專題09二次函數(shù)圖像與幾何變換

1.（2021?蘇州中考）已知拋物線尸的對(duì)稱軸在），軸右側(cè)，現(xiàn)將該拋物線先向右

平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線正好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則々

的值是（）

A.-5或2B.-5C.2D.-2

解：丁拋物線），=/+七一爐的對(duì)稱軸在1y軸右側(cè)，

.??x=-K>o,

2

"VO.

2

???拋物線+依-F=（x+5）2.

???將該拋物線先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線的

2

表達(dá)式是：y=（x+--3）2-5k+1，

24

2

???將（0,0）代入，得0=（0+K-3）2-&_+1,

24

解得ki=2（舍去），用=?5.

答案：B.

2.（2020?陜西中考）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線丁="?7+2?〃與y=-6『-2x+〃?

?〃關(guān)于％軸對(duì)稱，則〃?，〃的值為（）

A.m=-6,〃=-3B.m=-6,n=3C.，〃=6,n=-3D.，〃=6,n=3

解：,拋物線），=〃屋+〃_〃與）,=-6/-2x+m-〃關(guān)于x軸對(duì)稱，

:.-y=~"tv2-2x+n,

...），=-nix^-2x+n與y=-67-2x+/〃-〃相同，

/."m=-6,n=m-八,

解得機(jī)=6,〃=3,

答案：D.

3.（2021?資陽(yáng)模擬）如圖是函數(shù)），=f?2x?3（0?）的圖象，直線/〃八?軸且過(guò)點(diǎn)（0,

機(jī)），將該函數(shù)在直線/上方的圖象沿直線/向下翻折，在直線/下方的圖象保持不變，得

到一個(gè)新圖象.若新圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最大值與最小值之差不大于5,則〃？的取值范圍

是（）

A.〃彥1B.C.(X忘1D.旭2】或/nWO

解：如圖1所示，當(dāng)陽(yáng)等于0時(shí)，

??j，=(x-1)2-4,

.?.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4),

當(dāng)x=O時(shí)，y=-3,

???A(0,-3),

當(dāng)x=4時(shí)，y=5,

:.C(4,5),

,當(dāng)m=0時(shí)，

D(4,-5),

???此時(shí)最大值為0,最小值為-5；

如圖2所示，當(dāng)/〃=1時(shí)，

此時(shí)最小值為-4,最大值為1,

當(dāng)1V〃?V5時(shí)，最大值與最小值之差大于5,不合題意；

綜上所述：OWmWl,

答案；C.

4.(2021?茂名模擬)如圖，把拋物線)=/與直線y=l圍成的圖形。48c繞原點(diǎn)。順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90°后，再沿x軸向右平移1個(gè)單位得到圖形OiMBCi，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.點(diǎn)S的坐標(biāo)是(1,0)

B.點(diǎn)。的坐標(biāo)是(2.-1)

C.四邊形山?是矩形

D.若連接OC,則梯形0C4Bi的面積是3

解：根據(jù)圖形可知：點(diǎn)。的坐標(biāo)是(0,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)是(I,1).

因?yàn)榘褣佄锞€)，=/與直線尸1圍成的圖形owe繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，再沿X

軸向右平移1個(gè)單位得到圖形OIAIBCI，所以點(diǎn)O,C繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，再

沿x軸向右平移1個(gè)單位得到點(diǎn)Oi的坐標(biāo)是(1,0),點(diǎn)Ci的坐標(biāo)是(2,-I),所以

選項(xiàng)4B正確.

根據(jù)點(diǎn)O(0,0),B(0,I),4(2,1),&(2,0)的坐標(biāo)可得：四邊形OBA\B\是

矩形，選項(xiàng)C正確.

根據(jù)點(diǎn)O(0,0),C(1,1),Ai(2,1),&(2,0)的坐標(biāo)可得：梯形0。出的面

積等于工(1+2)X1=2^3,所以選項(xiàng)O錯(cuò)誤.

22

答案：。.

5.(2020?貴港中考)如圖，對(duì)于拋物線,尸-戶次+l,)2=-?+lv+l,.)3=-?+3x+l,給

出下列結(jié)論：

①這三條拋物線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,1)；②拋物線》的對(duì)稱軸可由拋物線yi的對(duì)稱軸向右

平移1個(gè)單位而得到：③這三條拋物線的頂點(diǎn)在同一條直線上；④這三條拋物線與直線)，

=1的交點(diǎn)中，相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等.其中正確結(jié)論的序號(hào)是一①②④.

解：①當(dāng)X=0時(shí)，分別代入拋物線產(chǎn)，”，)3，即可得V=”=)3=1；①正確;

上外段掃過(guò)的區(qū)域（陰影部分）的面積為12.

解：連接AP,A'P',過(guò)點(diǎn)4作4￡>_1_尸尸于點(diǎn)。，

由題意可得出:AP//A'P',AP=A'Pf,

???四邊形人尸P'/V是平行四邊形，

???拋物線的頂點(diǎn)為P（-2,2）,與y軸交于點(diǎn)4（0,3）,平移該拋物線使其頂點(diǎn)P沿

直線移動(dòng)到點(diǎn)P'（2,-2）,

?。=62+22=2亞，NAOP=45°,

又???AQJ_OP,

???ZXA。。是等腰直角三角形，

：.PPr=2班X2=WE

?"O=OO=sin45°?。4=返乂3=上叵

22

???拋物線上以段掃過(guò)的區(qū)域（陰影部分）的面積為:4后><乎=12.

8.（2021?大連模擬）如圖，拋物線），=7+必+~!與y軸相交于點(diǎn)4,與過(guò)點(diǎn)A平行于x軸的

直線相交于點(diǎn)8（點(diǎn)3在第一象限）.拋物線的頂點(diǎn)C在直線03上，對(duì)稱軸與x軸相交

于點(diǎn)。.平移拋物線，使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)4、。,則平移后的拋物線的解析式為「，=/-2+且.

2~2~

22

???拋物線的對(duì)稱軸為x=-上，直線08的解析式為），=-上■

22b

???拋物線的頂點(diǎn)C在宜線上，

.\y=—

4

???頂點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為』x9=a,

224

4X14

解得b\=3,b2=-3,

由圖可知，■bA）,

2X1

；?b<0,

：.b=-3,

???對(duì)稱軸為直線x=-二^-=3,

2X12

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（S,0）,

2

設(shè)平移后的拋物線的解析式為），=，+利什6

9

n至

q2

--^m+n=0

9

解得，

9

n至

99

所以，y=f-v+

22

答案：），=?■當(dāng)+9.

22

9.（2021?荷澤模擬）如圖，一段拋物線：y=-x（x-2）（0<xW2）記為Ci,它與工軸交

于兩點(diǎn)O,4；將G繞4旋轉(zhuǎn)180°得到Q,交x軸于42；將。2繞斗2旋轉(zhuǎn)180°得

到。3,交X軸于A3；…如此進(jìn)行下去，直至得到C6,若點(diǎn)尸（11,〃?）在第6段拋物線

解：???)，=-X(X-2)(0WxW2),

???配方可得y=-(x-1)2+1(0WxW2),

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),

???4坐標(biāo)為（2,0）

???。2由。旋轉(zhuǎn)得到，

???04=442,即C2頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-1）,A2（4,0）；

照此類推可得，C3頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5,1）,A3（6,0）；

。4頂點(diǎn)坐標(biāo)為（7,-1）,4（8,0）；

。5頂點(diǎn)坐標(biāo)為（9,1）,A5（10,0）；

。6頂點(diǎn)坐標(biāo)為（U，-I）,A6（12,0）：

tn=-I.

答案：7.

10.（2021?湖州模擬）如圖，已知拋物線C1：尸4]/+皿+°]和。2：），=44+8”+C2都經(jīng)過(guò)

原點(diǎn)，頂點(diǎn)分別為4,B,與x軸的另一交點(diǎn)分別為M,N,如果點(diǎn)A與點(diǎn)8,點(diǎn)M與點(diǎn)

N都關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，則稱拋物線Ci和C2為姐妹拋物線，請(qǐng)你寫(xiě)出一對(duì)姮妹拋

物線Ci和C2,使四邊形ANBM恰好是矩形，你所寫(xiě)的一對(duì)拋物線解析式是

42+201和（答案不唯）.

根據(jù)姐妹拋物線的定義，可得姐妹拋物線的二次項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)相等

且不等于零，常數(shù)項(xiàng)都是零，

設(shè)拋物線Cl的解析式為+尿，

根據(jù)四邊形4N8M恰好是矩形可得：OA=OM,

*：OA=MA,

???△AOM是等邊三角形，

設(shè)OM=2,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1,加），

則嚴(yán)+b,

l0=4a+2b

解得:產(chǎn)一中

|b=2V3

則拋物線Ci的解析式為）=-?*+2心，

拋物線C2的解析式為

答案：y=-y=V3'*2+2V3v（答案不唯一）.

11.（2021?荊州中考）小愛(ài)同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對(duì)函數(shù)了=?（園?1）2進(jìn)行了探究.在

經(jīng)歷列表、描點(diǎn)、連線步驟后，得到如圖的函數(shù)圖象.請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問(wèn)題:

（1）觀察探究：

①寫(xiě)出該函數(shù)的一?條性質(zhì)：函數(shù)圖象關(guān)于V軸對(duì)稱：

②方程-（園-1）2=-I的解為：犬=-2或^=0或5=2；

③若方程-（國(guó)-1）2=。有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則”的取值范圍是-IVaVO.

（2）延伸思考：

將函數(shù)），=-（H-l）2的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移可得到函數(shù)8=-（卜-251）2+3的圖

象？寫(xiě)出平移過(guò)程，并直接寫(xiě)出當(dāng)2V），iW3時(shí)，自變量x的取值范圍.

解：（1）觀察探究：

①該函數(shù)的一條性質(zhì)為：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

②方程?（園?1）2=-I的解為：x=-2或x=O或x=2：

③若方程-（H-I）2=4有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則〃的取值范圍是-1<4<0.

答案：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；％=-2或x=O或x=2；-1<?<O.

（2）將函數(shù)），=-（W-1）2的圖象向右平移2個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位可得到函數(shù)

川=-（|A-2|-1）2+3的圖象,

當(dāng)2V,，］W3時(shí)，自變量x的取值范圍是0VxV4且xW2.

-6--

12.(2020?安徽中考)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(1,2),B(2,3),C(2,1〕，直

線y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,拋物線y=a*+公+1恰好經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)中的兩點(diǎn).

(1)判斷點(diǎn)4是否在直線)，=x+〃?上，并說(shuō)明理由；

(2)求小。的值；

(3)平移拋物線juad+Zu+l,使其頂點(diǎn)仍在直線)，=x+〃?上，求平移后所得拋物線與y

軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值.

解：(I)點(diǎn)B是在直線y=x+〃?上，理由如下：

,:直線y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2),

/.2=14-/72,解得〃2=1,

??直線為y=x+1,

把x=2代入y=x+1得)=3,

???點(diǎn)3(2,3)在直線)，=1+，〃上；

(2)..?直線y=x+l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,3),直線y=x+l與拋物線y=a/+/?x+l都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,

1),點(diǎn)(0,1),4(1.2),B(2.3)在直線上，點(diǎn)(0.1),A(1.2)在拋物線上，

直線與拋物線不可能有三個(gè)交點(diǎn)，

YB(2,3),C(2,1)