極限計(jì)算題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\sin3x\)與\(x\)相比是（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價(jià)無窮小答案：C2.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x+1}{2x-1}\)的值為（）A.\(0\)B.\(\frac{3}{2}\)C.\(\infty\)D.\(1\)答案：B3.若\(\lim\limits_{x\toa}f(x)=A\)，\(\lim\limits_{x\toa}g(x)=B\)，且\(B\neq0\)，則\(\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}\)等于（）A.\(\frac{A}{B}\)B.\(A-B\)C.\(A+B\)D.\(AB\)答案：A4.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(\infty\)D.不存在答案：B5.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(1-\cosx\)是\(x^2\)的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價(jià)無窮小答案：C6.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(\infty\)D.不存在答案：B7.若\(\lim\limits_{x\to+\infty}(1+\frac{k}{x})^x=e^2\)，則\(k\)的值為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(0\)D.\(4\)答案：B8.\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(\infty\)答案：C9.當(dāng)\(x\to\infty\)時(shí)，\(y=\frac{1}{x^2}\)是（）A.無窮大量B.無窮小量C.常量D.無界變量答案：B10.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(\infty\)D.不存在答案：B二、多項(xiàng)選擇題1.以下哪些是無窮小量（）A.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x^3\)B.當(dāng)\(x\to\infty\)時(shí)，\(\frac{1}{x}\)C.當(dāng)\(x\to2\)時(shí)，\(x-2\)D.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\sinx\)答案：ABCD2.下列極限存在的是（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x+1}{x^2}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x\)答案：BCD3.若\(\lim\limits_{x\toa}f(x)=A\)，\(\lim\limits_{x\toa}g(x)=B\)，則（）A.\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)+g(x)]=A+B\)B.\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)-g(x)]=A-B\)C.\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)\cdotg(x)]=AB\)D.當(dāng)\(B\neq0\)時(shí)，\(\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\)答案：ABCD4.以下關(guān)于極限運(yùn)算法則正確的是（）A.兩個(gè)無窮小量的和是無窮小量B.兩個(gè)無窮大量的和是無窮大量C.無窮小量與有界變量的乘積是無窮小量D.無窮大量與有界變量的乘積是無窮大量答案：AC5.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，與\(x\)等價(jià)無窮小的有（）A.\(\tanx\)B.\(\sinx\)C.\(e^x-1\)D.\(\ln(1+x)\)答案：ABCD6.下列極限中，值為\(1\)的是（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\)答案：ABCD7.極限\(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)\)存在的充分條件有（）A.\(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\)和\(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\)都存在且相等B.\(f(x)\)在\(x\to\infty\)時(shí)是有界函數(shù)C.\(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\)存在D.\(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\)存在答案：A8.以下函數(shù)在給定的極限過程中是無窮大量的是（）A.當(dāng)\(x\to0^+\)時(shí)，\(\frac{1}{x}\)B.當(dāng)\(x\to2\)時(shí)，\(\frac{1}{x-2}\)C.當(dāng)\(x\to\infty\)時(shí)，\(x^2\)D.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\cotx\)答案：ABC9.關(guān)于等價(jià)無窮小替換，正確的是（）A.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\sinx\simx\)，在求極限時(shí)可以直接替換B.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2\)，在求極限時(shí)可以直接替換C.等價(jià)無窮小替換只能在乘除運(yùn)算中使用D.等價(jià)無窮小替換在加減運(yùn)算中也可以隨意使用答案：ABC10.下列極限計(jì)算正確的是（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-1}=3\)C.\(\lim\limits_{x\to0}(1+3x)^{\frac{1}{x}}=e^3\)D.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x}{x}=3\)答案：ABCD三、判斷題1.無窮小量是一個(gè)很小很小的數(shù)。（）答案：錯(cuò)誤2.若\(\lim\limits_{x\toa}f(x)=0\)，\(\lim\limits_{x\toa}g(x)=0\)，則\(\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}\)一定不存在。（）答案：錯(cuò)誤3.當(dāng)\(x\to\infty\)時(shí)，\(y=\frac{1}{x}\)是無窮小量。（）答案：正確4.兩個(gè)無窮大量的乘積一定是無窮大量。（）答案：正確5.等價(jià)無窮小在任何極限運(yùn)算中都可以相互替換。（）答案：錯(cuò)誤6.若\(\lim\limits_{x\toa}f(x)=A\)，則\(f(x)\)在\(x=a\)處一定有定義。（）答案：錯(cuò)誤7.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}\)的值為\(1\)。（）答案：錯(cuò)誤8.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x^2\)是比\(x\)高階的無窮小。（）答案：正確9.極限\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)不存在。（）答案：錯(cuò)誤10.若\(\lim\limits_{x\toa}f(x)\)與\(\lim\limits_{x\toa}g(x)\)都不存在，則\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)+g(x)]\)一定不存在。（）答案：錯(cuò)誤四、簡答題1.簡述無窮小量與無窮大量的關(guān)系。答案：在自變量的同一變化過程中，如果\(f(x)\)為無窮大量，則\(\frac{1}{f(x)}\)為無窮小量；反之，如果\(f(x)\)為無窮小量，且\(f(x)\neq0\)，則\(\frac{1}{f(x)}\)為無窮大量。例如當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x\)是無窮小量，\(\frac{1}{x}\)就是無窮大量；當(dāng)\(x\to\infty\)時(shí)，\(x\)是無窮大量，\(\frac{1}{x}\)就是無窮小量。2.說明等價(jià)無窮小替換的條件及應(yīng)用時(shí)的注意事項(xiàng)。答案：等價(jià)無窮小替換的條件是在求極限的乘除運(yùn)算中。應(yīng)用時(shí)注意只能在乘除運(yùn)算中替換，加減運(yùn)算中一般不能隨意替換，除非經(jīng)過嚴(yán)格的等價(jià)無窮小加減的證明。比如求\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}\)就不能直接把\(\sinx\)換成\(x\)。常見的等價(jià)無窮小如\(x\to0\)時(shí)，\(\sinx\simx\)，\(\tanx\simx\)等，要熟練記憶。3.如何利用極限的運(yùn)算法則求極限？答案：首先要確保參與運(yùn)算的各個(gè)函數(shù)的極限都存在。然后根據(jù)具體情況使用相應(yīng)法則，如和差的極限等于極限的和差，積的極限等于極限的積，商的極限（分母極限不為零）等于極限的商。對(duì)于復(fù)雜函數(shù)，可能需要先對(duì)其進(jìn)行化簡，像約分、通分等，再運(yùn)用法則求極限。例如求\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)，先化簡為\(\lim\limits_{x\to1}(x+1)\)再求極限。4.解釋極限\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)的意義及應(yīng)用場景。答案：它表示當(dāng)\(x\)趨向于無窮大時(shí)，\((1+\frac{1}{x})^x\)的極限值為\(e\)。這個(gè)極限在很多實(shí)際和理論場景有應(yīng)用，比如在復(fù)利計(jì)算中，當(dāng)復(fù)利計(jì)算次數(shù)趨于無窮時(shí)，就可以用這個(gè)極限模型。在一些數(shù)學(xué)推導(dǎo)、物理問題中涉及到連續(xù)變化、增長或衰減模型等也經(jīng)常會(huì)用到，幫助我們簡化復(fù)雜的極限計(jì)算過程。五、討論題1.討論在極限計(jì)算中，如何處理\(\frac{0}{0}\)型和\(\frac{\infty}{\infty}\)型的未定式？答案：對(duì)于\(\frac{0}{0}\)型和\(\frac{\infty}{\infty}\)型未定式，有多種處理方法。首先可以嘗試對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡，像因式分解、約分、通分等，例如求\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)，因式分解后可求出極限。還可以利用等價(jià)無窮小替換，在乘除運(yùn)算中簡化計(jì)算。洛必達(dá)法則也是常用方法，對(duì)分子分母分別求導(dǎo)再求極限，但要注意法則的使用條件。在實(shí)際計(jì)算中，需靈活選用這些方法，結(jié)合函數(shù)特點(diǎn)來準(zhǔn)確求出極限。2.結(jié)合實(shí)例，談?wù)剺O限概念在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答案：在實(shí)際生活中，極限概念應(yīng)用廣泛。比如在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，計(jì)算連續(xù)復(fù)利時(shí)，隨著復(fù)利計(jì)算次數(shù)趨于無窮，就用到極限思想。設(shè)本金為\(P\)，年利率為\(r\)，經(jīng)過\(t\)年，當(dāng)一年復(fù)利\(n\)次時(shí)，本利和\(A=P(1+\frac{r}{n})^{nt}\)，當(dāng)\(n\to\infty\)時(shí)就是一個(gè)極限情況。在物理中，變速直線運(yùn)動(dòng)中某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，也是通過極限來定義的，用位移的變化量與時(shí)間變化量的比值在時(shí)間變化量趨于零時(shí)的極限來表示。3.分析極限計(jì)算中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤及如何避免？答案：極限計(jì)算中常見錯(cuò)誤有：對(duì)極限運(yùn)算法則使用條件不清晰，比如在參與運(yùn)算函數(shù)極限不存在時(shí)錯(cuò)誤使用法則；等價(jià)無窮小替換在加減運(yùn)算中濫用；對(duì)一些特殊極限形式記憶不清等。要避免這些錯(cuò)誤，首先要準(zhǔn)確理解和掌握極限的各種運(yùn)算法則、等價(jià)無窮小替換條件等基本概念。在計(jì)算時(shí)，仔細(xì)觀察函數(shù)形式，判斷是否滿足相應(yīng)法則條件。多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)，遇到復(fù)雜函數(shù)極限先思考合適的方法