2025年數(shù)理統(tǒng)計(jì)試卷及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)，則\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\)服從（）分布。A.\(N(0,1)\)B.\(\chi^{2}(n-1)\)C.\(t(n-1)\)D.\(F(n-1,n)\)答案：B2.設(shè)\(X_1,X_2,X_3\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\hat{\mu}_1=\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)\)，\(\hat{\mu}_2=\frac{1}{5}X_1+\frac{2}{5}X_2+\frac{2}{5}X_3\)，則（）A.\(\hat{\mu}_1\)是無偏估計(jì)，\(\hat{\mu}_2\)不是無偏估計(jì)B.\(\hat{\mu}_1\)不是無偏估計(jì)，\(\hat{\mu}_2\)是無偏估計(jì)C.\(\hat{\mu}_1\)和\(\hat{\mu}_2\)都是無偏估計(jì)D.\(\hat{\mu}_1\)和\(\hat{\mu}_2\)都不是無偏估計(jì)答案：C3.在假設(shè)檢驗(yàn)中，記\(H_0\)為原假設(shè)，則犯第一類錯(cuò)誤是指（）A.\(H_0\)為真，接受\(H_0\)B.\(H_0\)為真，拒絕\(H_0\)C.\(H_0\)不真，接受\(H_0\)D.\(H_0\)不真，拒絕\(H_0\)答案：B4.設(shè)總體\(X\)的概率密度為\(f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},x\gt0\\0,x\leq0\end{cases}\)，\(\theta\gt0\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則\(\theta\)的矩估計(jì)量為（）A.\(\overline{X}\)B.\(\frac{1}{\overline{X}}\)C.\(S^{2}\)D.\(\frac{S^{2}}{\overline{X}}\)答案：A5.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，\(X\simN(0,1)\)，\(Y\sim\chi^{2}(n)\)，則\(T=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\)服從（）分布。A.\(N(0,1)\)B.\(\chi^{2}(n)\)C.\(t(n)\)D.\(F(1,n)\)答案：C6.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(\sigma^{2}\)已知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，檢驗(yàn)假設(shè)\(H_0:\mu=\mu_0\)，\(H_1:\mu\neq\mu_0\)，則拒絕域?yàn)椋ǎ〢.\(\vertU\vert\gtz_{\frac{\alpha}{2}}\)B.\(U\gtz_{\alpha}\)C.\(U\lt-z_{\alpha}\)D.\(\vertU\vert\ltz_{\frac{\alpha}{2}}\)答案：A7.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(E(X)=\mu\)，\(D(X)=\sigma^{2}\)，則樣本均值\(\overline{X}\)的方差\(D(\overline{X})\)為（）A.\(\sigma^{2}\)B.\(\frac{\sigma^{2}}{n}\)C.\(n\sigma^{2}\)D.\(\frac{\sigma^{2}}{n-1}\)答案：B8.設(shè)總體\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x;\theta)\)，\(\theta\)為未知參數(shù)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的一個(gè)估計(jì)量，若\(E(\hat{\theta})=\theta\)，則稱\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的（）A.有效估計(jì)量B.一致估計(jì)量C.無偏估計(jì)量D.最大似然估計(jì)量答案：C9.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(\mu\)未知，\(\sigma^{2}\)已知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，構(gòu)造\(\mu\)的置信區(qū)間，置信水平為\(1-\alpha\)，則置信區(qū)間為（）A.\((\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)B.\((\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})\)C.\((\overline{X}-z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)D.\((\overline{X}-t_{\alpha}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})\)答案：A10.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，樣本方差\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)，則\(E(S^{2})\)等于（）A.\(\sigma^{2}\)B.\(\frac{\sigma^{2}}{n}\)C.\(\frac{n}{n-1}\sigma^{2}\)D.\(\frac{n-1}{n}\sigma^{2}\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則（）A.\(\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})\)B.\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n-1)\)C.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\simN(0,1)\)D.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\simt(n-1)\)答案：ABCD2.以下關(guān)于點(diǎn)估計(jì)的說法正確的是（）A.矩估計(jì)法是用樣本矩估計(jì)總體矩B.最大似然估計(jì)法是求使得似然函數(shù)最大的參數(shù)值C.無偏估計(jì)一定是有效估計(jì)D.有效估計(jì)一定是無偏估計(jì)答案：ABD3.在假設(shè)檢驗(yàn)中，影響犯兩類錯(cuò)誤概率的因素有（）A.樣本容量\(n\)B.顯著性水平\(\alpha\)C.原假設(shè)和備擇假設(shè)的設(shè)定D.總體的分布形式答案：ABC4.設(shè)總體\(X\)的概率密度函數(shù)\(f(x;\theta)\)依賴于未知參數(shù)\(\theta\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，以下哪些是求\(\theta\)的最大似然估計(jì)的步驟（）A.寫出似然函數(shù)\(L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(X_i;\theta)\)B.對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)\(\lnL(\theta)\)C.對(duì)\(\lnL(\theta)\)關(guān)于\(\theta\)求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為\(0\)D.求解上述方程得到\(\theta\)的最大似然估計(jì)值答案：ABCD5.以下哪些分布是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的分布（）A.正態(tài)分布B.\(\chi^{2}\)分布C.\(t\)分布D.\(F\)分布答案：ABCD6.設(shè)總體\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_{n_1}\)是來自總體\(X\)的樣本，\(Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n_2}\)是來自總體\(Y\)的樣本，則（）A.\(\overline{X}-\overline{Y}\simN(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^{2}}{n_1}+\frac{\sigma_2^{2}}{n_2})\)B.\(\frac{S_1^{2}/\sigma_1^{2}}{S_2^{2}/\sigma_2^{2}}\simF(n_1-1,n_2-1)\)C.當(dāng)\(\sigma_1^{2}=\sigma_2^{2}=\sigma^{2}\)時(shí)，\(\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\simt(n_1+n_2-2)\)，其中\(zhòng)(S_w^{2}=\frac{(n_1-1)S_1^{2}+(n_2-1)S_2^{2}}{n_1+n_2-2}\)D.\(\frac{(n_1-1)S_1^{2}}{\sigma_1^{2}}\sim\chi^{2}(n_1-1)\)，\(\frac{(n_2-1)S_2^{2}}{\sigma_2^{2}}\sim\chi^{2}(n_2-1)\)答案：ABCD7.關(guān)于樣本均值\(\overline{X}\)和樣本方差\(S^{2}\)，以下說法正確的是（）A.\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的無偏估計(jì)B.\(S^{2}\)是總體方差\(\sigma^{2}\)的無偏估計(jì)C.\(\overline{X}\)和\(S^{2}\)相互獨(dú)立（當(dāng)總體為正態(tài)分布時(shí)）D.樣本均值\(\overline{X}\)的方差隨著樣本容量\(n\)的增大而減小答案：ABCD8.在區(qū)間估計(jì)中，以下哪些因素會(huì)影響置信區(qū)間的長(zhǎng)度（）A.樣本容量\(n\)B.置信水平\(1-\alpha\)C.總體方差\(\sigma^{2}\)（若已知）D.樣本數(shù)據(jù)的具體值答案：ABC9.以下關(guān)于\(t\)分布的說法正確的是（）A.\(t\)分布的概率密度函數(shù)關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱B.當(dāng)自由度\(n\)趨于無窮大時(shí)，\(t\)分布趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布C.\(t\)分布的方差大于\(1\)（自由度\(n\gt1\)）D.\(t\)分布常用于對(duì)正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)（總體方差未知時(shí)）答案：ABCD10.設(shè)總體\(X\)的分布未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，根據(jù)大數(shù)定律，以下正確的是（）A.當(dāng)\(n\)充分大時(shí)，樣本均值\(\overline{X}\)依概率收斂于總體均值\(E(X)\)B.樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)\(F_n(x)\)依概率收斂于總體分布函數(shù)\(F(x)\)C.樣本方差\(S^{2}\)依概率收斂于總體方差\(D(X)\)D.樣本的各階矩依概率收斂于總體的相應(yīng)階矩答案：ABD三、判斷題1.樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的無偏估計(jì)，且是有效估計(jì)。（）答案：錯(cuò)誤2.在假設(shè)檢驗(yàn)中，若拒絕原假設(shè)，則說明原假設(shè)一定不成立。（）答案：錯(cuò)誤3.設(shè)總體\(X\)服從正態(tài)分布，無論樣本容量\(n\)多大，樣本均值\(\overline{X}\)都服從正態(tài)分布。（）答案：正確4.最大似然估計(jì)一定是無偏估計(jì)。（）答案：錯(cuò)誤5.若\(\hat{\theta}_1\)和\(\hat{\theta}_2\)都是參數(shù)\(\theta\)的無偏估計(jì)，且\(D(\hat{\theta}_1)\ltD(\hat{\theta}_2)\)，則\(\hat{\theta}_1\)比\(\hat{\theta}_2\)更有效。（）答案：正確6.對(duì)于正態(tài)總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(\mu\)未知，\(\sigma^{2}\)已知時(shí)，構(gòu)造\(\mu\)的置信區(qū)間，置信水平越高，置信區(qū)間長(zhǎng)度越短。（）答案：錯(cuò)誤7.樣本方差\(S^{2}\)是總體方差\(\sigma^{2}\)的最大似然估計(jì)。（）答案：錯(cuò)誤8.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(X\)的分布未知，當(dāng)\(n\)充分大時(shí)，\(\frac{\overline{X}-E(X)}{\sqrt{\frac{D(X)}{n}}}\)近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。（）答案：正確9.在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類錯(cuò)誤的概率和犯第二類錯(cuò)誤的概率之和為\(1\)。（）答案：錯(cuò)誤10.若總體\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})\)，則\(X+Y\simN(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^{2}+\