專(zhuān)題26拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

塞內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué);；教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

8析教材學(xué)知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)01：拋物線的定義

1、定義：把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線/（/不經(jīng)過(guò)點(diǎn)用距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.定點(diǎn)F叫

做拋物線的焦點(diǎn)，直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

2、拋物線集合表示：0=｛閭|人明=4"為點(diǎn)/到準(zhǔn)線/的距離｝.

3、要點(diǎn)辨析：

（1）定點(diǎn)廠不在定直線/上，否則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不是拋物線，

而是過(guò)點(diǎn)尸垂直于直線/的一條直線.

（2）拋物線的定義中指明了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的等價(jià)性，

故二者可相互轉(zhuǎn)化，這也是利用拋物線定義解題的實(shí)質(zhì).

知識(shí)點(diǎn)02：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程

標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程

1L丫―P

y=2px(p>0)yFx

4J2

2P

y=-2px(p>0)1二一

心。)2

x2=2py(p>0)61

（4）2

27p

x=-2py(p>0)y二一

2

注：(1)已知拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程時(shí)，一般先將所給方程式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，由焦點(diǎn)方程準(zhǔn)確

得到參數(shù)P，從而得焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，要注意p>0；

(2)若一次項(xiàng)的字母是八則焦點(diǎn)就在x軸上，

若其系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)就在x軸的正半軸上(開(kāi)口向右)，

若系數(shù)是負(fù)的，焦點(diǎn)就在x軸的負(fù)半軸上(開(kāi)口向左)；

(3)若一次項(xiàng)的字母是九則焦點(diǎn)就在,軸上，

若其系數(shù)是正的,則焦點(diǎn)就在y軸的正半軸上(開(kāi)口向上),

若系數(shù)是負(fù)的,焦點(diǎn)就在丁軸的負(fù)半軸上(開(kāi)口向下).

(4)準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

(5)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

①直接法：直接利用題中已知條件確定焦參數(shù)p；

②待定系數(shù)法：先設(shè)出拋物線的方程，再根據(jù)題中條件，確定焦參數(shù)p.當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論

或設(shè)拋物線方程為=/力y或=如.

知識(shí)點(diǎn)03：焦半徑公式

1、焦半徑的定義

設(shè)拋物線=2px(°>0)上一點(diǎn)/(%,%),焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,則線段M尸叫做拋物線的焦半徑，過(guò)點(diǎn)M

作準(zhǔn)線/的垂線段由拋物線的定義可知，\MF\=\MH\=x0+^.

2、用坐標(biāo)表示焦半徑公式

(1)拋物線=2px(p>0),\MF\=x0+-y=x0+.

(2)拋物線/=-2px(p>0),\MF\=X0-^=-X0+.

(3)拋物線無(wú)2=2py(p>0),M司=%+§=%.

pp

(4)拋物線龍2=-2py(p>0),\MF\=

y0--=-y0+--

注：①在使用焦半徑公式時(shí)，首先要明確拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，不同的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)應(yīng)于不同的焦半徑公

式.

②利用焦半徑公式，我們可以把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，解題時(shí)方便快捷.

【題型01：拋物線的定義及辨析（含焦半徑公式應(yīng)用）】

—>單選題

1.（24-25高二下?廣東?開(kāi)學(xué)考試）拋物線C：V=2p尤（0>0）的焦點(diǎn)為凡A（2,㈤是拋物線C上一點(diǎn)，且

|AF|=4,則焦點(diǎn)廠到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離是（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線的定義，列出關(guān)于p的式子，即可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可得|4尸1=2+光=4,解得。=4,則焦點(diǎn)尸到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離是2.

故選：B

2.（24-25高二上?貴州黔西?月考）已知拋物線C:y=2Y,則拋物線c的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）

11

43

A.B.4-D.2-

【答案】B

【分析】將拋物線C:y=2/轉(zhuǎn)化為尤2=g>的形式，求出p,求出拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.

【詳解】由拋物線C:y=2x?可得Y=；y,

所以2p=g,p=\,故拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是。=：.

244

故選：B.

3.(24-25高二上?陜西咸陽(yáng)?期末)若拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)尸到焦點(diǎn)的距離與到y(tǒng)軸的距離之差為

1,則0=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用拋物線定義即可求解.

【詳解】設(shè)"1,%),根據(jù)拋物線定義可知，\PF\=x0+^,

又點(diǎn)尸到焦點(diǎn)F的距離與到y(tǒng)軸的距離之差為1,

則與+§-%=1，解得P=2.

故選：B

4.(23-24高二下?江蘇南京?月考)已知拋物線C:;/=2p尤(p>0)的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,點(diǎn)A在拋物線C

上，點(diǎn)3在準(zhǔn)線/上，若△AEB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則P的值是().

A.1B.73C.2D.2石

【答案】A

【分析】利用拋物線定義可知AB再由等邊三角形的邊長(zhǎng)為2即可求得。=|M|cos60=1.

【詳解】根據(jù)題意，易知=由拋物線定義可得A5，/,

設(shè)準(zhǔn)線與/的交點(diǎn)為。，如下圖所示：

因此與。尸平行，又仍是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,

所以/ABF=60,BPZBFD=60,

可得Qp|=|M|cos60=1,即p=l.

故選：A

5.（24-25高二上?天津東麗?月考）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物

線上，且|AF|=2,NOE4=120。，則。=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)焦半徑，以及銳角三角函數(shù)即可求解.

【詳解】過(guò)A作AM垂直拋物線的準(zhǔn)線，垂足為過(guò)尸作于點(diǎn)N,

由于|AF|=2,ZOFA=120°,貝（JN7VE4=3O。，故14Vl=1,|AA1|=2,進(jìn)而|也叫=2|。同=。=|儂|一|期|=1,

故P=L

故選：A

【題型02：拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線】

一、解答題

1.（23-24高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，并畫(huà)出草圖.

⑴V=16x；

(2)3=16/；

⑶/=一+;

12

(4)y=y無(wú)

【答案】（1）（4,。），x=-4,草圖見(jiàn)解析

⑵嗚）'>草圖見(jiàn)解析

(3)(-±,0),x=[,草圖見(jiàn)解析

lolo

(4)(0,-1),y=l,草圖見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)拋物線的方程，即可得焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程，進(jìn)而作出圖形.

【詳解】（1）V=16x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）,準(zhǔn)線方程為x=T,

它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（。擊，準(zhǔn)線方程為「看

⑶y-%的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-0。），準(zhǔn)線方程為

如圖：

（4）交一"即八*它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（。，-1），準(zhǔn)線方程為日，

如圖:

2.（23-24高二上.全國(guó)?課后作業(yè)）求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程:

⑴y-；

⑵X?=-y；

(3)/+12y=0；

(4)y2=ax^aw0).

【答案】(l)4,0),x=-；

44

⑵(0,-：),y=^~

44

⑶(。，-3),y=3

(4)(j,0),X=~

44

【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可確定焦點(diǎn)位置，即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程.

【詳解】(1)對(duì)于y=X,焦點(diǎn)在x軸正半軸上，且P=g，

焦點(diǎn)坐標(biāo)為(；。)，準(zhǔn)線方程為x=

44

(2)對(duì)于/=->,焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，且有p=g,

焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3,準(zhǔn)線方程為y=［；

44

(3)對(duì)于/+12>=0即x2=-12y,焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，且有。=6,

焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3),準(zhǔn)線方程為y=3；

(4)對(duì)于

當(dāng)。>0時(shí)，焦點(diǎn)在X軸正半軸上，且有P=￡,

焦點(diǎn)坐標(biāo)為G，0),準(zhǔn)線方程為犬=-￡；

44

當(dāng)"0時(shí)，/=_2.(-如,(分0),焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，且有片-：，

焦點(diǎn)坐標(biāo)為G，0),準(zhǔn)線方程為彳=-￡；

44

綜合可得/="+0)焦點(diǎn)坐標(biāo)為阜0),準(zhǔn)線方程為x=4

【題型03：求拋物線方程】

一、單選題

1.(24-25高二下?北京東城?期中)已知拋物線的準(zhǔn)線方程為元=-1,則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.X2=2yB.y2=2xC.x2=4yD.y2=4x

【答案】D

【分析】利用準(zhǔn)線的性質(zhì)求出P=2,再求出標(biāo)準(zhǔn)方程即可.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為x=-l,所以5=1,

解得P=2,則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁=4尤，故D正確.

故選：D

2.（24-25高二上?山西太原?期末）已知拋物線以圓尤2+V-2y=0的圓心為焦點(diǎn)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.y2=-4xB.y2=4xC.X2=-4yD.x2=4y

【答案】D

【分析】根據(jù)條件得到圓心為（0,1）,可得P=2,再利用標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，即可求解.

【詳解】因?yàn)闋t+丁口股。的圓心為（0,1）,所以勺1,得到P=2,

又焦點(diǎn)在>軸的正半軸上，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為Y=4y,

故選：D.

3.（24-25高二下?上海崇明?期末）方程J（尤-1）2+。=|無(wú)+1|可以化簡(jiǎn)為（）

A.y2=2xB.y~=4xC.x2=2yD.x2=4y

【答案】B

【分析】等式兩邊同時(shí)平方，化簡(jiǎn)即可.

【詳解】由J（x-1）2+/士+1|,兩邊同時(shí)平方有（尤-l）2+y2=（x+l）2nyJ4x,

故選：B.

4.（24-25高二上?湖南?期末）若拋物線丁=2/（°>0）上一點(diǎn)P（6,%）到其焦點(diǎn)的距離為9,則該拋物線

的方程為（）

A.y2=I6xB.y2=12xC.y1=8xD.y2=6x

【答案】B

（分析】將拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離求解.

【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為x=',

所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為6-3=9,

所以。=6,拋物線的方程為丁=12%.

故選：B.

5.（24-25高二上?河南洛陽(yáng)?月考）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于丁軸對(duì)稱(chēng)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-2,l）的拋物線方程為（）

11

A.y2=—xB.y2=——x

44

C.x2=4yD.x2=-4y

【答案】C

【分析】設(shè)出拋物線方程，利用待定系數(shù)法求解作答.

【詳解】由題意設(shè)拋物線方程為彳2=沖（0工0）,將M（-2,1）代入得。=4,

所以所求拋物線方程為

故選：C.

6.（23-24高二上.陜西渭南?期中）點(diǎn)M（5,3）到拋物線>（fl>0）的準(zhǔn)線的距離為6,那么拋物線的

方程是（）

A.y=12x~B.y-.......x2C.y=—36x2D.y——x?

36-12

【答案】D

【分析】將>=取2化為標(biāo)準(zhǔn)形式，利用拋物線定義可得答案.

1111

【詳解】將〉=以2化為準(zhǔn)線y=一;，由已知得：3+；=6,所以上=12,

a4a4aa

即a=\，所以拋物線方程為了=4上

故選：D

7.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為3的拋物線的標(biāo)

準(zhǔn)方程為（）

A.X2=±3yB.y2=+6x

C.x2=±12yD./=±12x

【答案】C

【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)P的幾何意義即可列式求解.

【詳解】設(shè)拋物線方程為12=2抄5>0）或爐=-205>0）,

依題意知，=3,p=6.

.??拋物線方程為尤2=±12y.

故選：C.

【題型04:與拋物線有關(guān)的軌跡問(wèn)題】

一、單選題

1.（24-25高二上?浙江寧波?期中）若點(diǎn)P到直線x=-l和它到點(diǎn)（1,0）的距離相等，則點(diǎn)尸的軌跡方程為（）

A.x2=yB.y2=xC.x2=4yD.y2=4x

【答案】D

【分析】分析可知點(diǎn)尸的軌跡是以點(diǎn)(1,0)為焦點(diǎn)，直線X=-1為準(zhǔn)線的拋物線，即可得解.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P到直線%=-1和它到點(diǎn)(1,0)的距離相等，

所以，點(diǎn)尸的軌跡是以點(diǎn)。,0)為焦點(diǎn)，直線x=T為準(zhǔn)線的拋物線，

設(shè)其方程為y2=2px,則5=1,可得P=2,

故點(diǎn)尸的軌跡方程為y2=4x.

故選：D.

2.(24-25高二上?福建福州?月考)已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸到點(diǎn)網(wǎng)2,0)的距離比它到直線x=T的距離大1,則動(dòng)點(diǎn)尸的

軌跡方程為()

A.y2=4xB.y2=-4xC.y2=-8xD.y2=8x

【答案】D

【分析】利用拋物線的定義求解即可.

【詳解】由題意可知，動(dòng)點(diǎn)尸到點(diǎn)尸(2,0)的距離等于它到直線％=-2的距離，

由拋物線的定義可知，點(diǎn)P在以尸(2,0)為焦點(diǎn)，x=-2為準(zhǔn)線的拋物線上，其軌跡方程為產(chǎn)=8彳，

故選：D

3.(23-24高二下?甘肅白銀?期中)若圓C與x軸相切且與圓f+r=4外切，則圓C的圓心的軌跡方程為()

A.X2=4y+4B.x2=-4y+4

C.x2=4|y|+4D.x2=4y-4

【答案】C

【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)為(x,y),依題意可得F7=2+N，化簡(jiǎn)整理即可得解.

【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為(x,y),依題意可得歷了=2+N，化簡(jiǎn)得彳2=4國(guó)+4,

即圓C的圓心的軌跡方程為f=4況+4.

故選：C

4.(24-25高二上?湖南長(zhǎng)沙?期中)已知AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-1,0),(1,0),直線相交于點(diǎn)M,

且直線AM的斜率與直線的斜率的差是2,則點(diǎn)河的軌跡方程為()

A.+l[x^+i]

B.y=x2+l(x^±l)

C.x=-y2+l(y^±l)

D.x=y2+l(y^±l)

【答案】A

【分析】設(shè)M(x,y)(/±1),根據(jù)3M-&M=2,整理即可得解.

【詳解】設(shè)M(x,y)(xw±i),則L-*=工7-—=2,整理得丫=—/+1(力±1),

所以動(dòng)點(diǎn)w的軌跡方程是y=T2+i(xw±i).

故選：A.

5.(24-25高二下?湖南長(zhǎng)沙?月考)設(shè)/(1,0),點(diǎn)M在X軸上，點(diǎn)N在y軸上，且MN=NP,MN?NF=0,

當(dāng)點(diǎn)N在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡方程為()

11

A.y2=~xB.丫2=^尤C.y2=2xD.y2=4x

【答案】D

【分析】設(shè)點(diǎn)尸(x,y),根據(jù)向量關(guān)系及垂直關(guān)系可得點(diǎn)尸的軌跡方程.

【詳解】設(shè)點(diǎn)P(x,y),因?yàn)镸N=NP,則N為MP的中點(diǎn)，且點(diǎn)N在y軸上，

所以N?,則M(-x,0),

又以1,0),貝！JMN=[X,￡|,加=[,一￡|,

由MN-NF=.x-1y2=0,/.y2=4x,

故點(diǎn)尸的軌跡方程為y2=4x.

故選：D.

【題型05:拋物線中的距離最值問(wèn)題】

一、單選題

1.(24-25高二上?遼寧?期末)已知拋物線V=2px的焦點(diǎn)為"1,0),尸為拋物線上一點(diǎn)，若A(2』)，則

|以|+「典的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)焦點(diǎn)產(chǎn)(1,0)求得拋物線方程，由拋物線的定義結(jié)合圖形即得.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€V=2px的焦點(diǎn)為尸(1,0),貝！)q=1,得P=2,

所以拋物線的方程為V=4x,令x=2,則丫=±2人，

設(shè)過(guò)尸作拋物線準(zhǔn)線的垂線于點(diǎn)3,可得|P同=|冏，貝!J|PA|+|P同=|R4|+|E5|.

故點(diǎn)4(2,1)在拋物線內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線交拋物線于點(diǎn)P,此時(shí)1PAi+歸同取得最小值，最小

值為乙+§=3.

2.（24-25高二下?安徽?月考）已知點(diǎn)P是拋物線C:產(chǎn)=4x上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P到拋物線C的準(zhǔn)線的距

離為4，到直線機(jī)：2x-y+3=0的距離為4,則4+4的最小值是（）

A.1+氧1B.V5C.述D.撞

555

【答案】B

【分析】由拋物線方程可得焦點(diǎn)與準(zhǔn)線，根據(jù)拋物線定義，結(jié)合圖象，可得答案.

【詳解】拋物線C:9=4x的焦點(diǎn)為尸（L0）,準(zhǔn)線方程為x=-l,

過(guò)點(diǎn)尸作交直線，〃于點(diǎn)E,

由拋物線的定義可知，4=1尸產(chǎn)1,

/\II|2-0+3|(―

所以當(dāng)尸在線段上時(shí)，4+4取得最小值,(4+4L=\FE\=亞=6-

故選：B.

3.（24-25高二上?云南大理?開(kāi)學(xué)考試）已知P為拋物線C:/=8x上任意一點(diǎn)，/為拋物線C的焦點(diǎn)，。為

圓“：（。-8）2+"-4）2=4上任意一點(diǎn),則盧戶|+|尸。|的最小值為（）

A.6B.10C.4D.8

【答案】D

【分析】利用拋物線的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，通過(guò)數(shù)形結(jié)合計(jì)算最值即可.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)尸作P”垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)H,連接交M于點(diǎn)Q.

由題意可得打2,0),C的準(zhǔn)線方程為x=-2,|尸耳+|P0=|P"+|P0.

因?yàn)閨「!2|=|四|一|。叫=1尸閭一2,所以儼司+|尸0=|尸"+|尸網(wǎng)_2,

當(dāng)M,P,H三點(diǎn)共線時(shí)，I尸叫+PM取得最小值，最小值為8+2=10,

所以歸目+|「。|的最小值為10-2=8.

故選：D

二、填空題

4.(24-25高二上?四川瀘州?期末)已知P為拋物線C:/=2y上的動(dòng)點(diǎn)，歹為C的焦點(diǎn)，若點(diǎn)4(1,2),則

「制+|總的最小值為.

【答案】(

【分析】過(guò)點(diǎn)尸作PEL/,垂足為點(diǎn)E,由拋物線的定義可得聲n=|正耳，結(jié)合圖形可知，當(dāng)A、尸、E三

點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)時(shí)，|上4|+|「耳取最小值，即可得解.

【詳解】易知拋物線C的焦點(diǎn)為歹準(zhǔn)線為/:y=-g,

過(guò)點(diǎn)尸作PE，/,垂足為點(diǎn)E,如下圖所示：

由拋物線的定義可得1PH=|「耳，貝!)|必+|尸盟=|到+|尸耳，

結(jié)合圖形可知，當(dāng)A,P,E三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)時(shí)，|到+|咫取最小值,

且最小值為2+；=?因此，附+解的最小值為g.

故答案為：

5.(24-25高二上?江蘇?期中)已知拋物線C:/=i2x的焦點(diǎn)為尸，定點(diǎn)A(6,4),8為C上一動(dòng)點(diǎn)，則小產(chǎn)

周長(zhǎng)的最小值為.

【答案】14

【分析】利用拋物線的定義求得正確答案.

【詳解】拋物線C:/=I2x的焦點(diǎn)為*3,0）,

A（6,4）,|AF|=732+42=5,

根據(jù)拋物線的定義可知，|鈿|+忸用的最小值是A到拋物線準(zhǔn)線x=-3的距離,

即|蝴+|四的最小值是9

所以A4所周長(zhǎng)的最小值為5+9=14.

故答案為：14

【題型06：拋物線在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用】

一、單選題

1.（23-24高二上.新疆阿克蘇?月考）魚(yú)腹式吊車(chē)梁中間截面大，逐步向梁的兩端減小，形狀像魚(yú)腹，如圖，

魚(yú)腹式吊車(chē)梁的魚(yú)腹部分是拋物線的一部分，其寬為8m,高為0.8m,根據(jù)圖中的坐標(biāo)系，則該拋物

線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為（）

A.-B.5C.10D.20

2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出拋物線方程，利用待定系數(shù)法求出拋物線方程即可得解.

【詳解】依題意，設(shè)該拋物線的方程為犬=2力（0>0）,顯然點(diǎn)3（4,0.8）在此拋物線上,

因此4—20x0.8,解得。=10,

所以該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為10.

故選：c

2.（24-25高二上?陜西渭南?期中）圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分,

已知該衛(wèi)星接收天線的口徑|鉆|=6,深度信號(hào)處理中心/位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，

建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xOy,則焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，設(shè)拋物線方程為V=2px且2>0,結(jié)合點(diǎn)（1,3）在拋物線上求參數(shù)，即可得焦點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】由題意，設(shè)拋物線方程為y=2px且p>0,顯然點(diǎn)（1,3）在拋物線上，

所以2P=9,則《=故焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)為佟。］.

24k4）

故選：B

3.（24-25高二上?青海海南?期末）圖中展示的是一座拋物線形拱橋，當(dāng)水面在/時(shí)，拱頂離水面2m,水面

寬6m,水面上漲1m后，水面寬度為（）

A.36mB.3V2mC.3瓜mD.8m

【答案】B

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為y=將人（3,-2）代入拋物線方程解出再將y=-l

代入即可求解.

【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)人（3,-2）,

設(shè)拋物線的方程為？=加，由點(diǎn)4（3,-2）可得-2=9°,解得。=-|,所以y=-*,

當(dāng)y=-l時(shí)，》=±乎，所以水面寬度為30m.

故選：B

4.(23-24高二上.湖南長(zhǎng)沙?月考)假設(shè)一水渠的橫截面曲線是拋物線形，如圖所示，它的渠口寬為2m,

渠深OC為1.5m,水面E尸距AB為0.5m,則截面圖中水面寬E尸的長(zhǎng)度約為()(72?1.414,右。1.732,

A/6X2.449)

A.0.816mB.1.33mC.1.50mD.1.63m

【答案】D

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得拋物線方程并將水面寬度坐標(biāo)化即可求得結(jié)果.

【詳解】以。為原點(diǎn)，oc為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=2py(。>0),

1O

由題意可得8(1,1.5),代入f=2py得l=3p,得p=g,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

92

設(shè)*%,%)(%0>0,%>0),貝?。?=1.5-0.5=1,則片=§xl=§,

即可得無(wú)o=4=當(dāng)70.816,

所以截面圖中水面寬跖的長(zhǎng)度約為0.816x2。1.63m,

故選：D.

串知識(shí)識(shí)框架

把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線/（Z不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F）

距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.

一、拋物線的定義

（1）定點(diǎn)尸不在定直線/上，否則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不是拋物線，

而是過(guò)點(diǎn)尸垂直于直線/的一條直線.

理解

（2）拋物線的定義中指明了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距寓與到準(zhǔn)線的距寓的等價(jià)性,

故二者可相互轉(zhuǎn)化，這也是利用拋物線定義解題的實(shí)質(zhì).

焦點(diǎn)坐標(biāo)

四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程

直接法求p

待定系數(shù)法

一、單選題

1.（24-25高二上?江蘇鎮(zhèn)江?期末）拋物線x=的準(zhǔn)線方程為（）

A.y=--B.x=--C.y=--D.x=~—

8822

【答案】D

【分析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程：y2=2x,根據(jù)準(zhǔn)線方程的定義求解.

【詳解】拋物線的方程為：y2=2x,

則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為：準(zhǔn)線方程為：x=-1.

故選：D

2.（24-25高二上?天津河西?期末）準(zhǔn)線方程為y=4的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A.x2=8yB.x2=-8yC.x2=16jD.x2=-16j

【答案】D

【分析】由準(zhǔn)線方程求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.

【詳解】由題意可知拋物線開(kāi)口向下，故設(shè)拋物線方程為尤2=-2py（p>0）.

因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為V=4,所以5=4,即p=8,所以該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為無(wú)2=T6y.

故選：D.

3.（24-25高二上?江西九江?期末）已知拋物線y2=2px（p>0）上一點(diǎn)M（2,%）到其焦點(diǎn)的距離為3,則。=

A.gB.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義運(yùn)算求解即可.

【詳解】根據(jù)拋物線的定義，可知2+5=3,解得p=2.

故選:B.

4.（24-25高二下?廣西南寧?開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線C的方程為f+8y=0,則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（—2,0）B.（—4,0）C.（0,—2）D.（0,-4）

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為f=-8y,貝!]2。=8,可得p=4,g=2,

故拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-2）.

故選：C.

5.（24-25高二上?江蘇淮安?期中）過(guò)點(diǎn)（L-2）且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線方程為（）

A.y2=4x或無(wú)B.y2=4x

C.\2=4了或D.x2=~~^y

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物線焦點(diǎn)的位置設(shè)拋物線為V=2py,結(jié)合所過(guò)點(diǎn)求方程.

【詳解】由題意，可設(shè)拋物線為d=2py,又點(diǎn)（1,-2）在拋物線上，

所以-4P=lnp=」,故所求拋物線為/=-:八

42

故選：D

6.（23-24高二上.四川德陽(yáng)?月考）如圖是某景區(qū)內(nèi)的一座拋物線拱形大橋，該橋拋物線拱形部分的橋面跨

度為10米，拱形最高點(diǎn)與水面的距離為6米，為增加景區(qū)的夜晚景色，景區(qū)計(jì)劃在拱形橋的焦點(diǎn)處懸掛一

閃光燈，則豎直懸掛的閃光燈到水面的距離為（）（結(jié)果精確到0.01）

A.4.96B.5.06C.4.26D.3.68

【答案】A

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程，根據(jù)題意知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5,-6）,把點(diǎn)（5,-6）代入拋物

線方程即可求出P,根據(jù)豎直懸掛的閃光燈距離水面的距離為6-5，即可求出答案.

【詳解】如圖，設(shè)拋物線的方程為V=-2py,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5,-6）,

所以25=12p,解得p=所以拋物線頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為與=tf，

12224

故豎直懸掛的閃光燈距離水面的距離為6-4=6-If”4.96米.

224

故選：A.

7.（23-24高二上.黑龍江哈爾濱.期末）焦點(diǎn)在直線2x+5y-10=。上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.>2=10%或％2=4丁B./=-10%或兀2=4y

C.丁=20?；颍?=8,D./=一2。％或/=-8丁

【答案】C

【分析】根據(jù)焦點(diǎn)即可求解拋物線方程.

【詳解】直線2x+5y-10=。與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（5,0）以及（0,2）,

所以拋物線的焦點(diǎn)為（5,0）或（0,2）,

當(dāng)焦點(diǎn)為（5,0）,此時(shí)拋物線方程為V=20x,

當(dāng)焦點(diǎn)為（0,2）時(shí)，此時(shí)拋物線的方程為V=8y,

故選：C

8.（24-25高二上?四川涼山?期末）已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為P，若拋物線上一點(diǎn)M到直線彳=-2的

距離為5,則町=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合焦半徑公式即可求解.

【詳解】由于拋物線C:/=4x的準(zhǔn)線方程為x=-L,拋物線上點(diǎn)M到直線x=-2的距離為5,

故點(diǎn)M到直線x=-l的距離為4,故|M尸|=4,

故選：B

9.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）某社會(huì)實(shí)踐小組在調(diào)研時(shí)發(fā)現(xiàn)一座石造單孔橋（如圖），該橋拋物線拱形部分

的橋面跨度為21.6m,拱頂距水面10.9m,路面厚度約1m.若小組計(jì)劃用繩子從橋面石欄放下攝像機(jī)取景，

使其落在拋物線的焦點(diǎn)處，則繩子最合適的長(zhǎng)度是（）

A.3mB.4mC.5mD.6m

【答案】B

【分析】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出拋物線方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程可求得參數(shù)P,進(jìn)一

步即可得解.

【詳解】以拱形部分的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平線為x軸，垂直于x軸，且方向向上，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)拋物線的方程為f=-2分（0>0）.

易知拋物線過(guò)點(diǎn)（1。8,-10.9）,則10.82=21.8p,得0=篝,

所以￡=對(duì)22.7,所以"+1Q3.7.

210.92

故選：B.

10.（24-25高二上?廣東湛江?期末）己知拋物線C：Y=16y的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)/（%,%）為拋物線C上一點(diǎn),

若貝|J%=（）

A.4B.4夜C.8D.80

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義列式計(jì)算得解.

【詳解】拋物線C:V=i6y的準(zhǔn)線方程為y=T,依題意，2y0=\MF\=y0+4,

所以%=4.

故選：A

11.（24-25高二上?黑龍江?期中）若正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)是原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=4x上，則該

正三角形的邊長(zhǎng)為（）

A.4/B.8&C.12gD.16A/3

【答案】B

【分析】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為。，由對(duì)稱(chēng)性可得在拋物線上，代入y2=4x,即可求a.

【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為。，

則由等邊三角形和拋物線的對(duì)稱(chēng)性可得等邊三角形一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為a,,

代入拋物線方程得（■!J=4.5a,解得a=8g.

故選：B

12.（23-24高二上.廣東?期末）如圖1,拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反

射器和位于焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星

通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn).圖2是圖1的軸截面，A8兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)

稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，下是拋物線的焦點(diǎn)，NAFB是饋源的方向角，記為6,若司=4,0=1，則/到該拋物線頂點(diǎn)

的距離為（）

圖I

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線方程，利用幾何意義求解即可.

【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線的方程為丁=2Px（p>0）,A優(yōu),%）,

則%=2^,|AF|=x0+y=4,即/=4-g

所以12=2p14-9,解得。=2（舍去）或。=6,則F到頂點(diǎn)的距離為3.

故選：B

13.（23-24高二下?內(nèi)蒙古赤峰.期末）已知點(diǎn)A（2,5）,且尸是拋物線C:尤？=4y的焦點(diǎn)，P為C上任意一

點(diǎn),則|必+|尸耳的最小值為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)P，準(zhǔn)線/，過(guò)尸作尸3邛于B,則忸同=忸同，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求1PAi+|尸況由

圖可知當(dāng)4尸，3三點(diǎn)共線時(shí)最小.

【詳解】拋物線C：/=4y的焦點(diǎn)為尸（0,1）,準(zhǔn)線/為y=-l,

當(dāng)x=2時(shí)，y=l,因?yàn)?>1,所以A（2,5）在拋物線內(nèi)，

過(guò)戶作于8,則|尸目=|尸耳,

所以|必+|尸尸|=|咫+|尸耳，

由圖可知當(dāng)AR8三點(diǎn)共線時(shí)，|上4|+歸明最小，則最小值為5+1=6.

故選：D

14.（2024?湖南衡陽(yáng)?三模）已知點(diǎn)尸（2,0）,動(dòng)圓尸過(guò)點(diǎn)尸，且與x=-2相切，記動(dòng)圓圓心P點(diǎn)的軌跡為曲

線「，則曲線r的方程為（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8.xD.y2=12x

【答案】C

【分析】分析題意，利用拋物線的定義判斷曲線是拋物線，再求解軌跡方程即可.

【詳解】由題意知，點(diǎn)尸到點(diǎn)尸的距離和它到直線》=-2的距離相等，

所以點(diǎn)尸的軌跡是以（2,0）為焦點(diǎn)的拋物線，所以r的方程為>2=8無(wú)，故C正確.

故選：C.

15.（23-24高二上?四川成都?期中）已知點(diǎn)4-2,0）,8（2,0）,直線上4的斜率為左，直線PB的斜率為心，

若履-尢=1,則點(diǎn)尸的軌跡為不包含A,B兩點(diǎn)的（）

A.直線B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【答案】D

【分析】設(shè)尸(x,y),根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)后求得正確答案.

【詳解】設(shè)P(x,y),其中xw±2,"0,

爾+)小_)

yJ72_24y7

則=1,

x—2x+2(x-2)(x+2)x2-4

所以y尤2T(xw±2,y*o),

所以點(diǎn)尸的軌跡為不包含A,8兩點(diǎn)的拋物線.

故選：D

16.(24-25高二下?云南昆明?月考)已知尸是拋物線V=4尤上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)尸到直線y=x+3的距

離與到該拋物線準(zhǔn)線距離之和的最小值為()

A.72B.20C.3亞D.4應(yīng)

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線的定義把點(diǎn)尸到/的距離轉(zhuǎn)化到點(diǎn)尸到焦點(diǎn)F的距離，就是求點(diǎn)F到直線x-y+3=0的

距離.

【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)尸分別向準(zhǔn)線/和尤-丫+3=0作垂線，垂足分別為

因?yàn)閽佄锞€＞2=4尤的焦點(diǎn)*1,0),由拋物線的定義得：|州|=盧「|,

所以只需要求|"|+|尸耳最小即可.

當(dāng)且僅當(dāng)F,P,P2三點(diǎn)共線時(shí)|尸耳+|尸閆最小，且最小值為點(diǎn)F到直線x-y+3=0的距離，即"丫耳=2al.

故選：B.

17.⑵-24高二上.廣東深圳.期末)已知拋物線Cyi上一點(diǎn)尸(…)，點(diǎn)依何，喈+2同的

最小值是()

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】利用拋物線定義將+2|PA|轉(zhuǎn)化為2(|PF|+|PA|)-2,數(shù)形結(jié)合根據(jù)線段和的幾何意義求得

2

|P尸|+|PA|的最小值，即可求得答案.

【詳解】在拋物線C:/=4x中，「(如%),

2

??y：=4%「.=x0,

又(向>>4x3,故A(3,JiT)在拋物線C:y2=4x的外部，

2/2>

?W+21M=21『四|]=2&+照)=2&+1+陷)-2,

???拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為尸(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-l,

2

：.\PF\=x0+l,A+2|PA|=2(X0+1+|PA|)-2=2(|PF|+|PA|)-2,

+當(dāng)4尸，尸三點(diǎn)共線(P在A尸之間)時(shí)，

附+附取到最小值|AF|=7(3-l)2+(V21)2=5,

2

A+2|PA|=2(\PF\+|PA|)-2的最小值為2x5-2=8,

故選:C

18.(24-25高二下?湖南?開(kāi)學(xué)考試)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知直線4：x-沖+4利-1=0與

/?：，依+、-3帆-2=。交于點(diǎn)尸，點(diǎn)Q(毛,%)是拋物線V=-以上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝!]1尸。1-尤0的最小值為()

A.72-1B.272-1C.73-1D.2石-1

【答案】B

【分析】由直線方程可得其所過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)兩直線位置關(guān)系可得其焦點(diǎn)的軌跡，根據(jù)拋物線的定義與圓外

一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最值問(wèn)題，結(jié)合圖象，可得答案.

【詳解】直線4：：-吁4%-1=(),即(無(wú)一I)一根(＞一4)=0,可知直線4過(guò)定點(diǎn)尸(1,4)；

直線/?：y+y-3%-2=0,即皿x-3)+(y-2)=0,可知直線人過(guò)定點(diǎn)。(3,2)；

且1xm+(-m)xl=0,貝(|乙J_，2,

1l

可知點(diǎn)尸在以A3為直徑的圓上，此時(shí)圓心為C(2,3),半徑r=；|AB|=0.

因?yàn)閽佄锞€丁=-4工的焦點(diǎn)為尸(-1,0),準(zhǔn)線為x=l,

且點(diǎn)。（毛,%）是拋物線V=-4x上一動(dòng)點(diǎn)，貝！11?；?1一％,即一天=1。尸1-1,

可得|「。|一%=/。|+|。-|-15。。|—「+|。歹|-1=|。。|+|。-|-（也+1），

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸在線段QC上時(shí)，等號(hào)成立，

又因?yàn)镮QC|+|Q尸因CF|=30\當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)。在線段FC上時(shí)，等號(hào)成立，