選：D.

【變式6.2］(24-25高一上?山東聊城?期中)已知y=/(%)是偶函數(shù)，y=g(%)是奇函數(shù)，它們的定義域都是

［-3,3］,且它們在xe［-3,0］上的圖象如圖所示，則不等式尊<0的解集是()

A.(-3,-2)U(0,1)U(2,3)B.(-3,-1)U(0,1)

C.(-2,-1)U(0,1)U(2,3)D.(-2,-1)U(2,3)

【解題思路】不等式轉(zhuǎn)化為『,飛1°或:再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和圖象，即可求解.

(g(x)<0(g(x)>0

【解答過程】由魯<°得：［優(yōu)：:或［陰；?

g(%)(gw<0Lgw>o

因?yàn)閥=f(X)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；

y=g(x)是奇函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱;

曰(一2<x<0或0<x<2(-3Wx<-2或2cXW3

所以可得一或《―

1—3<x<-1或0<%<11-1<%<0§K1<%<3

解得-2<%<-1或0<x<1或2<%<3,

所以原不等式的解集為(—2,—1)U(0,1)U(2,3).

故選：C.

【變式6.3］(24-25高一上?四川遂寧?期中)已知定義域?yàn)椋?4,4］的奇函數(shù)/(X)在(0,4］的圖象如圖所示，則

下列說法錯誤的是()

A./(—4)=-1

B./(0)=0

C./(久)在定義域上不存在最小值

D./(%)在［-4,4］的最大值與最小值之和為0

【解題思路】利用f(x)為定義域在［-4,4］的奇函數(shù)，結(jié)合圖象逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答過程】對于A,由/(x)為定義域在［-4,4］的奇函數(shù)，則圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱，/(%)+/(-%)=0,

由圖知/(4)=1,則/(—4)=一1,故A正確；

對于B,0e［-4,4］,f(x)為奇函數(shù)，則f(0)=0,故B正確；

對于C,由圖知f(x)在(0,4］的最大值為f(2)=2,則f(x)在［-4,0)的最小值為r(-2)=-2,

因此可得/(久)在定義域［-4,4］上存在最小值為-2,故C錯誤；

對于D,由f(x)在［-4,4］的最大值為2,最小值為-2,則最大值與最小值之和為0,故D正確.

故選：C.

【題型7抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性】

J【例71(24-25高三上?山東荷澤?階段練習(xí))已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,/(%+y)f(x-y)=/2(x)-

f2(y),且當(dāng)x>0時，f(x)>0,則下列正確的是()

A.〃久)是偶函數(shù)B.f(x)是周期函數(shù)

C.當(dāng)—1<%<0時，/(2—x)<f(x+2)D.當(dāng)0<x<l時，/(x2+1)>/(2x)

【解題思路】對于A,令x=y=0,得f(0)=0,令％=0,整理得到f(—y)+f(y)=0判定；對于B,先證

明f(x)是增函數(shù)，可得f(x)不是周期函數(shù)判斷；對于C,D運(yùn)用單調(diào)性可判斷.

【解答過程】對于A/(x+y)/(x-y)=產(chǎn)00-產(chǎn)⑶)，

令X=y=0,貝次2(0)=產(chǎn)(0)-f2(0),得f(0)=0,

令x=0,得=f2(0)-f2(y),

由/(0)=0整理可得y)+/(y)］=o,

由題干可知/(一y)不恒為0,故/(-y)+/(y)=0,

即/"(一y)=—/(y)wf(y)，故/(%)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，A錯誤；

對于B,設(shè)％2>xr>0,則％1+%2>°，%2—。，

則f(%1+%2)>0"(%2一xi)>0/(%2)>N0,

且嚴(yán)(久2)—產(chǎn)(%)=(/(%2)+/(A：1))(/'(X2)-/(%1))=f(X2+>0,

故產(chǎn)O2)-72(xi)>0,則/3)>fOi),

又/'(0)=0,f(x)是奇函數(shù),故/■(%)是增函數(shù),

由/O)是增函數(shù)可得/O)不是周期函數(shù)，故B錯誤；

對于C,一1V%VO時，2V2—%V3,1<x+2<2,

???2-%>x+2,/(2—%)>/(%+2),C錯誤；

對于D,0V%<1時，%2+1—2%=(%—I)2>0,

??.x2+1>2x,f(x2+1)>/(2x),D正確.

故選：D.

【變式7.1](24-25高一上?江蘇南京?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,對任意實(shí)數(shù)％,y滿足/(%+y)=

/(x)+/(y)+1，當(dāng)％>，時,f(x)>0.給出以下結(jié)論：①“0)=/②汽-1)=一|；③/⑺

為R上減函數(shù)；④/(x)+1為奇函數(shù)；其中正確結(jié)論的序號是()

A.①②④B.①④C.①②D.①②③④

【解題思路】利用抽象函數(shù)的關(guān)系式,令x=y=0判斷①的正誤;令x==—捌斷②的正誤;令％>o,y=

|)可得當(dāng)X>0時，/'(%)>-5再令X=/一X2，y=乂2，結(jié)合單調(diào)性的定義判斷③的正誤；令丫=一%判斷

④的正誤；

【解答過程】因?yàn)?(尤+y)=/(X)+/(y)+1,

故令久=y=0,可得/(0+0)=/(0)+/(0)+1,

即f(0)=2f(0)+5解得f(0)=-5故①正確；

令x=5y=一/可得/6一m=/?+/(-9)+5

又/(0)—)=。，

即一;，(一5+%解得f(一3=-1，

再令X=y=_1,可得/(一?￡)=/—)+/(_1)+點(diǎn)

即/(-1)=-1+(-1)+2=-|,故②正確；

令x>0,y=g可得f(x+5=/(%)+/(|)+1=f(x)+i,

即/'(x)=/(^+1)-|

因?yàn)閤>0,則x+]>}可得/(x+3>0,所以f(x)=/(%+|)—3>-1，

令X=%1-％2,y=%2，不妨設(shè)%1>%2，

可得/(久1)=/(%1—%2)+/(%2)+(即/(%1)—/(汽2)=/(%1—％2)+p

因?yàn)?i>第2，則％1—％2>。，則—]，

可得/(%1)-/(%2)=/(%1—％2)+}>。，即/(%1)>/(%2)，

所以/(%)為R上增函數(shù)，故③錯誤；

令y=-%,可得/(%-%)=/(%)+/(-%)+1,

即八0)=fM+/(-%)+|=-p整理得，(X)+1]+[/(-%)+|]=o,

所以f(x)+:為奇函數(shù)，故④正確；

故選：A.

【變式7.21(24-25高一下?貴州遵義?期末)已知函數(shù)/(久)的定義域?yàn)镽,/(%+y)=/(%)+f(y)-2,則()

A./(0)=0B.函數(shù)門>)-2是奇函數(shù)

C.若/(2)=2,則f(2024)=—2D.函數(shù)/(久)在(0,+8)單調(diào)遞減

【解題思路】對A,賦值法令x=y=0求解；對B,賦值法結(jié)合奇函數(shù)的定義判斷；對C,令y=2求得函

數(shù)的周期求解；對D,利用單調(diào)性定義結(jié)合賦值法求解判斷.

【解答過程】對于A,令x=y=0,可得八0)=/(0)+/(0)-2,解得/(0)=2,故A錯誤；

對于B,令丫=-x,可得f(0)=/(x)+f(-x)-2,又/XO)=2,

則/(—x)—2=—“久)+2=—，(x)—2],所以函數(shù)f(x)—2是奇函數(shù)，故B正確；

對于C,令y=2,得/(x+2)="x)+/⑵-2=/(x),則/⑺是周期函數(shù),周期為2,所以/(2024)=/(0)=

2,故C錯誤；

對于D,令x=y-x2-xlt且刀2>Xi>0，則/'(%!.+刀2-/)=/(尤1)+/(孫一乂1)一2,

即/'(%2)-y(Xi)=/(%2-%i)-2,而x>0時,f(%)與2大小不定,故D錯誤.

故選：B.

【變式7.3](24-25高一上?安徽宿州?期中)已知定義在(—8,0)U(0,+8)上的函數(shù)/(%)，滿足/(孫)+

2=/(x)+/(y),且當(dāng)x>1時，/(%)>2,則下列說法錯誤的是()

A./(-I)=2B./O)為偶函數(shù)

C./(-2025)<f(-2024)D.若/■(x+2)<2,則一3<久<一1

【解題思路】A選項(xiàng)，先令尤=y=l,可得f(1)=2,再令x=y=-L可判斷選項(xiàng)正誤；

B選項(xiàng)，令y=-1,結(jié)合定義域可判斷選項(xiàng)正誤；

C選項(xiàng)，由題可判斷人久)在(0,+8)上單調(diào)遞增，后由B選項(xiàng)分析可判斷選項(xiàng)正誤；

D選項(xiàng)，由ABC選項(xiàng)可解不等式/(x+2)<2.

【解答過程】A選項(xiàng)，在/'(xy)+2=f(x)+f(y)中，令x=y=l,

得f(l)+2=f(l)+f(l)，解得f(1)=2；再令x=y=—1,

得/(1)+2=/(—1)+/(—1),解得外―1)=2,故A正確；

B選項(xiàng),令y=-l,得/(-*)+2=/(x)+/'(-1),所以/'(-*)=f(x),

又/0)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以/G)是偶函數(shù)，故B正確；

C選項(xiàng)，設(shè)0</<%2，貝1=所以/'(t)>2,

X1

所以/'(%2)=fg)=f(t)+/,(%1)-2>f(Xi),

所以f(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，因?yàn)?(X)是偶函數(shù)，

所以門>)在(一8,0)上是減函數(shù)，從而“-2025)>f(-2024),故C錯誤；

D選項(xiàng),因?yàn)閒Q)是偶函數(shù),則/(尤+2)<2=/(|%+2|)</(1),

又/(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，所以|x+2|<l,解得一3<%<-1,故D正確.

故選：C.

【題型8函數(shù)性質(zhì)的綜合】

[例8](24-25高一上?四川樂山?期中)已知函數(shù)/(%)=篝定義在(-3,3)上的奇函數(shù)，且f⑴=*

(1)求函數(shù)/0)的解析式；

(2)判斷函數(shù)/(無)在(-3,3)上的單調(diào)性，并用定義證明；

(3)解不等式f(2t)+/(t-l)>0.

【解題思路】⑴由f(0)=0求得b,再由f(l)=2求得a,并檢驗(yàn)；

(2)根據(jù)單調(diào)性定義證明；

(3)由奇偶性變形不等式，再由單調(diào)性求解.

【解答過程】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=黑定義在(一3,3)上的奇函數(shù)，所以f(0)=3=0,b=0,

所以〃1)=祟=/。=1,所以/(%)=/，

，(—乃=公=—八>)，滿足題意；

所以八%)=合；

(2)“X)是(—3,3)上的增函數(shù)，證明如下：

設(shè)-3</5<3,財(cái)⑵)-"打)=七-券=等瑞果

因?yàn)橐?<X[<%2<3,所以看一打<。，％1%2<4,從而4—芯1萬2〉0，而好+9>0,好+9〉0,

所以〃%)-fg<0,即，(/)<fg,

所以f(x)是(-3,3)上的增函數(shù)；

(3)由題意f(x)是(一3,3)上的遞增的奇函數(shù)，

由f(2t)+/(t-1)>0得f(2t)>-f(t-1)=/(I-t),

2t>1-t

所以-3<2t<3,解得？<t<|,

,-3<t-1<3

所以不等式的解集為G，|).

【變式8.1](24-25高一上?廣東中山?階段練習(xí))定義在(-2,2)上的函數(shù)滿足對任意的居ye(-2,2),都有

fix)+f(y')=f(x+y),且當(dāng)％e(0,2)時,f(x)>0.

(1)判斷函數(shù)/(久)的奇偶性，并證明；

⑵判斷/⑺在(-2,2)上的單調(diào)性，并用定義證明.

【解題思路】(1)利用賦值法先求出〃0)=0,再找到/(￡),/(-x)的關(guān)系，進(jìn)而可證奇偶性；

(2)借助函數(shù)單調(diào)性的定義，進(jìn)行賦值證明即可.

【解答過程】(1)f(x)在(-2,2)上是奇函數(shù)，證明如下：

結(jié)合題意：令x=y=0,則f(0)+f(0)=f(0),解得f(0)=0,

若xG(—2,2),則一％E(—2,2),

令y=—x,貝！l/Xx)+f(—x)=/(x—%)=/(0)=0,

所以八―x)=-/(%),故/(x)在(—2,2)上是奇函數(shù).

(2)f(x)在(-2,2)上的單調(diào)遞增，證明如下：

任取6(—2,2),且X］<%2>

令X=X2,y=T1，則/'(%2)+/(-X1)=/(%2-/)，

因?yàn)榘?)在(一2,2)上是奇函數(shù)，所以/(一勺)=-/(%!),

所以/'(*2)-/(%1)=/(X2-%i),

因?yàn)楫?dāng)xe(0,2)時,/(%)>0,

由％1<%2，所以％2-刀1>。，所以/'(>2-%1)>0，

所以/'(*2)-=f(x2-xj>o,apy(x2)>yOi),

所以在(-2,2)上的單調(diào)遞增.

【變式8.21(24-25高一上?重慶?期中)已知函數(shù)f(x)是定義在［-3,3］上的奇函數(shù),滿足/⑴=當(dāng)—3<%<0

時，有/(久)=言

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)判斷/(?的單調(diào)性，并利用定義證明；

(3)若對Vx6［-3,3］>都有/。)三小2-2(2爪+1對\/￡16|-2,2］恒成立，求實(shí)數(shù)rn的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)((0)=0,/(1)=：求出6=0,a=2,再檢驗(yàn)即得解；

(2)函數(shù)f(x)在［-3,3］為單調(diào)遞增函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明；

(3)分析得到巾2-2am>0對任意的ae［一2,2］恒成立，解不等式組+f?即得解.

【解答過程】(1)函數(shù)/(%)是定義在［-3,3］上的奇函數(shù)，

則f(0)=0,即5=0,解得b=0,

又因?yàn)榧?(-1)=—：=一已，解得a=2,

經(jīng)檢驗(yàn)可得，a=2符合題意.

所以當(dāng)—34%40時，f(%)=j",

令xG(0,3］,JH!|—xG［—3,0),

所以/X—x)=爵=-/(%)，

則當(dāng)X€(0,3］,/(%)=島

綜上所述，/(X)--

(2)函數(shù)f(x)在［—3,3］上是增函數(shù).

證明如下：

任取%26［-3,3］且/<x2>

貝廳(右)—f(%2)=磊一怒

x

2X^I-18X2%I%2(%2—

2x^1+18%i—22i)~18(x2—久i)

=(好+9)(媛+9)=(好+9)(媛+9)

_2(久2_%1)(%1%2_9)