第頁3.2.2奇偶性【知識點梳理】知識點一、函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟1．函數(shù)奇偶性的概念偶函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么稱為偶函數(shù)．奇函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么稱為奇函數(shù)．知識點詮釋：（1）奇偶性是整體性質(zhì)；（2）在定義域中，那么在定義域中嗎？具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點對稱的；（3）的等價形式為：，的等價形式為：；（4）由定義不難得出若一個函數(shù)是奇函數(shù)且在原點有定義，則必有；（5）若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有．2．奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù)．（2）如果一個函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于軸對稱；反之，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)．3．用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不關(guān)于原點對稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點對稱，則進行下一步；（2）結(jié)合函數(shù)的定義域，化簡函數(shù)的解析式；（3）求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性．若，則是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)知識點二、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點對稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點對稱的，再判斷與之一是否相等．（2）驗證法：在判斷與的關(guān)系時，只需驗證及是否成立即可．（3）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價于它的圖象關(guān)于原點（軸）對稱．（4）性質(zhì)法：兩個奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)．（5）分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時，通常利用定義法判斷．在函數(shù)定義域內(nèi)，對自變量的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)不是幾個函數(shù)，而是一個函數(shù)．因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后判斷與的關(guān)系．首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達式中，與對應(yīng)不同的表達式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進行比較．知識點三、關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見結(jié)論（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱．（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱．（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足．（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同．（5）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式．記，，則．（6）運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數(shù)，如．對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）復合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．【題型歸納目錄】題型一：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明題型二：已知函數(shù)的奇偶性求表達式題型三：已知函數(shù)的奇偶性求值題型四：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)題型五：已知奇函數(shù)+M題型六：抽象函數(shù)的奇偶性問題題型七：奇偶性與單調(diào)性的綜合運用題型八：利用函數(shù)奇偶性識別圖像【典型例題】題型一：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明例1．下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A：定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對于B：定義域為，則，即為偶函數(shù)，故B錯誤；對于C：定義域為，則，故為奇函數(shù)，故C正確；對于D：定義域為，則，所以為偶函數(shù)，故D錯誤；故選：C【方法技巧與總結(jié)】判定函數(shù)奇偶性容易失誤是由于沒有考慮到函數(shù)的定義域．函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件，因此研究函數(shù)的奇偶性必須“堅持定義域優(yōu)先”的原則，即優(yōu)先研究函數(shù)的定義域，否則就會做無用功．例2．已知函數(shù).(1)若，判斷的奇偶性并加以證明.(2)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），當時，，定義域為R，此時，所以為奇函數(shù)，當時，定義域為，且，所以為奇函數(shù)，綜上：為奇函數(shù).（2）,即，在上恒成立，整理為在上恒成立，令，當時，，所以，故實數(shù)的取值范圍為.例3．已知函數(shù)，，則（

）A．為奇函數(shù)，為偶函數(shù)B．為奇函數(shù)，為偶函數(shù)C．為奇函數(shù)，為偶函數(shù)D．為奇函數(shù)，為偶函數(shù)【答案】D【解析】，，定義域為，定義域不關(guān)于原點對稱，故既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；，定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，令，且，所以為奇函數(shù)；，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；為偶函數(shù).故選：D.例4．設(shè)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】C【解析】A選項：設(shè)，，則為偶函數(shù)，A錯誤；B選項：設(shè)，則，與關(guān)系不定，即不確定的奇偶性，B錯誤；C選項：設(shè)，則，則為奇函數(shù)，C正確；D選項：設(shè)，則，則為偶函數(shù)，D錯誤．故選：C.例5．已知，且是定義在R上的奇函數(shù)，，則（

）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)【答案】B【解析】由已知的定義域為R，因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以，所以為偶函數(shù)，又，，又，所以，所以不為奇函數(shù)，故選：B．例7．已知為上的函數(shù)，其中函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，則A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)為奇函數(shù)C．函數(shù)為偶函數(shù)D．函數(shù)為奇函數(shù)【答案】A【解析】設(shè)，因為為偶函數(shù)，所以，則＝，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故選A．例8．（多選）已知函數(shù)，均為定義在上的奇函數(shù)，且，，則（

）A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】ABC【解析】因為函數(shù)，均為定義在上的奇函數(shù)，所以，，對于A選項，設(shè)，則，所以為奇函數(shù)，故A正確；對于B選項，設(shè)，則，所以為奇函數(shù)，故B正確；對于C選項，設(shè)，則，所以為偶函數(shù)，故C正確；對于D選項，設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，故D錯誤.故選：ABC.例13．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）由，得，且，所以的定義域為，關(guān)于原點對稱，所以.又，所以是奇函數(shù).（2）因為的定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（3）對于函數(shù)，，其定義域為，關(guān)于原點對稱.因為對定義域內(nèi)的每一個，都有，所以，，所以既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).（4）函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱.①當時，，所以，，所以；②當時，，所以；③當時，，所以.綜上，可知函數(shù)為奇函數(shù).題型二：已知函數(shù)的奇偶性求表達式例14．知是R上的奇函數(shù)，是上的偶函數(shù).若,則（）.A． B．C． D．【答案】A【解析】由是奇函數(shù)，有.又是偶函數(shù)，有.在中，以代，得,即.故.選A.【方法技巧與總結(jié)】抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的解析式．例16．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)確定的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明．【解析】（1）因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)所以，解得．經(jīng)檢驗，當時，是上的奇函數(shù)，滿足題意．又，解得，所以．（2）在上為增函數(shù)．證明如下：在內(nèi)任取且，則，因為，，，，所以，即，所以在上為增函數(shù)．例19．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，．(1)求當x＞0時，函數(shù)的解析式；(2)解不等式．【解析】（1）由為奇函數(shù)，得．當x＞0時，，故，故當x＞0時，．（2）由，得，故或．如圖所示，畫出函數(shù)的圖象．

由圖易得的解集為（0，2），的解集為，故不等式的解集為．題型三：已知函數(shù)的奇偶性求值例22．已知奇函數(shù)，當時，（為常數(shù)），則（

）A．1 B．2 C．－3 D．3【答案】C【解析】由于是奇函數(shù)，所以，所以，所以時，，所以.故選：C【方法技巧與總結(jié)】充分利用奇偶性進行求解．例24．已知是定義域為的奇函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，則______．【答案】【解析】關(guān)于對稱，關(guān)于直線對稱，所以.故答案為：.例25．已知函數(shù)，的定義域為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則__．【答案】2【解析】因為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以，，兩式相減可得，，若，則．故答案為：2．例26．（多選）是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】因是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則，，解得，即A，C都正確；而，即B，D都不正確.故選：AC例27．已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令x＝1，得f（1）+g（1）＝1，令x＝﹣1，得f（﹣1）+g（﹣1）＝5，又f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，所以f（﹣1）＝f（1），g（﹣1）＝﹣g（1），兩式相加得：f（1）+f（﹣1）+g（1）+g（﹣1）＝6，f（1）+f（1）+g（1）﹣g（1）＝6，即2f（1）＝6，所以f（﹣1）＝3；故選A．題型四：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)例29．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則________【答案】【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，整理得，因為所以當時上式恒成立，故答案為：0例30．若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則常數(shù)_______.【答案】【解析】可知函數(shù)為偶函數(shù)，定義域為R，則，即，解得，則，顯然滿足題意，則．故答案為：.例32．）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則_____．【答案】2【解析】當時，，，又為奇函數(shù)，，而當時，，所以．故答案為：2例33．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則函數(shù)在上的最小值為______．【答案】－6【解析】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，故，即，則解得，所以，，所以，，則，故答案為：-6題型五：已知奇函數(shù)+M例34．若函數(shù)在上的最大值為M，最小值為N，且M＋N＝2024，則實數(shù)t的值為（

）A．－506 B．506 C．2022 D．2024【答案】B【解析】函數(shù)，令，因為，所以為奇函數(shù)，又在上的最大值為M，最小值為N，且M＋N＝2024，所以的最大值為，最小值為，所以，則t＝506．故選：B【方法技巧與總結(jié)】已知奇函數(shù)+M，，則（1）（2）例35．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為______.【答案】1【解析】由題意知，（），設(shè)，則，因為，所以為奇函數(shù)，在區(qū)間上的最大值與最小值的和為0，故，所以.故答案為：1題型六：抽象函數(shù)的奇偶性問題例37．（多選）定義在R上的函數(shù)滿足，當時，，則下列說法正確的是（

）A．B．為奇函數(shù)C．在區(qū)間上有最大值D．的解集為【答案】ABD【解析】對于A選項，在中，令，可得，解得，A選項正確；對于B選項，由于函數(shù)的定義域為R，在中，令，可得，所以，則函數(shù)為奇函數(shù)，B選項正確；對于C選項，任取，x2∈R，且，則，，所以，所以，則函數(shù)在R上為減函數(shù)，所以在區(qū)間上有最小值，C選項錯誤；對于D選項，由可得，又函數(shù)在R上為減函數(shù)，則，整理得，解得，D選項正確.故選：ABD．【方法技巧與總結(jié)】判斷抽象函數(shù)的奇偶性，可用特殊值賦值法來求解．在這里，由于需要判斷與之間的關(guān)系，因此需要先求出的值才行．例38．（多選）已知函數(shù)對任意都有，且．則下列結(jié)論正確的是（

）A．為偶函數(shù) B．若，則C． D．若，則【答案】ACD【解析】選項A：因為，令可得，解得．令可得，所以，故為偶函數(shù)，A正確；選項B：令可得，所以，B錯誤；選項C:令可得，C正確；選項D：令可得，所以，所以，D正確．故選：ACD．例40．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且當x>0時，f（x）<0恒成立.(1)求f（0）；(2)證明：函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；(3)證明：函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù).【解析】（1）因為對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），所以令a=b=0，得f（0）=0.（2）由f（a+b）=f（a）+f（b），得f（x-x）=f（x）+f（-x）.即f（x）+f（-x）=f（0），而f（0）=0，∴f（-x）=-f（x），即函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù).（3）設(shè)x1>x2，則x1-x2>0，f（x1-x2）<0而f（a+b）=f（a）+f（b），∴f（x1）=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2）+f（x2）<f（x2），∴函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù).例41．已知函數(shù)f(x)在(－1，1)上有定義，當且僅當0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減【解析】證明：(1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0

∴f(x)=－f(－x)

∴f(x)為奇函數(shù)(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減令0<x1<x2<1,則f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f()∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0，∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由題意知f()<0，即f(x2)<f(x1)∴f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0∴f(x)在(－1，1)上為減函數(shù)例42．已知函數(shù)滿足，當時，成立，且．(1)求，并證明函數(shù)的奇偶性；(2)當，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）令，可得，令，則，所以，所以，所以為奇函數(shù)；（2），即，所以，又當時，成立，所以為增函數(shù)，所以在上恒成立，令，可得在上恒成立，又，，所以當時，，所以，即.例43．設(shè)函數(shù)的定義域為，且滿足：①當時，；②，．則是_______函數(shù)（填“奇”或“偶”），在定義域上是_______函數(shù)（填“增”或“減”）．【答案】奇

減【解析】，令，則，所以，令，則，又因為的定義域關(guān)于原點對稱，所以為奇函數(shù)；任取，且，則因為，所以，，所以，所以，，所以，所以，由條件①得，所以，所以在上是減函數(shù)，又為奇函數(shù)，所以在上是減函數(shù)．題型七：奇偶性與單調(diào)性的綜合運用例44．定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的有則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為滿足，對任意的有，所以在上單調(diào)遞減且為偶函數(shù)，則由可得，即故選:A【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合問題主要有兩類：一類是兩個性質(zhì)交融在一起（如本例），此時要充分利用奇偶函數(shù)的圖象的對稱性，從而得到其對稱區(qū)間上的單調(diào)性；另一類是兩個性質(zhì)簡單組合，此時只需分別利用函數(shù)的這兩個性質(zhì)解題．例45．已知函數(shù)，則不等式的解集為______.【答案】【解析】因為定義域為，且，即為奇函數(shù)，又與在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式等價為，即，解得，即不等式的解集為.故答案為：例46．若偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是____________.【答案】【解析】因為偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以當時，則不等式等價于，解得，所以原不等式的解集為.故答案為：例47．已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，為增函數(shù)，且，那么不等式的解集是_______.【答案】【解析】因為奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，則在上是增函數(shù)，且，不等式化為：或，解得或，所以不等式的解集是.故答案為：例49.知是定義在上的奇函數(shù)，且，若對任意，，且，有，則的最小值為______．【答案】【解析】∵是定義在上的奇函數(shù)，∴對任意，，，且，等價于，∴在上單調(diào)遞增．∵，∴．故答案為：例52．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，若，，且，都有成立，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，因為函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，所以，即是定義在R上奇函數(shù)．又，，且，都有成立，所以在上單調(diào)遞減，又是定義在R上奇函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞減，所以，即，所以，解得．故A，B，D錯誤.故選：C．例53．定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為對任意的，有，所以當時，，所以在上是減函數(shù)，又是偶函數(shù)，所以，，因為，所以，即．故選：D．例54．已知偶函數(shù)的定義域為，當時，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，在上單調(diào)遞減，又為偶函數(shù)，，，，解得：或，的解集為.故選：D.題型八：利用函數(shù)奇偶性識別圖像例57．函數(shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以，為奇函數(shù)，所以C錯誤；當時，，所以A，D錯誤，B正確.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】利用奇偶性進行排除.例58．已知函數(shù)與的函數(shù)圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由圖知，的定義域為，令時，或，由為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，對A，B：當時，，，所以，故A，B錯誤；對C：由分析知，是奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，故C錯誤；對D：由圖知，當時，，，，當時，，，，結(jié)合奇函數(shù)的對稱性可得時的圖象，故D正確；故選：D.例59．函數(shù)的圖象不可能為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】若的圖象經(jīng)過原點，可得，即，，若的圖象關(guān)于軸對稱，可得為偶函數(shù)，即，可得，即，故C不可能成立；當，即有，，可得為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，且時，為連續(xù)函數(shù)，故A可能成立；當，，即有，，可得為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，且時，為增函數(shù)，時，為增函數(shù)，故B可能成立；若，則，當，，即有，，可得為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，且時，為增函數(shù)，時，為增函數(shù)，故D可能成立．故選：C．例60．函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為函數(shù)的定義域為，，所以是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，排除A，B；當時，，當時，，排除C．故選：D．【同步練習】一、單選題1．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，，在上單調(diào)遞增；又是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減；，由得：，則，解得：，的解集為.故選：A.2．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．且【答案】B【解析】對于A選項，，為偶函數(shù)，故錯誤；對于B選項，，為奇函數(shù)，且函數(shù)、均為減函數(shù)，故為減函數(shù)，故正確；對于C選項，為偶函數(shù)，故錯誤；對于D選項，且為奇函數(shù)，在定義域上沒有單調(diào)性，故錯誤.故選：B3．已知函數(shù)f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，且f（x+1）=，若f（x）在[-1，0]上是減函數(shù)，那么f（x）在[2，3]上是（）A．增函數(shù) B．減函數(shù)C．先增后減的函數(shù) D．先減后增的函數(shù)【答案】A【解析】因為函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=，所以，所以是以2為周期的周期函數(shù)，又因為是定義域為R的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是減函數(shù)，所以在[0，1]上是增函數(shù)，那么f（x）在[2，3]上是增函數(shù)，故選：A4．函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象上有一點，則函數(shù)的圖象必過點（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的定義域為D，因為函數(shù)是奇函數(shù)，，所以，且，所以函數(shù)的圖象必過點.故選：C.5．偶函數(shù)的定義域為，且對于任意均有成立，若，則正實數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】偶函數(shù)的定義域為，且對于任意均有成立，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因為，所以，所以，化簡得，又因為a為正實數(shù)，所以.故選：B.6．對于函數(shù)，，“”是“的圖象既關(guān)于原點對稱又關(guān)于軸對稱”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若函數(shù)的定義域為，的圖象既關(guān)于原點對稱又關(guān)于軸對稱，則，可得，因此，“”是“的圖象既關(guān)于原點對稱又關(guān)于軸對稱”的充要條件．故選：C.7．定義在R上的奇函數(shù)，滿足當時，．當時的表示式是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為是定義在R上的奇函數(shù)，故，又當時，，故，故故選：C8．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，恒成立，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵當時，恒成立，∴當時，，即，∴函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，∵函數(shù)是偶函數(shù)，即，∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∴，又函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，∴，即，∴，故選：B．二、多選題9．已知是定義在R上的偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因為是定義在R上的偶函數(shù)，所以，對于A，因為，所以為偶函數(shù)，故滿足題意；對于B，因為，所以為奇函數(shù)，故不滿足題意；對于C，易得為偶函數(shù)，故滿足題意；對于D，因為，所以不為偶函數(shù)，故不滿足題意；故選：AC10．已知定義在上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①，；②，當時，都有；③．則下列選項成立的是（

）A．B．若，則C．若，則D．，，使得【答案】BCD【解析】對選項A，由條件①得是偶函數(shù)，由條件②得在上單調(diào)遞增，所以，故A錯誤；對選項B，若，則，得，故B正確；對選項C，若，則或，因為，所以或，故C正確；對選項D，因為定義在上的偶函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且在上單調(diào)遞增，所以，所以只需即可，故D正確．故選：BCD．11．已知奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域、值域均為，則（

）A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】BD【解析】對于A選項，因為且，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A錯誤對于B選項，因為，所以是奇函數(shù)，故B正確對于C選項，因為，所以是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C錯誤，對于D選項，因為，所以是偶函數(shù)，故D正確故選：BD三、填空題13．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，在上的圖象如圖所示，則使的x的取值集合為______．【答案】【解析】解析的圖象如圖所示，由圖易得使的x的取值集合為．故答案為：.15．奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】由題意知，函數(shù)的定義域為，所以函數(shù)的定義域為，所以，解得．又奇函數(shù)是上的減函數(shù)，所以是上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減．由，得，所以，解得．綜上，．故答案為：．16．關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，有如下說法：①若函數(shù)的定義域為，則一定是偶函數(shù)；②已知是定義域內(nèi)的增函數(shù)，且，則是減函數(shù)；③若是定義域為的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱；④已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的的取值范圍是.其中正確說法的序號有___________.【答案】①③④【解析】對于①，由題意，的定義域為，，所以為偶函數(shù)，故①正確；對于②，由題意，，，則，即，由于與零