第6講頻率與概率

知識(shí)點(diǎn)1頻率與概率

1.概率的統(tǒng)計(jì)定義

(1)對(duì)頻率隨機(jī)性的理解

在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.

(2)對(duì)頻率穩(wěn)定性的理解

大量試驗(yàn)表明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.一般地，隨

著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率加A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的

概率P(A).我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們可以用頻率力(A)估計(jì)概率P(A).

如果在“次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率?，當(dāng)"很大時(shí)，可以認(rèn)為事件A發(fā)生的概率P(A)

的估計(jì)值為(，且嵯如g.

2.頻率與概率的關(guān)系

(1)頻率是概率的近似，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來越接近概率，頻率本身是隨機(jī)的試驗(yàn)前是

不能確定的.

(2)概率揭示隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，是一個(gè)確定的常數(shù)，與試驗(yàn)的次數(shù)無關(guān)，概率可以通過

頻率來測(cè)量，某事件在〃次試驗(yàn)中發(fā)生了以次，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)〃很大時(shí)，就將與作為事件A發(fā)生的概率的近

似值，即尸⑷=止

(3)求一個(gè)隨機(jī)事件的概率的方法是根據(jù)定義通過大量的重復(fù)試驗(yàn)用事件發(fā)生的頻率近似地作為它的

概率；任何事件A的概率P(A)總介于。和1之間，即OWP(A)W1,其中必然事件的概率是1,不可能事件

的概率是0.

注:…①概率可以通過頻率來.“測(cè)量”或者說頻率懸概率的二個(gè)近似，概率從數(shù)量上反映了一個(gè)事件發(fā)生的

可能性的大小.

②頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定，做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)得到事件的頻率會(huì)不同.而概率是

一個(gè)確定的常數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無關(guān).

③頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來越接近概率.

知識(shí)點(diǎn)2隨機(jī)模擬

1、隨機(jī)模擬產(chǎn)生的原因

用頻率估計(jì)概率，需要做大量的重復(fù)試驗(yàn)，費(fèi)時(shí)、費(fèi)力，甚至難以實(shí)現(xiàn).

2、隨機(jī)模擬的方法

我們知道，利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)軟件可以產(chǎn)生隨機(jī)數(shù).實(shí)際上，我們也可以根據(jù)不同的隨機(jī)試驗(yàn)構(gòu)建相

應(yīng)的隨機(jī)數(shù)模擬實(shí)驗(yàn)，這樣就可以快速地進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)了，這么隨機(jī)模擬方式叫做隨機(jī)模擬.

我們稱利用隨機(jī)模擬解決問題地方法為蒙特卡洛(MonteCarlo)方法.

—考點(diǎn)一概率的定義

考點(diǎn)二利用頻率估計(jì)概率

頻率與概率

考點(diǎn)三游戲的公平性

—考點(diǎn)四利用隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)求概率

考點(diǎn)一概率的定義

解題方略：

三個(gè)方面理解概率

⑴概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，是隨機(jī)事件A的本質(zhì)屬性，隨機(jī)事件A發(fā)生的概率是大量重復(fù)

試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率的近似值.

⑵由概率的定義我們可以知道隨機(jī)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)中含有規(guī)律性，而概率

就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映.

⑶正確理解概率的意義，要清楚與頻率的區(qū)別與聯(lián)系，對(duì)具體的問題要從全局和整體上去看待，而不是局

限于某一次試驗(yàn)或某一個(gè)具體的事件.

【例1】解釋下列概率的含義：

（1）某廠生產(chǎn)產(chǎn)品的合格率為0.9；

（2）一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，中獎(jiǎng)的概率為02

【解析】（1）“某廠生產(chǎn)產(chǎn)品的合格率為0.9”.說明該廠產(chǎn)品合格的可能性為90%,也就是說100件該

廠的產(chǎn)品中大約有90件是合格的.

（2）“中獎(jiǎng)的概率為0.2”說明參加抽獎(jiǎng)的人中有20%的人可能中獎(jiǎng)，也就是說，若有100人參加抽獎(jiǎng)，

約有20人中獎(jiǎng).

變式1：下列說法正確的是（）

A.由生物學(xué)知道生男、生女的概率均約為0.5,一對(duì)夫婦先后生兩小孩，則一定為一男一女

B.一次摸獎(jiǎng)活動(dòng)中，中獎(jiǎng)概率為0.2,則摸5張票，一定有一張中獎(jiǎng)

C.10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，誰先摸則誰摸到獎(jiǎng)票的可能性大

D.10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，無論誰先摸，摸到獎(jiǎng)票的概率都是0.1

【解析】一對(duì)夫婦生兩小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A不正確；中獎(jiǎng)概率

為0.2是說中獎(jiǎng)的可能性為0.2,當(dāng)摸5張票時(shí)，可能都中獎(jiǎng)，也可能中一張、兩張、三張、四張、五張，

或者都不中獎(jiǎng)，所以B不正確；10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即無論誰

先摸，摸到獎(jiǎng)票的概率都是0.1,所以C不正確，D正確.

變式2：某射擊教練評(píng)價(jià)一名運(yùn)動(dòng)員時(shí)說：“你射中的概率是90%.”你認(rèn)為下面兩個(gè)解釋中能人表教練的

觀點(diǎn)的為（填序號(hào)）.

①該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了100次，恰有90次擊中目標(biāo)；②該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，中靶的機(jī)會(huì)是90%.

【解析】能代表教練的觀點(diǎn)的為該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，中靶的機(jī)會(huì)是90%.

答案：②

變式3：已知使用一劑某種藥物治愈某種疾病的概率為90%,則下列說法正確的是（）

A.如果有100個(gè)這種病人各使用一劑這樣的藥物，那么有90人會(huì)被治愈

B.如果一個(gè)患有這種疾病的病人使用兩劑這樣的藥物就一定會(huì)被治愈

C.使用一劑這種藥物治愈這種疾病的可能性是90%

D.以上說法都不對(duì)

【解析】治愈某種疾病的概率為90%,說明使用一劑這種藥物治愈這種疾病的可能性是90%,但不能

說明使用一劑這種藥物一定可以治愈這種疾病，只能說治愈的可能性較大.故選C.

變式4：“不怕一萬，就怕萬一”這句民間諺語說明（）

A.小概率事件雖很少發(fā)生，但也可能發(fā)生，需提防

B.小概率事件很少發(fā)生，不用怕

C.小概率事件就是不可能事件，不會(huì)發(fā)生

D.大概率事件就是必然事件，一定發(fā)生

【解析】因?yàn)檫@句諺語是提醒人們需提防小概率事件.故選A.

考點(diǎn)二利用頻率估計(jì)概率

解題方略：

（1）頻率是事件4發(fā)生的次數(shù)m與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值，利用此公式可求出它們的頻率.頻率本身是隨機(jī)變

量，當(dāng)〃很大時(shí)，頻率總是在一個(gè)穩(wěn)定值附近擺動(dòng)，這個(gè)穩(wěn)定值就是概率.

（2）解此類題目的步驟：先利用頻率的計(jì)算公式依次計(jì)算頻率，然后用頻率估計(jì)概率.

【例2】在擲一枚硬幣的試驗(yàn)中,共擲了100次，“正面朝上”的頻率為0.49,則“正面朝下”的次數(shù)為（）

A.0.49B.49

C.0.51D.51

【解析】正面朝下的頻率為1-0.49=0.51,次數(shù)為0.51X100=51次.故選D.

變式1：數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米2018石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷,

抽樣取米一把，數(shù)得270粒內(nèi)夾谷30粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）

A.222石B.224石

C.230石D.232石

301

【解析】由題意，抽樣取米一把，數(shù)得270粒內(nèi)夾谷30粒，即夾谷占有的概率為礪=§,所以2018

石米中夾谷約為2018乂卜224（石）.故選B.

變式2：魚池中共有N條魚，從中捕出w條并標(biāo)上記號(hào)后放回池中，經(jīng)過一段時(shí)間后，再從池中捕出M條,

其中有記號(hào)的有m條，則估計(jì)魚池中共有魚N=條.

【解析】由討"而付N=u

答案：誓

變式3：在進(jìn)行〃次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率為藍(lán)，當(dāng)〃很大時(shí)，事件A發(fā)生的概率P（A）與藍(lán)的關(guān)系

是（）

mm

A.P(A)^-B.P(A)<-

mm

C.P(A)>~D.P(A)=~

【解析】對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,事件A發(fā)生的頻率以A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率尸(A),因此

可以用頻率從A)來估計(jì)概率P(A).即P(A)故選A.

【例3】在下列各事件中，發(fā)生的可能性最大的為()

A.任意買1張電影票，座位號(hào)是奇數(shù)

B.擲1枚骰子，點(diǎn)數(shù)小于等于2

C.有10000張彩票，其中100張是獲獎(jiǎng)彩票，從中隨機(jī)買1張是獲獎(jiǎng)彩票

D.一袋中裝有8個(gè)紅球，2個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出1個(gè)球是紅球

【解析】設(shè)四個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的事件分別為A,B,C,D概率分別是尸(A)=]P(B)=|,尸(。=忐P(D)

4

=弓.故選D.

變式1：一家保險(xiǎn)公司想了解汽車的擋風(fēng)玻璃破碎的概率，公司收集了20000部汽車的相關(guān)信息，時(shí)間是

從某年的5月1日到下一年的5月1日，共發(fā)現(xiàn)有600部汽車的擋風(fēng)玻璃破碎，則一部汽車在一年內(nèi)擋風(fēng)

玻璃破碎的概率近似是.

【解析】尸

答案:0.03

變式2：某市交警部門在調(diào)查一起車禍過程中，所有的目擊證人都指證肇事車是一輛普通桑塔納出租車，但

由于天黑，均未看清該車的車牌號(hào)碼及顏色，而該市有兩家出租車公司，其中甲公司有100輛桑塔納出租

車，3000輛帕薩特出租車；乙公司有3000輛桑塔納出租車，100輛帕薩特出租車，交警部門應(yīng)認(rèn)定肇事

車為哪個(gè)公司的車輛較合理？()

A.甲公司B.乙公司

C.甲、乙公司均可D.以上都對(duì)

【解析】由題意得肇事車是甲公司的概率為3而瞿訴=1,是乙公司的概率為急罌6=非，可以

JUUUI1J1JUUUI1kJUJ

認(rèn)定肇事車為乙公司的車輛較為合理.故選B.

變式3：容量為200的樣本的頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)樣本的頻率分布直方圖計(jì)算樣本數(shù)據(jù)落在[6,10)

內(nèi)的頻數(shù)為，估計(jì)數(shù)據(jù)落在⑵10)內(nèi)的概率約為.

【解析】數(shù)據(jù)落在［6,10)內(nèi)的頻數(shù)為200義0.08義4=64,數(shù)據(jù)落在［2,10)內(nèi)的頻率為(0.02+0.08)X4=0.4,

由頻率估計(jì)概率知，所求概率約為0.4.

答案：640.4

變式4：下表中列出了10次拋擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果."為拋擲硬幣的次數(shù)，機(jī)為硬幣正面朝上的次數(shù)，計(jì)算

每次試驗(yàn)中“正面朝上”這一事件的頻率，并估算它的概率.

正面朝上“正面朝上”出

試驗(yàn)序號(hào)拋擲的次數(shù)W

的次數(shù)m現(xiàn)的頻率

1500251

2500249

3500256

4500253

5500251

6500245

7500244

8500258

9500262

10500247

【解析】由力(4)="可得出這10次試驗(yàn)中“正面朝上”這一事件出現(xiàn)的頻率依次為0.502,0.498,0.512,

0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494,這些數(shù)字在0.5左右擺動(dòng)，由概率的統(tǒng)計(jì)定義可得，“正面朝上”

的概率為0.5.

變式5：某公司在過去幾年內(nèi)使用了某種型號(hào)的燈管1000支，該公司對(duì)這些燈管的使用壽命(單位：時(shí))進(jìn)

分

[0,900)[900,1100)[1100,1300)[1300,1500)[1500,1700)[1700,1900)[1900,+8)

組

頻

4812120822319316542

數(shù)

頻

率

行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：

(1)將各組的頻率填入表中；

(2)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果，估計(jì)燈管使用壽命不足1500小時(shí)的概率.

【解析】⑴頻率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.

(2)樣本中使用壽命不足1500小時(shí)的頻數(shù)是48+121+208+223=600.

所以樣本中使用壽命不足1500小時(shí)的頻率是丁麗=0.6,

即燈管使用壽命不足1500小時(shí)的概率約為06

變式6：某公司在過去幾年內(nèi)使用某種型號(hào)的燈管1000支，該公司對(duì)這些燈管的使用壽命(單位：小時(shí))進(jìn)

行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：

分組頻數(shù)頻率

[500,900)48

[900,1100)121

[1100,1300)208

[1300,1500)223

[1500,1700)193

[1700,1900)165

[1900,+8)42

①求各組的頻率；

②根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果，估計(jì)燈管使用壽命不足1500小時(shí)的概率.

【解析】①頻率依次是:0,048,0.121,0,208,0,223,0.193,0.165,0.042.

②樣本中壽命不足1500小時(shí)的頻數(shù)是48+121+208+223=600,

所以樣本中壽命不足1500小時(shí)的頻率是^^=06

即燈管使用壽命不足1500小時(shí)的概率約為0.6.

變式7：國家乒乓球比賽的用球有嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)，下面是有關(guān)部門對(duì)某乒乓球生產(chǎn)企業(yè)某批次產(chǎn)品的抽樣檢測(cè),

結(jié)果如表所示：

抽取球數(shù)目5010020050010002000

優(yōu)等品數(shù)目45921944709541902

優(yōu)等品頻率

(1)計(jì)算表中優(yōu)等品的各個(gè)頻率；

(2)從這批產(chǎn)品中任取一個(gè)乒乓球，質(zhì)量檢測(cè)為優(yōu)等品的概率約是多少?

【解析】(1)如表所示：

抽取球數(shù)目5010020050010002000

優(yōu)等品數(shù)目45921944709541902

優(yōu)等品頻率0.90.920.970.940.9540.951

⑵根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，可以認(rèn)為從這批產(chǎn)品中任取一個(gè)乒乓球，質(zhì)量檢測(cè)為優(yōu)等品的概率約是0.95.

考點(diǎn)三游戲的公平性

【例4】甲、乙兩人做游戲，下列游戲中不公平的是（）

A.拋一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)則甲勝，向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)則乙勝

B.同時(shí)拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面向上則甲勝，兩枚都是正面向上則乙勝

C.從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色則甲勝，是黑色則乙勝

D.甲、乙兩人各寫一個(gè)數(shù)字，若是同奇或同偶則甲勝，否則乙勝

【解析】A項(xiàng)，P（點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)）=P（點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)）=最B項(xiàng)，P（恰有一枚正面向上）=；,P（兩枚都正面向

±）=|;C項(xiàng)，尸（牌色為紅）=尸（牌色為黑）=最D項(xiàng)，P（同奇或同偶）=P（奇偶不同）=3.故選B.

變式1：某校高二年級(jí)（1）（2）班準(zhǔn)備聯(lián)合舉行晚會(huì)，組織者欲使晚會(huì)氣氛熱烈、有趣，策劃整場(chǎng)晚會(huì)以轉(zhuǎn)盤

游戲的方式進(jìn)行，每個(gè)節(jié)目開始時(shí)，兩班各派一人先進(jìn)行轉(zhuǎn)盤游戲，勝者獲得一件獎(jiǎng)品，負(fù)者表演一個(gè)節(jié)

目.（1）班的文娛委員利用分別標(biāo)有數(shù)字123,4,5,6,7的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤（如圖所示），設(shè)計(jì)了一種游戲方案：兩人同

時(shí)各轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)轉(zhuǎn)盤一次，將轉(zhuǎn)到的數(shù)字相加，和為偶數(shù)時(shí)（1）班代表獲勝，否則（2）班代表獲勝.該方案對(duì)雙

方是否公平？為什么？

【解析】該方案是公平的，理由如下：

各種情況如表所示：

和4567

15678

26789

378910

由表可知該游戲可能出現(xiàn)的情況共有12種，其中兩數(shù)字之和為偶數(shù)的有6種，為奇數(shù)的也有6種，所

以（1）班代表獲勝的概率P1=4=J,⑵班代表獲勝的概率尸2=奈=；,即尸1=22,機(jī)會(huì)是均等的，所以該方

JL乙乙JL乙乙

案對(duì)雙方是公平的.

考點(diǎn)四利用隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)求概率

解題方略：

用隨機(jī)模擬來估計(jì)概率，一般有如下特點(diǎn)的事件可以用這種方法來估計(jì)：⑴對(duì)于滿足“有限性”但不滿足“等

可能性”的概率問題，我們可采取隨機(jī)模擬方法來估計(jì)概率.（2）對(duì)于一些基本事件的總數(shù)比較大而導(dǎo)致很難

把它列舉得不重復(fù)、不遺漏的概率問題或?qū)τ诨臼录牡瓤赡苄噪y于驗(yàn)證的概率問題，可用隨機(jī)模擬方

法來估計(jì)概率.

【例5］從你所在班級(jí)任意選出6名同學(xué)，調(diào)查他們的出生月份，假設(shè)出生在一月，二月……十二月是等可能的.

設(shè)事件A=“至少有兩人出生月份相同”，設(shè)計(jì)一種試驗(yàn)方法，模擬20次，估計(jì)事件A發(fā)生的概率.

【解析】根據(jù)假設(shè),每個(gè)人的出生月份在12個(gè)月中是等可能的，而且相互之間沒有影響，所以觀察6個(gè)人的出

生月份可以看成可重復(fù)試驗(yàn).

因此,可以構(gòu)建如下有放回摸球試驗(yàn)進(jìn)行模擬:在袋子中裝入編號(hào)為L(zhǎng)2,…,12的12個(gè)球,這些球除編號(hào)外沒有

什么差別.有放回地隨機(jī)從袋中摸6次球，得到6個(gè)數(shù)代表6個(gè)人的出生月份，這就完成了一次模擬試驗(yàn).如果這

6個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)相同，表示事件A發(fā)生了.重復(fù)以上模擬試驗(yàn)20次，就可以統(tǒng)計(jì)出事件A發(fā)生的頻率.

變式1：一個(gè)袋中有7個(gè)大小、形狀相同的小球，6個(gè)白球1個(gè)紅球.現(xiàn)任取1個(gè)，若為紅球就停止，若為

白球就放回，攪拌均勻后再接著取.試設(shè)計(jì)一個(gè)模擬試驗(yàn)，計(jì)算恰好第三次摸到紅球的概率.

【解析】用123,4,5,6表示白球，7表示紅球，利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到7之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，因

為要求恰好第三次摸到紅球的概率，所以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組.例如，產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù).

666743671464571

561156567732375

716116614445117

573552274114622

就相當(dāng)于做了20次試驗(yàn)，在這組數(shù)中，前兩個(gè)數(shù)字不是7,

第三個(gè)數(shù)字恰好是7,就表示第一次、第二次摸的是白球，

第三次恰好是紅球，它們分別是567和117共兩組，因此

恰好第三次摸到紅球的概率約為W=0.1.

變式2：某種心臟手術(shù)，成功率為0.6,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率：先利用計(jì)

算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0?9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.6,故我們用0,1,2,3表示手術(shù)不成功，

4,5,6,7,8,9表示手術(shù)成功；再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨

機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907.由此估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為（）

A.0.2B.0.3

C.0.4D.0.5

2

【解析】由10組隨機(jī)數(shù)知，4?9中恰有三個(gè)的隨機(jī)數(shù)有569,989兩組，故所求的概率為尸=訕=0.2.故選A

練習(xí)一概率的定義

1、下列說法正確的是（）

A.由生物學(xué)知道生男生女的概率約為0.5,一對(duì)夫婦先后生兩個(gè)小孩，則一定為一男一女

B.一次摸獎(jiǎng)活動(dòng)中，中獎(jiǎng)概率為0.2,則摸5張票，一定有一張中獎(jiǎng)

C.10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，誰先摸則誰摸到獎(jiǎng)票的可能性大

D.10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，無論誰先摸，摸到獎(jiǎng)票的概率都是0.1

【解析】一對(duì)夫婦生兩個(gè)小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A不正確；中獎(jiǎng)概率為

0.2是說中獎(jiǎng)的可能性為0.2,當(dāng)摸5張票時(shí)，可能都中獎(jiǎng)，也可能中一張、兩張、三張、四張，或者都不

中獎(jiǎng)，所以B不正確；10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即無論誰先摸，摸

到獎(jiǎng)票的概率都是0」，所以C不正確，D正確.故選D

2、“某彩票的中獎(jiǎng)概率為忐”意味著（）

A.買100張彩票就一定能中獎(jiǎng)

B.買100張彩票能中一次獎(jiǎng)

C.買100張彩票一次獎(jiǎng)也不中

D.購買彩票中獎(jiǎng)的可能性為擊

【解析】某彩票的中獎(jiǎng)率為擊，意味著中獎(jiǎng)的可能性為擊，可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng).故選D.

練習(xí)二利用頻率估計(jì)概率

1、某工廠為了節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標(biāo)為1000度，按照上個(gè)月的用電記錄，在30天中有12天

的用電量超過指標(biāo)，若這個(gè)月（按30天計(jì)）仍沒有具體的節(jié)電措施，則該月的第一天用電量超過指標(biāo)的概率

約是.

17

【解析】由頻率的定義可知用電量超過指標(biāo)的頻率為而=0.4,由頻率估計(jì)概率知第一天用電量超過指

標(biāo)的概率約是0.4.

答案：0.4

2、某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，對(duì)投保的車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:

賠償金額(元)01000200030004000

車輛數(shù)(輛)500130100150120

(1)若每輛車的投保金額為2800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率；

(2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%,在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占

20%,估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率.

【解析】(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”，8表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計(jì)概率

得尸(A)=]000=0.15,P(B)=]000=0.12,

由于投保額為2800元，賠付金額大于投保金額的情形是賠付3000元和4000元，A與B互斥,所以

所求概率為P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.

(2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4000元,,，由已知，樣本車輛中車主是新司機(jī)的有0.1x1000

=100(位)，而賠付金額為4000元的車輛中車主為新司機(jī)的有0.2x120=24(位)，

74

所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4000元的頻率為同=0.24,由頻率估計(jì)概率得P(O=0.24.

3、在一個(gè)試驗(yàn)中，一種血清被注射到500只豚鼠體內(nèi).最初，這些豚鼠中有150只有圓形細(xì)胞，250只有

橢圓形細(xì)胞，100只有不規(guī)則形狀細(xì)胞.被注射這種血清之后，具有圓形細(xì)胞的豚鼠沒有被感染，50只具

有橢圓形細(xì)胞的豚鼠被感染，具有不規(guī)則形狀細(xì)胞的豚鼠全部被感染.根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果估計(jì)，分別具有圓形

細(xì)胞、橢圓形細(xì)胞、不規(guī)則形狀細(xì)胞的豚鼠被這種血清感染的概率.

【解析】①記“具有圓形細(xì)胞的豚鼠被感染”為事件A,則由題意可知，A為不可能事件，所以P(A)

=0.

②記''具有橢圓形細(xì)胞的豚鼠被感染”為事件8,則由題意，得P(B)=券=義=02

③記“具有不規(guī)則形狀細(xì)胞的豚鼠被感染”為事件C,則由題意可知，C為必然事件，尸(0=1.

4、某盒子中有四個(gè)小球，分別寫有“中”“美”“建”“交”四個(gè)字(2019年是中美建交40周年)，從中任

取一個(gè)小球，有放回抽取，直到取到“建”“交”二字就停止，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止

的概率：利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生。到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用0,1,2,3代表“中”“美”“建”“交”

這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：

323231320032132031123330110

321120122321221230132322130

由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止的概率為.

【解析】經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生的18組隨機(jī)數(shù)中恰好第三次就停止的有032,132,123,132,共4組隨機(jī)數(shù).所

.42

以恰好第三次就停止的概率為分=g.

2

答案：g

5、隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對(duì)西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下:

日

123456789101112131415

期

天

晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴

氣

日

161718192021222324252627282930

期

天

晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨

氣

(1)在4月份任取一天，估計(jì)西安市在該天不下雨的概率；

(2)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天開始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動(dòng)會(huì)，估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率.

【解析】(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26,以頻率估計(jì)概率，得在4月份任取一天，西安

.13

市在該天不下雨的概率約為百.

(2)稱相鄰的兩個(gè)日期為“互鄰日期對(duì)”(如1日與2日，2日與3日等).這樣，在4月份中，前一天為

7

晴天的互鄰日期對(duì)有16個(gè)，其中后一天不下雨的有14個(gè)，所以晴天的次日不下雨的頻率為以頻率估計(jì)概

O

7

率，得運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率約為了

O

6、某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表,

其中“J”表示購買，“X”表示未購買.

商品

甲乙丙T

顧客人數(shù)

100VXVV

217XVXV

200VVVX

300VXVX

85VXXX

98XVXX

(1)估計(jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率；

(2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率;

(3汝口果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大?

【解析】(1)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時(shí)購買了乙和丙，所以顧客同時(shí)購

200

買乙和丙的概率可以估計(jì)為

1000=0.2.

(2)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中，有100位顧客同時(shí)購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同

時(shí)購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品.

所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率可以估計(jì)為史富產(chǎn)=03

(3)與(1)同理，可得:

顧客同時(shí)購買甲和乙的概率可以估計(jì)為哥j=0.2,

,八一田一,，一一,,,,,100+200+300

顧客同時(shí)購買甲和丙的概率可以估計(jì)為----麗-------0.6,

100

顧客同時(shí)購買甲和丁的概率可以估計(jì)為'=0.1.

1000

所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買丙的可能性最大.

7、如圖，A地到火車站共有兩條路徑八和七，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果

如下:

所用時(shí)間(分鐘)10?2020?3030?4040?5050?60

選擇Li的人數(shù)612181212

選擇L2的人數(shù)0416164

(1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率;

(2)分別求通過路徑Li和上所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率;

(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到

火車站，試通過計(jì)算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.

【解析】(1)共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44(人),

44

用頻率估計(jì)概率，可得所求概率為礪=0.44.

⑵選擇〃的有60人，選擇上的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得所求各頻率為

所用時(shí)間(分鐘)10?2020?3030?4040?5050?60

Li的頻率0.10.20.30.20.2

Li的頻率00.10.40.40.1

⑶記事件4,人2分別表示甲選擇心和心時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車站;

記事件Bi,&分別表示乙選擇乙和辦時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車站.

由(2)知P(Ai)=0.1+0.2+0.3=0.6,

尸02)=01+0.4=0.5,P(AI)>P(A2),

...甲應(yīng)選擇Li；

尸(Bi)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,

尸(32)=0.1+04+04=09,

P(B2?P(BI),

二.乙應(yīng)選擇L2.

練習(xí)三游戒的公平性

1、若轉(zhuǎn)盤被平均分成10等份(如圖所示)，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字.游

戲規(guī)則如下：兩個(gè)人參加，先確定猜數(shù)方案，甲轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，乙猜，若猜出的結(jié)果與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字所表示

的數(shù)字相符，則乙獲勝，否則甲獲勝.猜數(shù)方案從以下兩種方案中選一種:

A.猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”；

B.猜“不是4的整數(shù)倍數(shù)”.

請(qǐng)回答下列問題：

(1)如果你是乙，為了盡可能獲勝，你會(huì)選哪種猜數(shù)方案？

(2)為了保證游戲的公平性，你認(rèn)為應(yīng)選哪種猜數(shù)方案?

【解析】(1)為了盡可能獲勝，乙應(yīng)選擇方案B.猜“不是4的整數(shù)倍”，這是因?yàn)椤安皇?的整數(shù)倍”的概

Q

率為云=0.8,超過了0.5,故為了盡可能獲勝，選擇方案B.

(2)為了保證游戲的公平性，應(yīng)當(dāng)選擇方案A,這是因?yàn)榉桨窤是猜“是奇數(shù)”和“是偶數(shù)”的概率均為0.5,

從而保證了該游戲的公平性.

2、下面有三種游戲規(guī)則：袋子中分別裝有大小相同的球，從袋中取球,

游戲1游戲2游戲3

3個(gè)黑球和1個(gè)白球1個(gè)黑球和1個(gè)白球2個(gè)黑球和2個(gè)白球

取1個(gè)球，再取1個(gè)球