第09講圓心角與圓周角（1大知識點+9大典例+變式訓(xùn)練+過關(guān)檢測）

B題型預(yù)覽

典型例題一圓心角概念辨析及簡單運算

典型例題二圓周角的概念辨析及簡單運算

典型例題三求圓弧的度數(shù)

典型例題四圓周角定理

典型例題五利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解

典型例題六利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證

典型例題七同弧或等弧所對的圓周角相等

典型例題八半圓（直徑）所對的圓周角是直角

典型例題九90度的圓周角所對的弦是直徑

展知識梳理

知識01圓周角

1.頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。

推論1：在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑。

（在同圓中，半弧所對的圓心角等于全弧所對的圓周角）

2.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦

相等，所對的弦的弦心距相等.

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們

所對應(yīng)的其余各組量分別相等.

3.一個四邊形的4個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓。

圓內(nèi)接四邊形定理：圓內(nèi)接四邊形的對角互補，一個外角等于其內(nèi)對角。

【即時訓(xùn)練】

1.（2024九年級上?浙江溫州?專題練習(xí)）下列圖形中的角是圓周角的是（）

【即時訓(xùn)練】

2.（2324九年級上?浙江溫州.課后作業(yè)）如圖，8C所對的圓周角是，C。所對的圓周角是

陋經(jīng)典例題

后【典型例題一圓心角概念辨析及簡單運算】

【例1】（2425九年級上?浙江紹興?期末）下列語句中不正確的有（）

①相等的圓心角所對的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線

都是它的對稱軸；④長度相等的兩條弧是等弧.

A.3個B.2個C.1個D.0個

【例2】（2025九年級?浙江溫州?專題練習(xí)）如圖所示，量角器的圓心O在矩形ABC。的邊上，直徑經(jīng)

過點C,則/OCB的度數(shù)為（）

D

A.30°B.40°C.50°D.60°

0變式訓(xùn)練

1.（2425九年級上?浙江溫州?期中）下列命題中，正確的是（）

①頂點在圓心的角是圓心角；②相等的圓心角，所對的弧也相等；③兩條弦相等，它們所對的弧也相等;

④在等圓中，圓心角不等，所對的弦也不等.

A.①和②B.①和③

C.①和④D.①、②、③、④

3.（2425九年級上?浙江衢州?期中）如圖是半徑為2的圓，

（1）在其中畫兩個不重疊的扇形AO8和扇形BOC,使扇形AOB的圓心角為120度，扇形8OC的圓心角

為90度，

（2）求第三個扇形AOC的面積.

以【典型例題二圓周角的概念辨析及簡單運算】

[例1]（2324九年級上.浙江麗水?階段練習(xí)）下列四個命題中不正確的是（）

A.直徑是弦B.三角形的外心到三角形三個頂點的距離都相等

C.頂點在圓周上的角是圓周角D.半徑相等的兩個半圓是等弧

【例3】（2425九年級?浙江溫州?課后作業(yè)）頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做

圓周角的特征：①頂點在___上；②兩邊都和圓.

A.4B.273C.2D.0

3.（2025?浙江杭州?模擬預(yù)測）把下面的語句還原成圖形:

作圖區(qū)域:

后【典型例題三求圓弧的度數(shù)】

【例1】（2425九年級上?浙江紹興?期末）如圖，圓心角/4。8=25。，將弧A8旋轉(zhuǎn)相得到弧CD貝ijNC。。

等于（）

A.25°B.25。+廢C.50°D.50。+廢

1例21（2425九年級上?浙江溫州?期中）如圖，已知。O的半徑為3,弦AB、CD所對的圓心角分別是NAOB、

ZCOD,若NAOB與NCOD互補，弦CD=4,則弦AB的長為（）

D

A"B

DB

【例4】（2324九年級上?浙江嘉興?階段練習(xí)）把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開，圖中的虛

線表示折痕，則弧8C的度數(shù)是

0變式訓(xùn)練

1.（2025?浙江溫州?模擬預(yù)測）如圖，將大小不同的兩塊量角器的零度線對齊，且小量角器的中心。2恰好在大

量角器的圓周上，設(shè)圖中兩圓周的交點為P.且點。在小量角器上對應(yīng)的刻度為63。,那么點尸在大量角器上對

應(yīng)的刻度為（只考慮小于90°的角）（）

P

??

14

A.54°B.55°C.56°D.57°

2.（2425九年級上?浙江紹興?階段練習(xí)）如圖，在以AB為直徑的半圓中，AD=2B，CDXAB,EF±AB,

CD=CF=1,則以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是

AcoFB

圖甲圖乙

【典型例題四圓周角定理】

48°C.56°D.60°

45°C.60°D.90°

圖1

0變式訓(xùn)練

1.（2025?湖北恩施?模擬預(yù)測）如圖，在。中，弦A3與弦互相垂直,則N1與N2的大小關(guān)系為（）

忙

MB

OO

金圖1全圖2

DD

圖1圖2

（1）如圖1,若AF過圓心。，求的度數(shù)；

國【典型例題五利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解】

A.10°B.40°C.50°D.60°

A

C

'O

【例4】（2425九年級上?浙江麗水?期末）有學(xué)者研究表明，我國古代制作銅鏡背面花紋時，所采用的四等

分圓周的一種方法是：如圖所示，先由圓心畫出圓的一條直徑，再用“矩”（一種直角曲尺，可以畫直角）過

圓心垂直于第一條直徑畫出第二條直徑，則這兩條直徑的四個端點將圓周四等分.請用你學(xué)過的一個定理

解釋這種四等分圓周的方法的道理:

0變式訓(xùn)練

3.（2425九年級上?浙江杭州?期末）小濱和小江在研究與圓有關(guān)的問題時發(fā)現(xiàn)：“在同圓或等圓中，如果兩

個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各對量都相等.“進一步

思考后，兩位同學(xué)提出了這樣的想法：這四對量中，如果有一對量存在倍數(shù)關(guān)系，其余三對量是否也會相

應(yīng)的存在倍數(shù)關(guān)系？因此，在如圖所示的。。中，他們提出了如下猜想：

請判斷小濱、小江所提的猜想是否正確，并說明理由.

AC

O

以【典型例題六利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證】

【例2】（2425九年級上?遼寧盤錦?階段練習(xí)）結(jié)合各自對應(yīng)圖形，給出的相應(yīng)推理中，其中正確的是（）

(1)(2)(3)(4)

A.(1)(2)B.(3)(4)C.(1)(3)D.(2)(4)

【例3】（2425九年級上?上海靜安?課后作業(yè)）120。的圓心角是360。的分之一，它所對的弧是相應(yīng)圓周

長的分之一.

0變式訓(xùn)練

3.(2425九年級上?河南鄭州?期末)在《圓的對稱性》一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了“圓心角、弧、弦之間的關(guān)系：在

同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別

相等”.

實際上我們還可以得到“圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系”如下：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩

條弧、兩條弦、兩弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.

請直接運用圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系解答下列問題：

(2)若角的頂點尸在圓上或圓內(nèi)，上述結(jié)論是否成立？若不成立，請說明理由；若成立，請加以證明.

后【典型例題七同弧或等弧所對的圓周角相等】

C.52°D.62°

A.25°B.23°C.22°D.20°

0變式訓(xùn)練

c

3.（2425九年級上?福建莆田?期中）規(guī)定：將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋

圓.例如線段A3的最小覆蓋圓就是以線段48為直徑的圓，圖1是銳角三角形和鈍角三角形的最小覆蓋圓.

如圖2,要在四個村莊E,F,G,H修建一個電視信號中轉(zhuǎn)站，為了使這四個村莊的居民都能接收到電

視信號，且使中轉(zhuǎn)站所需發(fā)射功率最?。ň嚯x越小，所需功率越小），請用尺規(guī)在圖上作出中轉(zhuǎn)站所建位置，

請簡要說明理由.

醫(yī)【典型例題八半圓（直徑）所對的圓周角是直角】

【例1】（2025?河北邯鄲?模擬預(yù)測）一張直徑為10的半圓形卡紙，過直徑的兩端點剪掉一個三角形，以下

四種裁剪圖中，所標數(shù)據(jù)長度合理的是（）

0變式訓(xùn)練

1.（2425九年級上?云南玉溪?期中）下列說法正確的是（）

A,直徑是弦，反之弦也是直徑B.長度相等的弧是等弧

C.直徑所對的圓周角等于90°D.過圓心的線段是直徑

（1）求證：E為AC的中點.

⑵若A3=13,AC=12,求DE的長.

陰【典型例題九90度的圓周角所對的弦是直徑】

C.50°D.30°

0變式訓(xùn)練

1.（2425九年級上?河北唐山?期末）下列圖形中的線段是圓的直徑的是（）

BB

3.（2324九年級上.江西贛州.期末）下面是證明定理的兩種方法，請完成證明過程,（兩種都要寫）

罌過關(guān)檢測

1.（2324九年級上.浙江溫州?課后作業(yè)）如圖，在圖中標出的4個角中，圓周角有（)

B.2個C.3個D.4個

2.（2425九年級上?浙江麗水?期末）如圖，在。0中，點A、B、C、D分別在圓上，則圖中弧的條數(shù)是（)

C.9條D.8條

C.60°D.65°

C.①②③D.①②