2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

第13練函數(shù)與方程及函數(shù)模型的應(yīng)用（精練）

明課標(biāo)要求知練題方向

1理解函數(shù)的零點與方程的解的關(guān)系.

2,了解函數(shù)零點存在定理，并能簡單應(yīng)用.

3.了解用二分法求方程的近似解.

4.在實際情境中，會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律.

5,結(jié)合現(xiàn)實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長

速度的差異，理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實含義.

真題風(fēng)向標(biāo)

一、多選題

1.（2023?全國?高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲，玉級來度量聲音的強弱，定義聲壓級

P

Lp=20xlg,其中常數(shù)死（外>0）是聽覺下限閾值，〃是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級：

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050?60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為心，則（）.

A.之〃2B.p2>10/73

C.p3=HK）p0D.dWlOOp?

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意可知〃?609）］./力?50.60］」4=4（）,結(jié)合對數(shù)運算逐項分析判斷.

【詳解】由題意可知：Llh€[60,90],^G[50,60],^=40,

對于選項A：可得%一L=20x|g-^-!--20xlg-^-=20xlg-^t

PoPoPl

因為47%,則4-4=20xlggz0,即愴旦20,

PlPl

所以且21且外P2>0,可得P/P2,故A正確；

Pi

對于選項B：可得4-4=20xlg衛(wèi)-20x1g以=20xlg以，

PoPoPi

因為4，-4=4-40210,則20xlg△N10,即IgRj,

〃3夕32

所以與之國且〃"3>0,可得〃經(jīng)而月,

“3

當(dāng)且僅當(dāng)4?=50時，等號成立，故B錯誤；

對于選項C：因為4=20x1g乙=40,即愴上=2.

PoPo

可得上=100,即P3=ioop0,故C正確；

PQ

對于選項D：由選項A可知：4-以=2。乂尼人，

Pi

且與-4,490-50=40,則20x|g且K40,

〃2

即電且42,可得上G00,且外〃2>0,所以目々0()〃2,故D正確;

PiPi

故選：ACD.

二、填空題

2.(2023?天津?高考真題)設(shè)awR,函數(shù)/("二公2-2工-卜2_?+1|,若/")恰有兩個零點，則。的取值范圍

為.

【答案】(e,0)5°，l)5L田)

【分析】根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，求出零點，再根據(jù)根存在的條件即可判斷。的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)％2-公+120時，/(x)=0^(n-l)x2+(?-2)x-l=0,

即[(a_l)x_1]a+l)=0,

若4=1時，X=~\,此時/一批+1NO成立；

若〃工1時，一或x=-l,

a-\

若方程有一根為x=-l,則1+a+INO,即且

若方程有一根為x貝d」-]，x-L+]2解得：且"]；

ci-\\a-\Ja-]

若“=—！―=-1時，。=0,此時1+。+120成立.

a-\

(2)當(dāng)V一級+1<。時，/(x)=0o(a+l)f-(。+2卜+1=0,

即+=

若〃二一1時，X=\,顯然V一必+1<0不成立；

若〃工-1時，X=1n￡x=—!—,

4+1

若方程有一根為x=l,則1-〃+1<0,即a>2；

若方程有一根為x貝_〃x」一+lvO,解得：?<-2；

若x=—1=1時，4=0,顯然f一"+1<0不成立；

綜上，

當(dāng)〃<-2時，零點為一二，

fl+1a-\

當(dāng)-2?a<0時，零點為」7,-1；

a-\

當(dāng)〃=0時，只有一個零點T;

當(dāng)Ovavl時，零點為一二，-1；

a-\

當(dāng)〃=1時，只有一個零點T；

當(dāng)1<〃42時，零點為」，-1；

當(dāng)。>2時，零點為L-I.

所以，當(dāng)函數(shù)有兩個零點時，。工0且

故答案為：(e,0)u(0,l)u(l,+oc).

【點睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對應(yīng)的范圍,

然后根據(jù)范圍討論根(或零點)的個數(shù)，從而解出.

3.(2023?全國?高考真題)已知函數(shù)〃x)=cos5-l(3>0)在區(qū)間［(),2可有且僅有3個零點，則口的取值范

圍是.

【答案】［2,3)

【分析】令，。)=0,得COS的=1有3個根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.

【詳解】因為0WXW2TT,所以

令f(X)=COS3T-I=0,貝！|COS5=1有3個根，

令/=&￥,則cosf=l有3個根,其中/c［0,2s］,

結(jié)合余弦函數(shù)y-cos/的圖像性質(zhì)可得4兀<Iconv6兀，故2<口<3,

4廠1

O-\.\^…_.^…Z7T2n_x……/47t_6兀r；

y-cos/

故答案為：［2,3).

4.(2022?天津?高考真題)設(shè)aeR,對任意實數(shù)x,記/(x)=。血{國-2,9一以+3-5}.若/⑴至少有3

個零點，則實數(shù)〃的取值范圍為.

【答案】a>10

【分析】設(shè)g(x)=V-如+%-5,〃(司=兇-2,分析可知函數(shù)g(x)至少有一個零點，可得出△之0,求出

〃的取值范圍，然后對實數(shù)〃的取值范圍進行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實數(shù)。的不等式，綜合可求得

實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】設(shè)g("二f一女+%一5,〃(力=國一2,由國一2=0可得工=±2.

要使得函數(shù)“X)至少有3個零點，則函數(shù)g(x)至少有一個零點，貝必=/一12。+20之0,

解得。42或。之10.

①當(dāng)〃=2時，g(x)=W-2x+l,作出函數(shù)g(x)、〃(x)的圖象如下圖所示：

此時函數(shù)/（X）只有兩個零點，不合乎題意；

②當(dāng)〃＜2時，設(shè)函數(shù)g（"的兩個零點分別為七、七（與＜々），

要使得函數(shù)“X）至少有3個零點，則勺4-2,

2

所以，\2,解得4C0;

g（-2）=4+5々-520

③當(dāng)々二10時，J?（X）=X2-10.V+25,作出函數(shù)屋力、〃（力的器象如下圖所示:

由圖可知，函數(shù)“X）的零點個數(shù)為3,合乎題意；

④當(dāng)々＞10時，設(shè)函數(shù)g（x）的兩個零點分別為七、x4（xj＜x4）,

要使得函數(shù)“可至少有3個零點，則占之2,

邛＞2,

可得，2,解得。＞4,此時〃＞10.

g⑵=4+。-520

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是［10,一）.

故答案為：［10,討）.

【點睛】方法點睛：己知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法:

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,

利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

【A級基礎(chǔ)鞏固練】

一、單選題

1.（23?24高一下?浙江湖州?階段練習(xí)）函數(shù)/（"=1。氏（工+1）-2的零點所在的一個區(qū)間是（）

X

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3.4）

【答案】B

【分析】利用零點存在性定理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

22

【詳解】因為"1）=1。氐2-,=一1〈。，/（2）=1鳴3-3＞。，

且易得/（“在（0，+8）單調(diào)遞增，

所以/（刈在（0,田）上有唯一的零點，且零點在區(qū)間（1,2）內(nèi).

故選：B

2.（23-24高一上?北京東城?期末）把長為8cm的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正方形，那么這兩個正方

形面積之和的最小值是（）

A.4cm2B.3cm*C.2＞/2cm2D.2cm2

【答案】D

【分析】設(shè)鐵絲的一段長度為mm,則另一段鐵絲長為（1。-x）cm,得到），=弓尸+（―了，結(jié)合二次函數(shù)

的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】設(shè)鐵絲的一段長度為nm,（其中0＜工＜8）,則另一段鐵絲長為（10-x）cm,

兩個正方形的面積之和為Km2,

根據(jù)題意，可得丁=（。2+（卓）2=：*一4『+2,

當(dāng)且僅當(dāng)X=4時，y取得最小值，最小值為2cm2.

故選：D.

3.（23-24高一下?北京?期中）函數(shù)./1（幻=心出”7-1在區(qū)間（0,4＜0）上的零點個數(shù)為（）

A.無窮多個B.4個C.2個D.0個

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)零點的意義變形，構(gòu)造函數(shù)并探討函數(shù)的最值即可得解.

【詳解】當(dāng)x￡（0,+°°）時，由/@）=0,即xsinx-x-1=0,得sinx=l+L

x

當(dāng)工w（0,+co）時，sinxVl恒成立，而1+，>1恒成立，因此sinx=l+，不成立，

XX

所以函數(shù)/（x）=xsinx-x-1在區(qū)間（0,+oo）上的零點個數(shù)為0.

故選：D

4.（23-24高一下.湖南郴州?階段練習(xí)）函數(shù)/（x）=2sinx<osA|lnx|的零點個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】化簡函數(shù)f（x）,利用函數(shù)零點的意義轉(zhuǎn)化成確定函數(shù)），=sin2x與）Vlnxl的圖象公共點的個數(shù)求解.

【詳解】依題意，函數(shù)解I=sin2x-|InA-|,由/（x）=0,得sin2x=|lnx|,

因此函數(shù)/（x）的零點即為函數(shù)），=&112%與），=|lnx|的圖象公共點的橫坐標(biāo)，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)），=sin2x與），=|lnx|的圖象，如圖，

觀察圖象知，函數(shù)）'=sin2x與y=|lnx|的圖象只有兩個公共點，

所以函數(shù)/（幻的零點個數(shù)為2.

故選：B

5.（2024.江西模擬預(yù)測）酒駕最新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：100ml血液中酒精含量達到20mg的駕駛員即為酒后駕車，達

到80mg及以上認定為醉酒駕車.如果某駕駛員酒后血液中酒精濃度為L2mg/ml,從此刻起停止飲酒，血

液中酒精含量會以每小時25%的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛？（參考數(shù)據(jù)：

lg2?0.301,lg3?0.477）（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】由題意得到不等式，兩邊取對數(shù)求出答案.

【詳解】由1.2（1-25%）'<0.2.即兩邊取對數(shù)可得,

6

，>*=」g^Jg2遮，照=6.224,

1。Ig3-lg421g2-lg30.125

04

故至少經(jīng)過7個小時才能駕駛.

故選：B

6.（22-23高一下?江蘇宿遷?期中）函數(shù)），=〃涓-6》+1有且只有一個零點，則實數(shù)機的值為（）

A.9B.12C.?；?D.?；?2

【答案】C

【分析】令y=o,將函數(shù)零點轉(zhuǎn)化成方程的根，再對機進行分類討論即可得到結(jié)果.

【詳解】因為丁=//一6工+1,令y=。，得到〃u：2_6x+l=0,

當(dāng)〃?=0時，-6x+l=0,得至ljx=!，滿足題意，

6

當(dāng)加工0時，因為函數(shù)），=nix'-6x+1有且只有一個零點，故△=36-46=0,得到根=9,綜上，5=0或加=9.

故選：C.

7.（2024?廣東湛江?二模）已知函數(shù)=--g（“=y-4k|+2—4,則（）

A.當(dāng)g（“有2個零點時，〃力只有1個零點

B.當(dāng)g（x）有3個零點時,一㈤有2個零點

C.當(dāng)/（力有2個零點時，對㈤有2個零點

D.當(dāng)/（力有2個零點時，8（力有4個零點

【答案】D

【分析】作出函數(shù)），y=4兇+2圖象，兩個函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為它們的圖象與丁=。的圖象

的公共點的個數(shù)，結(jié)合圖象可得答案.

【詳解】兩個函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象與的圖象的公共點的個數(shù),

作出y=|2-l|,y=fTW+2的大致圖象，如圖所示.

由圖可知，當(dāng)g（”有2個零點時，/（“無零點或只有1個零點;

當(dāng)雇”有3個零點時，“X）只有1個零點;

當(dāng)““有2個零點時，g（x）有4個零點.

故選：D

2一，+W0

8.（23?24高一上.天津紅橋.階段練習(xí)）已知函數(shù)1,g（x）=/（x）-x-a,若函數(shù)g（x）有

In—,x>0

x

2個零點，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.[-1,0)B.C.(fl]D.[2.向

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為y=/（可和y=x+。有兩個交點，畫出兩個函數(shù)的圖形，結(jié)合函數(shù)的圖象，即

可求得實數(shù)。的取值范圍.

2-x+l,.r<0

【詳解】由函數(shù)?。?］工>。

因為g(x)=/(x)—,令g(x)=0,即J'(x)=x+a,

由函數(shù)g（x）有2個零點，即），=/（“和），=工+。有兩個交點,

在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩個函數(shù)的圖形，如圖所示，

結(jié)合函數(shù)的圖象，要使得函數(shù)g（力有2個零點，則。22,

所以實數(shù)〃的取值范圍為［2,+8）.

故選：D.

二、多選題

9.（23-24高一上.遼寧朝陽?期末）在用“二分法”求函數(shù)/（x）零點的近似值時，若第一次所取區(qū)間為卜2,4],

則第二次所取區(qū)間可能是（）

A.[-2,-1]B.[-2,1]C.[2,4]D.[1,4]

【答案】BD

【分析】利用二分法的定義得到答案.

【詳解】由題知第一次所取區(qū)間為卜2,4],取中間值=H=

則第二次所取區(qū)間可能是[-25或[1,4].

故選：BD.

10.（23-24高一下.廣東茂名?開學(xué)考試）己知函數(shù)〃八）在定義域RL單調(diào)遞增，/（0.64）＜0,/（0.68）＜0,

〃0.72）＞（）,則函數(shù)/（力的一個誤差不超過0.05的零點可以為（）

A.0.6B.0.68C.（）.7D,0.72

【答案】BCD

【分析】由函數(shù)的零點判斷定理得出結(jié)果即可.

【詳解】因為/（0.64）＜0,/（0.68）＜0,/（0.72）＞0,所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間為[06&0.72],而

0.72-0.68=0.04＜0.05,所以函數(shù)/（"的一個誤差不超過0.05的零點可以為0.68或0.7或0.72.

故選：BCD.

11.（2024高三?全國?專題練習(xí)）（多選）小菲在學(xué)校選修課中了解到艾賓浩斯遺忘曲線，為了解自己記憶一

組單詞的情況，她記錄了隨后一個月的有關(guān)數(shù)據(jù)，繪制圖象，擬合了記憶保持量f（x）與時間x（天）之間

7

---x+1,0<xW1

12，、,則下列說法正確的是()

的函數(shù)關(guān)系/(工)=，

5l20j

記憶保持量

A.隨著時間的增加，小菲的單詞記憶保持量降低

B.第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多

C.9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%

D.26天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%

【答案】ABC

【詳解】

解析：由函數(shù)解析式可知隨著x的增加而減少，故A正確；由圖象可得B正確；當(dāng)IV爛30時，/(x)

1Q11Q1

=4+京產(chǎn)--，則"9)=4+京'9--=0.35,即9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%，故C正確；/(26)

，/IJ，、/II)

1911

=1+而x26故D錯誤,故選ABC.

12.(2024?重慶?模擬預(yù)測)放射性物質(zhì)在衰變中產(chǎn)生輻射污染逐步引起了人們的關(guān)注，己知放射性物質(zhì)數(shù)

星隨時間，的衰變公式N(/)=N°e＜，M)表示物質(zhì)的初始數(shù)星，丁是一個具有時間星綱的數(shù)，研究放射性物

質(zhì)常用到半衰期，半衰期丁指的是放射性物質(zhì)數(shù)量從初始數(shù)量到衰變成一半所需的時間，已知ln2=().7,右

表給出了鈾的三種同位素T的取值：若鈾234、鈾235和鈾238的半衰期分別為(，心，《，則()

物質(zhì)T的量綱單位T的值

鈾234萬年35.58

鈾235億年10.2

鈾238億年64.75

A.T=rln0.5B.7與丁成正比例關(guān)系

C.T,>T2D.7；>100007；

【答案】BD

【分析】A選項，根據(jù)半衰期的定義得到N（/）=N0（；J，從而得到方程，求出7="n2；B選項，由A

選項得到結(jié)論；C選項，由B選項可得C錯誤；D選項，計算出。7；,作商得到D正確.

【詳解】A選項，由題意得N（/）=N0（；/，

又N（f）=Me：，故乂（9'=乂』'兩邊取對數(shù)得,|lnO.5=-i,

T=rln2,A錯誤；

B選項，由A可知，7與r成正比例關(guān)系，B正確；

C選項，由B可知，7與丁成正比例關(guān)系，由于鈾234的r值小于鈾235的r值,

故彳<4,C錯誤；

D選項，7；=rln2=6.475xl09ln2,

7；=rln2=3.558xl05ln2,

乂7；6.475xIO9In2.十自

故1OOOO7；=3.558〉1。9加2,'0確

故選：BD

三、填空題

13.（23-24高一下?江蘇連云港?期中）函數(shù)"r）=e=2的零點為.

【答案】ln2

【分析】根據(jù)函數(shù)零點的概念，解方程/*）=0可得函數(shù)零點.

【詳解】由/。）=。=e*-2=0=>ev=2=>x=ln2.

故答案為：In2

14.（2024高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)/（x）=2sinx-sin2x在［0,2汨所有零點之和為

【答案】3兀

【分析】化簡函數(shù)為〃x）=2sin式1-cosx）,令/（司=0,求得方程的根，即可求解.

【詳解】由/(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sin.vcosx=2sinx(l-cosx),

令f(x)=O,Bp2sinx(l-cosx)=0,解得sinx=()或cosx=1,

因為匯［0,2兀］,所以x=兀或工=0或X=2兀，所以零點之和為3兀.

故答案為：37t.

Ux<0

15.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=I八則使得方程x+/(x)=加有解的實數(shù)小的取值

X

范圍是.

【答案】(-00,1］52，*0)

【分析】方程有解，利用求函數(shù)的值域即可得到參數(shù)的范圍.

【詳解】當(dāng)XWO時，x+/(x)=/n,即x+l=m有解，則〃?G；

當(dāng)工>0時，工+/(工)=帆，即x+,=〃?有解，貝

X

即實數(shù)m的取值范圍是(~0,1卜［2,y).

故答案為：(ro」］32,+8)

16.(23-24高一上?安徽亳州?期末)若函數(shù)/(x)=2，」+a在區(qū)間期2)上存在零點,則常數(shù)。的取值范圍

X

為?

【答案】卜(-1)

【分析】判斷函數(shù)單調(diào)性再結(jié)合零點存在定理求解.

【詳解】因為)，=2、)，=-，在(1,2)上均為增函數(shù)，

x

所以函數(shù)/(%)=2'-'+。在區(qū)間(1,2)上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷,

X

/(1)=2-1+67<0,

故若/⑶在區(qū)間(1,2)上存在零點，貝人

/(2)=22-i+a>0,

7

解得一尸

故常數(shù)a的取值范圍為

故答案為：

\乙7

17.(23-24高三上?上海浦東新?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=/+2ak)咫(N+2)-〃-1的零點有且只有一個,

則實數(shù)”的取值集合為.

【答案】{1}

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可知/*)為偶函數(shù)，則只能是〃0)=0,帶入求解即可.

【詳解】因為fa)=x4+2m。g式N+2)-cLl的定義域為R,

44

又f(-x)=(-x)+2alog2(|-x|+2)-4/-l=x+2alog2(|x|+2)-a-1=f(x),

所以/(')為偶函數(shù)，

因為函數(shù)/(x)的零點有且只有一個，故/(0)=0,即方-1=0,即a=l.

故答案為：{1}

18.(2024.海南省直轄縣級單位?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=sin(n+q)在［-1,間內(nèi)恰有3個零點，則，〃的

取值范圍是____.

【分析】先由工的取值范圍求出仆+方的取值范圍，再由題意結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由時，所以心+1e-1㈤兀+今，

當(dāng)"弓時，令sinx=0,解得x=E(丘N),

又因為“可在［T間上僅有三個零點，

兀58、

因此2加工〃?兀+、＜3兀，解得機￡.

3LJ3)

故答案為：p-.

四、解答題

19.(23-24高三下?上海?階段練習(xí))某種兒童適用型防蚊液儲存在一個容器中，該容器由兩個半球和一個圓

柱組成(其中上半球是容器的蓋子，防蚊液儲存在下半球及圓柱中)，容器軸截面如題圖所示，兩頭是半圓

形，中間區(qū)域是矩形A8CO,其外周長為100亳米.防蚊液所占的體積為圓柱體體積和一個半球體積之和.假

設(shè)AO的長為2x亳米.

AD

BC

（1）求容器中防蚊液的體積（單位：立方毫米）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

（2）如何設(shè)計AO與A3的長度，使得最大?

-7i-7r2V+5O7cr2,

【答案】（i）y=

3)4釁),

200±.、［50?！?00*w

⑵A。為，毫米'.為+f毫米

【分析】（1）由矩形A88其外周長為100毫米，又設(shè)八。的長為2x毫米，可得人〃的長度，再根據(jù)圓柱和

球的體積公式即可求得防蚊液的體積V關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式;

（2）對（1）求得的函數(shù)關(guān)系式求導(dǎo)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可確定防毒液體積最

大值.

【詳解】（1）由2A4+2心=100得A4=50-7tr,

（50、

由48>0且工>0得,『。二卜

所以防蚊液的體積,=京#3+心2（50-3-1|兀卜十50一,xe（（）T）.

（2）由），="I冗一兀2）1+50心2,XG^O,—.

所以y，=2nx2-3n2x2+100心,

A，10（）人，，、㈤10050

>（）^0<x<-_-；令y<0得:;~-<^<—;

3瓦一23九一2n

所以）'在上單調(diào)遞增，在"］上單調(diào)遞減，

137r—2J\3n-2nJ

100…、，*目一金-200550n-100

所以當(dāng)x=■時，）有最大值，此時4O=2x="^—,AB-----,

3九一23兀-23九一2

所以當(dāng)AO為巖毫米，A3為牛等毫米時，防蚊液的體積有最大值.

3兀-23兀-2

【B級能力提升練】

一、單選題

I.(2024?陜西渭南?二模)中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)研究可知：在室

溫25℃下，某種綠茶用85c的水泡制，經(jīng)過mm后茶水的溫度為yC,且)，二個0.9227'+25(x2(UeR).

當(dāng)茶水溫度降至60C時飲用口感最佳，此時茶水泡制時間大約為()

(參考數(shù)據(jù)：ln2?0.69,ln3?1.10,in7?1.95,lnO.9227?-0.08)

A.6minB.7minC.8minD.9min

【答案】B

【分析】根據(jù)初始條件求得參數(shù)A,然后利用已知函數(shù)關(guān)系求得口感最佳時泡制的時間

【詳解】由題意可知，當(dāng)x=0時，丁=85,則85=k+25,解得k=60,

所以y=60x0.9227*+25,

當(dāng)y=60時，60=60x0.9227*+25,即0.9227、=卷，

IJ_

貝7In7-lnl2

"J嗚9227元-ln0.9227-In09227

In7-21n2-ln31.95-2x0.69-1.10)

In0.9227-0.08

所以茶水泡制時間大的為7min.

故選：B.

2.(2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測)函數(shù)〃x)=e"(x-1)-x-l的所有零點之和為()

A.0B.-1C.75D.2

【答案】A

Y-4-1

【分析】令/(司=0,即e'(x-l)-x-l=0,構(gòu)造函數(shù)丁=/與函數(shù))，=',畫出函數(shù)圖象，可知兩個函

X-1

數(shù)圖象相交于兩點，設(shè)為公占，得/(%)=/(—%)=0,進而得到勺=-內(nèi)，即為+9=0

【詳解】由零點定義可知，函數(shù)的零點，就是方程〃耳=。的實數(shù)根，令〃力=0,

則叫“一1)一工一1=0,顯然XH1,所以e，二N，

構(gòu)造函數(shù)產(chǎn)e'與函數(shù))，==，則方程的根，

x-1x-\

可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，根據(jù)圖象可知，兩個函數(shù)圖象相交于兩點,

所以此方程有兩個實數(shù)根，即函數(shù)/（x）=e'（x-1）-工-1有兩個零點，

設(shè)為牛七，所以e』=T，小=今主1,

*一I&一1

即“與）二西（5-1）-內(nèi)-1=0,/（M）=j（%2-1）-%-1=°，

另外發(fā)現(xiàn)，將f代入，可得/（—x）=ef（—%―1）—（―內(nèi)）—1=土/+玉—1=烏6+4=0,

VVV

所以一七也是函數(shù)/（X）的零點，說明勺=-內(nèi)，即N+~=。.

2X*I3Y>

3.（2024.浙江溫州?三模）已知函數(shù)/（司=一’，則關(guān)于x方程〃x）=冰+2的根個數(shù)不可能

乙9Xxz

是（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】C

【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為直線丁="+2與函數(shù)y=/（x）的圖象交點的個數(shù)，作出y=/（x）的圖象，分?！?、

。=0、a<0三種情況，結(jié)合圖象求解即可.

【詳解】作出函數(shù)y=的圖象，如圖所示：

將原問題轉(zhuǎn)化為直線>=辦+2（過定點（0,2））與函數(shù)），=/（幻的圖象交點的個數(shù),

由圖可知，當(dāng)。=0時，直線尸2與函數(shù)），=/*）的圖象只有一個交點;

當(dāng)“<。時，直線丁=奴+2與函數(shù)y=/（x）的圖象沒有交點；

當(dāng)〃〉0時，直線），=火+2與函數(shù)），=/a）的圖象有三個交點；

所以直線丁=公+2與函數(shù)y=/（x）的圖象不可能有兩個交點.

故選：C.

4.（2024.黑龍江.模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（力=1_向]>0,若關(guān)于x的方程./（力+5（力+〃-1=0的不同

實數(shù)根的個數(shù)為6,則〃的取值范圍為（）.

A.B.1-C.（1，"[D.+

【答案】C

【分析】方程產(chǎn)（小叭力+〃-1=0因式分解得[/（“+所1][〃力+1]=。,所以/（力=~或/3=-1,

根據(jù)函數(shù)的草圖，判斷/（6=-i的解的個數(shù),從而確定/（力=1-”解的個數(shù)，可得。的取值范胤

【詳解】當(dāng)xWO時，r5）=a+l）e1由此可知/（x）在單調(diào)遞減,

且當(dāng)XTYO時，e.0,在㈠網(wǎng)上單調(diào)遞增，

e

當(dāng)工>0時，/（X）在（（川單調(diào)遞增，在（1，+8）上單調(diào)遞減，

〃力2="1）=°，如圖所示?

即〃力=1-〃或

由f（x）與y=t有兩個交點，則，（%）=1-。必有四個零點,

即一!<1一4<0,得.

eke；

故選：C

二、多選題

5.（23?24高二卜?重慶?階段綜習(xí)）已知函數(shù)y=x+l（T的零點為々，y=工+喧1的零點為々，則（）

A.A-+X2>0B.X]X2<0

v,

C.10+lgx2=0D.4x^2-2Xj+2.r,<I

【答案】BCD

【分析】將零點問題轉(zhuǎn)化為交點問題，根據(jù)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】???函數(shù)y=x+i。'的零點為4，y=x+igx的零點為々，

???函數(shù)丁二一X與函數(shù)y=10、圖象的交點的橫坐標(biāo)為4,

函數(shù))'=一"與函數(shù)y=igx圖象的交點的橫坐標(biāo)為4，

作函數(shù)>'=-八函數(shù)y=i(r、函數(shù)y=igx的圖象如圖6,點A的橫坐標(biāo)為七，點B的橫坐標(biāo)為/，

圖6

???函數(shù)y=io'與函數(shù)y=igx的圖象關(guān)于直線)=不對稱，函數(shù)>=一工的圖象關(guān)于直線)'=X對稱，

???點A、B關(guān)于直線y=4對稱，又丁點A、B在直線丁=一X上，.,?點A、B關(guān)于原點對稱，

對于A：；?%+%=。，故選項A錯誤；

對于B：易知不々<0，故選項B正確；

r

對于C：???10%=一七，1gxi=-與,xt+x2=0fA10'+lgx2=0,即選項C正確；

對于D：由零點存在定理易知一3<玉<0,Ov^vg,???卜［+；)卜2-;<°，即藥七一;玉+；七一;<0，

48&-2.r,+2X2v1,故選項D正確,

故選:BCD.

-1*24.0hy>()

6.：2024.貴州畢節(jié).三模)函數(shù)/(.r)=12.'一(g(x)=0W+/)，下列關(guān)于函數(shù)g(x)的敘述正確的是

月+2JV,x<0,

()

A.弘wR,使得以工)的圖象關(guān)于原點對稱

B.若4=-1,-1<2<0,則方程&*)=()有大于2的實根

C.若051,6=1,則方程g(x)=0至少有兩個實根

D.若。之1,b<T,則方程"。)=。有三個實根

【答案】AB

【分析】由已知可得/a)為奇函數(shù)，作出圖象，當(dāng)人=o時，ga)=4(x)為奇函數(shù)，可判斷A；由已知可得

g(x)=-/(x)+〃，依據(jù))=.f(x)與y=b的圖象交點個數(shù)可判斷B；由y=q/'(x)與)，=-。至多有2個交點，

可判斷C；當(dāng)。=1,8=-3時，可得y=/。)與y=q只有一交點，可判斷D.

【詳解】由/“)=一「：2x，x：°,可得〃x)為奇函數(shù)，圖象如圖所示：

X"+2x,x<0

對于A：當(dāng)人=0時，g(x)=c/x)為奇函數(shù)，故使得雙x)的圖象關(guān)于原點對稱，故A正確；

對于B：若貝1&(幻=一/(幻+心由g(x)=0,可得f(x)=力，

由圖象，若5=/。)與)，=〃有三個交點，存在交點的橫坐標(biāo)大于2,

所以方程g(x)=0有大于2的實根，故B正確：

對于C:若0<。41]=1,則由)，=/*)圖象上每個點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹ū犊傻?=43)

的圖象，

由g(x)=0,可得叭幻=一。，

由圖象，若丁=/(幻與)，=-。至多有2個交點，所以方程g(x)=0至多有兩個實根，故C錯誤；

對于D：當(dāng)。=1,8=-3時，由g(x)=0,可得/(x)=-匕，

由圖象可得與)=-。只有一交點，故方程由為=。只有一個實根，故D錯誤.

故選：AB.

【點睛】方法點睛：本題考查奇函數(shù)的圖象特征及函數(shù)y=0、a)與)，=/(用的奇偶性關(guān)系，同時考查方程

的根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題的轉(zhuǎn)化方法.

三、填空題

7.(2024?天津?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/。)=丁-"2-"-。|有3個零點，則實數(shù)。的取值范圍為.

【答案】a<-\

【分析】。是函數(shù)的一個零點，再分段去絕對值符號，探討零點個數(shù)即得.

【詳解】顯然〃是函數(shù)/(幻=爐-"2_"一的一個零點，

當(dāng)xv。時，f(x)=xy-ax2+x-a=(x-a)(x2+\),此時函數(shù)/⑴無零點；

當(dāng)時，f(x)=xi-ax2-x+a=(x-a)(x2,Sx2-1=(),^x=±\,

因為函數(shù)f(x)有3個零點，必有av-l,

所以實數(shù)a的取值范圍為a<T.

故答案為：a<-\

(X-1)3,0<X<2,

8.(2024.上海青浦?二模)對于函數(shù)y=/(x),其中/(%)=2，若關(guān)于x的方程八幻=履有

一，x>2

LX

兩個不同的根，則實數(shù)A的取值范圍是.

【答案】

【分析】將方程有兩個不同的根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有兩個不同的交點，觀察圖象可得答案.

【詳解】將函數(shù))，=/向右平移1個單位得到y(tǒng)=(x-l)3,

作出函數(shù))，=/(外的圖象如下：

要關(guān)于X的方程/(X)=kx有兩個不同的根，

則函數(shù)y=/")和函數(shù))，=點有兩個不同的交點，

當(dāng)/="過點(2,1)時，k=[,

所以當(dāng)函數(shù))，=/")和函數(shù)y=h有兩個不同的交點時，O<^<1.

9.(2024?安徽黃山?二模)若函數(shù)=Mx-1)-4有兩個零點，則實數(shù)攵的取值范圍是.

【答案】片⑵.

O

【分析】令/*)=。，則有4二7"(..1)+4,將問題轉(zhuǎn)化為半圓/+),2=](y之0)與直線1)+4有兩

個交點，作出圖象，結(jié)合圖象求解即可.

【詳解】令/(x)=Jl-『-十一1)-4=0,

貝！]Ji-/-4(x-l)-4=0,所以"4—)+4,

又因為)，=忘/之0，即為*+/=](),“))，表示單位圓位于x軸上及上方部分;

而y=A(x-i)+4,表示過點(1,4)且斜率為女的直線，

所以將問題轉(zhuǎn)化為半圓/+V=i()后0)與直線y=A*—i)+4有兩個交點，

I4-&I1c

當(dāng)直線與半圓相切時；^==1,解得k=￡,

當(dāng)直線過點(TO)時，則有-2k+4=0,解得k=2,

綜上，&七g,2].

O

故答案為：(?2.

O

【C級拓廣探索練】

一、單選題

1.(2024.遼寧葫蘆島.二模)已知函數(shù)〃力=卜,-1|，83=/23_/(刈(/￡咫，若關(guān)于1的方程屋刈=3—產(chǎn)

有三個不同實數(shù)根，則實數(shù)，的取值范圍是()

A.(-2,2)B.(6,2)C.(-2,-百)D.(2,+oo)

【答案】B

【分析】令〃=2/（工），作出函數(shù)“可的圖象，結(jié)合圖象得出關(guān)于X的方程〃?=/（力根的情況，再根據(jù)一元

二次方程根的分布情況分類討論即可得解.

【詳解】如圖，作出函數(shù)/（力的圖象，

令"?=/（，，

由圖可知，當(dāng)〃?40,1）時，關(guān)于“的方程相=/（力有2個不同的實數(shù)根，

當(dāng)〃?=0或加?1,田）時，關(guān)于尤的方程/=〃力只有1個實數(shù)根，

因為關(guān)于x的方程廉司=3--有三個不同實數(shù)根，

所以關(guān)于〃?的方程1一切?+/一3=0的一個根在（0,1）上，另一個根在口,田）上,

或方程的兩個根一個為機=（）,另一個在（0,1）上，

若〃?=0為方程一〃〃一3=0的根時，則/=土石，

當(dāng)/二百時，方程的另一個根為m=6,不符題意，

當(dāng)t=-6時，方程的另一個根為陽=-舊，不符題意，

若〃?=1為方程布-J-3=0的根時，則f=-1或，=2,

當(dāng)/=-1時，方程的另一個根為〃?=-2,不符題意，

當(dāng)7=2時，方程只有一個根為m=1,不符題意，

若關(guān)于〃?的方程病-〃〃+5_3=o的一個根在（0,1）上，另一個在［1,+。）上時,

令人(/〃)=nr-tm+r-3,

22

A>0r-4(/-3)>0

則卜(0)>0,即?

尸-3>0,解得6</<2,

A(l)<0l-r+