第02講同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式

目錄

01考情解碼?命題預(yù)警..........................................................2

02體系構(gòu)建?思維可視............................................................3

03核心突破?靶向攻堅(jiān)............................................................3

知能解碼...................................................................4

知識(shí)點(diǎn)1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.......................................4

知識(shí)點(diǎn)2誘導(dǎo)公式......................................................4

題型破譯.......................................................................5

題型1已知某個(gè)三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值.............................5

題型2已知四”的值，求關(guān)于延、盟3的齊次式的值問題..................6

重

題型4利用同角關(guān)系化簡(jiǎn)三角函數(shù)式.......................................8

題型5利用同角關(guān)系證明三角恒等式.......................................9

題型6利用誘導(dǎo)公式求解給角求值問題.....................................9

題型7利用誘導(dǎo)公式求解給值求值問題....................................1Q

重

重

難

難

04真題溯源?考向感知...........................................................14

05課本典例高考素材...........................................................15

01

考情解碼-命題預(yù)警

考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年

(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

式

天津卷，第16題，14

(2)誘導(dǎo)公式口單選題天津卷，第16題，14

天津卷，第題，

1614分

(3)誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用□多選題分

口填空題分

(4)利用互余互補(bǔ)關(guān)系求值國(guó)解答題

(5)已知某個(gè)三角函數(shù)值求其

余的三角函數(shù)值

考情分析：

本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般會(huì)以解三角形作為載體，考查己知某個(gè)三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值，是

天津高考一輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容；設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，局部分值為2-4分.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1.理解、掌握三角函數(shù)的定義，能夠求解特殊角的三角函數(shù)值

2.能掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助單位圓求解三角函數(shù)值

4.掌握三角函數(shù)的知一求二，齊次化等解題方法

02

體系構(gòu)建-思維可視u

平方關(guān)系：sin2a-?-cos2a=1

■03

核心突破-靶向攻堅(jiān)

知識(shí)點(diǎn)1同角三角函數(shù)

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

(1)平方關(guān)系：_______________________

(2)商數(shù)關(guān)系：_______________________

2、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形

(1)平方關(guān)系式的變形：

(2)商數(shù)關(guān)系式的變形

sma

_______________________,cosa=-------?

tana

自主檢測(cè)已知tana=g,則sina-cosa=.

知識(shí)點(diǎn)2誘導(dǎo)公式

1、誘導(dǎo)公式

誘導(dǎo)公式一：

sin(a+2k兀)=sina,

cos(a+2k7i)=cosa，

tan(a+2k兀)-tana，其中左wZ

誘導(dǎo)公式二：

sin(-a)=-sinc,

cos(-a)=cosa,

tan(-a)=-tana，其中keZ

誘導(dǎo)公式三：

sin[(a+(2k+I)TT]=-sina，

cos[cr+(2k+1)TT]=-cosa,

tan[<z+(2k+1)?]=tana,其中kwZ

誘導(dǎo)公式四：

.(71\(71A

sm——\-a=cosa，cos——\-a=-sma.

U)u)

sinU--?J=cosa，cos1-2-aJ=sina,其中keZ

2、誘導(dǎo)公式的記憶

誘導(dǎo)公式一?三可用口訣“”記憶，其中“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)

同名，“符號(hào)”是指等號(hào)右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)，“看象限”是指把夕看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào).

誘導(dǎo)公式四可用口訣“”記憶，“函數(shù)名改變”是指正弦變余弦，余弦變正弦，為

了記憶方便，我們稱之為函數(shù)名變?yōu)樵瘮?shù)的余名三角函數(shù).“符號(hào)看象限”同上.

因?yàn)槿我庖粋€(gè)角都可以表示為k-90°+a(|a|<45°)的形式，所以這六組誘導(dǎo)公式也可以統(tǒng)一用“口訣”：

“"，意思是說角入90±a(左為常整數(shù))的三角函數(shù)值：當(dāng)％為奇數(shù)時(shí)，正弦變

余弦，余弦變正弦；當(dāng)左為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變，然后口的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)視a為銳角時(shí)原函數(shù)值

的符號(hào).

用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)的注意點(diǎn)：

(1)化簡(jiǎn)后項(xiàng)數(shù)盡可能的少；

(2)函數(shù)的種類盡可能的少；

(3)分母不含三角函數(shù)的符號(hào)；

(4)能求值的一定要求值；

(5)含有較高次數(shù)的三角函數(shù)式，多用因式分解、約分等.

3、利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟

用誘導(dǎo)公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般方向是：

①化的三角函數(shù)為的三角函數(shù)；

②化為內(nèi)的三角函數(shù)；

③化為的三角函數(shù).

可概括為：“負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了”(有時(shí)也直接化到銳角求值).

自主檢測(cè)|已知cos法一,貝1Jsin[y_2“=.

??

題型1已知某個(gè)三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值

例亙已知在VMC中,c°s(T)$'則()

7

D.

25

例1-2已知a為銳角，且tan（?r-c）+3=0,則sina的值是

方法技巧

利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求值的常用技巧：

（1）巧用“1"進(jìn)行變形，如I=sin2c+cos2a=tanacota=tan45°等.

（2）平方關(guān)系式需開方時(shí)，應(yīng)慎重考慮符號(hào)的選取.

■JT_x/io

【變式訓(xùn)練1-1】在VA5C中，A=-,COSRD----，貝1」sinC等于（）

410

20B.-撞A/5

A.RD.

5555

（24-25高一上?天津紅橋?期末）若tan?=2,則一^一=（）

【變式訓(xùn)練1-2]

sinacosa

B.2

A.5C.-D.

52~2

什4

【變式訓(xùn)練1-3】已知a是第三象限角,右tana=§,貝！Jsin(%+cr)=()

3344

A.B.--C.一D.

5555

題型.2已知3m的值，求關(guān)于sina、cosa的齊次式的值問題

（24-25高一上?天津紅橋?期末）已知tana=2,則生皿仝巴=

例2-1=()

5cosa—smQ

2

A.4B.-c.-D.

932

例2-2已知tana=3,貝U2sin2a+sinacosa-3cos2a的值為（）

917

A.—B.18c.—D.15

510

方法技巧

①減少不同名的三角函數(shù)，或化切為弦，或化弦為切，如涉及sine、cosa的齊次分式問題，常采用分子分

母同除以cos"c（〃eN*）,這樣可以將被求式化為關(guān)于tana的式子，從而完成被求式的求值；

②在求形如asin2a+bsina?cosa+ccos2a的值，注意將分母的1化為sir?a+cos2a=1代入，轉(zhuǎn)化為關(guān)于

tana的表達(dá)式后再求值.

【變式訓(xùn)練2-1］若tanO=1,貝!|cos(萬一26)的值為()

A.--B.--C.-D.-

5555

小+力兀、一c則n,rcoscr

【變式訓(xùn)練2-2】（2025?天津?模擬預(yù)測(cè)）已知tan2,c°s"sina=)

A.-B.—2C.2D.—

22

【變式訓(xùn)練2-3?變載體】已知生〈無，tana+—=-^

4tana3

(1)求tan。的值；

(2)求^---------的值；

sina—cosa

(3)求2sin?a-sinacosa-3cos2a的值.

題型3sina土coscr與sinacosa關(guān)系的應(yīng)用

---------171

例3-11已知sinacosa=-,0<a<—，貝Isina+cosa的值是()

82

A.-B.一3C.立D.在

4222

例3-2(2025?天津?一模)已知sina+cosa=1,則cos2a=()

A.一立B.好

33

C.—叵D.好

99

方法技巧

三角函數(shù)求值中常見的變形公式

（1）sina+cosa,sinccosa,sincr—cosa三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一求二”,

它們的關(guān)系是：（sina+cosa）2=l+2sincrcoscr；（sina-coscr）2=l-2sincrcoscr.

（2）求sincr+cosa或sina-cosa的值，要根據(jù)a的范圍注意判斷它們的符號(hào).

【變式訓(xùn)練3-1]（24-25高一下?天津?期中）己知。?（0,兀），sin6+cos0=g,則下列結(jié)論正確的是（）

124

A.sin0cos0=——B.tan（5兀-8）=——

253

724

C.sin0-cos0=——D.tan20=—

57

【變式訓(xùn)練3-2](24-25高一上?天津?期末)設(shè)函數(shù)f(^)=sinMx+cosMx,左eN*.

(1)求證:

（2）分別求左=2和左=3時(shí)函數(shù)“X）的最小值；

（3）猜想函數(shù)/（X）的最小值并證明.

參考公式：當(dāng)〃eN*且心2時(shí)，an-bn=（a-b）（anl+a"-2b+.--+abn-2+bnl）.

【變式訓(xùn)練3-3］已知/（^）=sin2^-（2-m）（sin^-cos^）+8.

⑴當(dāng)機(jī)=1時(shí)，求/（3的值；

（2）若/（。）的最小值為7-30，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

⑶對(duì)任意的不等式//）恒成立.求優(yōu)的取值范圍.

<4）sm，一cos〃

題型4利用同角關(guān)系化簡(jiǎn)三角函數(shù)式

例4-1|（2025?天津?調(diào)研）對(duì)于銳角a,滿足3sina=4（1-cosa）,貝ljsin^=（）

A4R33近

5544

例42|（24-25高一上?天津?期末）已知sina=2cosc,則-3c°sa=（）

--------sina+cosa

A.—3B.—C.-D.3

33

方法技巧

化簡(jiǎn)要求

（1）項(xiàng)數(shù)盡量少；（2）次數(shù)盡量低；（3）分母、根式中盡量不含三角函數(shù)；（4）盡量不含根式；（5）

能求值的盡可能求值.

【變式訓(xùn)練4-1]若0<a<。，-^<^<0,cosa=1,cos乃=與，則cos(a+#)=()

D

A-TB-4-孚

【變式訓(xùn)練4-2】（2025?天津?二模）在VABC中，a,6,。分別為角A,8,C的對(duì)邊，acosC+ccosA=2少cosB,

sinB=2GcosA?

(1)求sinA的值；

(2)若〃=2百，求。的值.

【變式訓(xùn)練4-3?變載體】在VABC中，角A式C的對(duì)邊分別為。，在。.已知中+,2=」+回爪.

5

(1)求cos5及tan23的值；

7F

⑵若6=3,A=w,求c的值?

題型5利用同角關(guān)系證明三角恒等式

例5-1(24-25高一上?天津河西?期末)已知VABC中，角B,C的對(duì)邊長(zhǎng)分別是〃,b,c,sin4=4sinCcosB,

且c=2.

⑴證明：tanB=3tanC；

(2)若6=2指，求VA2C外接圓的面積

1+tanx_cos2x-sin2x

例5-2(1)求證:

1-tanx1-2siiixcosx

方法技巧

證明三角恒等式時(shí)，可以從左邊推到右邊，也可以從右邊推到左邊，本著化繁就簡(jiǎn)的原則，即從較繁的一

邊推向較簡(jiǎn)的一邊；還可以將左、右兩邊同時(shí)推向一個(gè)中間結(jié)果；有時(shí)候改證其等價(jià)命題更為方便.但是,

不管采取哪一種方式，證明時(shí)都要“盯住目標(biāo)，據(jù)果變形”.化簡(jiǎn)證明過程中常用的技巧有：弦切互化，運(yùn)

用分式的基本性質(zhì)變形，分解因式，回歸定義等.

【變式訓(xùn)練5-1】求證:

l-2sinxcosx1-tanx

2?~2

cosx-smx1+tanx

(2)sin4x+cos4x=l—2sin2xcos2x.

l-2sinacosil-tana

【變式訓(xùn)練5-2】證明:

cos26Z-s?m~2al+tan6z

.MrI7-^-LcB__lx'-r-。1—COSCC

【變式訓(xùn)練5-31求證：tan—=—-------

2s;ma

題型6利用誘導(dǎo)公式求解給角求值問題

例6-1|(2024?天津河北?模擬預(yù)測(cè))tan^的值為()

_V3

A也B.

33

C石D.-V3

例6-2sin400°cos20°—cos40°cosl10°=（）

立

A1B.c.D

222--T

方法技巧

利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟

（1）“負(fù)化正”：用公式一或三來轉(zhuǎn)化.

（2）“大化小”：用公式一將角化為0。到360。間的角.

（3）“小化銳”：用公式二或四將大于90。的角轉(zhuǎn)化為銳角.

（4）“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值.

【變式訓(xùn)練6-1]（24-25高一上?天津西青?期末）已知cosee卜,^兀

⑴求sin2a的值；

sin--a-sin-er）-tan-cr）

⑵求（2J<）的值.

C0S（7T+CT）

【變式訓(xùn)練6-2]（24-25高一上?天津武清?階段練習(xí)）已知a是第三象限角，且cosa=-得

⑴求tane的值;

sin（a+兀）+2cos（a-兀）

Q）求sin|a+二71|+cosla+—3吟的值.

22

【變式訓(xùn)練6-31sin40°cos20°+cos40°cos70°=（）

D.1

2

1112

---

A.6-B.32D.3

772323

A.B.C.D.

25252525

方法技巧

解決條件求值問題的方法

(1)解決條件求值問題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系.

(2)可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化.

【變式訓(xùn)解7-1】已知.＞。，若cos”吟1，則4心］的值為一.

【變式訓(xùn)練7-2】已知cos"￡|=g,則sin「-"的值等于.

方法技巧

三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用方法

(1)合理轉(zhuǎn)化：①將角化成7i±a,左wZ的形式.

②依據(jù)所給式子合理選用誘導(dǎo)公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角。的三角函數(shù).

(2)切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù).

(3)注意"1”的應(yīng)用：1=sin?1+cos?a=tan匹.

4

(4)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，若遇到左萬土a的形式，需對(duì)左進(jìn)行分類討論，然后再運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn).

3兀

【變式訓(xùn)練8-1】已知sm(。一3兀)=2sm(-。+一),求2.

」2COS(2K-a)-sin(—a)

【變式訓(xùn)練8-2】已知函數(shù)〃x）=sin（s+￡j（0>O）圖象上相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)為尸狀，點(diǎn)Q為尸,R之間的

2

最低點(diǎn)，且而?或=1-4,若/'（X）在民,9］和卜3，匕］上單調(diào)遞增，在［工2，￡］上單調(diào)遞減，且

2

X2~X1=j(X3-X2)'則/(不)的值為.

【變式訓(xùn)練8-3］（24-25高一上?天津和平?期末）已知1心力6噌二tana-3更

LailCt——,COSIcZ—PI-------

465

sin(a—兀)一cos(兀一a)

⑴求.(71)(71)的值;

UJUJ

(2)求cos￡的值.

題型9誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)證明中的應(yīng)用重

例9-1怔明:sin(217°-a)cos(a-127°)+cos2(127°-a)tan2(53°+c^)=1.

例9-21已知sin(a+/)=1,求證：tan(2a+/7)+tan/=0.

方法技巧

三角恒等式的證明策略

對(duì)于恒等式的證明，應(yīng)遵循化繁為簡(jiǎn)的原則，從左邊推到右邊或從右邊推到左邊，也可以用左右歸一、變

更論證的方法.常用定義法、化弦法、拆項(xiàng)拆角法、“1”的代換法、公式變形法，要熟練掌握基本公式，善

于從中選擇巧妙簡(jiǎn)捷的方法.

tan(27i-x)sin(—2兀-%)cos(6兀-x)cos(兀-x)

=sinx

【變式訓(xùn)練9-1】證明:.(3兀)(71)

sinx-\-----cos——x

I2JUJ

【變式訓(xùn)練9-2】求證：‘in"-2sina+cos2asina=國(guó)11°

cosacosa

37r7T

‘+—、T2sin(e------)cos(0+—)-1tan(9%+6)+1

【變式訓(xùn)練9-3】求證：2'2

tan(乃+8)-1

l—2sin2(?+6)

題型10誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用難

例10-1（2025?天津?一模）已知/（%）=

3

⑴若求g（a）的值;

2

⑵若"x)=/卜+1]+f[x+^)§[x~^),求Mx)的值域和單調(diào)遞增區(qū)間.

例10-2已知函數(shù)/(x)=sin3xcos3x-43sin23x+.

⑴求〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若〃a)=l,求cos[g-12”的值.

方法技巧

解決此類問題時(shí)，可先用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)變形，將三角函數(shù)的角度統(tǒng)一后再用同角三角函數(shù)關(guān)系式，這樣可

避免公式交錯(cuò)使用時(shí)導(dǎo)致的混亂.

【變式訓(xùn)練10-1】已知3sina=2cosa.

(27兀、z、

小為cos---+a+cos(兀-a)…壬

⑴求I2)＜，的值;

2sin。

(2)求sin2a-cos2cr的值.

【變式訓(xùn)練10-2]已知函數(shù)/(x)=2cosMsinx+7§cosx)—J^.

⑴若了(0+：)=存求/，-1)的值;

(2)設(shè)g(x)=/1%+^1)+/[一6)一57口+1)/、一看]，求函數(shù)g(x)的最小值.

sinB+sinCcosB+cosC

【變式訓(xùn)練10-3?變考法】在VABC中，已知,。為3c的中點(diǎn).

sinAcosA

⑴求A;

(2)當(dāng)3c=4時(shí)，求A。的最大值.

題型U利用互余互補(bǔ)關(guān)系求值難

例H-1已知sin[g—x]=,且0＜兄＜^,求sin[%+;r]—cos[-^~+x)的值為()

A.逑B.氈C.0D.—述

333

例11-21已知a兀],且sin|a+g)=J,則sin仁-a)=()

12125

A.B.C.D.

13131313

■

方法技巧

巧用相關(guān)角的關(guān)系會(huì)簡(jiǎn)化解題過程.觀察所求角與已知角是否具有互余、互補(bǔ)等特殊關(guān)系.在轉(zhuǎn)化過程中

可以由已知到未知，也可以由未知索已知.常見的互余關(guān)系有萬

71；71，兀n71

-----FCC-----FCC------CC----F(X------a

63644

等.常見的互補(bǔ)關(guān)系有冗,24,、冗，3%等，

-+e—-e-+e--e

3344

（2025?天津?模擬預(yù)測(cè)）已知=且0＜無＜三,求sin［：+無］—cos（三-+尤］的

【變式訓(xùn)練n-i】

值為（）

2A/22V2

兒殍C.0

~V.一_3"

已知sin（a+二）=一，，貝Usin（型一a）=（

【變式訓(xùn)練n-2?變考法】)

636

_1「202V2

A.-B.L.------D.

3-33-3-

Ml則cos]-2xj=()

【變式訓(xùn)練H-3】已知sin

A.-112V22V2

B.r