23.1.2平行線分線段成比例（難點練）一、單選題1．如圖，四邊形中，，，，為的中點，為線段上的點，且，則點到邊的距離是（）A．3 B． C．4 D．2．（2020·陜西九年級）如圖，在矩形ABCD中，∠CBN的正弦值等于，BN與CD交于點N，∠BND的平分線NM與AD交于點M，若CD＝7，DM＝2AM，則AD的長為（）A． B． C．8 D．9二、填空題3．（2020·浙江溫州·九年級期中）如圖，在矩形中，，．連接，的角平分線交于點E，現(xiàn)把繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的為．當(dāng)射線和射線都與線段相交時，設(shè)交點分別為F，G．若為等腰三角形，則線段長為______．4．（2021·黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點A與y軸交于點B，點O為坐標(biāo)原點，C1為AB中點，過C1作C1A1⊥OA于點A1，連接OC1，△OA1C1面積記為S1；C2為AC1中點，過C2作C2A2⊥OA于點A2，連接OC2，△OA2C2面積記為S2；C3為AC2中點，過C3作C3A3⊥OA于點A3，連接OC3，△OA3C3面積記為S3……以此類推，面積為S2021為_____________．5．（2020·天津和平·九年級）如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線BD上一點，連接AE，將DE繞D點逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°到DF，連接BF，交DC于點G，若DG=3，CG=2，則線段AE的長為__．6．（2020·安徽淮南·）如圖，在中，和的平分線相交于點，過點作交于點，交于點，交于點，連接．給出以下四個結(jié)論：①若，；②；③平分；④若，，則．其中正確的有________．(把所有正確結(jié)論的序號都選上)7．（2020·浙江溫州·九年級期末）圖1是我校聞瀾閣前樓梯原設(shè)計稿的側(cè)面圖，，，樓梯的坡比為1：,為了增加樓梯的舒適度，將其改造成如圖2，測量得，為的中點，過點分別作交的角平分線于點，交于點，其中和為樓梯，為平地，則平地的長度為_________8．（2020·哈爾濱市第四十九中學(xué)校九年級學(xué)業(yè)考試）如圖，在中，，，是上一點，是延長線上一點，且點在線段的垂直平分線上，連接，若，，則_______．三、解答題9．（2020·吉林九年級）如圖，在?ABCD中，∠ABD=90°，AD=5，BD=3，點P從點A出發(fā)，沿折線AB-BC以每秒個單位長度的速度向終點C運動(點P不與點A、B、C重合)．在點P運動的過程中，過點P作AB所在直線的垂線．交邊AD或邊CD于點Q，以PQ為一邊作矩形PQMN，且QM=2．MN與BD在PQ的同側(cè)，設(shè)點P的運動時間為t(秒)，(1)當(dāng)t=5時，求線段CP的長；(2)求線段PQ的長(用含t的代數(shù)式表示)；(3)當(dāng)點M落在BD上時，求t的值；(4)當(dāng)矩形PQMN與?ABCD重疊部分圓形為五邊形時，直接寫出t的取值范圍．10．（2020·浙江）如圖1，已知正方形ABCD，AB＝4，以頂點B為直角頂點的等腰Rt△BEF繞點B旋轉(zhuǎn)，BE＝BF＝，連結(jié)AE，CF．（1）求證：△ABE≌△CBF．（2）如圖2，連結(jié)DE，當(dāng)DE＝BE時，求S△BCF的值．（3）如圖3，當(dāng)Rt△BEF旋轉(zhuǎn)到正方形ABCD外部，且線段AE與線段CF存在交點G時，若M是CD的中點，P是線段DG上的一個動點，當(dāng)滿足MP+PG的值最小時，求MP的值．11．（2021·吉林延邊·九年級）[感知]如圖①，在?ABCD中，點E為CD的中點，連接BE并延長交AD的延長線于點F．求證：點E是BF的中點，點D是AF的中點；[應(yīng)用]如圖②，在四邊形ABCD中，AD//BC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝3，點E是CD的中點，BE⊥CD，BE、AD的延長線相交于點F，則AF＝．[拓展]如圖③，在△ABC中，點D是AC的中點，點E是AB上一點，，BD，CE相交于點F，則＝．12．（2020·上饒市廣信區(qū)第七中學(xué)九年級月考）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．（1）特殊情形：如圖1，當(dāng)DE∥BC時，有DBEC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）發(fā)現(xiàn)探究：若將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）到圖2位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展運用：如圖3，P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數(shù)．13．如圖1，E是正方形ABCD邊AB上的一點，連接BD、DE，將∠BDE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90o，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G．（1）探究線段BE、BF和DB之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并給出證明；（2）當(dāng)四邊形ABCD為菱形，∠ADC=60o，點E是菱形ABCD邊AB所在直線上的一點，連接BD、DE，將∠BDE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120o，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G．①如圖2，點E在線段AB上時，請?zhí)骄烤€段BE、BF和BD之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并給出證明；②如圖3，點E在線段AB的延長線上時，DE交射線BC于點M．若BE=1，AB=2，直接寫出線段GM的長度．14．（2020·山西）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀(jì)時的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書籍．梅涅勞斯發(fā)現(xiàn)，三角形各邊（或其延長線）被一條不過任何一個頂點也不與任何一條邊平行的直線所截，這條直線可能與三角形的兩條邊相交（一定還會與一條邊的延長線相交），也可能與三條邊都不相交（與三條邊的延長線都相交）．他進行了深入研究并證明了著名的梅涅勞斯定理（簡稱梅氏定理）：設(shè)D，E，F(xiàn)依次是△ABC的三邊AB，BC，CA或其延長線上的點，且這三點共線，則滿足．這個定理的證明步驟如下：情況①：如圖1，直線DE交△ABC的邊AB于點D，交邊AC于點F，交邊BC的延長線與點E．過點C作CM∥DE交AB于點M，則，（依據(jù)），∴＝，∴BE?AD?FC＝BD?AF?EC，即．情況②：如圖2，直線DE分別交△ABC的邊BA，BC，CA的延長線于點D，E，F(xiàn)．…（1）情況①中的依據(jù)指：；（2）請你根據(jù)情況①的證明思路完成情況②的證明；（3）如圖3，D，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，AC上的點，且AD:DB＝CF:FA＝2:3，連接DF并延長，交BC的延長線于點E，那么BE:CE＝．15．（2020·安徽蚌埠市·九年級）如圖（1），已知：在菱形中，點分別在邊上，分別交于點（1）求證：；（2）連接，如圖（2），當(dāng)時，①求證：；②若菱形的邊長為2，求的長．16．（2020·安徽安慶·九年級）如圖（1），已知正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，BE=DF，AE、AF分別交BD于點G、H．（1）求證：BG=DH；（2）連接FE，如圖（2），當(dāng)EF=BG時．①求證：AD?AH=AF?DF；②直接寫出的比值．17．（2020·吉林九年級）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．D為邊BC上一點，且BD＝2CD，過點D作DEAC交AB于點E，過點E作EFBC交AC于點F．動點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)，均以2cm/s的速度勻速運動．點P沿折線AF﹣FE﹣ED向終點D運動，點Q沿BA向終點A運動．過點P作PM⊥AC交AB于點M，以PM與QM為邊作?PMQN．設(shè)點P的運動時間為t（s），矩形CDEF與?PMQN重疊部分圖形的面積為S（cm2）（1）DE的長為；（2）連結(jié)PQ，當(dāng)PQBC時，求t的值；（3）在點Q從點B運動到點E的過程中，當(dāng)四邊形CDEF與?PMQN重疊部分圖形是三角形時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）設(shè)PN與邊DE的交點為G，連結(jié)FG，當(dāng)點E在FG的垂直平分線上時，直接寫出t的值．18．（2020·海南九年級）如圖，四邊形ABCD是邊長為10的菱形，BE⊥AD于點E，AE=6，且BE交對角線AC于F，連接DF，點P是DC上一點，BP交AC于M．（1）求證：△ABF≌△ADF；（2）如圖1，若P為CD中點,求的值；（3）如圖2，若S△BFM＝S△CPM，求PC，并直接判斷BP與CD是否垂直（不必說明理由）．19．（2020·江蘇省天一中學(xué)）（1）①發(fā)現(xiàn)：如圖1，G是ABC的重心，連結(jié)BG，CG，并分別延長BG，CG，交AC，BA于D，E連結(jié)DE，則DE與BC的位置關(guān)系是；②證明：如圖2，AF是△ABC的中線，P是AF上任一點，連結(jié)BP，CP，并分別延長交AC，BA于D，E，連結(jié)DE，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明你的結(jié)論，如果不成立，請說明理由．（2）應(yīng)用：用無刻度直尺根據(jù)要求作圖：如圖3，M是□ABCD邊CD上一定點，（?。┰贏B邊上作一點N，使AN=CM，（ⅱ）如圖4中，BA的延長線上作一點Q，使AQ=CM．20．（2021·河南）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目．在等邊三角形中，點E在上，點D在的延長線上，且，如圖，試確定線段與的大小關(guān)系，并說明理由．小敏與同桌小聰討論