山東省日照市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校;.姓名:.班級:.考號:

一、單選題

與角m終邊相同的角為（

1.下列各角中，)

6

137111兀-5兀7兀

A.-------B.------C.—D.

666~6

2.函數(shù)了=tan（7ix+3）的最小正周期為（)

A.1B.2C.3D.4

3.如圖，在V48c中，BD=2DC，則赤=（）

B.-AB+-AC

44

2一1—

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

3333

4.已知名夕為不同的平面，機(jī)，〃為不同的直線，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若加//a,〃//a,貝!]加〃〃B.若mlln,nua,則加//a

C.若加_La,〃_La,貝|加〃〃D.若加_La,〃_L加，則〃//a

5.已知晨否為單位向量，且囚-5可=7,貝上與否的夾角為（）

712n_715兀

A.-B.——c.一D.—

3366

6.若cos1a+；；T%)

■,貝!]sina=()

AV2B.逑「V2述

D.

10105

7.降水量是指降落在水平面上單位面積的水層深度（單位：mm）.氣象學(xué)中把24小時內(nèi)的降水量叫做日降

水量.某學(xué)生用上□直徑為20cm,底面直徑為12cm,母線長為4而cm的圓臺型水桶放置在水平地面上來測

量日降水量.某次降雨過程中用此桶接了24小時的雨水，雨水的高度是桶深的玄，則本次降雨的日降水量是

()

A.29.6mmB.46.3mmC.63.5mmD.82.2mm

71部分圖像的紙片沿x軸折成直二面角，折疊后a

A.V3B.1C.-V3D.-2

9.已知函數(shù)/（X）=/COS（0X+9）［N>O,0>O，M<|J的部分圖像如圖所示，貝I］（）

B.“X）的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱

7T冗

c./（X）在上單調(diào)遞減

D.把〃x）的圖像向左平移］個單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)

二、多選題

io.在平面直角坐標(biāo)系中，向量Z3如圖所示，則（）

A.aLbB.\2a-b\=5

C.a-(2a-b)=5D.存在實(shí)數(shù)2,使得；l￡+否與[一]共線

11.在棱長為4的正方體/BCD-4百GA中，已知E,尸分別為線段及CAG的中點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足

DP=mDDx+nDB,mG[0,1],?e[0,1],則()

A.當(dāng)機(jī)=〃=g時，四棱錐P-48co外接球半徑為3

4

B.當(dāng)機(jī)+〃=1時，三棱錐尸-?！晔捏w積為]

C.若4P=2而，則點(diǎn)尸的軌跡長為27t

D.!P斯周長的最小值為2右+26

三、填空題

12.已知向量a=(x,l)花=(1,-2),若￡〃5，則x的值為.

13.在V48c中，ABAC=60°,AB=3,AC=2,若。為2c邊的中點(diǎn)，貝!1回=.

14.關(guān)于x的不等式(。小-班sin]x+j40在[0,2捫上恒成立，則sin(a-b)=.

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=6cWs+sinsc-%。〉。)/“。)圖象的相鄰對稱軸之間的距離為方

⑴求/(x)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)把/(x)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的1?,再把圖象上的所有點(diǎn)向左平移)T1T個單位,

717T

得到g(x)的圖象.若關(guān)于X的方程g(x)=加在-百,1上有兩個解，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

126

16.如圖，在四棱錐P-/BCD中，底面N2CD是正方形，側(cè)面尸底面48cE,尸分別為側(cè)棱

的中點(diǎn)，且P4=PD=AD=2.

⑴求證：尸3//平面/CE；

(2)求四棱錐P-ABFE的體積.

17.已知V48c的內(nèi)解48,C所對的邊分別為mc,滿足bcos/-acosB=a.

⑴求證：B=2A；

(2)若。為上一點(diǎn)，S.BD=BC=2,求A/C。的面積的最大值.

18.如圖，在三棱柱NBC-44G中，底面邊長和側(cè)棱長均為4,D,E分別為棱/C,CG的中點(diǎn)，且

平面ABC.

⑴求證：4c，平面8DE；

⑵設(shè)G為棱8c上一點(diǎn)(不包含端點(diǎn)4，G),

①若G為棱Bg的中點(diǎn)(如圖①)，三棱柱N8C-4qq被過G,B,。三點(diǎn)的平面所截，求截面的面積;

②求二面角G-3。-E的取值范圍.

19.已知a,6,c,deR,且a<b<c<",定義0U[c,d]的“區(qū)間長度”為6-a+〃-c,函數(shù)

TT37r

/(x)=(2cosx-f)(2fcosx+l)(feR)的定義域?yàn)橐蝗f,5.

⑴當(dāng)f=T時，求關(guān)于x的不等式/(x)40解集的“區(qū)間長度”；

⑵已知;<I<2,設(shè)關(guān)于x的不等式/(%)>0解集的“區(qū)間長度”為I.

(i)若/=兀,求，的值;

(ii)求/的最大值.

山東省日照市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷參考答案

題號12345678910

答案BADCBAADACBCD

題號11

答案ACD

1.B

【詳解】對于A,等］=?，所以-學(xué)與角￡終邊不相同，故A錯誤;

6I6/366

對于B,一）〕=2兀，所以一半與角￡終邊相同，故B正確；

6<6J66

.7T5兀27r―一,.5兀,.7L?.?—l1.—.,>,I,、I—.

對于C,-,所以L與f角:終邊s不相同，故C錯慶；

66366

對于D,jr77r-兀，所以5?7r與角三TT終邊不相同，故D錯誤.

6666

故選：B.

2.A

【詳解】函數(shù)〉=tan（?+3）的最小正周期為二TT=1.

71

故選：A.

3.D

【詳解】由而=2皮，可得詼=|而=|（次-匈

所以翔=15+赤=方+§（元-四=§在+§衣1.

故選：D.

4.C

【詳解】對A選項(xiàng)：如圖所示，

由圖可知，若m//a,〃//a,則比//〃還有可能相交,

故A選項(xiàng)不正確；

對B選項(xiàng)：如圖所示,

由圖可知，若加則他//a還有可能加ua

故B選項(xiàng)不正確；

由線面垂直的性質(zhì)定理可知，若加則成立,

故C選項(xiàng)正確；

對D選項(xiàng)：如圖所示，

若加_La,〃_L加，貝!|〃〃a還有可能"ua,

故D選項(xiàng)不正確；

故選：C.

5.B

【詳解】因?yàn)椴?5+7,所以(315葉=49,所以9/-30i.刃+25片=49,

又因?yàn)間為單位向量，所以0%=-；,所以cos(a[)=-；

又因?yàn)?4@可4兀，所以??=手

故選：B.

6.A

【詳解】因?yàn)闀颍瑒t:若中,

.（兀、兀（兀、.兀

因此sina=sin,+一:=sina+—cos——cosa+—sin—

I4j4I4；4

40300

=—X---------X-----=-----

525210

故選：A.

7.A

【詳解】如圖所示，AB=20cm,CD=12cm,BD=4回cm,

過點(diǎn)。作。尸1Z5于點(diǎn)P，貝ljDP=￡/，EP=DF=6cm,

加型二=4cm,

2

桶的深度為DP=^（4VTO）2-42=12cm,

故雨水的高度為?！?6cm,由三角形相似知，HN=；BP=2cm,

i^GN=GH+HN=6+2=8cm,

雨水的體積=g（兀于+7t，62+-K-62j-6=296兀

cm3,

圓臺型水桶的上口直徑為20cm,面積為兀.IO?=]oo兀cm2

=2.96cm,故為29.6mm.

8.D

【詳解】由函數(shù)“X）的圖象過點(diǎn)（0,1）,可得2sin0=l,所以sin°=；,

TTSjr57r

又因?yàn)椋钾?，所以?^，所以〃x）=2sin（0x+?。?，

266

又因?yàn)檎郫B后43兩點(diǎn)之間的距離為2#,所以卜2+22+g[2=26,

2n7T7E57r

解得7=4,所以一=4,所以。=”，所以/（x）=2sin（7x+"）,

co22o

所以=2sin（^x^+^）=2sin（斗）=-2.

/23o2

故選：D.

9.AC

【詳解】由圖象可得4=2,設(shè)函數(shù)〃x)的周小正周期為乙

r＞，口7兀(兀、3兀3TLL」

由圖象可得二一一2=二"=二",所以丁=兀，

12V6J44

27r

由T=——=兀(口＞0)=＞①=2,

co

故A選項(xiàng)正確；

冗

因?yàn)?（-Z）=2cos=0,

6

7r7TSTT

所以一§+0=,+析（左￡Z）,即0=-^-+E（左￡Z）

TT冗

又@|＜彳，所以當(dāng)左=一1=。=一二，

26

7T

所以函數(shù)〃X）=2COS（2X-7）,

6

令2、一?=+阮（左￡Z）,即x=1+弓（左EZ）

人兀歷1兀1?

令—I=—=＞7左=—eZ,

3246

故函數(shù)〃x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)序0］對稱，故B選項(xiàng)不正確;

因?yàn)?4x4^,所以0V2x-gv等，

122oo

5兀

由了=??/在0,—單調(diào)遞減，所以C選項(xiàng)正確;

6

“X)的圖像向左平移方個單位后得到:

_,兀、71_\_兀71）_._

g⑴=2cos2（x+—）----=2cos2x+—=-2sm2x,

36I2

由g(x)的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對稱,

且g(f)=-2sin(-2x)=-g(x),

所以“X)的圖像向左平移1個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù),

故D選項(xiàng)不正確;

故選：AC.

10.BCD

【詳解】由題意可得：@=（2,1）/=（4,-3）.

對于選項(xiàng)A：因?yàn)?3=2x4+lx（-3）=5片0,所以Z3不垂直，故A錯誤；

對于選項(xiàng)B：因?yàn)?3—3=2（2,1）-（4,-3）=（0,5）,所以|21加二亞壽=5,故B正確;

對于選項(xiàng)C：因?yàn)?（2Z-B）=2XO+1X5=5,故C正確；

對于選項(xiàng)D：因?yàn)殛?5=彳（2,1）+（4,-3）=（24+4乂一3）,”石=（2,1）-（4,-3）=（-2,4）,

若4+1與力共線,則（2X+4）x4=_2p_3）,解得，=-1,

所以當(dāng)彳=-1時，加+區(qū)與屋力共線，故D正確.

故選：BCD.

11.ACD

1—?1——?1—.—?1——?（一?

【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)機(jī)=〃=5時，DP=-DDi+-DB^DP=-DDi+\l--\DBf

故赤一麗=1（西一西，即旃=;西，

所以點(diǎn)尸在線段的中點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)。，則0為尸。中點(diǎn)，

所以尸Q//DQ,由正方體性質(zhì)可得平面/BCD,則P01平面N2CA,

設(shè)正四棱錐尸-ABCD的外接球的球心為T,則P,7三點(diǎn)共線，

其中P。=2,CQ=^AC=2近＞尸。，所以球心在P0的延長線上，

設(shè)PT=r,貝Ij7。=r-2,

由勾股定理得TC2=T02+c02,即*=（-2『+8,解得r=3,故A正確；

—

對于B選項(xiàng)，當(dāng)機(jī)+〃=1時，DP—mDDx+nDBDP=mDDx+（1TYI^DB,

i^DP-DB=mlDDl-DB\,即89="[50],故點(diǎn)尸在線段3n上,

連接BG，與片C相交于點(diǎn)￡,則￡為2G的中點(diǎn)，連接跖,

因?yàn)槭瑸?cl的中點(diǎn)，所以D[B〃EF,又〃3<Z平面DE尸，EFu平面。E尸，

所以//平面DEF,所以三棱錐P-DEF的體積VP_DEF=VDx_DEF=VE_DiDF,

所以^P-DEF=T^E-DDfiiC="一四qc，又CD=DD、=BC=4,

4o

11QO

所以七一0EF=gXwx4x4x4=w，故三棱三棱錐斯的體積為:，故B錯誤；

o333

對于C選項(xiàng)，因?yàn)?P=2幾，又點(diǎn)尸在矩形。用AD及其內(nèi)部，

點(diǎn)尸的軌跡為點(diǎn)A為球心，半徑長為2n的球面被平面。4臺。截且在矩形，耳2。及其內(nèi)部的圖形,

又/Q_L平面。4AD,且/。=2也，故尸0=?2呵-(2用=4,

所以點(diǎn)尸的軌跡為以。為圓心，半徑為4的圓的一部分，

如圖所示，其中J0=MQ=4,DQ=DB=2y[2,

故JD=MB=個42一(2向=272,則=AMQB=45°,

則/JQW=90。，則軌跡長為]x2兀x4=2兀，故C正確.

對于D選項(xiàng)，點(diǎn)P在矩形及其內(nèi)部，取線段4。的中點(diǎn)片,

由對稱性知咫=PF,PF+PE=PFl+PE>FiE=2y[5,

此時三點(diǎn)反昂尸共線，

又EF=：BD、=2拒,所以PF+PE+EFN2遙+25故C正確;

故選：ACD

12.—/—0.5

2

【詳解】因?yàn)椤?/九所以-2xT=0,解得x=

故答案為：

13.叵

22

故答案為：士

2

14.-3

2

_.,,_r__17C兀77r,,7L7T]?i（~77r

【詳解】xG[0,2K],X+JGy,-,故當(dāng)X+y,7llul27C,—

即XG0,g]u（F，2兀時，sin^x+y^>0,

當(dāng)x+g￡（71,2K）,BPxe時，sin^x+y^<0,

當(dāng)x+巴=?；?兀，即％=型或空時,sin[x+=]=0,

要想不等式（"|x-4卜皿「+]<0在[0,2兀]上恒成立，

y=a-\x-b\^y=sin[x+wj零點(diǎn)相同，

「八2兀'/5兀八】,?“八4(2TI5兀、,

且在xw兀上Q—卜一4<0,在xw)時,a-\x-b\>0,

2兀5兀z八I-A-2兀75兀；

所以=0,a--------b=0,故----b=------b

333

故4號一6或V，解得6小

irA?、.L八2兀J3兀c,71/兀八4[2715711717兀

經(jīng)驗(yàn)證，￥兩足xw。三-U=~,2兀上7―%—<0,在xw工-,7-時,tx----->0,

37V326\33726

故答案為：一叵

2

15.(1)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為-/+譏G+?，ksZ

⑵實(shí)數(shù)加的取值范圍

【詳解】(1)/(x)=V3cos2cox+sincoxcoscox-—(l+cos2^x)+-sin2^x--

2'722

=——coslox+—sin=sin—cos2cox+cos—sin2CDX-sin2Gx+—,(0>0),

2233I3)

TT

因?yàn)閂=/(x)圖象的相鄰對稱軸之間的距離為］，所以V=/(X)的最小正周期為兀，

所以三=兀，得0=1,所以〃x)=sinH+M，

LCD\J7

TTTTTT

令一萬+2kn<2x+—<—+2標(biāo)次GZ,

57rjr

則---+kn<x<—+kn,kGZ,

1212

所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為-1|+析,2+E,kez；

(2)由(1)知〃x)=sin(2x+3,將/(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的］

得到函數(shù)y=si“4x+3的圖象，

再向左平移卷個單位得g(x)=sin4［x+；1+g=sin［4x+F］的圖象.

JLN■//J\JJ

.，2兀Tt71E714711

=4x+—,xG---,—,貝!，所以sin,￡--—,l

3126」\_33J2

兀4兀

所以尸sinf,fej,y與＞="?有兩個交點(diǎn)，

作出尸sinf,fJR?］的圖象如圖所示，所以14機(jī)＜l,

133」2

所以實(shí)數(shù)用的取值范圍等

【詳解】(1)證明：連接8。，交/C于點(diǎn)。，連接。E,

在正方形4BCD中，。為8。的中點(diǎn)，又E為側(cè)棱尸。的中點(diǎn)，

所以在中，。石為的中位線，所以O(shè)E//PB,

因?yàn)镺Eu平面NCE,P5Z平面/CE,

所以尸3//平面NCE.

(2)因?yàn)槊袷謩e為側(cè)棱尸。,PC的中點(diǎn)，所以跖為△PC。的中位線,

所以EF//CD,且跖=(8,

在48co是正方形中，AB//CD,AD=CD=2,

所以M//E尸，且跖=工。=1,

2

所以四邊形Z8FE為梯形，

又平面PAD±平面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD,

在48CD是正方形中，ADLCD,且CZ＞u平面48CD

所以CD_L平面PAD,又/Eu平面尸40,

所以CDL/E,所以EF上4E,所以梯形/瓦咕為直角梯形；

又PA=PD=AD=2,E為側(cè)棱尸。的中點(diǎn)，

所以/￡=百，且所以梯形NBFE的面積為:S=；x(EF+/B)x/E=；x(l+2)xV^=孚,

由CD_L平面P/。，又PDu平面P/。，

所以8，尸。，所以所，PD,

又EFCAE=E,所以尸DJ_平面4SFE,即尸￡_L平面,

所以PE為四棱錐尸-/8回的高，且尸E=；PO=1,

所以四棱錐P-4B尸E的體積為：r==—xl=—.

3322

17.(1)證明見解析

(2)2

【詳解】(1)因?yàn)閎cosZ-acos5=。，

由正弦定理可得sinBcosZ—siih4cos3=sim4,即sin(B—Z)=siM,

因?yàn)?</<兀，0<B<TI,所以sin(5—4)=siih4>0,

所以0<8—/<兀，所以8—4=4或_8—/=兀一4.

若B-A=A,則5=2/；

若3—4=?！猌,則8=乃，舍去；

所以5=2/成立.

7T

(2)在△BCD中，因?yàn)锽C=8。，B=2A,所以/BCD=NBDC=4，

2CD

由正弦定理得.即兀/)=sin2N,所以CD=4si威.

sin/BDCsinBsinl_I

在VN2C中，由正弦定理得匹工，

S1IL4S1IW

2sin2A

因?yàn)?=24,所以/C=——=4cos4.因?yàn)?+/+兀，

sirU

TT

XZBCD+ZACD=ZBCA,所以//8=萬-2/,

所以△ZCZ)的面積S=CD-CA-sinz^ACD=~x4siib4x400824xsin-2^4j=2sin44.

jr4ll

又0<8+/=3/(兀，所以0</<—,所以0<4/<——，

33

TTTT

所以當(dāng)44=7,即N=q時，A/CD的面積最大值為2.

18.(1)證明見解析

(2)①土叵；②二面角G—AD—E的取值范圍

【詳解】(1)如圖所示，連接CM，由題意可知平面/3C,四邊形NCG4是菱形,

6。<=平面/3。，所以CQL8。，又因?yàn)椤槔釴C的中點(diǎn)，VN2C是正三角形，

所以NC18O,又/C,CQu不面NCG4,

所以AD」平面NCC/i，

又因?yàn)?Cu平面/CQ4,所以BO，/。，

在菱形NCG4中，有G/，4C，

而。，E分別為棱/C,CC1的中點(diǎn)，則。E/A4C],所以。EJL4C,

因?yàn)镈EcBOn。，DE,BD\平面DAE,所以4。J■平面ADE；

(2)①取4G的中點(diǎn)。，取GA的中點(diǎn)H，連接B\D\,BG,GH,HD,Dn，

則DDJ/CQ且DD,=CQ,又BBJ/CQ且BBt=CQ,

所以DDJ/BBi且DR=BB1,所以四邊形是平行四邊形，

所以BD〃8a且=因?yàn)镚,"分別為C4,的中點(diǎn)，

所以Gb//gA且=所以GHUBD,

所以過過G,B,。三點(diǎn)的截面即為四邊形AD〃G,

B

因?yàn)锽D4平面NCG4，平面/CG4，所以BDLDH,

故截面為直角梯形，又底面是邊長為4的等邊三角形且CG=4,

222

所以BD=*AC=2退=2GH,DH=yjcxD+CXH=^2^+1=413,

所以截面面積為g（AD+G〃）-m；℃+6）xjm=3739

2

②過G作GM//08交4G于M,連接DM,則GM，4G，

因?yàn)锳D4平面/CG4，DM,￡>￡u平面NCG4，所以8D，DE,AD，DM,

故二面角G-8O-E的平面角即為/EDM,

若G為棱BG上一點(diǎn)，且GG="e[0,1],

因?yàn)镈E=；/G=2，GM=gqG=22,

所以DM=yjDC.+QM2=2,3+萬,

22227r2

EM=CXE+CXM-2CXExCXMcosy=42+42+4,

DE?+DM?-EM?3-2Jl+6x1-2

所以cos/EDM=

IDExDM2J3+422分+3

令〃=l—2￡（0,l）,

1L,1

cosNEDM=—Jl+6x———------—l+6x-----------

2\〃2_2〃+4

1T+二

4

由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可得>=〃+[-2在（0,1）上單調(diào)遞減,

l+6x——!~-

所以〃+3-2e（3,+。），所以

4

JLL-1+-

4

所以/

B

19.⑴〃x)WO解集的“區(qū)間長度”為本

⑵⑴年逅二立或公逅土也；(ii)/的最大值為f

223

【詳解】(1)當(dāng)/=T時，/(x)=(2cosx+1)(-2cosx+1)=1-4cos2x,

由/(x)W0,可得1一4cos2xV0,故cosx4-1或cosxN；,

又函數(shù)〃x)的定義域?yàn)樗赃?《或受工箸，

乙乙JJJJ

所以/(x)<0解集的“區(qū)間長度”為y-^+y-y=y;

(2)(i)(2cosx-Z)(2Zcosx+l)>0,—<t<2,其中2>0>---,

22It

故不等式解集為cosx2；或cosxW-5,

,7171

設(shè)cosx=］的兩個根為西,工2，其中一萬<再<0<赴<,,且無1+%=0,

1兀3兀

同理，設(shè)COSX=-五的兩個根為馬,》4，其中5<%<無<乙<耳，且尤3+七=2兀，

所以/=9一石+%一%3=2兀一（國+X3），又/=兀，所以西+毛=5，

其中cos』cosx=；x[-=1（n\1

3=-