專題06全等、等腰及相似有關解答題的模型構建（6大類型）

題型等柒?鎮(zhèn)型構建?通關式練

勘時竺解讀

1.三角形全等的判定及應用

（1）全等三角形的定義：

全等的圖形必須滿足：（1）形狀相同；（2）大小相等

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。全等用符號“且”表示，讀作“全等于

注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置L。

（2）全等三角形的性質(zhì)：

全等三角形的對應邊相等，全等三角形對應角相等。

（3）全等三角形的判定：

（1）兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊''或"SAS”）

（2）兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）

（3）兩角分別相等且其中一組等用的對邊對應相等的兩個三角形全等

（簡寫成“角角邊”或“AAS”）

（4）三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.

2.等腰三角形的性質(zhì)與判定

（1）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

（3）等腰三角形的判定

判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.【簡稱：等角對等邊】

說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法.

②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；

③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線：

④判定定理在同一個三角形中才能適用.

3.等邊三角形的性質(zhì)與判定

（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形.

①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法：

②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形中，腰和底、頂

角和底角是相對而言的.

（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等丁60\

等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線

是對稱軸.

（3）等邊三角形的判定：

由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.

判定定理2：有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

4三角形相似的判定及綜合應用

（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；

這是判定三角形相似的一種基本方法.相似的基本圖形可分別記為型和"X'型，如圖所示在應用時

要善于從復雜的圖形中抽象出這些基本圖形.

（2）三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；

（3）兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似;

（4）兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似.

6三角形旋轉(zhuǎn)問題探究（手拉手、半角模型）

該模型重點分析旋轉(zhuǎn)中的兩類全等模型（手拉手、半角），結合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的變與不變，并結合

經(jīng)典例題和專項訓練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學的綜合解題能力。

（1）手拉手模型：

將兩個三角形（或多邊形）繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構成手拉手全等，

也叫旋轉(zhuǎn)型全等。其中：公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左

手”，第二個頂點記為“右手”。

手拉模型解題思路：5As型全等（核心在于導角，即等角加（減）公共角）。

（2）半角模型：

1、半角模型概念：過多邊形一個頂點作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。

2、模型特征：等線段，共端點，含半角

，思想方法：通過旋轉(zhuǎn)（或截長補短）構造全等二角形，實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化八

4、解題思路：一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然

后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關系。半角模型（題中出現(xiàn)

角度之間的半角關系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關結論。

◎模機構建

模型01全等三角形的性質(zhì)與判定

考I向I預I測

三角形全等的判定及應用該題型近年考試中綜合性較高，在各類考試中以解答題為主。解這類問題的關

鍵是準確迅速的在全等三角形的5種判定方法中，選用合適的方法，取決于題目中的已知條件，若已

知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，

且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊。

答I題I技I巧

解決全等三角形的問題認真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段

或角之間的聯(lián)系。在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當

輔助線構造三角形；最后把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，

把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關系是關鍵.

［或型三曲

如圖，點C在線段4D上，AB=AD,乙B=￡D,BC=DE.

⑴求證：

（2）若乙BAC=60°,求乙4CE的度數(shù).

,克坎

1.（2025?陜西西安?二模）如圖，E是AB上一點，AB=DE,CB=CE,EC平分乙BED,求證：zD=LA.

答I題I技I巧

等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相

等的重要手段.在等腰三角形有關問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的

高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有

時不同的做法引起解決問題的復雜程度不同，需要具體問題具體分析.

等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角

形的思維定勢，凡可以宜接利用等腰三角形的問題，應當優(yōu)先選擇簡便方法來解決.

［或型三板I

如圖，在中，AC=BC=3或,點0在力B邊上，連接CD,將CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,連

接BE,DE.

⑴求證:△CADCBE；

（2）若AD=2時'求CE的長；

⑶點。在48上運動時，試探究4D2+BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果不存在,

請說明理由.

1.（2025?陜西西安?一模）如圖，△/石。與44OE均為等腰直角三角形，484C=^EAD=90°.求證：△BAE=△

CAD.

2.（2025?上海松江?一模）如圖,在A28c中，48=AC,AD1BC,BE1AC,垂足分別為點松點E.AF||BC,

交BE的延長線于點F.

A

(2)求證：2AB-AD=BF?BC.

3.(2025?上海松江?一模)如圖，在△A8C中，Z.B=60°,BC=6,ShABC=673.

⑴求48的長;

⑵在BC邊上取一點D,使CO=2,連接4D,求N&4D的正切值.

4.（2025?上海崇明?一模）已知RtZiABC中，Z-ACB=90°,AC=6,BC=8,CDLAB,垂足為D,點尸是

線段CD上一點（不與C、。重合），過點8作8E141交4F的延長線于點E,4E與BC交于點H,連接CE.

小4丁AliDli

⑴求證:m=前

⑵當CEIIA8時，求CE的長；

⑶當△CF”是等腰三角形時，求CH的長.

模型03等邊三角形的性質(zhì)與判定

考I向I預I測

等邊三角形的性質(zhì)與判定在近年考試中綜合性較高，通常與全等三角形、相似三角形相結合在各類考

試中以解答題為主。解這類問題的關鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定，選用合適的方法，靈活應用等

邊三角形的性質(zhì)和有關的輔助線問題，利用等邊三角形來解決有關三角形的線段和角的問題

答I題I技I巧

等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關角的計算奠定了基礎，它的邊角

性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件.同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合

一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應用.

等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角

的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等.

題型5：橋I

如圖，點。、E分別是等邊三角形48c邊8。、4c上的點，且8。=CE,BE與4。交于點F.求證:

AD=BE.

1.(2024?四川南充?模擬預測)如圖，在△力BC中，點E在84的延長線上，AE=AC,ABAD=Z.EAC,^ACB=

^AED.

⑴求證：AB=AD；

(2)若AC平分/ZME,AB=2,求BD的長.

2.(2023?浙江寧波?一模)如圖所示為汽車內(nèi)常備的一種菱形千斤頂?shù)脑韴D，其基本形狀是一個菱形，

中間通過螺桿連接，轉(zhuǎn)動手柄可改變Z4DC的大小(菱形的邊長不變)，從而改變千斤頂?shù)母叨?即力、C之

間的距離).經(jīng)測量，乙ADC可在20。和160。之間發(fā)生變化(包含20。和160。)，AD=40cm.

⑴當〃DC=120。時，求此時BD的長；

(2)當右4DC從20。變?yōu)?60。時,這八千斤頂升高了多少cm?(精確到0.1cm,sin80°=0.98,cosB00=0.17,

tan800=5.67)

3.(2023?貴州黔東南?一模)問題提出：

已知：在△力BC中，BC=a,AC=bf以4B為邊作等邊三角形4BD.探究下列問題：

(1)如圖1,當點D與點。位于直線AB的兩側(cè)時，a=b=3,且乙4c8=60。，則CD=：

問題探究：

(2)如圖2,當點。與點C位于直線4B的同側(cè)H寸，a=b=6,且N/1CB=90。，貝UCD=；

問題拓展：

(3)如圖3.當/4CB變化,且點。與點。位于直線力￡?的兩側(cè)時.求CD的最大值及相應的NZCR的度數(shù).

4.(2024?貴州黔東南?二模)如圖，等邊三角形力BC的邊長為2,8。是4c邊的中線，點E在線段80上,

連接力E,將4E繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段4F,連接CF.

⑴【動手操作】

在圖①中畫出線段AF,CF,并寫出一對全等的三角形:_；

(2)【問題探究】

如圖②，若點￡?從點B運動到點。，試探究點尸的運動路徑并求出它的長度；

⑶【拓展延伸】

連接DF,在(2)的條件下，試求△力OF周長的最小值.

模型04相似三角形的性質(zhì)與判定

考I向I預I測

三角形相似的判定及綜合應用該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在與圓結合或

者利用相似求長度、類比探究題型，具有一定的綜合性和難度。解這類問題的關鍵是熟練應用三角形的

判定方法，兩組角對應相等，兩個三角形相似；兩組邊對應成比例及其夾角相等，兩個三角形相似；三組

邊對應成比例，兩個三角形相似。解答本題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理以及數(shù)形結合和方程

思想的應用.

答I題I技I巧

相似三角形在求線段的長度和線段的比中經(jīng)常使用，解決問題要分清問題中已知的線段和角與所證明

的線段或角之間的聯(lián)系；在應用三角形相似的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添

加適當輔助線構造三角形；

［或型三板I

如圖，在四邊形力中，匕力=90。，連接8。，過點。作CE1.力8,垂足為E,CE交BD于點、F,zl=Z.ABC.

⑴求證：z2=z3；

(2)若44=45°.

①請判斷線段BC,8。的數(shù)量關系，并證明你的結論:

②若BC=13,AD=5,求的長.

1.（2024?陜西渭南?模擬預測）如圖，在A/IBC中,NA=的平分線8。交力C于點。，過點D作DE1BD

交BC于點、E.

⑴求證：△CDE-aCBD；

（2）若AB=24。=6,求線段BE的長.

2.（2025?重慶大渡口?模擬預測）如圖,在團4BCD中,對角線4c與吠相交于點0,A.CAB=AACB,過點B作

BE工AB交AC于點E.

（1）求證：AABO?ABEO；

（2）若力8=10,4C=16,求OE的長.

3（2023?浙江寧波?三模）如圖，在四邊形48co中，ABHCD,乙8=90。，AB=4,CD=2,BC=m,P為

線段BC上一動點，且和B、C不重合，連接P4過〃作PE1PK交CD所在直線于E.

⑴請找出一對相似三角形，并說明理由；

⑵若點尸在線段8c上運動時，點￡總在線段上，求機的取值范圍.

4.（2024?吉林長春?模擬預測）【教材呈現(xiàn)】下面是華師版九年級上冊數(shù)學教材78頁的部分內(nèi)容.

例如圖，在△ABC中，D、E分別是邊8C、的中點，AD.CE相交于點G.求證：器=*=；.

GC/\L/15

證明連接ED.

請根據(jù)教材提示，結合圖①，寫出完整的證明過程.

證明：連接ED,

【結論應用】

(1)如圖②，在RtA48C中，N4CB=90。，4C=6,0、E分別是邊4B、"的中點，CD、4E相交于點G.若

GD=-,則8C=_____.

3

(2)如圖③，在△ABC中，D、E分別是邊AB、8c的中點，CD、AE相交于點G.過點G作GFIIBC交AB于

點F,如果△ABC的面積是9,那么△/)/%的面積是.

模型05三角形的翻折問題

考I向I預I測

三角形的折疊問題在近年主耍以填空及綜合性大題的形式出現(xiàn)，一般屬丁多解型問題，難度系數(shù)較大。

三角形的折疊問題注意折疊前后對應邊相等、對應角相等，在多解題型中，準確畫出折疊后的圖形是

我們解題的關鍵。結合三角形相關的性質(zhì)及判定定理與推論和其它幾何的相關知識點進行解題。

答I題I技I巧

折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和

對應角相等.在解決實際問題時，對于折疊較為復雜的問題可以實際操作圖形的折疊，這樣便于找到

圖形間的關系.首先消楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件.解題時，我們常常

設要求的線段長為X,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含X的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)?/p>

直角三角形，運用勾股定理列出方程求出答案.我們運用方程解決時，應認真審題，設出正確的未知

數(shù).

［邈型不巧

?

【操作觀察】

如圖，在四邊形紙月FBCD中，ADIIBC,/-ABC=90°,BC=8,AB=12,AD=13.

折疊四邊形紙片｛BCD,使得點C的對應點U始終落在力D上，點B的對應點為夕，折痕與/W,CD分別交于點

M,N.

【解決問題】

⑴當點C'與點4重合時，求8'M的長；

⑵設直線9C'與直線48相交于點F,當乙=匕力DC時，求RC'的長.

固式

1.（2025?湖南長沙?一模）如圖，將平行四邊形紙片/BCD沿一條直線折疊，使點力與點。重合，點D落在點

⑴求證：&EBC三2FGC；

⑵若4ECB=30°,=120°,試判斷△ECr的形狀，并說明理由.

2.（2024?吉林長春?模擬預測）已知在△力8c中，AB=AC=5,tanB=。，點。在邊BC上，滿足8。=3DC.動

4

點P從點8出發(fā)，以每秒5個單位的速度沿折線8-4-C向終點C運動，且不與△人也的頂點重合.把aBPD

沿P。翻折，得到△夕PD.設點P的運動時間為t（￡>0）.

（1）BC的長為.

⑵求點P到BC的距離（用含￡的代數(shù)式表示）.

⑶當夕0與等腰△力BC的腰垂直時，求￡的值.

（4）當4BPD與△"PO拼成的圖形為三角形時，宜接寫出珀勺值.

3.（2024?內(nèi)蒙古包頭?模擬預測）操作：如圖①在正方形4BCD中，點E是BC的中點，將△4BE沿4E折疊

后得到△力FE,點尸在正方形A8CD內(nèi)部，延長AF交CD于點G,易知FG=GC.

探究：若將圖①中的正方形改成矩形，其他條件不變，如圖②，那么線段GF與GC相等嗎？請說明理由.

拓展：如圖③，將圖①中的正方形/BCD改為平行四邊形，其他條件不變，若力B=3,AD=4,則△力GD的

周長為.

4.（2324九年級下?廣東汕頭?階段練習）綜合與實踐：折紙是同學們喜歡的手工活動之一，通過折紙我們

既可以得到許多美麗的圖形，同時折紙的過程還蘊含著豐富的數(shù)學知識.折一折：把邊長為6的正△4N0三

角形紙片，其沿直線GH折疊，使點A落在點4處，分別得到圖①、圖②.

填一填，做一做：

網(wǎng)①圖②

⑴圖①中陰影部分的周長為

（2）圖①中，若4AGN=80°,則

⑶圖①中的相似三角形（包括全等三角形）共有一對；

⑷如圖②，點4落在邊4。上，若*=2,則黑一

模型06三角形與旋轉(zhuǎn)問題

考I向I預I測

三角形旋轉(zhuǎn)問題探究（手拉手、半角模型）該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，綜合性較強，有一定難度，

本專題重點分析旋轉(zhuǎn)中的兩類全等模型（手拉手、半角、對角互補模型），結合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的變

與不變，并結合經(jīng)典例題和專項訓練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學

的綜合解題能力。

答I題I技I巧

在解決三角形與旋轉(zhuǎn)問題時要找準旋轉(zhuǎn)中心；確定以旋轉(zhuǎn)中心為頂點的旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)角所在的兩個三

角形不是全等就相似，全等的常用方法SAS：學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題；同時

還要數(shù)形結合進行分析、解答

［是型不伊

?衷*1

在A/4BC中，AC=BC,4ACB=120。，點。是A8上一個動點（點。不與A,8重合），以點。為中心，

將線段DC順時針旋轉(zhuǎn)120。得到線DE.

⑴如圖1,當乙48=15。時,求Z80E的度數(shù)；

（2）如圖2,連接8E,當0。VZ4CD<90。時，ZA8E的大小是否發(fā)生變化？如果不變求，/力BE的度數(shù)；如

果變化，請說明理由；

⑶如圖3,點M在。。上，且CM：MD=3:2,以點。為中心，將線CM逆時針轉(zhuǎn)120。得到線段CM連接

EN,若AC=4,求線段EN的取值范圍.

1.（2023?山西大同?模擬預測）綜合與實踐課上，李老師讓同學們以“等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)〃為主題開展數(shù)

學活動.

數(shù)學興趣小組將兩塊大小不同的等腰直角三角形AOB和等腰直角三角形C。。按圖1的方式擺放，乙4OB=

4c0。=90。，隨后保持△A08不動，將△COD繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)a（0。Va＜90。），連接延

長交力。于點M.該數(shù)學興趣小組進行如下探究，請你幫忙解答：，

【初步探究】

⑴如圖1,直接寫出線段BC和4D的關系：.

⑵如圖2,當CDII80時，則仇=.

【深入探究】

⑶如圖3,當0。＜。＜90。時，連接0M,興趣小組認為不僅（1）中的結論仍然成立，而且在△COD旋轉(zhuǎn)過

程中/CM。的度數(shù)不發(fā)生變化，請給出推理過程并求出“M。的度數(shù).

【拓展延伸】

⑷如圖3,試探究線段之間是否存在某種特定的數(shù)量關系，若存在，直接寫出數(shù)量關系式；

若不存在，請說明理由.

2.（2025?河南開封?一模）綜合與實踐在RtaABC中，乙4c8=90。,AC=1,BC=2.

問題發(fā)現(xiàn)

（1）如圖1，將△&4B繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到aCDE,連接力D,BE,線段AD與BE之間的數(shù)量關

系是?4。與BE的位置關系是.

類比探究

（2）如圖2,將△C48繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度得到△CDE,連接力。，BE,線段與BE之間的

數(shù)量關系、位置關系與（1）中的結論是否一致？請說明理由.

遷移應用

（3）如圖3,將△C48繞點C旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△CDE,當點。落到邊力8上時，連接BE,求線段8E的長.

3.（2025?湖北?模擬預測）旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運動中的一種重要變換，通常與全等三角形等數(shù)學知識相結合

來解決實際問題，某學校數(shù)學興趣小組在研究二角形旋轉(zhuǎn)的過程中，進行如下探究：如圖①，△A8C和△OMN

均為等腰直角三角形，^BAC=Z.MDN=90°,D為8。的中點，△0MN繞點。旋轉(zhuǎn)，連接/IM,CN.

⑴【觀察猜想】在ADMN旋轉(zhuǎn)過程中，4M與CN的數(shù)量關系為」

（2）【實踐發(fā)現(xiàn)】如圖②，當點M,N在△4BC內(nèi)且C,M,N三點共線時，求證：CM-AM=42DM,

（3）【解決問題】若△48。中，AB=縣,在ADMN旋轉(zhuǎn)過程中，當二百且。，M,N三點共線時，直接

寫出DM的長.

4.（2025?山東泰安?模擬預測）如圖1,在等腰ABC中,乙48c=90。，AB=C8,點D,E分別在AB,CB

上，DB=EB,連接4E,CD,取4E中點兒連接

⑴求證：CD=2BF,CD1BF；

⑵將^OBE繞點9順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置..

①請直接寫出8尸與CD的位置關系：」

②求證：CD=2BF.

◎從超逆煉

1.（2023?遼寧大連?中考真題）如圖，在△ABC和△/OE中，延長BC交OE于F,BC=DE,AC=AE,^.ACF+

/AED=180°.求證：AR=AD.

2.（2024?山東濟南?中考真題）如圖，在菱形A8CD中，AE1CD,垂足為E,CF1A。，垂足為F.

3.（2024?江蘇常州?中考真題）如圖,8、E、C、尸是直線/上的四點,AC、DE相交于點G.AB=DF,AC=DE,

BC=EF.

AD

G

BEC

⑴求證：^GEC是等腰三角形；

⑵連接4），則4。與/的位置關系是.

4.（2024?遼寧?中考真題）如圖1,在水平地面上，一輛小車用一根繞過定滑輪的繩子將物體豎直向上提起.起

始位置示意圖如圖2,此時測得點力到所在直線的距離4C=3m,a48=60。；停止位置示意圖如圖3,

此時測得ZCDB=37。（點C,A,D在同一直線上，且直線CD與平面平行，圖3中所有點在同一平面內(nèi).定

滑輪半徑忽略不計，運動過程中繩子總長不變.（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75,

V3?1.73）

（1）求A8的長；

⑵求物體上升的高度CE（結果精確到0.1m）.

5.（2024?山東日照?中考真題）如圖，以團A8CD的頂點B為圓心，48長為半徑畫弧，交BC于點E,再分別

以點A,E為圓心，大于：力￡的長為半徑畫弧，兩弧交于點心畫射線8F,交AD于點G,交CD的延長線于點

H.

⑴由以上作圖可知，與N2的數(shù)量關系是

（2）求證：CB=CH

（3）若48=4,AG=2GD,LABC=60°,求48cH的面積.

6.（2023?北京?中考真題）在△4BC中、=zC=a（0°<a<45°）,AM工BC于點M,。是線段MC上的

動點（不與點M,C重合），將線段CM繞點。順時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段QE.

AA

MD0D

圖1

⑴如圖1,當點E在線段4c上時，求證：。是MC的中點：

⑵如圖2,若在線段上存在點尸（不與點3,M重合）滿足。尸二DC,連接力E,EF,直接寫出乙4E尸的

大小，并證明.

7.（2024?山東東營?中考真題）在中，^ACB=90°,AC=1,BC=3.

E

圖3

⑴問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,將4繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到△CDE,連接4D,BE,線段4。與8E的數(shù)量關系是,

力。與8E的位置關系是；

⑵類比探究

將AC4B繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度得到ACDE,連接力D,BE,線段4D與8E的數(shù)量關系、位置關系

與（1）中結論是否一致？若AD交CE于點、N,請結合圖2說明理由；

⑶遷移應用

如圖3,將AC4B繞點C旋轉(zhuǎn)一定角度得到△CDE,當點。落到4B邊上時，連接BE,求線段BE的長.

8.（2024?甘肅蘭州?中考真題）綜合與實踐

【問題情境】在數(shù)學綜合實踐課上，同學們以特殊三角形為背景，探究動點運動的幾何問題，如圖，在△力BC

中，點M,N分別為4c上的動點（不含端點），且AN=BM.

【初步嘗試】（1）如圖1,當△ABC為等邊三角形時，小顏發(fā)現(xiàn)：將M力繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到MD,

連接80,則MN=DB,請思考并證明：

【類比探究】（2）小梁嘗試改變?nèi)切?/p>