重難點01圖形的變換

目錄

考點一：圖形的平移

考點二：圖形的翻折

考點三：圖形的旋轉(zhuǎn)

圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)及點的運動是初中數(shù)學(xué)圖形的幾種基本運動形式，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之

這類問題常常要運用“動”的思路去觀察、分析、推理、猜想、探究相關(guān)圖形的位置變化情況或圖形

的有關(guān)性質(zhì)，對提高數(shù)學(xué)思維能力與發(fā)展空間觀念有重要作用，也是近年的中考試題的一個熱點.

【滿分技巧】

圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)有一個重要性質(zhì)：任何圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，除圖形的位置發(fā)生變

化外，圖形的形狀、大小保持不變.這個性質(zhì)在解決圖形運動的有關(guān)問題中常用.

【考點剖析】

考點一：圖形的平移

一、單選題

1.（2020.上海.統(tǒng)考中考真題）如果存在一條線把一個圖形分割成兩個部分，使其中一個部分沿某個方向

平移后能與另一個部分重合，那么我們把這個圖形叫做平移重合圖形.下列圖形中，平移重合圖形是（）

A.平行四邊形B.等腰梯形C.正六邊形D.圓

【答案】A

【分析】證明平行四邊形是平移重合圖形即可.

【詳解】如圖，平行四邊形ABCD中，取BC,AD的中點E,F,連接EK

貝府AF=FD,BE=EC,AB=EF=CD,

二四邊形A2EF向右平移可以與四邊形EFCD重合,

平行四邊形ABC。是平移重合圖形.

故選：A.

【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

2.（2022春?上海嘉定?九年級統(tǒng)考期中）如圖，把AABC沿AB邊平移到ADEF的位置，它們重疊部分的

面積是AABC面積的一半，若AB=0,則此三角形移動的距離是（）

A.72-1B.4C.1D.72

【答案】A

【分析】移動的距離可以視為AD或BE的長度，根據(jù)題意可知AABC與陰影部分為相似三角形，且面積比

為2：1,所以AB：DB=V2：1,推出DB=1,所以AD=&-1.

【詳解】???AABC沿AB邊平移到ADEF的位置，

；.AC〃DF,

△ABCs/iDBG,

AAB：DB=V2：1，

AB=0,

；.DB=1,

AAD-1.

故選：A.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、平移的性質(zhì)，關(guān)鍵在于求證AABC與陰影部分為相似三

角形.

二、填空題

【分析】利用沿y軸平移，上移加，下移減即可.

【詳解】y=x?+2x+2沿y軸方向向下平移3個單位，

得函數(shù)y=x2+2x+23整理得，

y=x2+2xl,

故答案為：y=x2+2xl.

【點睛】本題考查拋物線的平移問題，關(guān)鍵掌握平移的特征，沿y軸平移函數(shù)值發(fā)生變化，上移加，下移

減，沿x軸平移函數(shù)值不變，自變量發(fā)生變化，左移加右移減，會利用平移求函數(shù)解析式.

4.（2021.上海.統(tǒng)考模擬預(yù)測）在高5cm,長13cm的一段臺階上鋪上地毯，臺階的剖面如圖所示，地毯的

長度至少需要m.

【答案】17

【分析】在此類題中，利用平移線段，把樓梯的橫豎向下向右平移，構(gòu)成一個直角三角形的兩直角邊，利

用勾股定理解題.

【詳解】利用平移線段，把樓梯的橫豎向下向右平移，構(gòu)成一個直角三角形的兩直角邊；

故答案為：17.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是要注意利用平移的知識，把要求的所有線段

平移到一條直線上進行計算

【答案】2

【分析】根據(jù)平移性質(zhì)得AC〃DF,易證AEGCs^EDF,根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方,

求得EC的長，即可求CF的長.

；.AC〃DF,AABC^ADEF,

2

.\EF=BC=6cm,S△ABC=SADEF=9cm,

VAC/7DF,

ZACB=ZF,ZEGC=ZD,

AEGC^AEDF,

/.EC=4cm,

/.CF=2cm.

故答案為：2

【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì)，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方列

式求解是解答此題的關(guān)鍵.

6.（2021.上海浦東新?模擬預(yù)測）如圖，將AABC沿8c邊上的中線4。平移到△A3C的位置，已知AABC

的面積為16,陰影部分三角形的面積為9.如果AY=1,那么A。的長為.

【答案】3

【詳解】解：如圖,

16、S^A'EF^9,且為BC邊的中線，

SAA，DE=；S/AEP=4.5,SAABD^gSAABC^8,

將4ABC沿BC邊上的中線A。平移得到△A'B'C,

：.A'E//AB,

：.ADA^ADAB,

3

解得4￡）=3或4￡>=--（舍）,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性

質(zhì)與三角形中線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì).

三、解答題

（1）求拋物線的解析式；

【分析】（1）將A,8兩點的坐標代入解析式，解二元一次方組程，求出瓦。即可求解;

(3)分情況討論，點C在點8的上方或下方兩種情況，根據(jù)平移特征結(jié)合圖形求解即可.

(3)根據(jù)題意，BC//PQ

如果點C在點B的上方，BC//PQ,尸C〃8Q時，四邊形2CP。是平行四邊形,

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標系中求兩點的距離，勾股定理的

逆定理，圖像的平移規(guī)律，正確理解平移的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.

9.(2022.上海.統(tǒng)考中考真題)一個一次函數(shù)的截距為1,且經(jīng)過點A(2,3).

(1)求這個一次函數(shù)的解析式；

(2)點A,2在某個反比例函數(shù)上，點8橫坐標為6,將點8向上平移2個單位得到點C,求cosNABC的值.

【答案】(l)y=x+l

⑵B

【詳解】(1)解：設(shè)這個一次函數(shù)的解析式尸質(zhì)+1,

把A(2,3)代入，得3=2左+1,

解得：k=l,

這個一次函數(shù)的解析式為y=x+l；

(2)解：如圖，

把A(2,3)代入，得3=?，

解得：m=6,

二反比例函數(shù)解析式為y=9,

X

當尸6時，則y=3=l,

6

：.B(6,1),

?..將點B向上平移2個單位得到點C,

：.C(6,3),BC=2,

VA(2,3),C(6,3),

；.AC〃x軸，

VB(6,1),C(6,3),

BC_Lx軸，

：.AC±BC,

：.ZACB=90°,

：.△ABC是直角三角形，

【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，點的平移，解三角形，坐標與圖形，求得AC,8c是解題的

關(guān)鍵.

10.(2021?上海松江?統(tǒng)考二模)在平面直角坐標系xOy中，直線y=3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B,

拋物線y^a^+bx-5a經(jīng)過點A.將點B向右平移5個單位長度，得到點C.

(1)求點C的坐標；

(2)求拋物線的對稱軸；

(3)若拋物線的頂點在△OBC的內(nèi)部，求。的取值范圍.

j'A

12

【答案】(1)C(5,3)；(2)x=2；(3)--.

【分析】(1)由y=3x+3與x、y軸分別交于點A、B,可求出A、B坐標，B向右移動5個單位即得C坐標;

(2)將A坐標代入廣加+灰5a可得6=4a,根據(jù)對稱軸公式可得答案；

(3)對稱軸x=2與交于。，與OC交于E,拋物線的頂點在△08C的內(nèi)部，則頂點在。和E之間，用

。表示頂點縱坐標列不等式可得答案.

【詳解】解：(1)在y=3x+3中，令x=0得y=3,令y=0得x=l,

(1,0),B(0,3),

.點B向右平移5個單位長度，得到點C.

：.C(5,3)；

(2)VA(1,0),拋物線產(chǎn)Qf+fexS”經(jīng)過點A,

0=ab5a,即b=4a,

(3)對稱軸x=2與BC交于。，與OC交于E

設(shè)OC解析式為〉="，

(5,3),

:?3=5左，

3

?*-oc解析式為y=二羽

由(1)知b--4(2,

拋物線為y=ax24ax5a,

???頂點坐標為(2,9a),

拋物線的頂點在△08C的內(nèi)部，則頂點在。和￡之間，

而。(2,3),

.12

??—-<〃<--.

315

【點睛】本題考查點的平移、二次函數(shù)綜合.(1)中會求一次函數(shù)與坐標軸交點是解題關(guān)鍵；(2)中掌

握對稱軸公式是解題關(guān)鍵；(3)掌握頂點公式是解題關(guān)鍵.

考點二：圖形的翻折

一、填空題

【答案】56

【詳解】解：過點A作AGL8C于點G,過點E作EFLAB于點尸，如圖,

故答案為56.

【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)、勾股定理及解直角三角形，熟練掌握折疊的性質(zhì)、勾股定理及解直角

三角形是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?上海普陀?統(tǒng)考二模)如圖，已知在RdABC中，ZC=90°,AC=BC=2,點。在邊8C上，將AABC

沿直線AD翻折，使點C落在點C處,聯(lián)結(jié)AC,直線AC與邊CB的延長線相交于點F,如果/。42=/54尸,

那么BF=

【詳解】如圖，

將AABC沿直線A。翻折，使點C落在點C'處，

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

3.(2021?上海?統(tǒng)考二模)我們把反比例函數(shù)圖象上到原點距離相等的點叫做反比例函數(shù)圖象上的等距點.如

果第一象限內(nèi)點A(2,4)與點2是某反比例函數(shù)圖象上的等距點，那么點A、B之間的距離是.

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合反比例函數(shù)和軸對稱的性質(zhì)，得出8的坐標，然后根據(jù)勾股定理即可求得點A、B

之間的距離，即可完成求解.

【詳解】由題意可知，點2與點A關(guān)于直線y=x對稱，

;點A(2,4),

.?.點B(4,2),

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)、軸對稱、直角坐標系、勾股定理的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例

函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解.

4.(2021?上海松江?統(tǒng)考二模)如圖，已知RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8.將△ABC翻折，

使點C落在A8邊上的點。處，折痕EF交邊AC于點E,交邊8C于點R如果。E〃BC,則線段EF的長

為.

■B

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，EC=ED,FC=FD,/CEF=NDEF,斯是。的垂直平分線，進而得出

四邊形CEQ尸是正方形，設(shè)未知數(shù)，利用相似三角形、直角三角形的邊角關(guān)系求解即可.

【詳解】解：如圖所示：

由折疊可知，EC=ED,FC=FD,ZCEF=ZDEF,EF是CO的垂直平分線，

\'DE//BC,ZACB=90°,

ZAED=ZACB=90°,

：.ZCEF=NDEF=45°,

：.ZCED=ZECF=ZEDF=90°

.,?四邊形CEL不是正方形，

設(shè)CF=x,則AE=6-x,BF=8-x,

由得，

在RtACEF中，

【點睛】本題考查折疊軸對稱，正方形的判定和性質(zhì)，相似三角形以及直角三角形的邊角關(guān)系，理解折疊

軸對稱的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【答案】

21

故答案為：—

4

【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì),

掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

【答案】4

故答案為：4.

【點睛】本題考查了翻折的性質(zhì)、等腰三角形的判定、三角形的中位線定理等知識點，熟練掌握翻折的性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.（2019?上海寶山?統(tǒng)考一模）如圖，R3ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=5,點P為AC上一點，將

沿直線8尸翻折，點C落在。處，連接AC,若AC'〃BC,那么CP的長為

【分析】過點C作CDJ_BC于點D,通過題意可證四邊形CDCA是矩形，可得CD=AC,C'D=AC=4,

根據(jù)勾股定理可求BD=3,即CD=AC=2,根據(jù)勾股定理可求CP的長.

【詳解】解：過點。作CDL8C于點D,

\'A'C//BC,ZACB=90°,

AZCAC=ZACB=90°,且C'Z)_LBC,

...四邊形CDC4是矩形，

：.CD=AC,CD=AC=4,

???折疊

：.BC=BC=5,CP=CP,

:.CD=BC-BD=2

.\AC'=2,

在RtAAC'P中，CP2=CA2+AP2,

；.CP2=4+(4-CP)2,

：.CP=-

2

故答案為：g

【點睛】本題是翻折變換，考查了矩形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，添加恰當輔助線構(gòu)造全等

三角形是本題的關(guān)鍵.

8.(2019?上海虹口?校聯(lián)考中考模擬)如圖，在矩形ABC。中，AB=6,點￡在邊上且AE=4,點尸是

邊BC上的一個動點，將四邊形A2FE沿所翻折，A、B的對應(yīng)點4、8/與點C在同一直線上，43與邊

交于點G,如果。G=3,那么8尸的長為.

Ai-------津---------

BC

【詳解】VACDG^AEA'G,A舊=4

，A'G=2

；.B'G=4

由勾股定理可知CG=36

貝UCB'=3A/54

由4CDG^ACFB'

【點睛】本題考查了圖形的三大變化之軸對稱，解答本類題的關(guān)鍵是找到軸對稱前后相等的邊和角，可進

一步得到全等三角形或相似三角形，進而解題.

,4B

【答案】j.

o

【分析】作AGLBC,作BH±CE交EC的延長線于H,延長BD和CE交于點F,根據(jù)勾股定理求出BG和CG

的值；易證△BCHs^ABG,得出對應(yīng)邊成比例即可求出BH和CH的值；根據(jù)折疊可知AB=BE=5,得出

EH及CE的值；根據(jù)FH〃AB可求出FC；最后根據(jù)FC〃AB即可求出答案.

【詳解】如圖，作AGLBC,作BHXCE交EC的延長線于H,延長BD和CE交于點F,

AC=AB=5,

FH//AB

「?ABCH^AABG

.BH_BC_CH

,AG-AB-BG

「?BH=4,CH=2

由折疊得，AB=BE=5

FH//AB

EF=BE=5

.-.FC=5+1=6

FC//AB

t'CD~~FC~6

故答案為g.

o

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)，作合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

【分析】圖象沿X軸的翻折后，頂點為（2,5）,a=-2即可求解.

【詳解】解：拋物線y=2x2-4x+5=2（x-1）2+3,其頂點坐標是（1,3）,將該拋物線沿x軸翻折后的

新拋物線的頂點坐標是（1,-3）,拋物線開口方向與原拋物線方向相反，所以新拋物線的解析式為y=-

2（x-1）2-3.

【點睛】考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換.注意：新舊拋物線的頂點之間的變換關(guān)系.

11.（2018?上海松江?統(tǒng)考中考模擬）如圖，已知平行四邊形ABCD中，AC=2C,ZACB=45°,將三角形ABC

沿著AC翻折，點B落在點E處，聯(lián)結(jié)。E,那么DE笠的值為.

設(shè)與CE交于點由折疊可得，ZACE=ZACB=45°,

而NZMC=/AC8=45。，

?.ZAFC=90°,ZEFD=90°,AF=CF,

由折疊可得，CE=AD,

：.EF=DF,

：.△47尸和4。所都是等腰直角三角形，

設(shè)EF=DF=1,則。E=0,

設(shè)AF=CF=x,貝ijAC=EC=l+x.

,/RtAACF中，AF2+CF2=AC2,

.,.x2+x2=(x+1)2,解得：x=l+及或x=l-72(舍去)，

/.AC=2+V2,

【點睛】本題主要考查了折疊問題，平行四邊形以及等腰直角三角形的性質(zhì)，折疊是一種對稱變換，它屬

于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

12.（2018?上海閔行?統(tǒng)考二模）在直角梯形ABCD中，ABIICD,ZDAB=90°,AB=12,DC=7,cosZABC=—,

13

點E在線段AD上，將△ABE沿BE翻折，點A恰巧落在對角線BD上點P處，那么PD=.

【答案】12夜12

【詳解】解：過點C作于點足則四邊形APCD為矩形，如圖所示.

VAB=12,DC=1,

：.BF=5.

又,/cosZABC=—,

13

"：AD=CF=U,A8=12,

AABE沿BE翻折得到△PBE,

：.BP=BA=12,

：.PD=BD-BP=12y[2-12.

故答案為1272-12.

【點睛】本題考查了翻折變換、直角梯形以及解直角三角形，通過解直角三角形求出A。、BD的長度是解

題的關(guān)鍵.

13.（2022.上海?上海市進才中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，已知扇形AOB的半徑為6,圓心角為90°,E是半徑04

上一點，廠是A8上一點.將扇形AOB沿跖對折，使得折疊后的圓弧A歹恰好與半徑相切于點G,

若OE=5,則0到折痕EF的距離為.

【答案】岳

【詳解】解：如圖，過點G作。G的垂線，交AE的延長線于點O',連接00,交EP于點X,連接AO',

則點A、G、P在以點。'為圓心，O'G為半徑的圓上，

與4尸是等弧

與。是等圓

即0到折痕EF的距離為岳

故答案為：而.

【點睛】本題考查軸對稱、三角形、矩形與圓的綜合問題，是填空題的壓軸題，懂得根據(jù)題意構(gòu)造出等圓

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：當。'在OM上方時，連接OO',延長AP交0。與點B,如圖,

當。'在0M下方時，連接00',延長外交OO'與點B,如圖,

【點睛】本題考查等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，翻轉(zhuǎn)的性質(zhì)，30。所對的直角邊等于斜邊的一

半.解題的關(guān)鍵是對0'的位置進行分情況討論：當。'在0M上方時.當。'在下方時，結(jié)合圖形進行求

解.

C

AB

【答案】72

ffll

0

CM=BM=AM,

故答案為0.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及解

直角三角形，構(gòu)造輔助線得出三角形全等是解題的關(guān)鍵.

4

16.（2020?上海普陀?統(tǒng)考二模）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,cotB=~,點尸為邊AB上

一點，將"PC沿著尸C翻折得到△夕PC,夕C與邊A8的交于點。，如果△夕P。恰好為直角三角形，那么

B

圖1

B'

圖2

Q

綜上所述，滿足條件的PB的值為1或4.

Q

故答案為4或1.

【點睛】本題考查解直角三角形，翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會

利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

【分析】根據(jù)A(8,0),B(8,4),C(0,4),可得矩形的長和寬，易知點F的橫坐標，E的縱坐標,

由反比例函數(shù)的關(guān)系式，可用含有k的代數(shù)式表示出點F的縱坐標和點E的橫坐標，由三角形相似和對稱,

可求出AD的長，然后把問題轉(zhuǎn)化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值.

【詳解】過點E作EGLOA,垂足為G,設(shè)點B關(guān)于EF的對稱點為D,連接DF、ED、BD,如圖所示：

貝必BEF^ADEF,

；.BD=DF,BE=DE,ZFDE=ZFBE=90°,

ZEDG+ZADF=ZADF+ZAFD,

NEDG=NAFD,

VZEGD=ZDAF,

AADF^AGED,

/.AD：EG=BD：BE,

VA(8,0),B(8,4),C(0,4),

.,.AB=OC=EG=4,OA=BC=8,

在RtAADF中，由勾股定理：AD2+AF2=DF2

故答案為12.

【點睛】此題綜合利用軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理以及反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

等知識，發(fā)現(xiàn)BD與BE的比是1：2是解題的關(guān)鍵.

【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、坐標等知識，熟練掌握

翻折變換的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，并進行分類討論是關(guān)鍵.

19.（2018?上海長寧?統(tǒng)考中考模擬）如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，ND=60。，點E、F分別在邊AB、

BC±.將ABEF沿著直線EF翻折，點B恰好與邊AD的中點G重合，則BE的長等于.

【答案】|7

【詳解】試題解析：如圖，作GHLBA交BA的延長線于H,EF交BG于O.

H

C

B

,四邊形ABCD是菱形，ZD=60°,

/.△ABC,AADC度數(shù)等邊三角形，AB=BC=CD=AD=2,

AZBAD=120°,ZHAG=60°,

：AG=GD=1,

；.AH=!AG=!，HG=g

222

ABEO^ABGH,

7

故答案為二.

39

【答案】y

【詳解】解：如圖;

.\AB=10,AO8,CH=y,BH=y,

由題意EF二BF,設(shè)EF=BF=a，貝UBD=-a,

4

ZBDE=ZAEC,

???NCED+NECB=NECB+NB,

AZCED=ZB,

NECD二NBCE,

.,.△ECD^ABCE,

.*.EC2=CDCB,

24325

.-.(y)2+(2ay)2=(8-a)x8,

解得a=K或0,（舍）

BE=2a=—

5

故答案為三59.

點睛：此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角

形解決問題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型.

【詳解】解：分兩種情況:

①如圖,

②如圖,

【點睛】本題考查了翻折變換-折疊問題，勾股定理，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性

質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不

變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

【詳解】解：延長4。交。于尸，設(shè)BB'、CC交AF于N、E,連接OC,0B,如圖，

由翻折知AF是Bg'、CC'的垂直平分線,

二、解答題

(1)求拋物的解析式;

(1)

(2)

(3)

【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及解析式、三角形相似的判定與性質(zhì)、對稱變換等知識，解題

的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)的線段長度，根據(jù)已知列方程求解.

(1)求點A和點E之間的距離；

(2)聯(lián)結(jié)AC交BE于點片求仁的值.

AC

【詳解】⑴連接AE交BD于H,

:△AB。與△石8。關(guān)于直線5。對稱，

AAEXBD,AH=HE,

???BD=2,

.*.ZABD=30°,

??,△A3。與△防。關(guān)于直線BD對稱，

???NBED=NA=90。，DE=AD=1,ZDBE=ZABD=30°,

??,點E是CD的中點，

二?BE垂直平分CD,

ABC=BD=2,

.*.ZCBE=ZDBE=30°,

ZA=ZABC=90°,

???AD〃BC,

.\ZM=ZCBE=30o,

?「AM〃BC,

【點睛】此題考查軸對稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定及性

質(zhì).

(3)分兩種情況:

圖3

：.B,A,E在同一直線上,

圖4

【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、矩

形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等

知識；本題綜合性強，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點三：圖形的旋轉(zhuǎn)

一、填空題

1.(2021.上海寶山?統(tǒng)考三模)在MAABC中，ZC=90°,AC=3,以點A為圓心，1為半徑作。A,將。A

繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a（0<a<90。）,若。A與直線2C相切，則Na的余弦值為.

【答案】|

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到N?DC=90。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到GT=CA=3,根據(jù)余弦的定義計算,

得到答案.

【詳解】解：設(shè)將。A繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)，點A至點，時，。，與直線相切相切于點Z）,

連接⑷。，則/⑷DC=90。，A'D^l,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，CT=CA=3,

,：AC/7A'D,

：.a=/CA'D,

；./a的余弦值為g,

故答案為：—■

【點睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)，直線與圓位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，平行線性質(zhì)，掌握圖形旋轉(zhuǎn)，直線與圓

位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.（2021.上海奉賢.統(tǒng)考三模）如圖，在方格紙上建立的平面直角坐標系中，將R3ABC繞點C按順時針

方向旋轉(zhuǎn)90。，得到R3BEC,則點A的對應(yīng)點尸的坐標是.

【分析】根據(jù)網(wǎng)格圖形找出點A、B順時針旋轉(zhuǎn)90。后的對應(yīng)點的位置，然后順次連接，再根據(jù)平面直角坐

標系寫出點尸的坐標即可.

【詳解】解:如圖，點尸的坐標為（-1,2）.

故答案為：（-1,2）.

【點睛】本題考查了坐標與圖形變化一旋轉(zhuǎn)，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵.

B

【答案】y

【點睛】本題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)及解直角三角形，掌握解直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作出

輔助線，得到X和y的關(guān)系.

5.（2022?上海嘉定?統(tǒng)考二模）如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A（-20，0）,C（0,2）

將矩形04BC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點A恰好落在直線OB上的點4處，則點B的對應(yīng)點Bi的坐標為

【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)，全等

三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

6.（2022?上海金山?統(tǒng)考二模）如圖，菱形ABC。中，AB=5,AC=8,把菱形ABC。繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)得到

菱形ABC。，其中點9正好在AC上，那么點C和點。之間的距離等于.

【分析】連接8。，交AC于點。，過點C作CELAC于點E,先利用勾股定理求得。。=3,利用三角函數(shù)

的定義求得CE=彳24，A￡3=2y,再利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：連接2。，交AC于點O,過點C作CELAC于點E,

J.AO1BD,AO=OC=4,AD=AB=5,

由勾股定理得。/）=3,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=AC=8,

?「0_2432

??CE=,AE=,

?“，_”2_8

??/iC=o~^~=~,

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，熟記銳角三角函數(shù)的定義是

解答此題的關(guān)鍵.

DC

【答案】2

【詳解】解：如圖，

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)，三角形的全等，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

8.（2022.上海黃浦?統(tǒng)考二模）如圖，己知邊長為1的正方形ABC。的頂點A、2在半徑與這個正方形邊長

相等的圓。上，頂點C、。在該圓內(nèi).如果將正方形A8CO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當點。第一次落在圓上時,

點C與點。為對應(yīng)點，那么AACC的面積=.

【答案】|

【詳解】解：如圖，設(shè)當點D第一次落在圓上時的點為連接OA,OB,過點C作CELAC'于E,

:正方形ABC。，AB=1,

：.ZBAE=90°,AC=母,

"：OA=OB=AB=1,

:.AOAB是等邊三角形，

ZOAB=60°,

：./040=30。，

同理/。4。=60。，

ZDAD'=ZOAD'ZOAD=30°,

由旋轉(zhuǎn)可得：ZCAC'=ZDAD'=30°,AC'=AC=y[i,

,?CELAC于E,

故答案為：

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，本題屬中

考常考題目，難度不適中.

【答案】6

故答案為：6.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用等知識點，正確找出兩

個相似三角形是解題關(guān)鍵.

10.（2022?上海黃浦?統(tǒng)考二模）在△ABC中，ZC=90°,AC=3,將△ABC繞著點A旋轉(zhuǎn)，點C恰好落在

的中點上，設(shè)點2旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為點。，則的長為.

【答案】3幣

【詳解】解：如圖：過點。作。FUAC于尸，交CA的延長線于F.

由旋轉(zhuǎn)可得AC^AE,

VAC=3,E是A8的中點，

：.AE=BE=AC=3,BPAB=AD=6.

.?."=3+3=6,

故答案為：3幣.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及勾股定理.根據(jù)題意畫出圖形并作出輔助線是解答

本題的關(guān)鍵.

11.（2021?上海徐匯?統(tǒng)考二模）如圖，矩形ABC。中，AB=6,2C=10,將矩形ABC。繞著點A逆時針旋

轉(zhuǎn)后，點。落在邊BC上，點8落在點9處，聯(lián)結(jié)89，那么AAB夕的面積是.

B

D

【答案】y

【詳解】解：如圖，過。作OELAQ于點E,過點8作BfUA9于點尸,

ZDAD'^ZBAB'.

54

故答案為：y

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，解題關(guān)鍵是熟練運用解直角三角形求線段長.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)知識平行線的性質(zhì)和勾股定理等知識，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD=CD=3,A,D'=AD=4,ZADC=ZA'D'C=90°,由勾股定理得出AC=5,則

A'D=A'CCD=53=2,ffiRtACDF^RtACD'F(HL),得出DF=D'F,設(shè)DF=D'F=x,則A'F=4x,在RtAA'DF

中，由勾股定理得出方程，解方程得DF=W，由勾股定理即可得出CF的長度.

【詳解】：四邊形ABCD是矩形，

；.AB=CD=3,AD=BC=4,ZADC=90°,

二ZA'DF=ZCDF=90°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CD=CD'=3,A'D'=AD=4,ZADC=ZA'D'C=90°,

；.AD=ACCD=53=2,

在RtACDF和RtACD'F中，

/.RtACDF^RtACD'F(HL),

；.DF=DF,

設(shè)DF=D'F=x,則A'F=4x,

在R3ADF中，由勾股定理得：22+X2=(4X)2,

3

解得：x=-,

2

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握矩

形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

【答案】1.6

；.CB尸CB=6,NB=/Bi，

：.BiM=CBiCM=L2,

/BMC=NBiMN,

故答案為：1.6

15.(2020?上海青浦?統(tǒng)考二模)在AABC中，AB=AC=3,BC=2,將AABC繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)，如果

點A落在射線BC上的點A，處.那么AA』.

【答案】2月

【分析】作AHLBC于H,如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得BH=CH=3BC=1,利用勾股定理可計算出

AH=2應(yīng)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BA，=BA=3,則HA，=2,然后利用勾股定理可計算出AA，的長.

【詳解】解：作AHLBC于H,如圖，

VAB=AC=3,BC=2,

.?.BH=CH=?BC=1,

,/AABC繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)，如果點A落在射線BC上的點A，處，

，BA'=BA=3,

；.HA'=2,

故答案為2月.

【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對

應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

14

【答案】y

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC=5,AB=A'B'=5,BC=B'C=8,由等腰三角形的性質(zhì)可得AF=AF,由勾

股定理列出方程組，可求AF的長，即可求AA，的長.

【詳解】解：如圖，過點C作CFLAA，于點F,

.\AC=A'C=5,AB=A'B'=5,BC=B'C=8

VCF±AA,,

AAF=A'F

14

故答案為：—；

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，能利用勾股定理列出方程組是本題

的關(guān)鍵.

17.（2020?上海閔行?統(tǒng)考二模）如圖，已知在△ABC中，AB=AC=4,ZBAC=30°,將△ABC繞點A順時

針旋轉(zhuǎn)，使點3落在點8,處，點C落在點。處，且聯(lián)結(jié)84和GC,那么△8/GC的面積等于

【詳解】如圖,

B

【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形，能夠

畫出圖形并求出旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：將矩形ABCD繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90。得到矩形ABCD,

.,.AD=A'D'=1,AB=A'B=k,ZA'=ZDAB=90°=ZDCB=ZABC,

；.AD〃BA〃CD

ZA'D'F=ZFEC=ZDEA,且ND=NA'=90°,

/.AADE^>AFA'D',

VZA'=ZDCF=90°,ZA'FD'=ZEFC,

AA'D'F^ACEF,

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)求DE,

A'F的長是本題的關(guān)鍵.

O

C

【分析】先確定正方形的中心。與各邊的所有點的連線中的最大值與最小值，然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)的條件即可求

解.

0E最小,等于1,OA最大，等于血.

如圖2所示，當點E落在0P上時，最大值PE=POEO=21=1；

【點睛】本題考查了新定義、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，準確理解新定義的含義和熟知正方形的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【答案】M

【詳解】解：取的中點X,連接CHFH,設(shè)EC,。尸交于點G,

在△ABC中，ZACB=90°,

?：AC=6,BC=2g,

由旋轉(zhuǎn)可知：△DCE%LACB,

/.ZDCE=ZACB,DC=AC,CE=CB,

：./DCA=/BCE,

"：ZADC=1(180°ZAC￡>),NBEC=g(180°ZBCE),

ZADC=ZBEC,

'：ZDGC=ZEGF,

：.ZDCG=ZEFG=90°,

：.ZAFB=90°,

是AB的中點，

：.FH=^AB,

'：ZACB=9Q°,

：.CH=^AB,

在AFCH中,FH+CH>CF,

線段B的最大值為何.

故答案為：Vio

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等的性質(zhì).

【詳解】在RdAC8中，ZC=90°,AC=2,BC=4,

.?.OE是AACB的中位線，BD=2,BE=y/5,

ZEDB=9Q0,

由旋轉(zhuǎn)可得，BD=2,D'E'=1,BE^^5,/BD'E'=9Q°,

第一種情況，如圖1,

?.?點AD',E'三點共線,

ZADrB=90°,

???AE'=AO'+ZyE'=5

ZABC=ZDBE\

：./CBD'=/ABE',

：./\CBD^AABE\

：.CD=2y[5

第一種情況，如圖2,

A

??,點A,DSe三點共線，

NAZTB=90。，

：.AK=AD^D^K=3

NABC=ND'BE',

：.ZCBD=ZABE\

???△CBD'sAABE',

【點睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用，涉及知識點有勾股定理，三點共線，相似三角形的判定和性質(zhì),

分類討論并能正確畫出圖形很關(guān)鍵.

A

E

A'

D

B'

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

3

【答案】y

【詳解】如圖，過點D作DGJ_AC于G,

ZACB=90°,

Z.DG//BC,

VCD是角平分線，

ZACD=45°,

；.CG=DG,

VAC=3,AC=AG+CG,

12

解得：DG=y,

.**AG=—,

7

：.AC=AC,AE=AB,

JNCCA=NACD=45。，

???NCAC=90。，

，旋轉(zhuǎn)角為90。,

???ZDAE=90°,

VAC=3,BCM,

???AB=5,

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，正確得出旋轉(zhuǎn)角為90。并熟練

掌握相關(guān)性質(zhì)及定義是解題關(guān)鍵.

【分析】分兩種情形：①當點。在線段PC上時，延長AO交8。的延長線于證明AO=0C即可解決問

題.

【詳解】解：①如圖2中，當點。在線段PC上時，延長AD交3C的延長線于

H

?：CE=EA,CF=FB,

：.EF//AB,

VAC=AB,ZACB=90°

：.ZCEF=ZCAB=45°,

VPZ)=B4,ZAP￡>=90°

：.ZPAD=ZPDA=45°f

：.NHDC=NPDA=45。,

???點￡是邊C4的中點，

：.EA=EP=EC

：.ZEPC=ZCEP,

???ZHDC=ZZ)CA+ZDAC=45°,

NCEF=/DCA+/EPC=45。,

：.ZDAC=ZEPC=/ECP,

②如圖3中，當點尸在線段CD上時,

圖3

由①可知，EF//AB,ZCAB=ZPDA=45°f

：.ZCAD=180°ZA0)45°,

ZCOA=180°ZACO45°

：.ZCAD=ZCOAf

9：EF//AB,

：.NCPE=NC0A,

：.ZCPE=ZCAD,

???點￡是邊C4的中點，

:?EA=EP=EC

：.ZECP=ZCPE,

：.ZECP=ZCAD,

:點P在線段EF上，情況①不滿足條件，情況②滿足條件,

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，勾

股定理和三角函數(shù)等知識，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

25.（2020?上海虹口?統(tǒng)考二模）如圖，在RtAABC中，NC=90。，AC=6,BC=8,點D、E分別是邊

BC、AB上一點，DE〃AC,BD=50,把△BDE繞著點B旋轉(zhuǎn)得到△BDE（點D、E分別與點D，，E'

對應(yīng)），如果點A,D\E在同一直線上，那么AE的長為.

【分析】分兩種情形分別求解：如圖1中，當點D，在線段AE，上時，解直角三角形求出AD,DE，即可.如

圖2中，當日在線段AD上時，同法可得.

【詳解】解：在RtAACB中，

,/ZACB=90°,AC=6,BC=8,

VDE/7AC,

AABDE^ABCA,

VZAD,B=90°,

如圖1中，當點D，在線段AE，上時，

圖1

,/ABDE繞著點B旋轉(zhuǎn)得到仆BD'E'

E'

圖2

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題以及靈活運用

所學(xué)的知識點，屬于中考?？碱}型.

4

26.（2020.上海楊浦?統(tǒng)考二模）如圖，已知在平行四邊形ABC。中，AB=10,BC=15,tan/A=§,點P

是邊AQ上一點，聯(lián)結(jié)P8,將線段PB繞著點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段尸Q,如果點。恰好落在平行四邊

【答案】6或10

【分析】分情況解答：當點。落在上時，作BELA。于E,QPLA。交4D的延長線于足設(shè)PE=尤，

4FO

通過證明APBEg△。尸尸，得出PE=QP=x,DF=x-1,由tan/FZ）Q=tanA=-=上，即可得出AP的

3DF

4

值；當點。落在上時，得出NAPB=N8PQ=90。，由tanA=§,即可得出AP的值；當點。落在直線

BF4

8C上時，作于E,PFLBC^F.則四邊形8"尸是矩形.由tanA=—=-,可得出ABP。是等

AE3

腰直角三角形，此時求出8Q不滿足題意，舍去.

【詳解】解：如圖1中，當點。落在上時，作于E,QfUA。交A。的延長線于E

設(shè)PE=x.

?qBE4

在R3AE2中，：tanA=——=一，AB=10,

AE3

：?BE=8,AE=6,

???將線段尸B繞著點尸逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PQ,

：.ZBPQ=90°,

：./EBP+/BPE=NBPE+/FPQ=90。,

JZEBP=ZFPQ,

■:PB=PQ,ZPEB=ZPFQ=90°f

：.APBE^AQPF(A4S),

：.PE=QF=x,EB=PF=8,

：?DF=AE+PE+PF-AD=x-1,

*：CD//AB,

：.ZFDQ=ZA,

4FQ

tanZFDQ=tanA=—=

.*.x=4,

：.PE=4,

???AP=6+4=10；

??,將線段PB繞著點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PQ,

：.ZBPQ=90°,

：.ZAPB=ZBPQ=90°,

AP4

在R3APB中，VtanA=----=—,AB=10,

BP3

：.AP=6；

如圖3中，當點Q落在直線5。上時，作于E,PFLBC于F.則四邊形3E尸產(chǎn)是矩形.

EP

圖3

在中，tanA=,AB=10,

AE3

：.BE=8fAE=6,

；.PF=BE=8,

：△BP。是等腰直角三角形，PF±BQ,

：.PF=BF=FQ=8,

:.PB=PQ=86,BQ=6PB=16>15（不合題意舍去），

綜上所述，AP的值是6或10,

故答案為：6或10.

【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由正切求邊長，正確畫出圖形，分情況解答是解題的關(guān)鍵.

27.（2020?上海黃浦?統(tǒng)考二模）已知等邊"BC的重心為G,△。跖與AA8C關(guān)于點G成中心對稱，將它

們重疊部分的面積記作S/,AABC的面積記作S2,那么"的值是

【答案】I

【分析】如圖，根據(jù)點G是等邊AABC的重心，得到AD垂直平分BC,4。是/BAC的角平分線，根據(jù)中心

對稱的性質(zhì)得到△￡>￡尸之△ABC,AG=DG,EF//BC,推出是等邊三角形，得到4。=8。=48,求

得它們重疊部分為邊長=。》的正六邊形，設(shè)AB=3a,則根據(jù)等邊三角形的面積即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，

:點G是等邊AABC的重心,

垂直平分BC,是NA4C的角平分線，

：.AG=2GN,

,/ADEF與AABC關(guān)于點G成中心對稱，

ADEF^AABC,AG=DG,EF//BC,

：.ZAQH^ZABC^ZAHQ^ZACB^60°,

?*.△AQH是等邊三角形，

.".AQ—HQ—AH—^AB—a,

:.AP=@a,

2

它們重疊部分為邊長=Q”的正六邊形，

故答案為：：.

【點睛】本題考查了三角形的重心，等邊三角形的性質(zhì)，中心對稱，等邊三角形的面積的計算，正多邊形

面積的計算.能根據(jù)題意正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

BC

21

【答案】癡

【詳解】過A點作交BD于點F,如圖,

:矩形中AB=3,BC=AD=4,ZBAC=9Q0,

,21

故答案為：—.

【點睛】本題考查了