/2024-2025學(xué)年江西省宜春市高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z滿足z+i(2?i)=0A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的扇面多為扇環(huán)形.已知某紙扇的扇面如圖所示，其中外弧長與內(nèi)弧長之和為89cm，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段長均為18cm，且該扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為2.5，則該扇環(huán)的外弧長為(

)A.63cm B.65C.67cm D.3.已知函數(shù)f(x)對任意x∈R滿足f(1?x)=fA.1 B.0 C.2 D.?14.已知向量a=(?1,2)，b=(?3,1)，則a在b上的投影向量為(

)A.(?32,12) B.(?5.已知α、β均為銳角，若p：sinα<sin(α+β)，q：αA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知函數(shù)y=3sin(x+π5)圖象為A.先向右平移π5個單位長度，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變

B.先向右平移25π個單位長度，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變

C.先將橫坐標(biāo)縮短到原來的12，縱坐標(biāo)不變，再向右平移π5個單位長度

7.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且asinA=(b+cA.(13,12) B.(8.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，當(dāng)x∈[0,2π)時，f(x)=cosx?|cosx|，對任意xA.6π B.19π3 C.28二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.有一組樣本數(shù)據(jù)：1，1，2，4，1，4，1，2，則(

)A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為4 B.這組數(shù)據(jù)的極差為3

C.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1.5 D.這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為110.若a>0，b>0，則下列結(jié)論正確的有(

)A.a2+b2a+b≤22 B.若111.半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個正三角形和4個正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成.在如圖所示的半正多面體中，若其棱長為1，則下列結(jié)論正確的是(

)A.該半正多面體的表面積為2134

B.BE與平面ABC所成角的正弦值為63

C.該半正多面體外接球的表面積為11π2

D.若點M，N分別在線段三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(1+tan13°)(1+tan13.如圖，在△ABC中，點O滿足BO=2OC，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N.設(shè)AB=mAM14.如圖，蓮花縣荷塘鄉(xiāng)重陽木古樹已有800年左右的歷史，該古樹枝繁葉茂，以優(yōu)美的形狀挺立在文塘村，幾百年來歷經(jīng)風(fēng)霜守護村民繁衍生息.小明為了測量該古樹高度，在古樹旁水平地面上共線的三點A，B，C處測得古樹頂點P的仰角分別為45°，45°，30°，若AB=BC=28米，則該古樹的高度為______米.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象過點(?1,3)，且不等式f(x)?7(2)設(shè)g(x)=f(x)?mx16.(本小題15分)

在如圖所示的多面體MNABCD中.四邊形ABCD是邊長為2的正方形，其對角線的交點為Q，DM⊥平面ABCD，DM//BN，DM=2BN=2.點P是棱DM的中點．

(1)求證：PQ⊥17.(本小題15分)

甲、乙兩人組成“九章隊”參加青島二中數(shù)學(xué)學(xué)科周“最強大腦”比賽，每輪比賽由甲、乙各猜一個數(shù)學(xué)名詞，已知甲每輪猜對的概率為23，乙每輪猜對的概率為34.在每輪比賽中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．

(1)求甲兩輪至少猜對一個數(shù)學(xué)名詞的概率；18.(本小題17分)

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，向量m=(1?2cos2B2,cosC)，n=(c,2a?b)，且m⊥n．

19.(本小題17分)

設(shè)O為坐標(biāo)原點，定義非零向量OM=(a,b)的“友函數(shù)”為f(x)=asinx+bcosx(x∈R)，向量OM=(a,b)稱為函數(shù)f(x)=asinx+bcosx(x∈R)的“友向量”．

(1)記OM=(1,1)的“友函數(shù)”為答案1.D

2.C

3.B

4.A

5.B

6.C

7.A

8.C

9.BD

10.BCD

11.BCD

12.2

13.3+214.28

15.解：(1)因為不等式f(x)?7x<0的解集為(14,1)，

所以14和1為關(guān)于x的方程f(x)?7x=0的兩根，且二次函數(shù)y=f(x)的開口向上，

則可設(shè)f(x)?7x=a(x?14)(x?1)，(a>0)，

即f(x)=a(x?14)(x?1)+7x，

由f(16.解：(1)證明：連接PN，QN，

因為DM⊥平面ABCD，AD，DC，DB?平面ABCD，

所以DM⊥DB，PD⊥AD，PD⊥DC，

因為DM=2BN=2，P是DM中點，所以四邊形PDBN為矩形，

則PN=BD=2，PD=NB=1，

因為Q是正方形ABCD的對角線交點，所以Q為AC，DB中點，PQ=NQ=2，

所以PQ2+NQ2=PN2，PQ⊥QN，

因為四邊形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，

又DM∩BD=D，DM?平面BDM，BD?平面BDM，

所以AC⊥平面BDM，而PQ?平面BDM，所以PQ⊥AC，

又AC∩NQ=Q，AC，NQ?平面ANC，所以PQ⊥平面ANC，得證；

(2)因為四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥17.解：(1)因為甲每輪猜對的概率為23，

所以甲兩輪至少猜對一個數(shù)學(xué)名詞的概率P=1?(1?23)2=89；

(2)“九章隊”在兩輪比賽中猜對三個數(shù)學(xué)名詞，包括兩輪比賽中甲猜對2個，乙猜對一個，和甲猜對18.解：(1)m=(1?2cos2B2,cosC)，n=(c,2a?b)，且m⊥n，

則m?n=c(1?2cos2B2)+(2a?b)cosC=0，

即(2a?b)cosC=ccosB，

由正弦定理可知(2sinA?sinB)cosC=sinCcosB，即2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，

則219.解：(1)由已知f(x)=sinx+cosx=2sin(x+π4)，

則令?π2+2kπ≤x+π4≤π2+2kπ，k∈Z，

解