2025年數(shù)學(xué)極限試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高階無(wú)窮小B.低階無(wú)窮小C.同階無(wú)窮小D.等價(jià)無(wú)窮小答案：A2.\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{2x-1}\)的值為（）A.\(0\)B.\(\frac{3}{2}\)C.\(\infty\)D.\(1\)答案：B3.已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\lt0\\2x,&x\geq0\end{cases}\)，則\(\lim_{x\to0}f(x)\)為（）A.\(0\)B.\(1\)C.不存在D.\(2\)答案：C4.極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)的值是（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(3\)D.\(\frac{1}{3}\)答案：C5.若\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=B\)，且\(B\neq0\)，則\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}\)等于（）A.\(\frac{A}{B}\)B.\(AB\)C.\(A-B\)D.\(A+B\)答案：A6.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，與\(x\)等價(jià)無(wú)窮小的是（）A.\(\sin2x\)B.\(1-\cosx\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(x^2+x\)答案：C7.\(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{2n}\)的值為（）A.\(e\)B.\(e^2\)C.\(1\)D.\(2e\)答案：B8.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在\(x\to1\)時(shí)的極限是（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(\infty\)D.不存在答案：D9.若\(\lim_{x\to\infty}(\frac{x+a}{x-a})^x=4\)，則\(a\)的值為（）A.\(\ln2\)B.\(2\)C.\(\ln4\)D.\(4\)答案：A10.極限\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(e\)D.\(\frac{1}{e}\)答案：B二、多項(xiàng)選擇題1.以下關(guān)于極限的說(shuō)法正確的是（）A.若\(\lim_{x\toa}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x=a\)處一定有定義B.無(wú)窮小量與有界函數(shù)的乘積是無(wú)窮小量C.若\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=B\)，則\(\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]=A+B\)D.兩個(gè)無(wú)窮小量的商一定是無(wú)窮小量答案：BC2.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，下列哪些是無(wú)窮小量（）A.\(x^3\)B.\(\sinx\)C.\(\cosx-1\)D.\(\frac{1}{x}\)答案：ABC3.下列極限存在的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\sin\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)答案：BD4.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_0\)處極限存在，則（）A.\(f(x)\)在\(x=x_0\)處的左右極限都存在B.\(f(x)\)在\(x=x_0\)處的左右極限相等C.\(f(x)\)在\(x=x_0\)處一定連續(xù)D.\(f(x)\)在\(x=x_0\)處有定義答案：AB5.以下哪些是等價(jià)無(wú)窮小替換（）A.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\sinx\simx\)B.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\tanx\simx\)C.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(e^x-1\simx\)D.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2\)答案：ABCD6.極限\(\lim_{x\to\infty}f(x)\)存在的充要條件是（）A.\(\lim_{x\to+\infty}f(x)\)存在B.\(\lim_{x\to-\infty}f(x)\)存在C.\(\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)\)D.\(f(x)\)在\(x\to\infty\)時(shí)為有界函數(shù)答案：ABC7.對(duì)于數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，若\(\lim_{n\to\infty}a_n=A\)，則（）A.對(duì)于任意給定的\(\varepsilon\gt0\)，存在正整數(shù)\(N\)，當(dāng)\(n\gtN\)時(shí)，\(\verta_n-A\vert\lt\varepsilon\)B.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)一定有界C.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的極限唯一D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)單調(diào)遞增答案：ABC8.下列極限運(yùn)算正確的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{x^2+3x}{x}=\lim_{x\to0}(x+3)=3\)B.\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2\)C.\(\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{3x^2-2x}=\lim_{x\to\infty}\frac{2+\frac{1}{x^2}}{3-\frac{2}{x}}=\frac{2}{3}\)D.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\cdot\sinx=\infty\)答案：ABC9.已知\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)，則（）A.對(duì)于任意數(shù)列\(zhòng)(\{x_n\}\)，當(dāng)\(\lim_{n\to\infty}x_n=a\)時(shí)，\(\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A\)B.存在數(shù)列\(zhòng)(\{x_n\}\)，當(dāng)\(\lim_{n\to\infty}x_n=a\)時(shí)，\(\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A\)C.\(f(x)\)在\(x=a\)附近有界D.若\(A\gt0\)，則在\(x=a\)的某去心鄰域內(nèi)，\(f(x)\gt0\)答案：ABD10.下列關(guān)于無(wú)窮大量的說(shuō)法正確的是（）A.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量互為倒數(shù)B.兩個(gè)無(wú)窮大量的和一定是無(wú)窮大量C.無(wú)窮大量與有界量的和是無(wú)窮大量D.若\(y=f(x)\)是無(wú)窮大量，則\(\frac{1}{y}\)是無(wú)窮小量（\(y\neq0\)）答案：CD三、判斷題1.若\(\lim_{x\toa}f(x)\)和\(\lim_{x\toa}g(x)\)都不存在，則\(\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]\)一定不存在。（）答案：錯(cuò)誤2.無(wú)窮小量是一個(gè)很小很小的數(shù)。（）答案：錯(cuò)誤3.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x\)與\(x+x^2\)是等價(jià)無(wú)窮小。（）答案：正確4.若\(\lim_{x\to\infty}f(x)=A\)，則\(f(x)\)在\(x\to\infty\)時(shí)是有界的。（）答案：正確5.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）答案：錯(cuò)誤6.極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}\)存在。（）答案：錯(cuò)誤7.若\(\lim_{x\toa}f(x)=0\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=\infty\)，則\(\lim_{x\toa}f(x)g(x)\)一定為\(0\)。（）答案：錯(cuò)誤8.數(shù)列\(zhòng)(\{(-1)^n\}\)的極限不存在。（）答案：正確9.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(1-\cosx\)是\(x\)的高階無(wú)窮小。（）答案：正確10.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x=a\)處連續(xù)，則\(\lim_{x\toa}f(x)\)一定存在。（）答案：正確四、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。答案：在自變量的同一變化過(guò)程中，若\(y=f(x)\)為無(wú)窮大量，則\(\frac{1}{y}\)（\(y\neq0\)）為無(wú)窮小量；反之，若\(y=f(x)\)為無(wú)窮小量且\(y\neq0\)，則\(\frac{1}{y}\)為無(wú)窮大量。例如當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\frac{1}{x}\)是無(wú)窮大量，那么\(x\)就是無(wú)窮小量。2.說(shuō)明極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)的求解思路。答案：當(dāng)\(x\to\infty\)時(shí)，\(\vert\sinx\vert\leq1\)，即\(\sinx\)是有界函數(shù)，而\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\)，根據(jù)無(wú)窮小量與有界函數(shù)的乘積是無(wú)窮小量這一性質(zhì)，可知\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=\lim_{x\to\infty}(\sinx\cdot\frac{1}{x})=0\)。3.什么是函數(shù)在某點(diǎn)處極限存在的充要條件？答案：函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)處極限存在的充要條件是函數(shù)在該點(diǎn)處的左極限和右極限都存在且相等。即\(\lim_{x\tox_0^{-}}f(x)=\lim_{x\tox_0^{+}}f(x)\)。比如函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\lt0\\2x,&x\geq0\end{cases}\)在\(x=0\)處，左極限為\(1\)，右極限為\(0\)，左右極限不相等，所以在\(x=0\)處極限不存在。4.簡(jiǎn)述等價(jià)無(wú)窮小替換在求極限中的應(yīng)用條件。答案：等價(jià)無(wú)窮小替換在求極限中，一般應(yīng)用于乘除運(yùn)算。當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，若\(f(x)\)與\(g(x)\)為等價(jià)無(wú)窮小，即\(f(x)\simg(x)\)，在求極限\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)h(x)}{k(x)}\)時(shí)，可將\(f(x)\)用\(g(x)\)替換進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算。但在加減運(yùn)算中一般不能隨意使用，除非滿足一定條件。例如\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)，\(\sinx\simx\)，可直接得極限為\(1\)。五、討論題1.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\lt0\\2x,&0\leqx\lt1\\\frac{1}{x},&x\geq1\end{cases}\)在\(x=0\)和\(x=1\)處的極限情況。答案：在\(x=0\)處，左極限\(\lim_{x\to0^{-}}f(x)=\lim_{x\to0^{-}}(x^2+1)=1\)，右極限\(\lim_{x\to0^{+}}f(x)=\lim_{x\to0^{+}}2x=0\)，左右極限不相等，所以\(\lim_{x\to0}f(x)\)不存在。在\(x=1\)處，左極限\(\lim_{x\to1^{-}}f(x)=\lim_{x\to1^{-}}2x=2\)，右極限\(\lim_{x\to1^{+}}f(x)=\lim_{x\to1^{+}}\frac{1}{x}=1\)，左右極限不相等，所以\(\lim_{x\to1}f(x)\)不存在。2.舉例說(shuō)明如何利用兩個(gè)重要極限求復(fù)雜函數(shù)的極限。答案：兩個(gè)重要極限為\(\lim