專題04五大類概率與統(tǒng)計(jì)題型-2024年高考數(shù)學(xué)大

題秒殺技巧及專項(xiàng)訓(xùn)練(原卷版)

c高考大題題型歸納金

【題型1獨(dú)立性檢驗(yàn)問題】

【題型2線性回歸及非線性回歸問題】

【題型3超幾何分布問題】

【題型4二項(xiàng)分布問題】

【題型5正態(tài)分布問題】

獨(dú)立性檢驗(yàn)問題

模型一分層抽樣

一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一

定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣。分層抽

樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的。

注：①求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算.

②已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進(jìn)

行計(jì)算.

③分層抽樣的計(jì)算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比=藐募=縫稼建”

模型二頻率分布直方圖

(1)頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法

―頻率

嚙■X組距=頻率.

頻數(shù)頻數(shù)

②樣,究量=頻率,蠡=樣本容量，樣本容量X頻率=頻數(shù).

③頻率分布直方圖中各個(gè)小方形的面積總和等于1.

頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計(jì)算

(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).

(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.設(shè)中位數(shù)為x,利用x左(右)側(cè)

矩形面積之和等于0.5,即可求出x.

(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以

小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，即有［=±P|+WP|+-+X“p”，其中x“為每個(gè)小長方形底

邊的中點(diǎn)，p”為每個(gè)小長方形的面積.

模型四獨(dú)立性檢驗(yàn)

(1)定義：利用獨(dú)立性假設(shè)、隨機(jī)變量K?來確定是否有一定把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)

系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn).

(2)公式：K2=------"一3------,其中〃=q+^+c+d為樣本容量.

(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體步驟如下：

①計(jì)算隨機(jī)變量K?的觀測值上，查下表確定臨界值照：

P(K0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

②如果％2亳，就推斷“X與y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過？(爛2石)；否則,

就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過p(K2＞發(fā))的前提下不能推斷“X與y有關(guān)系”.

注意：算出的k2在那個(gè)區(qū)間內(nèi)，從而求出ko在那個(gè)區(qū)間

模型演煉

4月15日是全民國家安全教育日.以人民安全為宗旨也是“總體國家安全觀”的核心價(jià)值.只

有人人參與，人人負(fù)責(zé)，國家安全才能真正獲得巨大的人民性基礎(chǔ)，作為知識(shí)群體的青年

學(xué)生，是強(qiáng)國富民的中堅(jiān)力量，他們的國家安全意識(shí)取向?qū)野踩葹橹匾?某校社團(tuán)隨

機(jī)抽取了600名學(xué)生，發(fā)放調(diào)查問卷600份（答卷卷面滿分100分）.回收有效答卷560份，

其中男生答卷240份，女生答卷320份.有效答卷中75分及以上的男生答卷80份，女生答

卷80份，其余答卷得分都在10分至74分之間.同時(shí)根據(jù)560份有效答卷的分?jǐn)?shù)，繪制了

如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求頻率分布直方圖中相的值，并求出這560份有效答卷得分的中位數(shù)和平均數(shù)”（同一

組數(shù)據(jù)用該組中點(diǎn)值代替）.

（2）如果把75分及以上稱為對國家安全知識(shí)高敏感人群，74分及以下稱為低敏感人群，請根

據(jù)上述數(shù)據(jù)，完成下面2x2列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生性別與國家安全知

識(shí)敏感度有關(guān).

高敏感低敏感總計(jì)

男生80

女生80

總計(jì)560

附：獨(dú)立性力臉驗(yàn)臨界值表

尸（K2"。）0.10.050.010.0050.001

K22.7063.8416.6357.87910.828

公式：K-=其中n-a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)'

模型演煉

某市閱讀研究小組為了解該城市中學(xué)生閱讀與語文成績的關(guān)系，在參加市中學(xué)生語文綜合

能力競賽的各校學(xué)生中隨機(jī)抽取了500人進(jìn)行調(diào)查，并按學(xué)生成績是否高于75分(滿分100

分)及周平均閱讀時(shí)間是否少于10小時(shí)，將調(diào)查結(jié)果整理成列聯(lián)表.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)出成績不低于

75分的樣本占樣本總數(shù)的30%,周平均閱讀時(shí)間少于10小時(shí)的人數(shù)占樣本總數(shù)的一半，而

不低于75分且周平均閱讀時(shí)間不少于10小時(shí)的樣本有100人.

周平均閱讀時(shí)間少于10小時(shí)周平均閱讀時(shí)間不少于10小時(shí)合計(jì)

75分以下S

不低于75分t100

合計(jì)500

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出表格中s和r的值，并分析能否有99.9%以上的把握認(rèn)為語文成績與

閱讀時(shí)間是否有關(guān)；

(2)先從成績不低于75分的樣本中按周平均閱讀時(shí)間是否少于10小時(shí)分層抽樣抽取9人進(jìn)

一步做問卷調(diào)查，然后從這9人中再隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，記抽取3人中周平均閱讀時(shí)間

不少于10小時(shí)的人數(shù)為X,求X的分布列與均值.

n(ad-bc)2

參考公式及數(shù)據(jù)：z2=n=a+b+c+d.

(Q+b)(c+d)(4+c)(Z?+d)'

a0.010.0050.001

%6.6357.87910.828

02°NEFINEDA」「

專項(xiàng)滿分必刷

1.某校在課外活動(dòng)期間設(shè)置了文化藝術(shù)類活動(dòng)和體育鍛煉類活動(dòng)，為了解學(xué)生對這兩類活

動(dòng)的參與情況，統(tǒng)計(jì)了如下數(shù)據(jù)：

文化藝術(shù)類體育鍛煉類合計(jì)

男100300400

女50100150

合計(jì)150400550

(1)通過計(jì)算判斷，有沒有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān)系？

(2)為收集學(xué)生對課外活動(dòng)建議，在參加文化藝術(shù)類活動(dòng)的學(xué)生中按性別用分層抽樣的方法

抽取了6名同學(xué).若在這6名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名，求所抽取的2名同學(xué)中至少有1名女生的

概率.

附表及公式:

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

其中片=_______一—___________,

n=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(o+c)(b+d)

2.軟筆書法又稱中國書法，是我國的國粹之一，琴棋書畫中的“書”指的正是書法.作為我國

的獨(dú)有藝術(shù)，軟筆書法不僅能夠陶冶情操，培養(yǎng)孩子對藝術(shù)的審美還能開發(fā)孩子的智力，拓

展孩子的思維與手的靈活性，對孩子的身心健康發(fā)展起著重要的作用.近年來越來越多的家

長開始注重孩子的書法教育.某書法培訓(xùn)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了該機(jī)構(gòu)學(xué)習(xí)軟筆書法的學(xué)生人數(shù)(每人

只學(xué)習(xí)一種書體)，得到相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下:

書體楷書行書草書隸書篆書

人數(shù)2416102010

(1)該培訓(xùn)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了某周學(xué)生軟筆書法作業(yè)完成情況，得到下表，其中。460.

認(rèn)真完成不認(rèn)真完成總計(jì)

a

男生a

女生

總計(jì)60

若根據(jù)小概率值a=0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)可以認(rèn)為該周學(xué)生是否認(rèn)真完成作業(yè)與性別有關(guān)，求

該培訓(xùn)機(jī)構(gòu)學(xué)習(xí)軟筆書法的女生的人數(shù).

(2)現(xiàn)從學(xué)習(xí)楷書與行書的學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽

取4人，記4人中學(xué)習(xí)行書的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

n^ad-bc^2

參考公式及數(shù)據(jù)：/=n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.01

Xa2.7063.8416.635

3.甲、乙兩醫(yī)院到某醫(yī)科大學(xué)實(shí)施“小小醫(yī)生計(jì)劃”，即通過對畢業(yè)生進(jìn)行筆試，面試，模

擬診斷這3項(xiàng)程序后直接簽約一批畢業(yè)生，已知3項(xiàng)程序分別由3個(gè)部門獨(dú)立依次考核，且

互不影響，當(dāng)3項(xiàng)程序全部通過即可簽約.假設(shè)該?？谇会t(yī)學(xué)系170名畢業(yè)生參加甲醫(yī)院的

“小小醫(yī)生計(jì)戈「'的具體情況如下表(不存在通過3項(xiàng)程序考核后放棄簽約的現(xiàn)象).

性別參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)合計(jì)

男生582785

女生424385

合計(jì)10070170

⑴判斷是否有95%的把握認(rèn)為這170名畢業(yè)生參加甲醫(yī)院的“小小醫(yī)生計(jì)劃”能否簽約與性

別有關(guān)；

(2)該校口腔醫(yī)學(xué)系準(zhǔn)備從專業(yè)成績排名前5名的畢業(yè)生中隨機(jī)挑選2人去參加乙醫(yī)院的考

核，求專業(yè)排名第一的小華同學(xué)被選中的概率.

參考公式與臨界值表：=n=a+b+c+d.

P（K2>k）0.1000.0500.0250.010

k2.7063.8415.0246.635

4.某大學(xué)保衛(wèi)處隨機(jī)抽取該校1000名大學(xué)生對該校學(xué)生進(jìn)出校園管理制度的態(tài)度進(jìn)行了問

卷調(diào)查，結(jié)果見下表：

男生(單位：人)女生(單位：人)總計(jì)

贊成400300700

不贊成100200300

總計(jì)5005001000

(1)根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該校大學(xué)生贊成學(xué)生進(jìn)出校園管理制度與學(xué)

生的性別是否有關(guān);

(2)為答謝參與問卷調(diào)查的同學(xué)，參與本次問卷調(diào)查的同學(xué)每人可以抽一次獎(jiǎng)，獲獎(jiǎng)結(jié)果及

概率如下：

獎(jiǎng)金(單位：元)01020

22]_

獲獎(jiǎng)概率

75

若甲、乙兩名同學(xué)準(zhǔn)備參加抽獎(jiǎng)，他們的獲獎(jiǎng)結(jié)果相互獨(dú)立，記兩人獲得獎(jiǎng)金的總金額為X

(單位：元)，求X的數(shù)學(xué)期望E(X).

2n(ad-be)一

附:,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'其中n-a+b+c+d.

a0.150.100.050.0100.001

Xa2.0722.7063.8416.63510.828

5.民航招飛是指普通高校飛行技術(shù)專業(yè)(本科)通過高考招收飛行學(xué)員，據(jù)統(tǒng)計(jì)某校高三

在校學(xué)生有1000人，其中男學(xué)生600人，女學(xué)生400人，男女各有100名學(xué)生有報(bào)名意向.

(1)完成給出的列聯(lián)表，并分別估計(jì)男、女學(xué)生有報(bào)名意向的概率；

有報(bào)名意向沒有報(bào)名意向合計(jì)

男學(xué)生

女學(xué)生

合計(jì)

(2)判斷是否有99%的把握認(rèn)為該校高三學(xué)生是否有報(bào)名意向與性別有關(guān).

2

附：K=--------"(ad-bc)-------,其中：n=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

尸（七次）0.100.050.0250.0100.001

k。2.7063.8415.0246.63510.828

6.“村超”是貴州省榕江縣舉辦的“和美鄉(xiāng)村足球超級聯(lián)賽”的簡稱.在2023年火爆“出圈”后，

“村超”熱度不減.2024年1月6日，萬眾矚目的2024年“村超”新賽季在“村味”十足的熱鬧中

拉開帷幕，一場由鄉(xiāng)村足球發(fā)起的“樂子”正轉(zhuǎn)化為鄉(xiāng)村振興的“路子”.為了解不同年齡的游客

對“村超”的滿意度，某組織進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取年齡超過35周歲和年齡不超過

35周歲各200人作為樣本，每位參與調(diào)查的游客都對“村超”給出滿意或不滿意的評價(jià).設(shè)事

件A="游客對“村超”滿意"，事件3="游客年齡不超過35周歲”，據(jù)統(tǒng)計(jì)，P（A|B）=|,

⑴根據(jù)已知條件，填寫下列2x2列聯(lián)表并說明理由;

滿意度

年齡合計(jì)

滿意不滿意

年齡不超過35周歲

年齡超過35周歲

合計(jì)

（2）由（1）中2x2列聯(lián)表數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值&=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為游客對“村超

的滿意度與年齡有關(guān)聯(lián)？

附：_______Mad_b*______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

7.某校在課外活動(dòng)期間設(shè)置了文化藝術(shù)類活動(dòng)和體育鍛煉類活動(dòng)，為了解學(xué)生對這兩類活

動(dòng)的參與情況，統(tǒng)計(jì)了如下數(shù)據(jù):

文化藝術(shù)類體育鍛煉類合計(jì)

男100300400

女50100150

合計(jì)150400550

(1)通過計(jì)算判斷，有沒有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生所選擇課外活動(dòng)的類別與性別有關(guān)系？

(2)“投壺”是中國古代宴飲時(shí)做的一種投擲游戲,也是一種禮儀.該校文化藝術(shù)類課外活動(dòng)中,

設(shè)置了一項(xiàng)“投壺”活動(dòng).已知甲、乙兩人參加投壺活動(dòng)，投中1只得1分，未投中不得分,

據(jù)以往數(shù)據(jù)，甲每只投中的概率為:，乙每只投中的概率為若甲、乙兩人各投2只，記

兩人所得分?jǐn)?shù)之和為九求看的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附表及公式:

尸—七)0.150.100.050.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

n(ad-be)2

其中K2=n-a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

8.隨著科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，科技創(chuàng)新型人才需求量增大，在2015年，國家開始大力推行科

技特長生招生扶持政策，教育部也出臺(tái)了《關(guān)于“十三五”期間全面深入推進(jìn)教育信息化工作

的指導(dǎo)意見(征求意見稿)》為選拔和培養(yǎng)科技創(chuàng)新型人才做好準(zhǔn)備.某調(diào)研機(jī)構(gòu)調(diào)查了

兩個(gè)參加國內(nèi)學(xué)科競賽的中學(xué)，從48兩個(gè)中學(xué)的參賽學(xué)員中隨機(jī)抽取了60人統(tǒng)計(jì)其參賽

獲獎(jiǎng)情況，并將結(jié)果整理如下：

未獲得區(qū)前三名及以上名次獲得區(qū)前三名及以上名次

A中學(xué)116

8中學(xué)349

⑴試判斷7芝否有90%的把握認(rèn)為獲得區(qū)前三名及以上名次與所在的學(xué)校有關(guān)？

(2)用分層抽樣的方法，從樣本中獲得區(qū)前三名及以上名次的學(xué)生中抽取5人，再從這5人

中任選3人進(jìn)行深度調(diào)研，求所選的3人中恰有2人來自B中學(xué)的概率.

附：片=訴聲記＞詢,其中〃=a+"c+d

2

P(K>k0)0.100.050.0250.010

k。2.7063.8415.0246.635

線性回歸及非線性回歸問題

模型一線性回歸

線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法.

對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（尤1，VI）,（X2，>2），…，（法,〉“），其回歸方程>=嬴+。

的求法為

E（占-尤）（%-y）Z七其一nxy

務(wù)=上匕----------=號(hào)---------

￡（N—x）222

^xt-nx

i=li=l

a=y-bx

—1n_in__

其中，x=—Yxz,y=—（x，y）稱為樣本點(diǎn)的中心.

ni=xni=x

模型二非線性回歸

建立非線性回歸模型的基本步驟

（1）確定研究對象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是預(yù)報(bào)變量;

（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非線性

關(guān)系）；

（3）由經(jīng)驗(yàn)確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比

例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)模型等）；

（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；

（5）按照公式計(jì)算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；

（6）消去新元，得到非線性回歸方程；

（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否

合適等.

模型演煉

2023年，國家不斷加大對科技創(chuàng)新的支持力度，極大鼓舞了企業(yè)投入研發(fā)的信心，增強(qiáng)了

企業(yè)的創(chuàng)新動(dòng)能.某企業(yè)在國家一系列優(yōu)惠政策的大力扶持下，通過技術(shù)革新和能力提升，

極大提升了企業(yè)的影響力和市場知名度，訂單數(shù)量節(jié)節(jié)攀升，右表為該企業(yè)今年1~4月份接

到的訂單數(shù)量.

月份f1234

訂單數(shù)量y（萬件）5.25.35.75.8

￡（占-初（％-力

附：相關(guān)系數(shù)，「=

回歸方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為

。￡（%-元）（%-歹）

b=^---------，a^y-bx,A/L3

Z=1

（1）試根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)廠的值判斷訂單數(shù)量y與月份r的線性相關(guān)性強(qiáng)弱（0.75S廠區(qū)1,則

認(rèn)為y與f的線性相關(guān)性較強(qiáng)，lr|<0.75,則認(rèn)為y與f的線性相關(guān)性較弱）.（結(jié)果保留兩位

小數(shù)）

（2）建立y關(guān)于f的線性回歸方程，并預(yù)測該企業(yè)5月份接到的訂單數(shù)量.

模型演煉

數(shù)據(jù)顯示中國車載音樂已步入快速發(fā)展期，隨著車載音樂的商業(yè)化模式進(jìn)一步完善，市場將

持續(xù)擴(kuò)大，下表為2018—2022年中國車載音樂市場規(guī)模（單位：十億元），其中年份

2018—2022對應(yīng)的代碼分別為1—5.

年份代碼X12345

車載音樂市場規(guī)模y2.83.97.312.017.0

(1)由上表數(shù)據(jù)知，可用指數(shù)函數(shù)模型y=擬合y與X的關(guān)系，請建立y關(guān)于X的回歸方

程(a,b的值精確到0.1)；

(2)綜合考慮2023年及2024年的經(jīng)濟(jì)環(huán)境及疫情等因素，某預(yù)測公司根據(jù)上述數(shù)據(jù)求得y

關(guān)于尤的回歸方程后，通過修正，把61.3作為2023年與2024年這兩年的年平均增長率，

請根據(jù)2022年中國車載音樂市場規(guī)模及修正后的年平均增長率預(yù)測2024年的中國車載音樂

市場規(guī)模.

參考數(shù)據(jù)：

5

工工跖

0.5240.472

Vi=l

1.9433.821.71.6

[5

其中匕=In%,v.

3i=l

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(%,%),(%,%)”??，(",,，匕)，其回歸直線￡=2+的的斜率和截距的

Z%匕-nu-v

最小二乘法估計(jì)公式分別為/=------,a=v-pu.

_nu

i=\

模型演煉

某新能源汽車公司對其產(chǎn)品研發(fā)投資額X(單位：百萬元)與其月銷售量y(單位：千輛)

的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下統(tǒng)計(jì)表和散點(diǎn)圖.

X12345

y0.691.611.792.082.20

月銷售量A

2.50-*

2.00-.

1.50-,

1.00-

0.50-?

O1234S產(chǎn)品研發(fā)投資額士

（1）通過分析散點(diǎn)圖的特征后，計(jì)劃用>=姑（桁+。）作為月銷售量>關(guān)于產(chǎn)品研發(fā)投資額x

的回歸分析模型，根據(jù)統(tǒng)計(jì)表和參考數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于龍的回歸方程；

（2）公司決策層預(yù)測當(dāng)投資額為11百萬元時(shí)，決定停止產(chǎn)品研發(fā)，轉(zhuǎn)為投資產(chǎn)品促銷.根據(jù)以

往的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)投資11百萬元進(jìn)行產(chǎn)品促銷后，月銷售量J的分布列為:

結(jié)合回歸方程和J的分布列，試問公司的決策是否合理.

￡（%一尤）37）ijX^-nx-y__

參考公式及參考數(shù)據(jù)：?=J-----——=-----—,§=ln7?1.95.

￡卜廠尤）一儲(chǔ)“I

1=11=1

y0.691.611.792.082.20

e,（保留整數(shù)）25689

02ONEFINEDAY

專項(xiàng)滿分必刷

1.某企業(yè)擬對某產(chǎn)品進(jìn)行科技升級，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技升級投入優(yōu)（萬元）

與科技升級直接收益y（萬元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

序號(hào)i234567

m234681013

y13223142505658

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，建立了y與機(jī)的兩個(gè)回歸模型：模型①：亍=41加+11.8；模型②：

y=21.3A/?2—14.4.

(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較模型①、②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高、更可

靠的模型；

(2)根據(jù)(1)選擇的模型，預(yù)測對該產(chǎn)品科技升級的投入為100萬元時(shí)的直接收益.

回歸模型模型①模型②

回歸方程5,=4.1m+11.8夕=21.3冊'-14.4

7

￡)2182.479.2

Z=1

1

y(yt—

(附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)笈=1-口—」,配越大，模型的擬合效果越好)

Z(x-y)2

(=1

2.某企業(yè)為響應(yīng)國家號(hào)召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備加大研發(fā)資金投入，為了

解年研發(fā)資金投入額尤(單位：億元)對年盈利額y(單位：億元)的影響，通過對“十二

五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展10年期間年研發(fā)資金投入額占和年盈利額=1,2,…,10)數(shù)據(jù)進(jìn)行

分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：y=a+外二>其中a、夕、2、f均為常數(shù)，e為自

然對數(shù)的底數(shù)，令",=心匕=lny,(i=l,2〃..,10),經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：

元=269=215瓦=680萬=5.36

10101010

24

￡(—『=100E(%-萬)2=22500￡(%-項(xiàng)y-刃=260S(X--7)=

i=\Z=1Z=1i=l

1010

之(匕_班=4^(x,.-x)(v,.-v)=18

/=]i=\

（1）請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合度更好？

⑵根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程.（系數(shù)精確到0。1）

?。ǎ?9）

附:相關(guān)系數(shù)

.。￡（乙-?。▂-歹）

回歸直線9=%+?中：b=―—-----------,a=y-bx.

￡（七-元『

Z=1

3.一座城市的夜間經(jīng)濟(jì)不僅有助于拉動(dòng)本地居民內(nèi)需，還能延長外地游客、商務(wù)辦公者等

的留存時(shí)間，帶動(dòng)當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)發(fā)展，是衡量一座城市生活質(zhì)量、消費(fèi)水平、投資環(huán)境及文化發(fā)

展活力的重要指標(biāo).數(shù)據(jù)顯示，近年來中國各地政府對夜間經(jīng)濟(jì)的扶持力度加大，夜間經(jīng)濟(jì)

的市場發(fā)展規(guī)模保持穩(wěn)定增長,下表為2017-2022年中國夜間經(jīng)濟(jì)的市場發(fā)展規(guī)模（單位：

萬億元），設(shè)2017—2022年對應(yīng)的年份代碼依次為1-6.

年份代碼X123456

中國夜間經(jīng)濟(jì)的市場發(fā)展規(guī)模w萬億

20.522.926.430.936.442.4

元

（1）已知可用函數(shù)模型y=擬合y與x的關(guān)系，請建立y關(guān)于x的回歸方程（a,b的值精

確到0.01）；

（2）某傳媒公司發(fā)布的2023年中國夜間經(jīng)濟(jì)城市發(fā)展指數(shù)排行榜前10名中，吸引力超過90

分的有4個(gè)，從這10個(gè)城市中隨機(jī)抽取5個(gè)，記吸引力超過90分的城市數(shù)量為X,求X的

分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù):

6

2.848^0.148

Ve

Z=1

3.36673,28217.251.16

其中匕=lny.

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（外,”）,（W2,V2）,（""#"），其回歸直線；=q+4的斜率和截

距的最小二乘法估計(jì)分別為/=-.......-,a^-Bu.

2"）

Z=1

4.當(dāng)前，人工智能技術(shù)以前所未有的速度迅猛發(fā)展，并逐步影響我們的方方面面，人工智

能被認(rèn)為是推動(dòng)未來社會(huì)發(fā)展和解決人類面臨的全球性問題的重要手段.某公司在這個(gè)領(lǐng)域

逐年加大投入，以下是近年來該公司對產(chǎn)品研發(fā)年投入額x（單位：百萬元）與其年銷售量

y（單位：千件）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表.

123456

y0.511.53612

z=Iny-0.700.41.11.82.5

（1）公司擬分別用①V=法+。和②y=兩種方案作為年銷售量y關(guān)于年投入額x的回歸

分析模型，請根據(jù)已知數(shù)據(jù)，確定方案①和②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（〃力,根，“計(jì)算過程保留到

小數(shù)點(diǎn)后兩位，最后結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）

（2）根據(jù)下表數(shù)據(jù)，用決定系數(shù)后（只需比較出大?。┍容^兩種模型的擬合效果哪種更好,

并選擇擬合精度更高的模型，預(yù)測年投入額為7百萬元時(shí)，產(chǎn)品的銷售量是多少？

經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+ay=Qnx+m

殘差平方和

618.290.65

E(x-X)2

1=1

2

￡(%-丁)5-歹)S(x-x)6

參考公式及數(shù)據(jù)：-----------,a=y-bx,M=T-------------，W>%=121,

S(x-y)2t

z=li=l

66-i

283

Zx；=91,X.v,z,-=28.9,Z=-(-0.7+0+0.4+1.1+1.8+2.5)=0.85,e~16.5,e?20.1.

i=li=l6

5.碳排放是引起全球氣候變暖問題的主要原因.2009年世界氣候大會(huì)，中國做出了減少碳

排放的承諾,2010年被譽(yù)為了中國低碳創(chuàng)業(yè)元年.2020年中國政府在聯(lián)合國大會(huì)發(fā)言提出：

中國二氧化碳排放力爭于2030年前達(dá)到峰值，努力爭取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和.碳中和是指

主體在一定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的二氧化碳或溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式,

以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳或溫室氣體排放量，實(shí)現(xiàn)正負(fù)抵消，達(dá)到相對“零排放”.如圖為

本世紀(jì)來，某省的碳排放總量的年度數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖.該數(shù)據(jù)分為兩段，2010年前該省致力于

經(jīng)濟(jì)發(fā)展，沒有有效控制碳排放；從2010年開始，該省通過各種舉措有效控制了碳排放.用

x表示年份代號(hào)，記2010年為尤=0.用表示2010年前的的年度碳排放量，y表示2010

年開始的年度碳排放量.

表一：2011~2017年某省碳排放總量年度統(tǒng)計(jì)表(單位：億噸)

年份2011201220132014201520162017

年份代號(hào)X1234567

年度碳排放量y（單位：億噸）2.542.6352.722.802.8853.003.09

（1）若,關(guān)于尤的線性回歸方程為A=0.125x+2.425,根據(jù)回歸方程估計(jì)若未采取措施，2017

年的碳排放量；并結(jié)合表一數(shù)據(jù)，說明該省在控制碳排放舉措下，減少排碳多少億噸？

⑵根據(jù)h=0.125^+2.425,設(shè)2011-2017年間各年碳排放減少量為z,（z,=百-％）,建立z

關(guān)于力的回歸方程2=。.犬2+6.

①根據(jù)2=。,+力，求表一中y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.001）；

②根據(jù)①所求的回歸方程確定該省大約在哪年實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰？

777

參考數(shù)據(jù)：￡產(chǎn)=i40,〉y=4676,2＞上=23.605衣=0.115.

i=lz=lz=l

n__

參考公式：3=號(hào)------.

Xx；-nx'

i=l

6.近三年的新冠肺炎疫情對我們的生活產(chǎn)生了很大的影響，當(dāng)然也影響著我們的旅游習(xí)慣，

鄉(xiāng)村游、近郊游、周邊游熱鬧了許多，甚至出現(xiàn)“微度假”的概念.在國家有條不紊的防疫政

策下，旅游又重新回到了老百姓的日常生活中.某鄉(xiāng)村抓住機(jī)遇，依托良好的生態(tài)環(huán)境、厚

重的民族文化，開展鄉(xiāng)村旅游.通過文旅度假項(xiàng)目考察，該村推出了多款套票文旅產(chǎn)品，得

到消費(fèi)者的積極回應(yīng).該村推出了六條鄉(xiāng)村旅游經(jīng)典線路，對應(yīng)六款不同價(jià)位的旅游套票,

相應(yīng)的價(jià)格x與購買人數(shù)y的數(shù)據(jù)如下表.

旅游線路奇山秀水游古村落游慢生活游親子游采摘游舌尖之旅

套票型號(hào)ABCDEF

價(jià)格%/元394958677786

經(jīng)數(shù)據(jù)分析、描點(diǎn)繪圖，發(fā)現(xiàn)價(jià)格x與購買人數(shù)y近似滿足關(guān)系式即

lny=61nx+lna（a>0,6>0）,對上述數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理，其中匕=lnx”wt=Iny；,z=l,

2,..?,6.

6666

附：①可能用到的數(shù)據(jù)：￡匕嗎=75.3,^v;=24.6,工嗎=18?3,^v；=101.4.

1=1Z=11=1Z=1

②對于一組數(shù)據(jù)（叫,叱），（嶺，唳），…，（為,嗎），其回歸直線自=加+&的斜率和截距的最

〃n

Z（匕一記）（叱一記）Evtwi一〃而

小二乘估計(jì)值分另U為5=-----------------=--------------，a=w-bv.

E（v；-V）2

z=li=l

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程.

（2）按照相關(guān)部門的指標(biāo)測定，當(dāng)套票價(jià)格尤@[49,81]時(shí)，該套票受消費(fèi)者的歡迎程度更高,

可以被認(rèn)定為“熱門套票”.現(xiàn)有三位游客，每人從以上六款套票中購買一款旅游，購買任意

一款的可能性相等.若三人買的套票各不相同，記三人中購買“熱門套票”的人數(shù)為X,求隨

機(jī)變量X的分布列和期望.

7.數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9x9盤面上的已知數(shù)字，推理

出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個(gè)粗線宮（3x3）內(nèi)的數(shù)字均含1?9,

且不重復(fù).數(shù)獨(dú)愛好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國數(shù)獨(dú)大賽初級組的比賽.

參考數(shù)據(jù)￡="1■:

xi

77

ft*t-7t

Z=1i=\

17500.370.55

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（公,匕），（%,%），???，（"“,乙）,其經(jīng)驗(yàn)回歸方程$=.+如的斜率和截距

n___

的最小二乘估計(jì)分別為￡=三-------,°-班.

i=l

（1）賽前小明進(jìn)行了一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天解題的平均速度y（秒/題）與訓(xùn)練天數(shù)x（天）有關(guān),

經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：

x（天）1234567

M秒/

910800600440300240210

題）

現(xiàn)用＞2作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程；3,務(wù)用分?jǐn)?shù)表示）

（2）小明和小紅玩“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時(shí)開始解一道數(shù)獨(dú)題，先解出題的人獲勝，不存在平

局，兩人約定先勝3局者贏得比賽.若小明每局獲勝的概率為:，且各局之間相互獨(dú)立，設(shè)

比賽X局后結(jié)束，求隨機(jī)變量X的分布列及均值.

8.為了加快實(shí)現(xiàn)我國高水平科技自立自強(qiáng)，某科技公司逐年加大高科技研發(fā)投入.下圖1是

該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發(fā)投入y（單位：億元）的散點(diǎn)圖，其中年份

代碼1?10分別對應(yīng)年份2013-2022.

八年研發(fā)投入y（億元）

85-

80-,???

75-.?*

70-?,

651?

」6M弱分代碼x

圖1

根據(jù)散點(diǎn)圖，分別用模型①'="+〃，②y=c+dy作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)

于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型，并進(jìn)行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù)，

計(jì)算得到如下表所示的一些統(tǒng)計(jì)量的值：

10101010

之（x,-Ty之（“-9）（-）

ytz（%-9）（%-可

Z=1i=l/?=1Z=1

752.2582.54.512028.35

_110

表中4=嘉，，=歷47

（1）根據(jù)殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個(gè)更適宜作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年

份代碼尤的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型?并說明理由；

（2）（i）根據(jù)（1）中所選模型，求出y關(guān)于尤的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

（ii）設(shè)該科技公司的年利潤L（單位：億元）和年研發(fā)投入y（單位：億元）滿足

l=（111.225-丁）?（尤eN*且xe[1,20]）,問該科技公司哪一年的年利潤最大？

附：對于一組數(shù)據(jù)儀,%）,（9，％），…，（相，%），其經(jīng)驗(yàn)回歸直線/=&+加的斜率和截距

刃_

的最小二乘估計(jì)分別為3=J-----------------，a=y-bJc.

一可2

i=\

超幾何分布問題

模型一超幾何分布

（1）在含有/件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則事件｛X=k｝發(fā)生

的概率為尸（X=Q=左=0,],2,…，7"，其中機(jī)=min{M,w},且

n,M,NeN*,稱分布列為超幾何分布列.如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列,

則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

X01m

「0「〃一0「〃一1^n-m

P

瑪

模型二超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別

區(qū)別1:超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要;

區(qū)別2：超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；

而二項(xiàng)分布是“有放回”抽取(獨(dú)立重復(fù))，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的.

模型演煉

鄉(xiāng)村民宿立足農(nóng)村，契合了現(xiàn)代人遠(yuǎn)離喧囂、親近自然、尋味鄉(xiāng)愁的美好追求.某鎮(zhèn)在旅游旺

季前夕，為了解各鄉(xiāng)村的普通型民宿和品質(zhì)型民宿的品質(zhì)，隨機(jī)抽取了8家規(guī)模較大的鄉(xiāng)村

民宿，統(tǒng)計(jì)得到各家的房間數(shù)如下表：

民宿點(diǎn)甲乙丙T戊己庚辛

普通型民宿16812141318920

品質(zhì)型民宿6164101110912

⑴從這8家中隨機(jī)抽取3家，在抽取的這3家的普通型民宿的房間均不低于10間的條件下,

求這3家的品質(zhì)型民宿的房間均不低于10間的概率；

(2)從這8家中隨機(jī)抽取4家，記X為抽取的這4家中普通型民宿的房間不低于15間的家數(shù),

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

模型演煉

已知某排球特色學(xué)校的校排球隊(duì)來自高一、高二、高三三個(gè)年級的學(xué)生人數(shù)分別為7人、6

人、2人.

(1)若從該校隊(duì)隨機(jī)抽取3人拍宣傳海報(bào)，求抽取的3人中恰有1人來自高三年級的概率.

(2)現(xiàn)該校的排球教練對“發(fā)球、墊球、扣球”這3個(gè)動(dòng)作技術(shù)進(jìn)行訓(xùn)練，且在訓(xùn)練階段進(jìn)行了

多輪測試，規(guī)定：在一輪測試中，這3個(gè)動(dòng)作至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為

“優(yōu)秀”.已知在某一輪測試的3個(gè)動(dòng)作中，甲同學(xué)每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為乙同

學(xué)每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為：，且每位同學(xué)的每個(gè)動(dòng)作互不影響，甲、乙兩人的測試

結(jié)果互不影響.記X為甲、乙二人在該輪測試結(jié)果為“優(yōu)秀”的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期

望.

7模型演煉

2023年是全面貫徹落實(shí)黨二十大精神的開局之年，也是實(shí)施“十四五”規(guī)劃承上啟下的關(guān)鍵

之年，今年春季以來，各地出臺(tái)了促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的各種措施，經(jīng)濟(jì)增長呈現(xiàn)穩(wěn)中有進(jìn)的可喜

現(xiàn)象.服務(wù)業(yè)的消費(fèi)越來越火爆,紹興一些超市也紛紛加大了廣告促銷.現(xiàn)隨機(jī)抽取7家超市,

得到其廣告支出無（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）數(shù)據(jù)如下：

超市ABCDEFG

廣告支出1246101320

銷售額19324440525354

⑴建立y關(guān)于x的一元線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；

⑵若將超市的銷售額y與廣告支出x的比值稱為該超市的廣告效率值〃，當(dāng)〃21。時(shí)，稱該

超市的廣告為“好廣告”.從這7家超市中隨機(jī)抽取4家超市，記這4家超市中“好廣告”的超市

數(shù)為X,求X的分布列與期望.

附注：參考數(shù)據(jù)SX》=2788,￡x；=726,￡y,2=13350,回歸方程亍=&+贏中斜率和截距

2%%一〃孫

的最小二乘估計(jì)公式分別為：b=6-----,?=y-bx.

Xi=lX；_位2

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專項(xiàng)滿分必刷

1.當(dāng)AIGC(生成式人工智能)領(lǐng)域的一系列創(chuàng)新性技術(shù)有了革命性突破，全球各大科技

企業(yè)積極擁抱AIGC,我國有包括A在內(nèi)的5家企業(yè)加碼布局AIGC生成算法賽道，有包括

B、C在內(nèi)的5家企業(yè)加碼布局AIGC的自然語言處理賽道，某傳媒公司準(zhǔn)備發(fā)布(2023年

中國AIGC發(fā)展研究報(bào)告)，先期準(zhǔn)備從上面的10家企業(yè)中隨機(jī)選取4家進(jìn)行采訪.

(1)若在布局不同的賽道中各選取2家企業(yè)，求選取的4家企業(yè)中，企業(yè)A,B,C至少有2

家的概率.

(2)記選取的4家科技企業(yè)中布局AIGC的是生成算法賽道的企業(yè)個(gè)數(shù)為X,求X的分布列與

期望.

2.某校高三年級1000名學(xué)生的高考適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成

績分組區(qū)間是［30,50)、［50,70)、［70,90)、［90,110),［110,130),［130,150］.

頻率

\贏

0.0150-..............1~I~~I

0.0075

0.0025

O30507090110130150數(shù)學(xué)成績/分

(1)求圖中。的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這1000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第8