2025年數(shù)列試題訓(xùn)練及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2\)，則\(a_5\)的值為（）A.7B.9C.11D.132.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差\(d=2\)，若\(a_1\)，\(a_3\)，\(a_4\)成等比數(shù)列，則\(a_1\)等于（）A.-4B.-6C.-8D.-103.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2=2\)，\(a_5=16\)，則公比\(q\)為（）A.2B.3C.4D.54.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式\(a_n=3n-2\)，則該數(shù)列的前\(n\)項和\(S_n\)為（）A.\(\frac{n(3n-1)}{2}\)B.\(\frac{n(3n+1)}{2}\)C.\(\frac{n(3n-2)}{2}\)D.\(\frac{n(3n+2)}{2}\)5.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}\)，則\(a_3\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{4}\)C.\(\frac{1}{5}\)D.\(\frac{1}{6}\)6.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3+a_7=10\)，則\(a_5\)的值為（）A.5B.6C.7D.87.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_4=8\)，則\(S_4\)為（）A.15B.16C.17D.188.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_n=(-1)^n\cdotn\)，則\(a_1+a_2+a_3+a_4\)的值為（）A.0B.1C.2D.39.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2\)，則\(a_2\)的值為（）A.1B.3C.5D.710.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=4\)，\(a_7=16\)，則\(a_5\)的值為（）A.8B.-8C.\(\pm8\)D.6二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪些是等差數(shù)列的性質(zhì)（）A.\(a_n=a_1+(n-1)d\)B.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)C.\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)D.\(a_{n+1}-a_n=d\)（\(d\)為常數(shù)）2.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，公比\(q=2\)，\(a_1=1\)，下列正確的是（）A.\(a_2=2\)B.\(a_3=4\)C.\(S_3=7\)D.\(a_4=8\)3.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2+n\)，則（）A.\(a_1=2\)B.\(a_2=4\)C.\(a_n=2n\)D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列4.下列數(shù)列中，是等比數(shù)列的有（）A.\(1,-1,1,-1,\cdots\)B.\(0,2,4,6,\cdots\)C.\(2,4,8,16,\cdots\)D.\(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\cdots\)5.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，公差\(d\gt0\)，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則（）A.\(d=2\)B.\(a_n=2n-1\)C.\(S_n=n^2\)D.\(a_5=9\)6.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=2\)，\(a_2=4\)，則（）A.\(q=2\)B.\(a_3=8\)C.\(S_3=14\)D.\(a_4=16\)7.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_n=2n-3\)，則（）A.\(a_1=-1\)B.\(a_2=1\)C.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列D.\(S_n=n^2-2n\)8.已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，公比\(q\neq1\)，首項\(a_1=3\)，前\(n\)項和\(S_n\)，則（）A.\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)B.\(a_n=a_1q^{n-1}\)C.若\(a_2=6\)，則\(q=2\)D.\(S_3=21\)（當\(q=2\)時）9.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)，若\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，則（）A.\(d=2\)B.\(a_1=1\)C.\(S_n=n^2\)D.\(a_7=13\)10.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，則（）A.\(a_2=3\)B.\(a_3=7\)C.令\(b_n=a_n+1\)，則\(\{b_n\}\)是等比數(shù)列D.\(a_n=2^n-1\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.常數(shù)列一定是等差數(shù)列。（）2.常數(shù)列一定是等比數(shù)列。（）3.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=2n^2+3n\)，則\(a_n=4n+1\)。（）4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=1\)，\(d=2\)，則\(a_5=9\)。（）5.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=1\)，\(q=3\)，則\(a_3=9\)。（）6.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等差數(shù)列，則\(2b=a+c\)。（）7.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比數(shù)列，則\(b^2=ac\)。（）8.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_n=n^2\)，則\(a_1=1\)，\(a_2=4\)。（）9.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)一定是關(guān)于\(n\)的二次函數(shù)。（）10.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，公比\(q\gt1\)時，數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)一定是遞增數(shù)列。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=3\)，\(d=2\)，求\(a_n\)和\(S_n\)。答案：\(a_n=a_1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1\)；\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(3+2n+1)}{2}=n(n+2)\)。2.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(q=3\)，求\(a_4\)和\(S_4\)。答案：\(a_4=a_1q^{4-1}=2×3^3=54\)；\(S_4=\frac{a_1(1-q^4)}{1-q}=\frac{2(1-3^4)}{1-3}=80\)。3.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=3n^2-2n\)，求\(a_n\)。答案：當\(n=1\)時，\(a_1=S_1=3×1^2-2×1=1\)；當\(n\geq2\)時，\(a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5\)，\(n=1\)時也滿足，所以\(a_n=6n-5\)。4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3+a_7=18\)，\(a_5=8\)，求公差\(d\)。答案：因為\(a_3+a_7=2a_5\)，已知\(a_3+a_7=18\)，\(a_5=8\)，矛盾，題目數(shù)據(jù)有誤。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論等差數(shù)列和等比數(shù)列在實際生活中的應(yīng)用實例，并說明其原理。答案：等差數(shù)列如銀行存款利息按固定金額逐年遞增；等比數(shù)列如細胞分裂，每過一定時間數(shù)量翻倍。原理分別是等差數(shù)列后一項與前一項差值固定，等比數(shù)列后一項與前一項比值固定。2.當?shù)缺葦?shù)列公比\(q\)在\((0,1)\)時，數(shù)列的單調(diào)性如何？請說明理由。答案：當\(a_1\gt0\)時，數(shù)列單調(diào)遞減；當\(a_1\lt0\)時，數(shù)列單調(diào)遞增。因為\(a_{n+1}-a_n=a_1q^n(1-q)\)，\(q\in(0,1)\)，\(1-q\gt0\)，\(q^n\gt0\)，\(a_1\)正負決定\(a_{n+1}-a_n\)正負。3.如何判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列？有哪些方法？答案：判斷等差數(shù)列：定義法\(a_{n+1}-a_n=d\)（常數(shù)）；中項法\(2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}\)。判斷等比數(shù)列：定義法\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\)（非零常數(shù)）；中項法\(a_{n+1}^2=a_n\cdota_{n+2}\)。4.對于數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，已知\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2n\)，如何求\(a_n\)？答案：由\(a_{n+1}-a_n=2n\)，可得\(a_n-a_{n-1}=2(n-1)\)，\(a_{n-1}-a_{n-2}=2(n-2)\)，\(\cdots\)，\(a_2-a_1=2×1\)。將這些式子累加得\(a_n-a_1=2[1+2+\cdots+(n-1)]=n(n-1)\)，又\(a_1=1\)，所以\(a_n=n^2-n+1\)