山東省東營(yíng)市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試題

一、單選題

2-i

1.已知復(fù)數(shù)z==(其中i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為()

1-31

A.iB.-iC.-yD.y

2.已知角。終邊上一點(diǎn)尸(3,-4),貝ijcosa=()

3八3,44

A.-B.--C.-D.——

5555

3.己知平面向量2=(1,2),B=(-2,m),且方/區(qū)，則,+35=()

A.(-5,-10)B.(-4,-8)C.(-3,-6)D.(-2,-4)

4.豐表（如圖1）是我國(guó)古代一種通過測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根百的標(biāo)竿

（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長(zhǎng)尺（稱為“圭”）.當(dāng)正午太陽照射在表上時(shí),

日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長(zhǎng)度最長(zhǎng)的那一天定為冬至，日影長(zhǎng)度最短的那一天定為夏至.圖2是

一個(gè)根據(jù)北京的地理位置設(shè)計(jì)的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽高度角（即//BC）為26。，夏至

正午太陽高度角（即/力。C）為73。，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即。8的長(zhǎng)）為a,則表高（即

彳。的長(zhǎng)）為（）

asin53°atan26°tan73°

A.--------

2sin47°tan47°

〃2sin47°asin26°sin73°

C.--------

asin53sin47°

5.下列說法正確的是（）

A.底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體

B.正四面體的高為其棱長(zhǎng)的花倍

C.用一個(gè)平面截正方體，得到的截面可能為五邊形

D.過圓錐頂點(diǎn)的所有截面中，軸截面面積最大

7.如圖，在平行四邊形中，AD=2,N8W=60。，E為8的中點(diǎn)，若太應(yīng)=4,則力8=()

DEC

B.V2C.6

8.將函數(shù)/(x)=2tan[@r+：Jm>())的圖像向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖像，若g(x)為奇函數(shù),

則①的最小值是()

3

2

二、多選題

9.已知及數(shù)z,則下列說法正確的是(

A.若|z|=2,則2=±2若d>0，則zeR

C.若忖=1,貝1」142-2氏3

10.已知。是VZ8c所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，48=2,JC=3,cosJ=1,則下列說法正確的是()

A.V/14C外接圓的半徑為也

B.V45c內(nèi)切圓的半徑為近

8

C.若。是V力8c的外心，則而在前上的投影向量為g反D.若。是V48c的垂心，則汨在前

2一

上的投影向量為

11.已知某平面圖形由如圖所示的四個(gè)全等的等腰△44。，^CBO,AFEO,AOE。拼成，其中線段力

CF,的中點(diǎn)均為點(diǎn)O,40=680=2行.若將該平面圖形繞著直線。旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體記為

Q.將該平面圖形繞著直線/）旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體記為直線。，直線/）,則（）

B.R的體積為4冗

C.經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)力所有的運(yùn)動(dòng)軌跡總長(zhǎng)為4兀

D.R的表面積為（1214百卜

三、填空題

12.已知正三棱柱的高為2,底面邊長(zhǎng)為卡，則該三棱柱的外接球的體積為.

13.已知且cosja+：］=N，則cosa=_____.

\2；4）13

14.設(shè)〃次多項(xiàng)式，,。）=。/"+?！?"+…十。2/+。/+%（。,產(chǎn)0），若其滿足匕（cosx）=cos〃x,則稱這些多

sin。sin。sin。

項(xiàng)式匕⑺為切比雪夫多項(xiàng)式.已知/（°）=

A(cos。)6(cos0)8(cos0)4(cos6)/[(cos0),則

2

(P2(cos0)+PA(cos^))

：若/”)=2,則

cos?(cos。)

四、解答題

15.已知V44C的內(nèi)角力，B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且反osC+ccos8=2acos4

（1）求角力的大小；

（2）若〃=近，6=2,求V/4C的面積.

16.己知函數(shù)/（工）=力融（少工+。）1＞0皿＞0,|同＜5］的部分佟像，如圖所示.

I乙）

19.如圖，我們把由平面內(nèi)夾角為60。的兩條數(shù)軸ox,?？跇?gòu)成的坐標(biāo)系稱為“完美坐標(biāo)系”，設(shè)q,6分別

為—少正方向上的單位向量,若向量0A=/+,則把實(shí)數(shù)對(duì)卜日叫做向量方的“完美坐標(biāo)”.

⑴若向量萬的“完美坐標(biāo)”為［3,4］,求|明；

(2)已知［西以］,卜必］分別為向量B的“完美坐標(biāo)”，證明：6石=演超+%為+；(工］為+/必［；

⑶若向量0B的“完美坐標(biāo)”分別為Rsinx』，［2cosx,l］,設(shè)函數(shù)/卜)二小入若對(duì)任意的xj。,"，不

\乙)

等式0(x)2sin2x恒成立，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

題號(hào)12345678910

答案DAADCBAABCACD

題號(hào)11

答案ABD

1.D

根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算求得z=1+1t,即可得z的虛部.

22

2-i(2-i)(l+3i)5+5i11.

【詳解】由題意可得:---------=---------------------------=-----------=—+—1

l-3i(l-3i)(l+3i)1022

所以z的虛部為g.

故選：D.

2.A

求出斜邊OP的長(zhǎng)，再根據(jù)余弦的定義解即可，其中。為坐標(biāo)系原點(diǎn).

【詳解】設(shè)角。的終邊過P(x,y)廁有/?=|。。|=舊+/=5.

X3

cosa=—=—.

r5

故選：A.

3.A

先根據(jù)向量共線求解出參數(shù)的值，然后根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算即可計(jì)算出5+3力的結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?=(1,2),B=(—2,W),且力區(qū),

所以加+4=0,/〃=-4,^+3^=(1,2)+3(-2,-4)=(-5,-10),

故選：A.

4.D

利用正弦定埋結(jié)合條件即可求得正確答案.

【詳解】由題可知/84。=73。一26°=47。

BDAD

在△84。中由正弦定理得:

sin2LBADsinZJZ?D

AD

即

sin47°sin26°

A('

又因?yàn)樵凇鱔CD中，一=sin/4QC,

AD

sig?sin26osin73°

所以—47。

故選：D

5.C

由長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征判斷A；根據(jù)正四面體的定義求解判斷B：由正方體的結(jié)構(gòu)特征，作出截面即可判斷

C：根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征，即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,底面是矩形的平行六面體，它的側(cè)面不一定是矩形，故它也不一定是長(zhǎng)方體，即A不正

確；

對(duì)于B，設(shè)棱長(zhǎng)為m正四面體的高是從一個(gè)頂點(diǎn)垂直于對(duì)面的高度，

所以底面的等邊三角形的高為立a，

2

底面的重心將高分為巫（7,巫4x2=2^〃,

236233

又正四面體的高h(yuǎn)與側(cè)棱和底面重心到頂點(diǎn)的距禽立a構(gòu)成直角二角形：

3

所以//+中。=a2=>h=^-a,故B不正確；

\3Z3

對(duì)干C,用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，力、B、aD、E、尸分別是所在棱的中點(diǎn)，所得截面形狀可能為三角

形、四邊形、五邊形、六邊形，

如圖所示：

三角形四邊形五邊形六邊形

故C正確；

對(duì)于D,過圓錐頂點(diǎn)的截面為等腰三角形，且兩腰長(zhǎng)為母線長(zhǎng)/.

設(shè)該等腰三角形頂角為仇則截面三角形面積為S=gAin。，

7T

顯然當(dāng)面積S最大，

故當(dāng)圓錐的軸截面三角形頂角大于］時(shí)，圓錐的軸截面面積不一定是最大的，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

6.B

4

利用誘導(dǎo)公式結(jié)合同角三角關(guān)系可得sina二-二，再利用誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)閟in[a+?33

=-cos<z=—,gpcosa=——，

55

且。是第三象限角，Msina=-Vl-cos2a=-^,

、

2025Kn

所以CCS0+=cosa+

22>

故選：B.

7.A

設(shè)48的長(zhǎng)為〃?，又衣=而+萬，BE=AD-^ABf根據(jù)數(shù)量枳的運(yùn)算律及定義得到方程，解得即可.

ULTULinULTuunIULB

【詳解】設(shè)力B的長(zhǎng)為加，因?yàn)樽?存+而，BE=BC^CE=AD--ABf

1布卜而1212

所以%詬=(存1JD)-AB\ABADABADFAD

222

1—2]—―—"―'"一2

=一一AB+-A8AD+AD

22

=--z?72+22+—x2xwcos600=4.解得加=1或〃？=0(舍去).

22

8.A

利用平移思想，結(jié)合函數(shù)平移5得到的g(x)是奇函數(shù)，可得①的取值可能，從而可得最小值.

【詳解】函數(shù)/(x)=2tan"+；卜”0)的圖象向左平移:個(gè)單位，

=2咽x+初_I(Oil71

得到函數(shù)g(x)=/(x+5=2tan(ox+——+—

I24；

由g(x)為奇函數(shù)，則掾+：=gn?=-;+〃,kcZ,

因?yàn)棰?gt;0,所以。的最小值是g.

故選：A

9.BC

對(duì)干A,由己知可得/+從=4,則復(fù)數(shù)Z=Q+加不確定，即可判斷；對(duì)于B,由于z2>0,可得浦=0,

即可判斷；對(duì)于C,由目=1,匕得在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合為以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓，

即單位圓，由卜-2|表示單位圓上的點(diǎn)與點(diǎn)(2,0)的距離，即可求得上-2|的范圍，即可判斷；對(duì)于D,設(shè)

N=o+磯a,Z>eR),計(jì)算求得|zf及三，即可判斷.

【詳解】根據(jù)題意,對(duì)于選項(xiàng)A,設(shè)2=。+歷(巴此R),由于忖二2,

所以/+/=4,則復(fù)數(shù)z=a+歷不確定，故選項(xiàng)A不正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,設(shè)z=a+/>i(a,/)6R),由于一>(),

所以“2-//+2〃加〉0,貝iJa〃=0,所以。工0,b=0,則zwR,故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C設(shè)z=a+/)i(a,/)eR),由于目=1,所以/+/=],

所以在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合為以原點(diǎn)為圓心，以I為半徑的圓，即單位圓，

因?yàn)閨z-2|表示單位圓上的點(diǎn)與點(diǎn)(2,0)的距離，

所以卜-2|的最小值為2-1=1,最大值為2+1=3,

所以1斗-2區(qū)3,故選項(xiàng)C正確;

對(duì)于選項(xiàng)D,設(shè)z=a+沅(a,bwR),\z\1=a2+b2,

z2=(a+bi)2=a2-b2+2ab\,

當(dāng)6Ho時(shí)，—

例如z=l+i,|Z|2=12+12=2,r=(l+i)2=l+2i+i2=2i,2w2i,

所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選:BC.

10.ACD

利用余弦定理求出8C,再利用正弦定理求解判斷A：利用三角形面積公式計(jì)算判斷B；利用投影向量的意

義求解判斷CD.

【詳解】對(duì)于A,在V/4c中，cosJ=l則siM=辿，

33

由余弦定理得8c2=22+32-2X2X3X1=9,即=3.

設(shè)VIA。外接圓的半徑衣,由正弦定理可得=N=,則R=述，A正確；

—8

對(duì)于B,V48C的面積為S處.=1x2x3x延=2&,設(shè)V/8C內(nèi)切圓的半徑為，

則2近=g(2+3+3)，，解得，?二孝，B錯(cuò)誤；

對(duì)干c,若。為v/Bc的外心，垢合投影向量定義可得的在前上的投影向量為;品，C正確.

9+4-91

對(duì)于D,cos/48C=---------=-,若。為V』4c的垂心，

2x3x23一

則而在前上的投影向量為|8“卜°$/48(7?||^=2、；乂；8(7=|80,D正確.

故選:ACD

11.ABD

該平面圖形繞著直線。旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體為2個(gè)圓臺(tái)挖去2個(gè)圓錐，根據(jù)圓臺(tái)和圓錐的體積公式計(jì)算

可判斷A：該平面圖形繞著直線6旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體為2個(gè)大圓錐挖去2個(gè)小圓錐，根據(jù)圓錐的側(cè)面

積、體積公式可判斷BD：該平面圖形繞著直線。旋轉(zhuǎn)半周，點(diǎn)4的運(yùn)動(dòng)軌跡為半徑為3的半圓，該平面圖

形繞著直線b旋轉(zhuǎn)半周，點(diǎn)4的運(yùn)動(dòng)軌跡為半徑為石的半圓，杈據(jù)圓面積公式可判斷C；

【詳解】如圖，過點(diǎn)力作直線。的垂線，垂足為〃，過點(diǎn)力作直線〃的垂線，垂足為

由題意得AO=2?AB=80=2,

4+4-121

所以cos//8O=、、r=-7,即480=120°,

2x2x22

所以=60,所以BM=1,AW=?AH=3,

對(duì)FA：該平面圖形繞著直線。旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體為2個(gè)圓臺(tái)挖去2個(gè)圓錐,

其中圓臺(tái)的2個(gè)底面半徑分別為BO=2,AH=3,苞為AM=仆,

圓錐的底面半徑為=3,高為AM—

所以C）的體積為2x；（4兀+J47t9兀+9TT）XV5—;x97tx>/j]=it,故A正確；

對(duì)于D：該平面圖形繞著直線6旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體為2個(gè)大圓錐挖去2個(gè)小圓錐,

其中大圓錐的底面半徑為4W=6，母線長(zhǎng)為40=26，高為OM=3,

小圓錐的底面半徑為力」“二百，母線長(zhǎng)為48=2,高為BM=1，

則a的表面積為2個(gè)大圓錐和2個(gè)小圓錐的側(cè)面積組成，

所以a的表面積為2x僅石乂6兀+26兀）=2、仲+26兀）=（12+46）兀，故D正確;

對(duì)于B：由D知Q的體積為P=2x（；x3兀x3-;x3兀X1）=4TC,故B正確.

JJ

對(duì)于C：該平面圖形繞著直線。旋轉(zhuǎn)半周，點(diǎn)力的運(yùn)動(dòng)軌跡為半徑為3的半圓，

該平面圖形繞著直線b旋轉(zhuǎn)半周，點(diǎn)力的運(yùn)動(dòng)軌跡為半徑為力的半圓，

所以經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)4所有的運(yùn)動(dòng)軌跡總長(zhǎng)為3兀+退兀=（3+6）冗，故C錯(cuò)誤;

故選:ABD.

12.4島

利用正弦定理求底面等邊三角形的外接圓半徑，結(jié)合正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征求半徑和體積.

【詳解】由題意可知：底面等邊三角形的外接圓半徑，?="二6,

2sin600

則外接球的半徑R=Jr+（何=V3，

所以該三棱柱的外接球的體積為:兀肥=46兀.

故答案為：4A/3TI.

由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出sin^+aj,再根據(jù)兩角差的余弦公式即可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)樗詀+白仔,均，

k2；4144

—（冗）5.（71）12

又cosa+-=—,所以sin-+a=—,

I4j1314J13

故cosa的值為llYl.

26

故答案為：述

26

14G4

33

本題可先根據(jù)切比雪夫多項(xiàng)式的定義求出4（，）,6（。,6（，）的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的相關(guān)公式化簡(jiǎn)計(jì)算

可得/（1）,先求乙（，），進(jìn)而化簡(jiǎn)計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】〃時(shí)，由6（cosx）=co<r,可得?（/）=，，

〃=2時(shí)，由鳥（8&￥）=852》=2儂2%-1,可得鳥（/）=2--1,

〃=3時(shí)，由（co&.t）=cos3x=cos（2x+x）=cos2xcos.r-sin2xsiru

=（2COS2X-1）cosx-2（1-cos2x）cosiv=4cos\r-3COSJT,

可得4?）=4廣_夕，

f（n\_sin。sin?sin。

E（cos。）4（cos。）g（cos0）4（cos0）[（cos。）

sin。sin。sin。

=III+III+I一I

（4cos*-3cos夕）（2cos2g-l）（2cos2^-l）cos^cos。

sin。sin"sin/?

=-----------------1-----------------1--------

cos36cos2。cos26cos。cos夕

_sin（36>-26>）sin（2夕一夕）sin?

cos30cos20cos20cos0cos。

sin3ecos28一cos3夕sin29sin2Aos。一cos20sin。sin。

=----------------------------------F------------------------------+-------

cos36cos2。cos26cos。cos。

=tan3^7-tan2/2+tan2^7-tan+tanZ2

=tan3。

所以/（M]=tan（3x']=tan2=3,

I18j63

2224

PA（cosx）=cos4.r=2cos2x-l=2（2cosx-I）-1=8cosx-8cos%+1,得與（/）=8〃-8/?+1.

由/（。）=tan3^=2,即3g_2,sin3。=2cos3。，

8s3。

結(jié)合sinDe+cosbOn1,可得cosbOn].

J

(6(cos9)十月(cosO))2二(2cos?0-l+8cos%.8cos2。+1產(chǎn)

cos?。?乙(cos。)cos*cos6。

_4cos20(4cos%-3cos0)2_4(cos30>_4cos230_5__4

COS2^(2COS23^-1)2cos-12cos23。-12x1-13

5

故答案為：孚；

15.嗚

⑵半

2

(1)由正弦定理得sin4cosc+sinCcos8=2sin4cos力，由4+〃+。=兀，求出cos力=；,由此求出角4.

(2)由余弦定理得(4)2=2?+d-2x2xcxcosg,從而。=3,由此能求出V/18C的面積.

【詳解】(1)由止弦定理化簡(jiǎn)bcosC+ccos8=2〃cos/Hy與：

sinScosC+sinCcos5=2siMcos4

由兩角和的正弦公式可得sin(8+C)=2siMcos力.

因?yàn)樵凇髁?c中，B+C=TI-A,則sin(8+C)=sin(4-4)=sirU,

所以sinJ=2sinJcos^,

因?yàn)樵聎(O,7t),所以2cos4=1,即cos月=g,

又因?yàn)榱Α?0,兀)，所以力=］.

(2)已知a=J7,b=2,J=y,根據(jù)余弦定理代入可得：

(V^)2=22+c2-2x2xcxcosj,化簡(jiǎn)可得d一2c—3=0,

解得c=3或c=-l(舍)

根據(jù)三角形面積公式可得S」x2x3xsin巴=」2x3x包=也.

23222

16.(l)/(x)=2sin^2x+yj

八兀］「

(2)［。，利5由1E司71

(I)結(jié)合三角函數(shù)的圖像求參數(shù)的值即可得解；

(2)由三角函數(shù)圖像的平移和伸縮變換求出函數(shù)g(x)的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法即可.

【詳解】(1)由題圖得IT■:5器?！?71=171,

因?yàn)閞=兀，：.a)=1=2.

由/D=o'得'嗚兀5+3=0,

3

所以:兀+0=24兀，％cZ,解得。=24兀一:兀，Z:eZ.

又因?yàn)榧?lt;5,當(dāng)上=1時(shí)，年=三.

乂由/(0)=百，得力sine=>/5,A=2.

故/(x)=2sin(2x+g).

(2)將/(x)=2sin(2x+W)的圖像向右平移三個(gè)單位,

得到y(tǒng)=2sin[2(x=2sin(2x5的圖像，

再將得到的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的;，縱坐標(biāo)不變,

得到g(x)=2sin(4x-的圖像.

Fh2An-y<4x-y<2A7r+|,keZ,得與域<%考+稱(，wZ),

當(dāng)上=0時(shí)，當(dāng)A=1時(shí)，粵

24242424

因?yàn)閤e0微，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0卷上的單調(diào)遞增區(qū)間為。,工1E71

~2492

0,^1,x=$時(shí)，/(X)取得最大值;

k3；6

(1)求出力。、OR、。力關(guān)于x的表達(dá)式,利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)/(x)的表達(dá)式即可,并寫出該函數(shù)

的定義域，由可求出2x+$的取值范圍，由正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得/(4)的最大值及其對(duì)應(yīng)

13，6

的工值;

(2)由可求出2x+5的取值范圍，由/(x)22—邁可得出sin(2x+四］之正，可得出2x+?的

12)6八，3{6}26

取值范圍，解之即可.

【詳解】(1)根據(jù)題意可知4。=8c=2sinx,O8=2cosx,Q力=拽sinx,

33

(2出1

所以/(x)=48.4。=(08—。4><￡)=2cosx-J：1^—sinx-2sinx,

c.r2石c2百

整理得/(x)=4cosxsinx--sin2x=2sin2x+—(cos2x-l)=2sin2x+---cos2x-----

3333

即/⑴=￥疝,+升孚”(0,卦

所以2x+?e但,鄉(xiāng)，顯然2x+?=g時(shí)，/(“取得最大值，此時(shí)x=g

o\obJo26

(2)由/(x)=----sin2x+------>2------,可得sin2x+—>——，

3\6/331612

因?yàn)?x+*C，出，所以92"9斗，解得白廣蕓，

6V66J363124

即不等式/(x)N2-乎的解集為會(huì).

18.⑴力=1

3

(2)x+^=-

4

⑶李

(1)根據(jù)題意利用面積公式和余弦定理化簡(jiǎn)得到石sin/=cos/+l,求出4-￡=可得力=5；

663

(2)由三點(diǎn)共線得到而=沅+■?私五57=華祀+(1-〃)而，從而得到方程組，求出

夭=：1,〃3==,x=：1,)，1=：,得到答案；

2442

(3)由重心定義得到左=：(而+衣),進(jìn)而求出而=-：而+:充.根據(jù)三角形面積公式得到

—]—1—

bc=4,6歷=-348+：4。兩邊平方，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.

126

【詳解】(1)因?yàn)?+4VJs=，則4>/5x；bcsin力=〃+(?—/+2加，

可得Gsin)=〃+廠—/+1,

2bc

(冗、]

則右sin4=cos/f+l,可得sinA--=-,

/q\

又因?yàn)榱(0,兀)，則力一~~Z~T，

6I66)

則從一$二J，所以力二三；

663

(2)由題意可得：AE=^AC,AD=^-AB,

，乙

.1—2—-

由。、必、C三點(diǎn)共線得而=4元+(1-2)而=2祝+一荔，

由5、M、E三點(diǎn)共線可得標(biāo)=〃荏+(1-〃)方=華正+(1-0窈,

\2[,1

2=—//X=—

1