特殊平行四邊形（10知識點回顧+40題型練習(xí)）

Q題型梳理

題型一利用菱形的性質(zhì)求角度題型二十一根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度

題型二利用菱形的性質(zhì)求線段長題型二十二根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長

題型三利用菱形的性質(zhì)求面積題型二十三根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積

題型四利用菱形的性質(zhì)證明題型二十四正方形性質(zhì)理解

題型五添一個條件使四邊形是菱形題型二十五根據(jù)正方形的性質(zhì)求角度

題型六證明四邊形是菱形題型二十六根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長

題型七根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度題型二十七根據(jù)正方形的性質(zhì)求面積

題型八根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長題型二十八正方形折疊問題

題型九根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積題型二十九求正方形重疊部分面積

題型十矩形性質(zhì)理解題型三十根據(jù)正方形的性質(zhì)證明

題型十一利用矩形的性質(zhì)求角度題型三十一正方形的判定定理理解

題型十二根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長題型三十二添一個條件使四邊形是正方形

題型十三根據(jù)矩形的性質(zhì)求面積題型三十三證明四邊形是正方形

題型十四利用矩形的性質(zhì)證明題型三十四根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長

題型十五求矩形在坐標系中的坐標題型三十五根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定證明

題型十六矩形與折疊問題題型三十六根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度

題型十七斜邊的中線等于斜邊的一半題型三十七根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定證明

題型十八矩形的判定定理理解題型三十八中點四邊形

題型十九添一條件使四邊形是矩形題型三十九（特殊）平行四邊形的動點問題

題型二十證明四邊形是矩形題型四十四邊形其他綜合問題

u知識清單

知識點1:菱形的定義

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

知識點2：菱形的性質(zhì)(重難點)

菱形除具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：

(1)菱形的四條邊都相等；

(2)菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

(3)菱形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.

注意：

(1)菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等

的兩部分；

(2)菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸(對角線所在的直線)，對稱軸的交點就是對稱中心；

(3)菱形的面積有兩種計算方法：

一種是平行四邊形的面積公式：底x高；

另一種是兩條對角線乘積的一半(即四個小直角三角形面積之和).

實際上，任何一個對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半.

知識點3：菱形的判定(重難點)

菱形的判定定理1：四條邊都相等的四邊形是菱形

菱形的判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

定義判定：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

要點詮釋：前一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.后兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個條件來判

定菱形，

知識點4：矩形的定義

1.定義：有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

注意：矩形的定義既是矩形的基本性質(zhì)，也是判定矩形的基本方法.

知識點5：矩形的性質(zhì)

矩形除具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì).

(1)矩形的四個角都是直角；

(2)矩形的兩條對角線相等.

注意：

(1)矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對稱圖形.過中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分.

(2)矩形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸(分別是通過對邊中點的直線).

對稱軸的交點就是對角線的交點(即對稱中心).

知識點6：直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)

在直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半.

知識點7：矩形的判定

矩形的判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形.

矩形的判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形.

知識點8：正方形的定義

有一組鄰邊相等并且有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做正方形.

知識點9：正方形的性質(zhì)

1.正方形即是矩形又是菱形，因而它具備兩者所有的性質(zhì).

2.正方形四個角都是直角，四條邊都相等.

3.正方形的兩條對角線相等并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.

4.正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸；又是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心

知識點10：正方形的判定

1.從平行四邊形出發(fā)：有一個內(nèi)角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形。

2.從矩形出發(fā)：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.

3.從菱形出發(fā)：有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形.

Q題型練習(xí)

題型一利用菱形的性質(zhì)求角度

1.（24-25九年級上?陜西寶雞?期末）如圖，在菱形中，4ELBC于點、E,NF_LCD于點尸，若=40。，則/E4F

的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

題型二利用菱形的性質(zhì)求線段長

2.（24-25九年級上?黑龍江綏化?階段練習(xí)）如圖，四邊形/BCD是邊長為2,一個銳角等于60。的菱形紙片，小芳同

學(xué)將一個三角形紙片的一個頂點與該菱形頂點。重合，按順時針方向旋轉(zhuǎn)三角形紙片，使它的兩邊分別交C3、BA

（或它們的延長線）于點E、F,ZEDF=60°,當=時，如圖1小芳同學(xué)得出的結(jié)論是?！?。尸.

(1)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當CEw/尸時，如圖2小芳的結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由;

(2)再次旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當點E,尸分別在C3,氏4的延長線上時，如圖3連環(huán)，若求AQB尸的面積.

題型三利用菱形的性質(zhì)求面積

3.(23-24九年級下?湖南邵陽?期中)在RtA^SC中，NA4c=90。，。是的中點，E是的中點，過點/作N尸〃8C

交3E的延長線于點E

A

BDC

（1）證明：四邊形/DC尸是菱形；

（2）若/C=4,AB=4日求菱形40c廠的面積.

題型四利用菱形的性質(zhì)證明

4.（24-25九年級上?陜西榆林?期末）如圖，在菱形/BCD中，E,尸分別是邊CD,BC上的點，且=B尸，連接BE,DF

交于點G.求證：BE=DF.

題型五添一個條件使四邊形是菱形

5.（24-25九年級上?四川達州?期末）如圖，在"BCD中，對角線NC,8。相交于點0,再添加一個條件，可推出口48。

是菱形，則這個條件可以是（）

n

A.AC1BDB.AC=BDC.AB=CDD.ABLBD

題型六證明四邊形是菱形

6.（24-25九年級下?福建寧德?期中）利用一個平行四邊形畫菱形，對于以下兩種作法，根據(jù)畫圖痕跡可以判斷（）

A.①②都正確B.①正確，②不正確

C.①不正確，②正確D.①②都不正確

題型七根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度

7.（23-24九年級上?重慶?開學(xué)考試）如圖，在△N8C中，AC=BC,ZABC=40°,將△N8C沿向下翻折得到

△ABC',點。為3C'上一點，若/ECB=/ABC,BD=4,AE=6,則△4CE的面積為.

題型八根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長

8.（24-25九年級上?山西晉中?期末）如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，若重合部分構(gòu)成的四邊形N3CD中,

AB=3,AC=2,則四邊形ABCD的面積為（）

A.5B.2V2C.472D.872

題型九根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積

9.（24-25九年級上?河南平頂山?期中）如圖，分別以點A、8為圓心，以5為半徑畫弧，兩條弧分別交于M、N兩

點，已知/8=6,則以A、B、M、N四點為頂點的四邊形的面積是.

題型十矩形性質(zhì)理解

10.（24-25九年級上?湖北恩施?期末）如圖，已知四邊形/BCD是矩形.

B

（1）尺規(guī)作圖：將矩形/BCD繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形使點。落在BC邊上（不寫作法，保留作

圖痕跡）；

⑵連接，若旋轉(zhuǎn)角/BAB、=a,則ZCDDt=（用含。的代數(shù)式表示）.

題型十一利用矩形的性質(zhì)求角度

11.（24-25九年級上?北京?期中）如圖，將長方形N5CD繞其頂點8順時針轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，則旋轉(zhuǎn)角可以為

AD

B

150°

A.30°B.60°C.120°D.150°

題型十二根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長

12.(24?25九年級上?廣東廣州?期中)小明在一次數(shù)學(xué)活動中，進行了如下的探究活動：如圖，在矩形中，

AB=5,AD=3,以點8為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形/5C。，得到矩形BGFE,點A、D、C的對應(yīng)點分別為G、F、

E.

(1)如圖①，當點G落在C。邊上時，求。G的長；

⑵如圖②，當點G落在線段加上時，BG與CD交于點、H.求?！ǖ拈L.

(3)記點K為矩形對角線的交點，連接KG、KF,記AKG廠面積為S,求S的取值范圍.

題型十三根據(jù)矩形的性質(zhì)求面積

13.(24-25九年級上?四川達州?期末)如圖，矩形48CQ中，ZACD=30°,邊4道，DM于點、M,連接

BM,則圖中陰影部分的面積是,

題型十四利用矩形的性質(zhì)證明

14.（24-25九年級上?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）如圖，把矩形N8CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形FECG,且點E落在

上，連接BE,BG,BG交CE千點、H,連接尸若FH平分NEFG,有下列結(jié)論：@AE+CH=EH；

@ZDEC^2ZABE；③④CH=2AB.其中正確的有.

題型十五求矩形在坐標系中的坐標

15.（24-25九年級上?吉林?期末）如圖，在平直角坐標系中，點/的坐標為（。，2）,點C的坐標為（1,0）.以。4,OC

為邊作矩形OABC,若將矩形OABC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到矩形OABC,則點B'的坐標為.

B.----------八

題型十六矩形與折疊問題

16.（24-25九年級上?江蘇常州?期中）如圖，在矩形48。中，AB=3,BC=3人,點￡、尸分別是48、3c上的動

點，且4E=CF,連接斯，將矩形48co沿斯折疊，點C落在點G處，點。落在〃處.在點E從/移動到40中

點尸的過程中，線段PG的最大值為

題型十七斜邊的中線等于斜邊的一半

17.（24-25九年級上?貴州畢節(jié)?期末）如圖，在RtZi/3C中，。是斜邊8C的中點，以4D為邊作正方形4D斯.若3c=12，

則正方形工〃斯的面積為（）

A.6B.144C.36D.12

題型十八矩形的判定定理理解

18.（24-25九年級上?貴州六盤水?期末）周末，小剛?cè)フ谘b修的房屋查看進度，放在地上的一塊地板磚吸引了他的

注意，于是他找來卷尺進行如下操作：①測量地板磚的兩組對邊長度是否分別相等；②測量地板磚的兩條對角線是否

相等，以此判斷地板磚的表面是否為矩形.小剛的判斷依據(jù)是（）

A.對角線相等的平行四邊形是矩形B.有三個角是直角的四邊形是矩形

C.有一個角是直角的平行四邊形是矩形D.對角線相等的四邊形是矩形

題型十九添一條件使四邊形是矩形

19.（24-25九年級上?遼寧沈陽?期末）如圖，要使平行四邊形/BCD成為矩形，可以添加的條件是（）

B

A.AB=BCB.AC1BDC.Z1+Z2=90°D.Z1=Z2

題型二十證明四邊形是矩形

20.（23-24九年級上?貴州貴陽?階段練習(xí)）在等腰三角形N8C中，=點。是中點，點E是AD中點，過

點A作/尸〃2C交BE的延長線于點尸.

（1）試判斷四邊形/OC尸的形狀，并加以證明；

（2）若48=13,8c=10,求四邊形40c尸的面積.

題型二十一根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度

21.（24-25九年級上?陜西渭南?期中）如圖，點E是口/BCD對角線NC上的點（不與/,C重合），連接BE,過點￡

作斯_L8E交CD于點?連接B尸交/C于點G,BE=AD,ZFEC=ZFCE.

⑴求證：口/BCD是矩形；

（2）若點￡為NC的中點，求—4BE的度數(shù).

題型二十二根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長

22.（22-23九年級上?河北張家口?期中）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線/C,BD交于點、O,E是邊/。的中點,

過點E作斯，3D,EGL/C,點尸，G為垂足，若/C=6,BD=8,則尸G的長為（）

A.7B.10C.2.5D.5

題型二十三根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積

23.（24-25九年級上?安徽合肥?階段練習(xí)）如圖，在A/BC中，AB=3,BC=4,AC=5,將zUBC繞8c邊的中點。逆

時針旋轉(zhuǎn)得到9￡尸，頂點E落在NC邊上，。尸邊交4C邊于點G.

（2）連接CF,則尸G的面積為

題型二十四正方形性質(zhì)理解

24.（24-25九年級上?甘肅白銀?期中）下列性質(zhì)中正方形具有而菱形沒有的是（）

A.對角線互相平分B.對角線相等

C.對角線互相垂直D.一條對角線平分一組對角

題型二十五根據(jù)正方形的性質(zhì)求角度

25.（24-25九年級上?陜西西安?期中）如圖，/C是正方形/5CD的對角線，點E為8c上一點，連接4E,

NCAE=23°,在/￡上截取/尸=CD,連接3尸，求的度數(shù).

BEC

題型二十六根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長

26.（24-25九年級上?河南開封?階段練習(xí)）如圖，邊長都為1的正方形NEFG與正方形/BCD,正方形NEFG繞頂點A

旋轉(zhuǎn)一周，在此旋轉(zhuǎn)過程中，線段的長可取的整數(shù)值為一.

題型二十七根據(jù)正方形的性質(zhì)求面積

27.（24-25九年級上?遼寧本溪?期末）如圖，正方形是小明用木條制作的一個學(xué)具，在取放學(xué)具時，學(xué)具發(fā)生

了形變，此時/口=30。，則形變后四邊形48cA的面積是原正方形/BCD面積的（）

題型二十八正方形折疊問題

28.（24-25九年級上?廣東珠海?期末）綜合探究

操作一：折疊正方形紙片N3。，使頂點A落在邊DC上點尸處，得到折痕￡尸，把紙片展平（如圖1）；

操作二：折疊正方形紙片N3C。，使頂點8也落在邊DC上的點尸處，得到折痕GH,GH與昉交于點O,連接

OA,OB,OP（如圖2）.

D\Di

EE\E\

GG

A

（1）根據(jù)以上操作，直接寫出圖2中與線段OP相等的兩條線段：；

（2）探究發(fā)現(xiàn)：把上題圖中的紙片展平，得到圖3,通過觀察發(fā)現(xiàn)無論點P在線段。C上任何位置，線段OG與線段3

始終相等，請你直接用第一問發(fā)現(xiàn)的結(jié)論寫出完整的證明過程；

（3）拓展應(yīng)用：已知正方形紙片/BCD的邊長為18cm,在以上探究過程中當點。到的距離是7cm時，求線段PC的

長.

題型二十九求正方形重疊部分面積

29.（24-25九年級上?河北邯鄲?階段練習(xí)）如圖，三個邊長為6cm的正方形按如圖所示的方式重疊在一起，點。是其

中一個正方形的中心，則重疊部分（陰影）的面積為（）

C.12cm2D.24cm2

題型三十根據(jù)正方形的性質(zhì)證明

30.（23-24九年級上?廣東深圳?階段練習(xí)）如圖，在正方形A8CD中，點P為AD延長線上任一點，連接尸N.過點尸

作PELPN,交8c的延長線于點E,過點E作斯，8尸于點尸.下列結(jié)論：

①PA=PE；

@BD=3PF-

③CE=2PD；

④若BP=BE,則/^=（0+1）。尸.

C.3D.4

題型三十一正方形的判定定理理解

31.（24-25九年級上?河南鄭州?期末）下列說法中不正確的是（）

A.對角線相等的四邊形是矩形

B.菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

C.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

D.正方形的四條邊都相等

題型三十二添一個條件使四邊形是正方形

32.（24-25九年級上?陜西咸陽?階段練習(xí)）已知菱形N3C。的對角線為/。和5。，下列條件中，不能使菱形為

正方形的是（）

A.AC=BDB.ABIBCC.ZADB=45°D.AB=AC

題型三十三證明四邊形是正方形

33.（24-25九年級上?陜西咸陽?階段練習(xí)）如圖，為口/DEC的對角線，延長/。至點使得2D=ND,連接

BE,且BE=CE.

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）連接8C,若/C=3C,試判斷四邊形的形狀，并說明理由.

題型三十四根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度

34.（23-24九年級上?福建三明?期中）如圖，在矩形4BCZ）中，BC<AB.若點尸滿足且=則

/CDP=

B

題型三十五根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長

35.（24-25九年級上?陜西咸陽?階段練習(xí)）如圖，在四邊形/BCD中，ZADC=45°,AB1BC,AB=4,BC=3,BD

平分/NBC,則BO的長為—.

題型三十六根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求面積

36.（24-25九年級上?黑龍江綏化?階段練習(xí)）如圖，在中，NACB=90。,AC>BC,分別以A/BC的三邊為

邊向外作三個正方形/瓦丑、ACDE、B